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专题1.2 集合间的基本关系
教学目标 1、理解集合之间包含与相等的含义； 2、理解子集、真子集的概念； 3、能利用韦恩图表达集合间的关系； 4、了解空集的含义．
教学重难点 1.重点 集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念. 2.难点 属于关系与包含关系的区别．
知识点01 集合与集合的关系
（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有______关系，称集合A为B的子集.记作：读作：A包含于B(或B包含A).
（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合______.
记作：读作：A等于B.
（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．
（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．
【即学即练】
1．已知集合，若，则（ ）
A．2 B．0 C．0或2 D．1或2
2．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 真子集
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的______。
记作：AB（或BA）读作：A真______于B（或B真包含A）
【即学即练】
1．已知集合，，则集合的真子集个数为 .
2．已知集合，，则集合的所有真子集的个数（ ）
A．7 B．4 C．8 D．15
知识点03 空集
______有任何元素的集合称为空集，记作：.规定：空集是任何集合的______。
结论：（1）（类比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的______。
（3）若则（类比，则）
（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为______个，其真子集数为______个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。
【即学即练】
1．下列结论错误的是（ ）
A．任何一个集合至少有两个子集
B．空集是任何集合的真子集
C．若且，则
D．若且，则
2．若集合，则实数的取值范围是 .
题型01 写出给定集合的子集、真子集以及个数问题
【典例1】已知集合，，，则集合C的子集有（ ）
A．64个 B．63个 C．16个 D．15个
有限集的子集个数
要确定非空有限集合A的子集的个数，一般需先确定集合A中的元素的个数，再求解．若集合A中有n个元素,求它的子集个数,可用乘法原理：在一个子集中,每个元素都有被选中与不被选中两种可能,由乘法原理可知：A的子集个数为 ,由此可得到以下结论：若集合A中有个元素,则集合A的所有子集的个数为,真子集个数为,非空子集个数,非空真子集个数为.当集合的子集个数较少时，一般用列举法列出所有子集，其中不要忽略空集和集合本身．
三、问题的佐证
写出集合的所有子集
【问题提出】
问题1：空集有多少个子集？
【答案】1个，即。
问题2：有多少个子集？
【答案】2个，即，。,
问题3：写出集合的所有含有元素a的子集
【答案】
问题4：集合有多少个子集？
【答案】共16个，分别为，， ，，。
高端结论：若则的所有子集的元素之和为多少？
推导：出现在，，，中，即在所求和中出现的次数等于集合的子集个数（）
同理，出现了，出现了，出现了
故所求的和为
【变式1】已知集合，则集合，且的子集的个数为（ ）
A．7 B．8 C．4 D．6
【变式2】已知集合A满足，则满足条件的集合A的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．8个
【变式3】设集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．4 B．16 C．8 D．9
题型02 韦恩图及其应用
【典例1】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（ ）
A． B．
C． D．
Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用.
【变式1】已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的Venn图是（ ）
A．B．C． D．
【变式3】已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N={ x |x+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A． B．
C． D．
题型03 由集合间的关系求参数的范围
【典例1】已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
对于两个集合A与B，A或B中含有待定的参数（字母），若已知集合A与B的关系，求参数的值或取值范围时，常采用分类讨论和数形结合的方法：
方法一：分类讨论：若，在未指明集合A非空时，应分为和两种情况进行讨论；
方法二：数形结合：在对这种情况进行参数的确定时，要借助于数轴来完成；将两个集合在数轴上画出来,注意分清端点处的实心和空心，根据两个集合之间的基本关系，列不等式（组）求解；
具体解题步骤：
第一步：化简：将给定的集合加以化简，若有不确定因素则需分类讨论；
第二步：判断：判断集合之间的关系；
第三步：画轴：画出数轴以便明确集合之间的关系；（或直角坐标系、文氏图）
第四步：列式：根据数轴及所给集合关系列出不等式（组）；
第五步：求解：对所列出的不等式（组）进行求解。
关于集合为空集的高端结论
（1）若集合,则;
（2）若集合,则≥;
（3）若集合或，则≥，
【变式1】(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】.设，，若，则实数的取值范围为 ．
【变式3】已知集合，若，则实数的取值范围是 .
题型04 判断两集合是否相等
【典例1】下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.
【变式1】下列各组集合中表示同一集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式3】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥ ；其中正确的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个
题型05 根据两集合相等求参数
【典例1】设集合，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
元素相同注意互异性
【变式1】，若，则+= .
