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专题04 充分条件与必要条件五大常考题型
题型一：充分条件与必要条件的判断
题型二：根据充分条件求参数取值范围
题型三：根据必要条件求参数取值范围
题型四：根据充要条件求参数取值范围
题型五：充要条件的证明
题型一：充分条件与必要条件的判断
1．下列命题中，为假命题的是（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件
C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件
2．下列语句中，真命题有（ ）
A．若，则x，y互为倒数
B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形
C．平行四边形是梯形
D．若，则
3．下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（ ）
A．为无理数 B．为无理数
C．为无理数 D．
4．两个三角形全等的充分条件是（ ）
A．两个三角形的两角对应相等
B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等
C．两个三角形的三边对应成比例
D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等
5．下列选项正确的是（ ）
A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件
B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“”的必要条件
6．已知集合，则是的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
7．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（ ）
A．两个平面 B．一条直线
C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线
8．子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语 卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．设为实数，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二：根据充分条件求参数取值范围
11．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．若“”是“”充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的值为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．-2或-4
14．命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
15．设实数满足，：实数满足.
(1)若，且都为真命题，求的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
16．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ．
17．已知集合，非空集合．
(1)若是的必要条件，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
18．已知集合．
(1)若，求;
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19．命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三：根据必要条件求参数取值范围
21．已知集合，或
(1)当时，求；
(2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围.
22．已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
23．已知集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
24．设集合，，命题，命题.
(1)当时，求集合A与集合B的并集；
(2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围.
25．已知集合，，全集.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
26．已知，若是的必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
27．已知集合，集合，.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
28．已知集合.
(1)求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
29．已知集合，集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
30．“，”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
题型四：根据充要条件求参数取值范围
31．方程有两个异号实根的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
32．已知，．
(1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
33．在“①充分不必要；②必要不充分；③充要”这三个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解下列问题：
已知集合，
(1)若且，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使得是的__________条件.若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
34．关于的方程的解为的充要条件是 ．
35．已知．
(1)若是的充要条件，求的值；
(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围.
36．已知，，若是的充要条件，则实数 ．
37．
(1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．
(2)若是的充分条件，求m的取值范围
(3)若=，求m的取值范围
38．设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
39．设集合，；
(1)用列举法表示集合；
(2)若是的充要条件，求实数的值.
40．已知 .
(1)是否存在实数，使是的充要条件 若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由;
(2)是否存在实数，使是的必要条件 若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.
题型五：充要条件的证明
41．设集合A，B，求证：是的充要条件．
42．若集合，．证明：集合与不可能相等．
43．证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件．
44．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是．
45．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且．则△ABC为直角三角形的充要条件是．试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明．
46．求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”．
47．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是.
48．已知，求证：成立的充要条件是.
49．设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件．
50．已知，是实数，求证：成立的充要条件是.
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专题04 充分条件与必要条件五大常考题型
题型一：充分条件与必要条件的判断
题型二：根据充分条件求参数取值范围
题型三：根据必要条件求参数取值范围
题型四：根据充要条件求参数取值范围
题型五：充要条件的证明
题型一：充分条件与必要条件的判断
1．下列命题中，为假命题的是（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件
C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件
【答案】D
【详解】因为，所以“”是“”的必要条件，A是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，B是真命题；因为，C是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，D是假命题．
2．下列语句中，真命题有（ ）
A．若，则x，y互为倒数
B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形
C．平行四边形是梯形
D．若，则
【答案】AD
【详解】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误．
3．下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（ ）
A．为无理数 B．为无理数
C．为无理数 D．
【答案】D
【分析】举特殊值，可排除A、B、C选项，由0不是无理数可知D正确.
【详解】若，则为有理数，A错误；
若，则为有理数，B错误；
若，则为有理数，C错误；
若为无理数，则，所以，D正确．
故选：D.
4．两个三角形全等的充分条件是（ ）
A．两个三角形的两角对应相等
B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等
C．两个三角形的三边对应成比例
D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等
【答案】D
【分析】由全等三角形的判定定理可得结果.
【详解】根据全等三角形的判定定理可得，
当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，两个三角形全等．
故选：D.
5．下列选项正确的是（ ）
A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件
B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“”的必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可解.
【详解】对于A中，平行四边形的对角线互相垂直是菱形的判定定理，即，所以A正确；
对于B中，三边分别为3，4，5的三角形是周长为12的直角三角形，
三边为4，4，4的三角形是等边三角形，两三角形周长相等但不全等，即，所以B错误；
对于C中，例如：当时，满足，但，
所以是的充分条件，所以C错误；
对于D中，若，满足，但不成立，所以D错误．
故选：A.
