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专题1.1 集合的概念
教学目标 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用. 2.理解集合中元素的基本属性，初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，会用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 3.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力；
教学重难点 1.重点 元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合. 2.难点 集合中元素的特性及应用.
知识点01 集合的有关概念
元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为________，元素常用小写的拉丁字母________表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母________表示．
【即学即练】
下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人
C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
知识点02 集合的元素特征
元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为________．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为________．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为________．
【即学即练】
已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．5
知识点03 元素与集合的关系
元素与集合的关系
(1)属于：如果是集合的元素，就说________集合，记作．
(2)不属于：如果不是集合的元素，就说________集合，记作．
【即学即练】
1.已知集合，若，则（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
2.已知集合，若，则实数a的值为（ ）
A．1 B．1或0 C．0 D．或0
知识点04 常用集合及其表示
常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集)，记作___ 正整数集，记作___ 整数集，记作___ 有理数集，记作___
实数集，记作___
【即学即练】
1.用符号“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______； （3）______R；
（4）______； （5）______N．
2.下列关系中正确的个数是（ ）
①，②， ③， ④
A． B． C． D．
知识点05 集合的表示方法
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：(1)元素与元素之间必须用________隔开．(2)集合中的元素必须是________．(3)集合中的元素________．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条________，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
【即学即练】
1.用列举法法表示下列集合：（1）B={（x，y）|x+y=4，x∈N*，y∈N*}；（2）不小于1且不大于17的质数组成的集合A；(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
2.直角坐标平面中除去两点 可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
题型01 集合的含义
【典例1】以下对象的全体不能构成集合的个数是（ ）
（1）高一（1）班的高个子同学； （2）所有的数学难题；
（3）北京市中考分数580以上的同学； （4）中国古代四大发明；
（5）我国的大河流； （6）大于3的偶数．
A．2 B．3 C．4 D．6
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C．数组成的集合中有7个元素
D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为
【变式2】给出下列说法：
①所有接近于的数构成一个集合；
②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；
③高科技产品构成一个集合；
④所有不大于的自然数构成一个集合；
⑤，，，组成的集合含有个元素．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④
【变式3】已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（ ）
A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集；
B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集；
C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集；
D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集
题型02 元素与集合的关系
【典例1】集合，且，则有（ ）
A． B． C． D．不属于中的任意一个
判断元素与集合关系的两种方法
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）.
A．. B．.
C．若，则. D．若，则.
【变式3】若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（ ）
A． B． C． D．
题型03 集合中元素的特性及应用
【典例1】已知集合，且，求x的值.
根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤：
【变式1】若，则a的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【变式2】设是实数，集合，若，则 .
【变式3】已知集合若，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
题型04 用列举法表示集合
【典例1】已知集合．
(1)若，求集合；
(2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合．
用列举法表示集合的三个步骤：
1.求出集合的元素；2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；3.用花括号括起来。
【变式1】下列说法错误的是（ ）
A．集合用列举法表示为
B．实数集可以表示为{为所有实数}或
C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为
D．集合与是同一个集合
【变式2】方程组的解集是（ ）
A．，或 B．
C． D．
【变式3】下面四个说法中不正确的是（ ）
A．10以内的质数组成的集合是；
B．由2，3组成的集合可表示为或；
C．方程的所有解组成的集合是；
D．0与表示同一个集合.
题型05 用描述法表示集合
【典例1】集合的另一种表示法是（ ）
A． B． C． D．
描述法表示集合的2个步骤：
【变式1】已知集合，则下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】下列用描述法表示的集合，正确的是（ ）
A．奇数集可以表示为
B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为
C．表示大于2的全体实数
D．不等式的解集表示为
【变式3】一次函数与的图象的交点组成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
1．已知集合，则的元素个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
2．已知，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
4．已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．方程组的解集为 .
6．对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和．
7．已知集合，若，则的值为 .
8．用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ．
9．下列集合中有限集的个数为（ ）
（1）二次方程的实数解组成的集合；
（2）能被3整除的整数组成的集合；
（3）一年之中四个季节的名称组成的集合；
（4）偶数组成的集合；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．集合的另一种表示为（ ）
A． B． C． D．
11．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ．
12．设集合，，已知且，则a的取值集合为 .
13．已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（ ）
A． B． C． D．
15．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
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专题1.1 集合的概念
教学目标 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用. 2.理解集合中元素的基本属性，初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，会用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 3.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力；
教学重难点 1.重点 元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合. 2.难点 集合中元素的特性及应用.
知识点01 集合的有关概念
元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母…表示．
【即学即练】
下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人
C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
【答案】D
【详解】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于C， 的近似值没有明确近似到小数点后面几位，
不是明确的定义，故不能构成集合；
对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；
故选：D.
知识点02 集合的元素特征
元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
【即学即练】
已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】集合中的元素有，，，共4个，故选：C.
知识点03 元素与集合的关系
元素与集合的关系
(1)属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作．
(2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作．
【即学即练】
1.已知集合，若，则（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
【答案】C
【详解】因为，所以或，而无实数解，所以.故选：C.
2.已知集合，若，则实数a的值为（ ）
A．1 B．1或0 C．0 D．或0
【答案】C
【详解】若，即时，，不符合集合元素的互异性，舍去；
若，即（舍去）或时，，故.故选：C.