【变式2】设集合，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式3】设，集合，若，则（ ）
A． B． C．0 D．2
题型06 空集的性质
【典例1】关于x的方程的解集为空集，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1.空集是任何集合的子集
2.空集是任何非空集合的真子集
3.任何一个集合是它本身的子集
4.当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
【变式1】已知：集合，.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围.
【变式2】下列命题中，正确的个数有（ ）
①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤ ；⑥.
A．1 B．2 C．3 D．5
【变式3】设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）.
A．2 B．4 C．7 D．8
1.若集合则的子集个数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2或
3．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知集合,，则集合的真子集个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．15
5．设集合，，则满足且的不同集合的个数是 （结果用数字表示）.
6．已知实数集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
8．，集合，则 .
9．已知集合，，若，则a的值是（ ）
A．1或2 B．或0 C．1 D．
10．已知，且，则（ ）
A．0 B． C．0或3 D．或3
11．已知集合，，且，则实数的值为 .
12．已知集合，，且，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
13．设集合．
(1)当时，求集合的非空真子集的个数；
(2)若，求整数的所有可能取值．
14．（1）已知，求实数的值；
（2）已知，求实数，的值.
15．已知.
(1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合；
(2)若，求实数a的取值范围.
16．已知全集，集合，.
(1)若时，存在集合使得 ，求出这样的集合；
(2)是否存在集合，满足 若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由.
17．已知集合．
(1)若，写出集合A的所有子集；
(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值．
18．已知集合.
(1)若，求实数的取值集合.
(2)若的子集有两个，求实数的取值集合.
(3)若且，求实数的取值集合.
19．已知集合．
(1)判断10，11，12是否属于集合A；
(2)若集合，证明：；
(3)写出所有满足集合A的偶数构成的集合，并说明理由．
20．设集合．
(1)当时，求A的非空真子集的个数；
(2)若，求实数m的取值范围．
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专题1.2 集合间的基本关系
教学目标 1、理解集合之间包含与相等的含义； 2、理解子集、真子集的概念； 3、能利用韦恩图表达集合间的关系； 4、了解空集的含义．
教学重难点 1.重点 集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念. 2.难点 属于关系与包含关系的区别．
知识点01 集合与集合的关系
（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.记作：读作：A包含于B(或B包含A).
（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等.
记作：读作：A等于B.
（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．
（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．
【即学即练】
1．已知集合，若，则（ ）
A．2 B．0 C．0或2 D．1或2
【答案】C
【分析】根据包含关系，讨论、并结合集合的性质求参数值.
【详解】当，则，此时，满足；
当，则，此时，满足；
所以或.
故选：C
2．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围.
【详解】因为，所以，解得．所以的取值范围是．
故选：A.
知识点02 真子集
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集。
记作：AB（或BA）读作：A真包含于B（或B真包含A）
【即学即练】
1．已知集合，，则集合的真子集个数为 .
【答案】7
【分析】由，即为奇数，求得集合，即可得真子集的个数.
【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：.
故答案为：7.
2．已知集合，，则集合的所有真子集的个数（ ）
A．7 B．4 C．8 D．15
【答案】A
【分析】先求出集合，再根据子集的定义即可求解.
【详解】依题意，所以集合B的真子集的个数为.
故选：A.
知识点03 空集
不含有任何元素的集合称为空集，记作：.规定：空集是任何集合的子集。
结论：（1）（类比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（3）若则（类比，则）
（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。
【即学即练】
1．下列结论错误的是（ ）
A．任何一个集合至少有两个子集
B．空集是任何集合的真子集
C．若且，则
D．若且，则
【答案】ABD
【分析】AB选项，根据空集的性质判断；CD选项，根据子集的定义判断.
【详解】空集只有一个子集，故A错；
空集时任何非空集合的真子集，故B错；
因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确；
例如，，，满足且，此时，故D错.
故选：ABD.
2．若集合，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得.
【详解】当时，不成立，即，则；
当时，由，得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
题型01 写出给定集合的子集、真子集以及个数问题
【典例1】已知集合，，，则集合C的子集有（ ）
A．64个 B．63个 C．16个 D．15个
【答案】C
【分析】根据题意，求得集合，结合集合子集个数的计算方法，即可求解.
【详解】由集合，，且，
因为，，可得集合，所以集合的子集有个.
故选：C.
