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第四章 指数函数与对数函数（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列选项中，是函数在上有零点的充分不必要条件的是（ ）
A． B．
C． D．或
2．若点关于y轴的对称点仍然在函数的图象上，称点是函数的“好点”.函数的“好点”有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．已知函数且，那么下列命题中的假命题是（ ）
A．若，则或
B．若，且，则
C．存在正数，使得函数恰有个零点
D．不存在实数，使得函数恰有个零点
4．“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.35%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，又测定，当时，教室内空气中含有0.2%的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间（单位：分钟）的最小整数值为（参考数据，）（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．已知函数，，若， 则的零点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．已知点在幂函数的图象上，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数单调递增，，若对任意存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”已知，下列四个函数：①；②；③；④．其中是在上的“追逐函数”的个数是（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若函数有个零点，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的有（ ）
A．函数关于点对称
B．函数的图象过定点
C．方程在区间上有且只有1个实数解
D．若，则在时取到最小值
11．已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．在上单调递增
C．函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为
D．若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，若存在两个零点，且，则实数 .
13．已知函数若，且，则的取值范围是 ．
14．设函数，，若函数有六个不同的零点，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数的图象过点，其中.
(1)求及的值；
(2)求证：，都有；
(3)记函数在上的最大值为，当最小时，求的值.
16．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
(1)求函数的解析式；
(2)是否存在正实数，使得当时，函数的值域为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．已知为奇函数，且定义域为，.
(1)求的值，判断的单调性，并用定义法证明；
(2)若，求的取值范围；
(3)若存在两个不相等的实数，，使，且.求实数的取值范围.
18．娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为.
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
19．近年来，＂国潮＂不断涌现，涉及影视剧，文艺演出，音乐，美术，建筑，家具，服装等各个方面.百度与人民网研究院联合发布的报告显示，近十年来＂国潮＂关注度增长了＂国潮＂的兴起，体现了国人审美的变化，也体现了年轻人正视世界的信心和更强的文化自信. 若预计年利润低于时，则该厂就要考虑转型，下表显示的是该厂近几年来年利润（百万元）与年投资成本（百万元）变化的一组数据：（年利润率）
年份 2019 2020 2021 2022 …
年投资成本 4 6 10 18 …
年利润 1 2 3 4 …
给出以下3个函数模型：①；②③
(1)选择一个恰当的函数模型来描述之间的关系，并求出其解析式；
(2)试判断当该厂年利润不低于6百万元时，该厂是否要考虑转型.
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第四章 指数函数与对数函数（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列选项中，是函数在上有零点的充分不必要条件的是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【详解】在上有零点的充要条件为，可得或，
函数在上有零点的充分不必要条件为或的真子集.
故选：B
2．若点关于y轴的对称点仍然在函数的图象上，称点是函数的“好点”.函数的“好点”有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】解：因为的图象与的图象关于y轴对称，
所以“好点”的个数即方程解的个数，
在同一直角坐标系中，作出函数、的图象，
由图知有两个交点，所以函数有两个“好点”.
故选：C
3．已知函数且，那么下列命题中的假命题是（ ）
A．若，则或
B．若，且，则
C．存在正数，使得函数恰有个零点
D．不存在实数，使得函数恰有个零点
【答案】D
【详解】对于A，且，所以或，故A正确；
对于B，因为函数，且，为单调函数，，且，
所以，故B正确；
对于C，当时，作出函数以及函数在点处的切线和函数图象如图所示，

由图可知存在正数，使得函数恰有个零点；故C正确；
对于D，因为与图象关于直线对称，如图：

由图可知当与图象均与直线相交于两点时，图象与函数图象相交于3个点，
所以存在实数，使得函数恰有个零点，故D错误.
故选：D.
4．“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若函数满足，
根据零点存在定理，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有，那么函数在区间内有零点.
但是这里并没有说明函数在区间上的图象是连续不断的，
比如函数，当，时，，
但在上没有零点.
所以“函数满足”不能推出“函数在区间上有零点”，充分性不成立.
若函数在区间上有零点，比如函数在区间上有零点，此时.
这说明“函数在区间上有零点”不能推出“函数满足”，必要性不成立.
“函数满足”是“函数在区间上有零点”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.35%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，又测定，当时，教室内空气中含有0.2%的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间（单位：分钟）的最小整数值为（参考数据，）（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】由题意可知当时，，所以，得，
所以，
当时，，则，
所以，得，
所以，，得，
所以，
当时，，
得，所以，
，得，
所以所求时间的最小整数值为8.
故选：C
6．已知函数，，若， 则的零点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】由题设，函数大致图象如下，
其中当趋近于时，；当趋近于时，，
判断的图象与直线的交点个数：
由图知，时它们有3个不同的交点，
所以函数的零点个数为3.
故选：B
7．已知点在幂函数的图象上，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为点在幂函数的图象上，则，解得，
所以，可得，故，
因为，，，
且函数在上为增函数，
又因为，则，故.
故选：C.
8．定义在上的函数单调递增，，若对任意存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”已知，下列四个函数：①；②；③；④．其中是在上的“追逐函数”的个数是（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】在上的值域为．
若对任意，存在，使得成立，
则与在上的值域相同，
又在上单调递增，则，
则对任意，有．
对于① ：在上单调递增且值域为，
且恒成立．
即在上恒成立，符合题意；
对于②，当时，，即函数在上的值域为，
作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，当时，的增长速度显然快于函数的增长速度，
则对任意的，，符合题意；