6．已知集合，则是的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
【答案】A
【分析】若求出的取值，当时判断是否正确，判断时，是否可能为.
【详解】若，则且，
所以或，故当时有，
而时，不一定是，
故是的充分而不必要条件.
故选：A.
7．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（ ）
A．两个平面 B．一条直线
C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线
【答案】D
【分析】把命题改为“若，则”的形式可得答案.
【详解】把命题改为“若，则”的形式为
“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”，
故命题的条件为“两个平面垂直于同一条直线”．
故选：D.
8．子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语 卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.
【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良.
从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立；
反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立；
所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件.
故选：B.
9．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由可得，解得，
所以由推得出，故充分性成立；
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
10．设为实数，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】若，而，则，充分性成立，
取，，此时，但，必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
题型二：根据充分条件求参数取值范围
11．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式得到或，根据题意得到是的充分不必要条件，从而得到两不等式的包含关系，求出答案.
【详解】由条件，解得或；
因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，
故是或的真子集，
则的取值范围是，
故选：B．
12．若“”是“”充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先解出绝对值不等式，再根据充分不必要条件得到集合的包含关系，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】由，即，解得，
因为“”是“”充分不必要条件，
所以真包含于，所以（等号不能同时取得），解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
13．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的值为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．-2或-4
【答案】C
【解析】求出对应的集合分别为，由 求解.
【详解】令，
，
由已知，且，∴ .
∴或，解得或.
故选：C.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题关键是掌握充分必要条件与集合包含之间的关系．
命题对应集合，命题对应集合是，则是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件 ，是的必要不充分条件 ．
．
14．命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】利用一元二次不等式的成立问题结合必要不充分条件的定义判断各个选项.
【详解】存在，使得为真时，
当时，显然成立；
当时，有，解得，
当时，存在，使得；
所以存在，使得为真时，，
命题“存在，使得”为假命题时，
时，不一定成立，不合题意；
时，不一定成立，不合题意；
时，必成立，反之时，推不出，符合题意；
时，必成立，反之时，推不出，符合题意；
命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是；
故选：CD.
15．设实数满足，：实数满足.
(1)若，且都为真命题，求的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围,求交集即可.
(2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知所代表的范围是所代表的范围的真子集，列出不等式组，进而即得.
【详解】（1）时，，，
即，
由得，解得 又，
而，都为真命题，所以；
（2），，
由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为，
所以.
16．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【详解】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为．
17．已知集合，非空集合．
(1)若是的必要条件，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由构造不等式即可求解；
（2）由构造不等式即可求解；
【详解】（1）非空集合．可得：，解得：
由是的必要条件，可得：,
所以，解得：，综上实数的取值范围；
（2）存在，由是的充分条件，则,
所以，解得：，所以实数的取值范围
18．已知集合．
(1)若，求;
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)；
(3)．
【分析】 利用交集运算即可；
利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可；
把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围.
【详解】（1）当时，，
所以；
（2）因为，
所以由，得，
当时，，解得，满足题意；
当时，则，解得，
综上，，故实数的取值范围为；
（3）由是的充分不必要条件，可得 ，
又，
则，且式等号不同时成立，解得，
故实数的取值范围是．
19．命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意转化为子集问题，即可求解.
【详解】由条件可知，集合是集合的真子集，
所以.
故选：D
20．若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据充分不必要条件的判断即可得到实数的取值范围.
【详解】由＂＂的充分不必要条件是＂＂，
得，但，
所以．
故选：B.
题型三：根据必要条件求参数取值范围
21．已知集合，或
(1)当时，求；
(2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）分别求出，，再根据集合的交集运算即可；
（2）由于是的必要不充分条件，可知是的真子集，再根据集合关系求出的范围即可．
【详解】（1），
当时，或．
．
（2）因为，或．
是的必要不充分条件，所以或，
所以或．
22．已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，再求即可；
（2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案.
【详解】（1），
若，则集合，
所以，
则=；
（2）∵命题是命题的必要不充分条件，
∴集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，，或，
解得，
综上所述，实数的取值范围为．
23．已知集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集；
（2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，集合，则或
所以或；
（2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集，
则或，解得.
24．设集合，，命题，命题.
(1)当时，求集合A与集合B的并集；
(2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简集合，再由集合并集运算即可；
（2）由题意得到，构造不等式求解即可；
【详解】（1）由题设，，当时，所以；
（2）由题设，，且，若P是q的必要不充分条件，则
又a为正实数，即，解得，
故a的取值范围为.