有限集的子集个数
要确定非空有限集合A的子集的个数，一般需先确定集合A中的元素的个数，再求解．若集合A中有n个元素,求它的子集个数,可用乘法原理：在一个子集中,每个元素都有被选中与不被选中两种可能,由乘法原理可知：A的子集个数为 ,由此可得到以下结论：若集合A中有个元素,则集合A的所有子集的个数为,真子集个数为,非空子集个数,非空真子集个数为.当集合的子集个数较少时，一般用列举法列出所有子集，其中不要忽略空集和集合本身．
三、问题的佐证
写出集合的所有子集
【问题提出】
问题1：空集有多少个子集？
【答案】1个，即。
问题2：有多少个子集？
【答案】2个，即，。,
问题3：写出集合的所有含有元素a的子集
【答案】
问题4：集合有多少个子集？
【答案】共16个，分别为，， ，，。
高端结论：若则的所有子集的元素之和为多少？
推导：出现在，，，中，即在所求和中出现的次数等于集合的子集个数（）
同理，出现了，出现了，出现了
故所求的和为
【变式1】已知集合，则集合，且的子集的个数为（ ）
A．7 B．8 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据题设有则，结合集合的描述得，即可确定子集个数.
【详解】由，则，又，且
所以，故子集个数为.
故选：B
【变式2】已知集合A满足，则满足条件的集合A的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．8个
【答案】D
【分析】根据子集的定义，列举出符合题意的集合即可.
【详解】因为，
所以，
故集合可以为，
共个.
故选：D.
【变式3】设集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．4 B．16 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据条件，先化简集合A，再利用子集个数的计算公式，即可求解.
【详解】由，
则集合A的子集个数为.
故选：B.
题型02 韦恩图及其应用
【典例1】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可.
【详解】，又，
所以 ，选项B符合，
故选：B.
Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用.
【变式1】已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】化简集合，判断集合没有包含关系，即可得出答案.
【详解】，集合没有包含关系
故选：A
【变式2】能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的Venn图是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】先求集合N,再判断集合间的关系
【详解】N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N M.
故选：B
【变式3】已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N={ x |x+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：先化简集合N，得N={﹣1，0}，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案．
解：由N={x|x2+x=0}，
得N={﹣1，0}．
∵M={﹣1，0，1}，
∴N M，
故选B．
题型03 由集合间的关系求参数的范围
【典例1】已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解.
【详解】，，
故当时，易求；
当时，由得，或,
所以所有的取值构成的集合为，
故选：C.
对于两个集合A与B，A或B中含有待定的参数（字母），若已知集合A与B的关系，求参数的值或取值范围时，常采用分类讨论和数形结合的方法：
方法一：分类讨论：若，在未指明集合A非空时，应分为和两种情况进行讨论；
方法二：数形结合：在对这种情况进行参数的确定时，要借助于数轴来完成；将两个集合在数轴上画出来,注意分清端点处的实心和空心，根据两个集合之间的基本关系，列不等式（组）求解；
具体解题步骤：
第一步：化简：将给定的集合加以化简，若有不确定因素则需分类讨论；
第二步：判断：判断集合之间的关系；
第三步：画轴：画出数轴以便明确集合之间的关系；（或直角坐标系、文氏图）
第四步：列式：根据数轴及所给集合关系列出不等式（组）；
第五步：求解：对所列出的不等式（组）进行求解。
关于集合为空集的高端结论
（1）若集合,则;
（2）若集合,则≥;
（3）若集合或，则≥，
【变式1】(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】分情况讨论当和时，列方程解方程即可.
【详解】当时，满足，此时；
当时，，此时，
因为，所以或，
即；或
综上所述，或或，
故选：BCD.
【变式2】.设，，若，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用一次函数的单调性求解值域即集合B，按照、、和四种情况分类讨论，根据列不等式求解实数的取值范围即可.
【详解】由在上是增函数，得，
即．
作出的图像，该函数定义域右端点有三种不同情况，如图所示：
①当时，，即，
要使，必须且只需，得，与矛盾．
②当时，，即，
要使，由图可知：必须且只需解得．
③当时，，即，
要使，必须且只需解得．
④当时，，此时，则成立．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：
【变式3】已知集合，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围.
【详解】，若，则，解得，
若，则，解得，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
题型04 判断两集合是否相等
【典例1】下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由集合元素的特征和属性进行判断.
【详解】A选项：，故A错误；
B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误；
C选项：,，故C选项正确；
D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误．
故选：C.
如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.
【变式1】下列各组集合中表示同一集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解.
【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确；
对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，
集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，
所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；
对于C中，集合表示由两个元素构成的数集；
集合表示由点作为元素，构成的单元素数集，
所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；
对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集，
集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集，
所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；
故选：A.
