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第二章 一元二次函数、方程和不等式（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，一张正方形形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为，，剪去部分的面积为8，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．若，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题中正确的个数为（ ）
①若，则
②若，则
③，“恒成立”是“”的充分不必要条件
④命题“”的否定是“”
⑤“三个连续自然数的乘积是的倍数”是存在量词命题
A． B． C． D．
8．已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A．ab有最大值 B．有最大值
C．有最小值4 D．有最大值
10．若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列有关最值的结论中，正确的是（ ）
A．已知，则函数的最大值为0
B．已知，，则的最小值为8
C．已知，，则的最大值为4
D．已知，为实数，则的最大值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则的最小值为 ．
13．给出下列命题：
①已知集合，则集合的真子集个数是7；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
④设，则“”是“”的必要不充分条件
其中所有正确命题的序号是 ．
14．已知正实数x，y满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知关于x的不等式的解集为或.
(1)求a，b的值；
(2)当，，且满足，求的最小值.
16．（1）若，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
17．回答下列问题
(1)已知，求的取值范围
(2)若，求的最小值
(3)已知，且，若恒成立，求的取值范围
18．利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）．
(1)求a与b满足的关系式；
(2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值；
(3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值．
19．已知正实数x，y满足.
(1)求的值；
(2)求的最小值；
(3)若，求的最小值.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
因为不等式对于任意均成立，
所以当时，，符合题意；
当时，则，解得，
综上所述，，
故选：D．
2．设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，知可得，可推出，反向推不出，故A满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故B不满足题意；由，得或或，推不出，反向可推出，故C不满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故D不满足题意.
3．用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，.
4．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】原不等式可化为，
若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数；
所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，，
令，解得,所以的取值范围是．
故选：B．
5．如图所示，一张正方形形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为，，剪去部分的面积为8，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】由题意知，所以．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．
6．若，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，，，即，时等号成立，
所以的最大值为．
故选：A.
7．下列命题中正确的个数为（ ）
①若，则
②若，则
③，“恒成立”是“”的充分不必要条件
④命题“”的否定是“”
⑤“三个连续自然数的乘积是的倍数”是存在量词命题
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于①，由，两边都乘以，则，正确；
对于②，由，所以，错误；
对于③，，，当且仅当时等号成立，
所以“恒成立”“”，
又，由“”“恒成立”，
所以，“恒成立”是“”的充要条件，错误；
对于④，命题“”的否定是“”，正确；
对于⑤，“三个连续自然数的乘积是的倍数”是全称量词命题，错误；
所以命题中正确的个数为，
故选：A
8．已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，在中，对称轴，函数在上单调递减，在上单调递增，
∵对于，均有成立，
即对于，均有恒成立，设，则对称轴，函数在上单调递减，在上单调递增，
当即时，
函数在上单调递减，函数在上单调递减，
，，
，
当，即时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，
，，
，
当，即时，，
函数在上单调递增，函数在上单调递减，
，，
，故不符题意，舍去.
当即时，
函数在上单调递增，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
，
当即时，
函数在上单调递增，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
此时，，所以符合题意.
当时，
函数在上单调递增，函数在上单调递增，
，，
此时，，所以符合题意.
综上，实数的取值范围是.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A．ab有最大值 B．有最大值
C．有最小值4 D．有最大值
【答案】BC
【详解】因为a，b为正实数，且，由，可得，当且仅当时取等号，所以ab有最大值，故A错误；
解法一：因为，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B正确；
解法二：由不等式，可得，所以，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B正确；
解法一：因为，当且仅当时取等号，则有最小值4，故C正确；
解法二：因为，所以，当且仅当时取等号，则有最小值4，故C错误；
由不等式，可得，当且仅当时取等号，所以有最小值，故D错误．
故选:BC．
10．若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】由可得，整理得.
由于方程恰有一个实根，分以下几种情况讨论：
（i）当时，或.
若，则，矛盾；
若，则，解得，满足方程；
（ii）当时，即当且时，
若，解得，
此时方程为，即，解得，
满足方程；
若，方程有两个不等的实根、，
因为，所以，，
所以，，即，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
故选：BD.
11．下列有关最值的结论中，正确的是（ ）
A．已知，则函数的最大值为0
B．已知，，则的最小值为8
C．已知，，则的最大值为4
D．已知，为实数，则的最大值为
【答案】BCD
【详解】对于A，，则，
，当且仅当，即时取等号，A错误；
对于B，由，，得，且，，
，
当且仅当，即时取等号，B正确；
对于C，，由，得，
解得，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，显然要取到最大值，必有，
此时，
当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：BCD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】由，则
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
13．给出下列命题：
①已知集合，则集合的真子集个数是7；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
④设，则“”是“”的必要不充分条件
其中所有正确命题的序号是 ．
【答案】③④
【详解】①，故真子集个数为个，错误；
②由，可得或，故“”是“”的充分不必要条件，错误；
③由开口向上且对称轴为，只需即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确；
④当，时，不成立；当时，且，故“”是“”的必要不充分条件，正确.
故答案为：③④
14．已知正实数x，y满足，则的最大值为 ．
【答案】1
【详解】因为，
所以，则,
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知关于x的不等式的解集为或.
(1)求a，b的值；
(2)当，，且满足，求的最小值.
【答案】(1)
(2)8
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
可知1和是方程的两个实数根且，
方法一：可得，解得；
方法二：由1是的根，则，解得，
将代入得，解得或，
所以.
（2）由（1）知，可得，
且，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立
所以的最小值为8.
16．（1）若，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）首先有.
而当时，有.
所以的最小值为.
（2）首先有
.
而当，时，有，.
所以的最小值为.
17．回答下列问题
(1)已知，求的取值范围
(2)若，求的最小值
(3)已知，且，若恒成立，求的取值范围
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
得到，则.
（2）由题意得，
，
而，由基本不等式得，
当且仅当，此时解得，
则，故，得到的最小值是.
（3）因为，所以，
得到，即，
则，
，
由基本不等式得，
当且仅当时取等，而
此时解得，，
则，
而恒成立，得到.
18．利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）．
(1)求a与b满足的关系式；
(2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值；
(3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值．
【答案】(1)，其中，．
(2)
(3)
【详解】（1）由题设，则且；
（2）由，得，
易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值．
故仓库占地面积的最小值为，此时．
（3）解法一：由，得．
因为（当且仅当时取等号）．
所以，故，解得，
故（当且仅当时取等号）．
所以仓库容积的最大值为，此时．
解法二：由，得．
故．
因为（当且仅当时取等号）．
所以（当且仅当时取等号）．
故仓库容积的最大值为，此时．
19．已知正实数x，y满足.
(1)求的值；
(2)求的最小值；
(3)若，求的最小值.
【答案】(1)1
(2)
(3)
【详解】（1）∵，∴，
∵x，y为正数，∴，
∴．
（2）∵，∴，
∴
，
当且仅当即时等号成立，
故的最小值为．
（3）∵，
∴
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为．
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