对于③，函数在上递增，且值域为，
且，不符合题意；
对于④，对于函数，该函数在上为增函数，
且当时，，则，不符合题意．
所以，①②是“追逐函数”．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若函数有个零点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】依题意可得，令，即或，
即或或或，
解得，，，，
所以，故A正确；
，故B正确；
（，等号不成立），故C正确；
当且仅当时取等号，
因为，故D错误.
故选：ABC
10．下列说法正确的有（ ）
A．函数关于点对称
B．函数的图象过定点
C．方程在区间上有且只有1个实数解
D．若，则在时取到最小值
【答案】ACD
【详解】对于A选项：，
该函数可由反比例函数先向左平移1个单位，
再向上平移1个单位，故的图象关于对称，故选项A正确；
对于B选项：由，
令，即，则，
故函数的图象过定点，故选项B错误；
对于C选项：由，得，令，
易知在上单调递增且图象连续不断，
因为，，所以，
所以方程在区间上有且只有1个实数解，故选项C正确；
对于D选项：因为，所以，
所以，
当且仅当时，即，有最小值为.
故选项D正确；
故选：ACD.
11．已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．在上单调递增
C．函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为
D．若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为
【答案】ABC
【详解】A，因为，，所以，
当时，，则，
所以，对；
B，由，则，故，
其开口向下且对称轴为，所以在上单调递增，对；
C，因为，函数的零点从小到大依次记为，
若，则是与在对称轴为对应区间上的交点横坐标，
在上，则，则，
在上，如下图示，
根据与的交点情况，可得，对；
D，同C分析，若在上有4个零点，由图知，错．
故选：ABC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，若存在两个零点，且，则实数 .
【答案】
【详解】画出函数的图象，再画出直线，
可以发现当直线过点时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，
即方程有两个解，也就是函数有两个零点，
此时满足，即.
不妨设，则，
从而即
设，函数单调递增，且
所以，又，解得，
所以.

故答案为：.
13．已知函数若，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】作出的图象，如图所示．由，得，，
则，，则，，
令，，则，
当时，函数的取值范围是．
故答案为：．

14．设函数，，若函数有六个不同的零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】令，即，解得或，易知，可得，
可得，
当时，设，且，
点关于直线的对称点为，
；
当时，设，且，
点关于直线的对称点为，
；
综上所述，函数的图象关于直线对称.
当时，由单调递增，单调递增，
则函数在上单调递增；
当时，由单调递增，单调递减，
则函数在上单调递减；
当时，由单调递增，单调递增，
则函数在上单调递增.
当时，由，，则；
当时，由，则.
可得下图：
由函数的图象可由函数的图象平移个单位，
则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数的图象过点，其中.
(1)求及的值；
(2)求证：，都有；
(3)记函数在上的最大值为，当最小时，求的值.
【答案】(1)，;
(2)证明见解析
(3).
【详解】（1）由图象过点，
可得：，解得：，
;
（2）由（1），
当时，，∴，
当时，，∴，
综上，，都有.
（3）设，则，
∵在单调递增，且在处取最大值1，
在单调递增，且在处取最小值1，
∴在单调递增，值域为，故,
∴当时，此时，故，
当时，此时不存在，
∴当最小时，.
16．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
(1)求函数的解析式；
(2)是否存在正实数，使得当时，函数的值域为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在满足题意
【详解】（1）因为是偶函数，所以，
解得，
所以当时，，
当时，可得，则，
所以函数的解析式为；
（2）存在．
假设存在正实数，使得当时，函数的值域为，
因为当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以为方程的两个根，即的两个根，
即的两根，整理得或，
解得或，
又，所以，
所以存在，使得当时，函数的值域为．
17．已知为奇函数，且定义域为，.
(1)求的值，判断的单调性，并用定义法证明；
(2)若，求的取值范围；
(3)若存在两个不相等的实数，，使，且.求实数的取值范围.
【答案】(1)，增函数，证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）因为为奇函数，定义域为，
所以，得，经验证满足题设，
在定义域上为增函数，证明如下：
任取，，且，，
，
所以，在定义域上为增函数；
（2）由（1）得，解得；
（3），
，
，即，
，
，，
令，，，
，
，则存在一个实数，使成立，
只需或，解得或，
综上：.
18．娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为.
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
【答案】(1)第7年时，可获得最大利润45万元
(2)
【详解】（1）故当时，取得最大值，最大值为45，所以这批机器运转第7年时，可获得最大利润45万元；
（2）记年平均利润为，则14
当且仅当，即时，等号成立.
19．近年来，＂国潮＂不断涌现，涉及影视剧，文艺演出，音乐，美术，建筑，家具，服装等各个方面.百度与人民网研究院联合发布的报告显示，近十年来＂国潮＂关注度增长了＂国潮＂的兴起，体现了国人审美的变化，也体现了年轻人正视世界的信心和更强的文化自信. 若预计年利润低于时，则该厂就要考虑转型，下表显示的是该厂近几年来年利润（百万元）与年投资成本（百万元）变化的一组数据：（年利润率）
年份 2019 2020 2021 2022 …
年投资成本 4 6 10 18 …
年利润 1 2 3 4 …
给出以下3个函数模型：①；②③
(1)选择一个恰当的函数模型来描述之间的关系，并求出其解析式；
(2)试判断当该厂年利润不低于6百万元时，该厂是否要考虑转型.
【答案】(1)选择③来描述之间的关系，函数解析式为；
(2)该企业要考虑转型.
【详解】（1）点不同在函数的图象上，①不符合要求；
将代入，得，解得，，
当时，，不符合要求；
将代入，得，解得，
，当时，；当时，，符合题意，
所以选择③来描述之间的关系，函数解析式为.
（2）由（1）知，，当时，，解得，
当时的年利润率，所以该厂要考虑转型.
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