【变式2】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】由集合相同概念逐个判断即可.
【详解】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误；
选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误；
选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确；
选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误．
故选：C
【变式3】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥ ；其中正确的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个
【答案】D
【分析】利用子集的概念及性质可判断①，利用相等集合的概念可判断②，利用空集的定义可判断③、⑥，利用元素与集合的关系进行判断④，利用集合与集合间的关系可判断⑤．
【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确；
根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确；
因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确；
根据元素与集合之间可知④正确；
根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确；
根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．
所以①④⑥正确
故选：D.
题型05 根据两集合相等求参数
【典例1】设集合，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令或分类讨论即可．
【分析】因为集合，，
若，由集合的互异性知，则或．
当时，，
，有，得，
所以；
当时，集合，，有，
又，所以，得，不满足题意．
综上．
故选：C．
元素相同注意互异性
【变式1】，若，则+= .
【答案】
【分析】根据集合相等求出的值，计算即得结果.
【详解】∵集合，
∴
∴+=+=2.
故答案为：.
【变式2】设集合，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用集合相等列式求值并验证得解.
【详解】集合，由，得或，解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，
所以.
故选：A
【变式3】设，集合，若，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】由，可得，即可得答案.
【详解】因，，由集合互异性可得.
则.
故选：A
题型06 空集的性质
【典例1】关于x的方程的解集为空集，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.．
【详解】方程整理得，
则有，解得且，
由方程的解集为空集，所以，即.
故选：D.
1.空集是任何集合的子集
2.空集是任何非空集合的真子集
3.任何一个集合是它本身的子集
4.当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
【变式1】已知：集合，.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得.
【详解】（1）由，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
（2）由A和B有且只有一个是，得且或且，
则有或，解得或，
所以实数a的取值范围是或.
【变式2】下列命题中，正确的个数有（ ）
①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤ ；⑥.
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断.
【详解】易知，故①正确；
，故②错误；
著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误；
表示有一个元素的集合，不是空集，④错误；
空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误；
，故，故⑥正确.
故选：B
【变式3】设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）.
A．2 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数.
【详解】当时，，满足，
当时，，因为，所以或，得或，
综上，实数取值的集合为，
所以实数取值集合的真子集的个数为，
故选：C
1.若集合则的子集个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据子集的定义直接求解即可.
【详解】若集合有个元素，则其子集个数为，
所以的子集个数为.
故选：A
2．已知集合，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2或
【答案】A
【分析】由集合包含关系，分，两类情况讨论即可.
【详解】.
当时，，则，不符合题意；
当时，，则，即，符合题意.
故选：A
3．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先将两个集合的形式统一，即通分后分母都为，问题即转化为讨论分子所构成的两个集合之间的关系.
【详解】，
，
因为奇数集，为整数集，
则 ，故 .
故选：B
4．已知集合,，则集合的真子集个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．15
【答案】C
【分析】由知道为奇数，从而求出集合，然后由集合的真子集公式求得结果.
【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：.
故选：C
5．设集合，，则满足且的不同集合的个数是 （结果用数字表示）.
【答案】24
【分析】根据条件且，即可确定集合的元素取值情况，然后确定集合P的个数即可．
【详解】集合的子集有：共个；
又，，
所以不能为：，共8个，
则满足且的集合的个数是．
故答案为：．
6．已知实数集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可．
【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）；
当，时，，，不符集合元素的互异性，
所以，，．
故选：A．
7．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据集合的包含关系列不等式求结论即可.
【详解】因为，，，
所以，
所以．
故答案为：
8．，集合，则 .
【答案】2
【分析】根据集合的相等含义，易得，又由推得，即可代入求值.
【详解】由题意知，所以，则，又，所以，.
故.
故答案为：2.
9．已知集合，，若，则a的值是（ ）
A．1或2 B．或0 C．1 D．
【答案】C
【分析】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值.
【详解】由题设，可得或，
当时，，满足题设；
当时，，不符合集合元素的互异性；
所以.
故选：C
10．已知，且，则（ ）
A．0 B． C．0或3 D．或3
【答案】D
【分析】分，两种情况解方程，可求的值.
【详解】由题意知n为方程的根，当时，；
当时，一元二次方程有两个相同的根，则，解得，
此时，即．
综上所述：或．
故选：D．
11．已知集合，，且，则实数的值为 .
【答案】
【分析】由集合包含关系得到即可求解；
【详解】由题意可知，
解得：，
故答案为：
12．已知集合，，且，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得的值，即可得结果.