25．已知集合，，全集.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得出集合；
（2）由题意可知，集合为集合的真子集，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，集合，全集，则或，
又因为集合，故.
（2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集，
当时，，解得；
当时，由题意可得，解得，
检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意；
当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
26．已知，若是的必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可.
【详解】是的必要条件，，.
故选：B.
27．已知集合，集合，.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，可得集合，进而可得；
（2）由必要不充分条件可知 ，进而可得不等式，解不等式即可.
【详解】（1）当时，，
又
则；
（2）由“”是“”的必要不充分条件，
可知 ，
所以或，
解得或，
综上所述，
即.
28．已知集合.
(1)求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或，
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式、分式不等式求集合，再应用集合的交运算求集合；
（2）由必要不充分条件有 ，进而分情况求解参数范围.
【详解】（1）由题意知：集合，
集合或，
所以或，；
（2）由“是的必要不充分条件”知： ，
当时，，即，符合题意，
当时，，即，
综上所述，实数的取值范围是.
29．已知集合，集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）求出集合，分、两种情况讨论，根据可求得实数的取值范围；
（2）分析可知， ，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可解得实数的取值范围.
【详解】（1）由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，，可得，
则有或，解得或，
因为，则.
综上所述，实数的取值范围为或.
（2）因为命题是命题的必要不充分条件，则 ，
当时，，解得，
当时，则，解得.
检验：当时， ，合乎题意；
当时， ，合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
30．“，”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题中命题成立，先求出；再逐项判断即可.
【详解】由题意可得，在上能成立，
即在上能成立，
因为时，；
所以为使在上能成立，只需；
因此，A选项，是“，”成立的既不充分又不必要条件；
B选项，是“，”成立的充分不必要条件；
C选项，是“，”成立的充要条件；
D选项，是“，”成立的必要不充分条件；
故选：D
题型四：根据充要条件求参数取值范围
31．方程有两个异号实根的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可.
【详解】由题知，，解得.
故选：A
32．已知，．
(1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)存在，
【分析】（1）由列出等式求解即可；
（2）分和两类情况讨论即可.
【详解】（1）要使是的充要条件，需使，
即，此方程组无解，
故不存在实数，使是的充要条件．
（2）要使是的必要条件，需使．
当时，，解得，满足题意；
当时，，解得，要使，则有
，解得，所以．
综上可得，当实数时，是的必要条件．
33．在“①充分不必要；②必要不充分；③充要”这三个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解下列问题：
已知集合，
(1)若且，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使得是的__________条件.若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】由于且，
可得或，求解即可得到答案.
利用中的集合对①②③中的三个条件分别进行判断即可得.
【详解】（1），且，
可得或，
所以或，
故，
所以实数的取值范围为.
（2）若选①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集，
因为，集合，
所以且前两个不等式等号不能同时成立，
所以，
所以实数的取值范围是；
若选②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集，
因为，集合，
所以且等号不能同时成立，所以，
所以实数的取值范围是；
若选③，即是成立的充要条件，集合等于集合，
因为，集合，
所以，方程组无解，
所以满足题意的不存在.
34．关于的方程的解为的充要条件是 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的解法，以及充要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由必要性得，若方程的解为，把代入方程解得，
当时，方程为，解得，充分性成立，
所以方程的解为的充要条件为.
故答案为：.
35．已知．
(1)若是的充要条件，求的值；
(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解；
（2）由充分不必要条件可化为，解不等式得解.
【详解】（1）因为是的充要条件，
所以，
解得.
（2）因为是的充分不必要条件，
所以 ，
即，解得，
所以的取值范围.
36．已知，，若是的充要条件，则实数 ．
【答案】5
【分析】根据充要条件列出等式求解即可.
【详解】因为，又，是的充要条件，
所以，解得实数．
故答案为：5
37．
(1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．
(2)若是的充分条件，求m的取值范围
(3)若=，求m的取值范围
【答案】(1)不存在，理由见详解
(2)
(3)
【分析】（1）假设存在，则，列出方程组，解之即可；
（2）由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解；
（3）分类讨论当、时解的情况，即可求解.
【详解】（1）若存在m的值满足是的充要条件，则，
得，解得，无解，
故不存在这样的m符合题意；
（2）若是的充分条件，则，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上，，即实数m的取值范围为；
（3）若，
当时，，解得；
当即即时，
或，所以，
综上，或，即实数m的取值范围为；
38．设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可；
（2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由条件， 是的充要条件，
得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，
所以，或，解得，
综上实数的取值范围是.
39．设集合，；
(1)用列举法表示集合；
(2)若是的充要条件，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接解方程即可；
（2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值.
【详解】（1）集合，
即；
（2）由已知，，
若是的充要条件，则，
，
.
40．已知 .
(1)是否存在实数，使是的充要条件 若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由;
(2)是否存在实数，使是的必要条件 若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.
【答案】(1)不存在
(2)
【分析】（1）根据两集合相等，形成方程组，无解，可判断不存在满足题意的实数.
（2）要使是的必要条件，则，根据集合关系可求得实数的范围.
【详解】（1）要使是的充要条件，则
即，此方程组无解.
所以不存在实数，使是的充要条件.
（2）要使是的必要条件，则，
当时，，解得
当时，，解得
要使，则有，解得，所以
综上可得，当时，是的必要条件.
题型五：充要条件的证明
41．设集合A，B，求证：是的充要条件．
【答案】证明见解析
【分析】利用充分性和必要性的定义即可证明.
【详解】证明：充分性
因为，，所以，
所以当成立时，有成立，
故充分性成立．
必要性
因为，所以．
所以当成立时，也有成立，
故必要性成立
所以是的充要条件．
42．若集合，．证明：集合与不可能相等．
【答案】证明见解析
【分析】利用反证法，这两集合相等当且仅当两个端点相等，列出方程组导出矛盾即可得证.
【详解】假设集合，则且，
即且，这不可能．
故假设不成立，即集合与不可能相等．
43．证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件．
【答案】证明见解析
【分析】先证明充分性，再证明必要性即可．
【详解】证明：充分性：若，则，
方程有两个实根，，
根据根与系数的关系得．
所以方程有两个异号实根．
必要性：若一元二次方程有两个异号实根，，
则，即．
所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件．
44．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解.
【详解】证明：充分性：
当时，多项式可化为，
即，所以，
则，所以，
即，为等边三角形，即充分性成立；
必要性：由为等边三角形，且，所以，
则，，所以，即必要性成立．
故为等边三角形的充要条件是．
45．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且．则△ABC为直角三角形的充要条件是．试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明．
【答案】△ABC为锐角三角形的充要条件为．证明见解析
【分析】根据勾股定理易得△ABC为锐角三角形的充要条件是．再分别证明充分与必要性即可．
【详解】设a，b，c分别是△ABC的三条边，且，△ABC为锐角三角形的充要条件是．
充分性：在△ABC中，若，则不是直角，
假设为钝角，如图①，作，交BC延长线于点D，
则由勾股定理得，
，
即，与“”矛盾，
故为锐角，即△ABC为锐角三角形，故充分性成立；
必要性：在△ABC，是锐角，作，D为垂足，如图②，
则由勾股定理得，
，
即，故必要性成立．
故△ABC为锐角三角形的充要条件为．
46．求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”．
【答案】证明见解析
【分析】由充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可.
【详解】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即，
充分性：若，则，即满足方程，
则关于x的方程有一个根为2；
综上命题得证．
47．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是.
【答案】答案见解析
【分析】先证明充分性，即由，得是方程的一个根；再证必要性，由是方程的一个根，得.
【详解】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1；
由，得，
代入方程得，得，
所以，是方程的一个根.
②必要性：即证明若是方程的根；
将代入方程，即有.
综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是.
48．已知，求证：成立的充要条件是.
【答案】证明见解析
【分析】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可.
【详解】先证充分性：因为，所以，
所以
.
再证必要性：因为，
所以，又，所以且，
所以，所以，即.
综上可知，当时，成立的充要条件是.
49．设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件．
【答案】答案见详解
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，先求出方程与有公共根的条件，然后证明充分性即可.
【详解】必要性：
设方程与的公共根为，
则，，
两式相加得（舍去），
将代入，
得，
整理得.
所以.
充分性：
当时，，
于是等价于，
所以，
该方程有两根，.
同样等价于，
所以，
该方程亦有两根，.
显然，两方程有公共根.
故方程与有公共根的充要条件是.
50．已知，是实数，求证：成立的充要条件是.
【答案】证明见解析
【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论．
【详解】解：先证明充分性：
若，则成立．
所以“”是“”成立的充分条件；
再证明必要性：
若，则，
即，
，
，
，
，
即成立．
所以“”是“”成立的必要条件.
综上：成立的充要条件是．
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