【详解】，，
若，则，或，
解得，或，或，
经验证，当时，不满足集合中元素的互异性，舍去，
所以当时，；
当时，，
故选：C.
13．设集合．
(1)当时，求集合的非空真子集的个数；
(2)若，求整数的所有可能取值．
【答案】(1)14
(2)1和2．
【分析】（1）根据得到中得元素，然后计算真子集个数即可；
（2）解不等式得到，然后根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可.
【详解】（1）当时，，
故，其中含有4个元素，
故其非空真子集的个数为．
（2）由题意可得，
由，
可得
解得，
故整数的所有可能取值为1和2．
14．（1）已知，求实数的值；
（2）已知，求实数，的值.
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）利用，再分，，三种情况讨论，利用集合的性质，即可求解；
（2）利用集合相等的条件，建立方程组，即可求解.
【详解】（1）若时，解得，此时，，不满足集合的互异性，所以，
若时，解得或，当时，，，所以满足题意，
当时，，，不满足集合的互异性，所以，
若，解得（舍）或（舍），
综上，实数的值为.
（2）因为，则或，
由，解得，由，解得，
经检验，和均符合题意，
综上，或.
15．已知.
(1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解；
（2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解.
【详解】（1）因为只有一个元素，，
当时，；
当时，对于，有，解得，
把代入集合，得；
综上，或，对应的集合或.
（2）因为，，
当时，对于，有，解得；
当时，将代入，得，则，
此时（舍去）；
当，将代入，得，则，
此时（舍去）；
当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件；
综上，的取值范围为.
16．已知全集，集合，.
(1)若时，存在集合使得 ，求出这样的集合；
(2)是否存在集合，满足 若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题意，，再根据 求解即可；
（2）根据题意得到，分类讨论与两种情况，结合二次方程的解法即可得解.
【详解】（1）当时，，
，
又因为 ，
所以这样的集合共有如下6个：.
（2）由可得，结合，
当，即，时，，满足题意，
当时，
①若有两个相等的实数根，即，则，
此时，不满足题意，
②若有两个不相等的实数根，又，
结合韦达定理可得两根，故，此时，
综上，实数的取值范围为.
17．已知集合．
(1)若，写出集合A的所有子集；
(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值．
【答案】(1)(2)0或
【分析】（1）求出集合A，进而求出其子集即得.
（2）按a的值是否为0，分类求解即得.
【详解】（1）若，则，
所以集合A的所有子集是：，
（2）当时，方程，符合题意，因此，
当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得，
所以实数a的值为0或.
18．已知集合.
(1)若，求实数的取值集合.
(2)若的子集有两个，求实数的取值集合.
(3)若且，求实数的取值集合.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可；
（2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可；
（3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可.
【详解】（1）因为，所以，
当时，则，与题意矛盾，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值集合为；
（2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素，
当时，则，符合题意，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值集合为；
（3）因为，
所以，解得，
所以，
当时，，
当时，，
因为，所以或，解得或，
综上所述，实数的取值集合为.
19．已知集合．
(1)判断10，11，12是否属于集合A；
(2)若集合，证明：；
(3)写出所有满足集合A的偶数构成的集合，并说明理由．
【答案】(1)；；(2)证明见详解(3)，理由见详解
【分析】（1）先由平方差公式因数分解，再利用方程组思想确定是否有整数解，从而得出判断；
（2）根据题意结合子集关系分析证明即可；
（3）利用平方差因数分解，利用奇偶数思想分析，即可得到满足集合中的偶数一定是4的倍数，再证明4的倍数一定是集合中的元素，从而可得集合中的偶数一定是.
【详解】（1）假设，
则，且，
由于，所以或，显然均无整数解，
所以；
由于，满足集合A中元素特征，所以；
由于，满足集合A中元素特征，所以.
（2）对任意，均有，
可知，所以.
（3）集合，而，
①当和同为奇数和偶数时，均为偶数，所以为4的倍数，
反之当，则不妨令，
可解得，满足集合A中元素特征，
所以满足集合A的偶数为；
②当和一奇一偶时，和均为奇数，
所以为奇数，不满足题意；
综上所述：所有满足集合A的偶数构成的集合为.
20．设集合．
(1)当时，求A的非空真子集的个数；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2){或}
【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可；
（2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可.
【详解】（1）由知，且可得，
所以A的非空真子集的个数为；
（2）因为，若，则，可得；
若，则，解之得；
综上所述：实数m的取值范围为{或}.
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