知识点04 常用集合及其表示
常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集)，记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q
实数集，记作R
【即学即练】
1.用符号“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______； （3）______R；
（4）______； （5）______N．
【答案】
【详解】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断
（1）（2）（3）（4）（5）.故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）.
2.下列关系中正确的个数是（ ）
①，②， ③， ④
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】①错误②正确③错误④正确 故选：B
知识点05 集合的表示方法
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
【即学即练】
1.用列举法法表示下列集合：（1）B={（x，y）|x+y=4，x∈N*，y∈N*}；（2）不小于1且不大于17的质数组成的集合A；(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
【解析】（1）B={（x，y）|x+y=4，x∈N*，y∈N*}.（2）
(3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：；
2.直角坐标平面中除去两点 可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
【答案】C
【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线；
选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项，则且，即除去两点 ，符合题意；
选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．故选：C
题型01 集合的含义
【典例1】以下对象的全体不能构成集合的个数是（ ）
（1）高一（1）班的高个子同学； （2）所有的数学难题；
（3）北京市中考分数580以上的同学； （4）中国古代四大发明；
（5）我国的大河流； （6）大于3的偶数．
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】由集合元素三要素逐个判断即可.
【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合．
（3）（4）（6）符合集合概念，
故选：B
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C．数组成的集合中有7个元素
D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为
【答案】B
【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误；
对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确；
对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误；
对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误；
故选：B.
【变式2】给出下列说法：
①所有接近于的数构成一个集合；
②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；
③高科技产品构成一个集合；
④所有不大于的自然数构成一个集合；
⑤，，，组成的集合含有个元素．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④
【答案】D
【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可.
【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误；
对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确；
对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误；
对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确；
对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误；
故选：D.
【变式3】已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（ ）
A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集；
B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集；
C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集；
D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集
【答案】C
【分析】分析和两种情况解方程组，结合选项逐项分析判断即可.
【详解】由方程组可得：，即，
若，则，不成立，方程组无解；
若，则，可得，即方程组只有一组解.
对于A：存在无数个实数k（），使得方程组的解集是单元素集，故A正确；
对于B：有且仅有一个实数，使得方程组的解集为空集，故B正确；
对于C：不存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集，故C错误；
对于D：如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集，故D正确；
故选：C.
题型02 元素与集合的关系
【典例1】集合，且，则有（ ）
A． B． C． D．不属于中的任意一个
【答案】B
【详解】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，所以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数．
判断元素与集合关系的两种方法
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据的意义进行判断.
【详解】根据的意义,,
故选：C.
【变式2】已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）.
A．. B．.
C．若，则. D．若，则.
【答案】BC
【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B.
【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误，
对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确，
对于，因为，所以，因为，所以，故正确，
对于，若，则，故错误，
故选：.
【变式3】若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据伙伴关系集合的定义，结合集合子集的定义求解即可.
【详解】因为伙伴关系集合满足与，
所以集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是，BCD符合题意，
而不是的子集，不符合题意．
故选：BCD.
题型03 集合中元素的特性及应用
【典例1】已知集合，且，求x的值.
【答案】或
【分析】根据元素与集合的关系，建立方程，结合集合元素的互异性，可得答案.
【详解】∵，∴或，∴或.
当时，，满足集合元素的互异性，∴符合题意；
当时，，也满足集合元素的互异性，∴也符合题意.
综上，x的值为或.
根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤：
【变式1】若，则a的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可.
【详解】因为，
所以，或，或，
当时，得，此时集合为，不合题意，舍去，
当时，得，此时集合为，
当时，得无解，
综上，.
故选：A
【变式2】设是实数，集合，若，则 .
【答案】
【分析】根据元素与集合关系及互异性求参数即可.
【详解】若，则，不符合集合元素的互异性；
若，则（正值舍），此时，满足；
综上，.
故答案为：
【变式3】已知集合若，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】B
【分析】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解.
【详解】因为
所以或，
当时，，此时，，故舍去：
当时，解得或（舍去），
综上．
故选：B
题型04 用列举法表示集合
【典例1】已知集合．
(1)若，求集合；
(2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）当时，直接解出集合即可；
（2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解.
【详解】（1）当时，，
解得或或，故．
（2）因为，
解该方程可得或或．
根据集合中元素的互异性知当方程有重根时，
重根只能算作集合的一个元素，
当时，可得，不符合题意；
当，即时，可得，符合题意；
当且时，，则，
解得，此时，符合题意．
综上，实数的值为或；
当时，；当时，．
用列举法表示集合的三个步骤：
1.求出集合的元素；2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；3.用花括号括起来。
【变式1】下列说法错误的是（ ）
A．集合用列举法表示为
B．实数集可以表示为{为所有实数}或
C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为
D．集合与是同一个集合
【答案】BD
【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误.
【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1，
所以用列举法表示为，故A正确；
对于B，因为花括号本身就具有所有的意义，
所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼，
另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；
对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确；
对于D，集合为的取值集合，为数集，
集合表示抛物线上点的集合，为点集，
所以两个集合不是同一个集合，故D错误．
故选：BD
【变式2】方程组的解集是（ ）
A．，或 B．
C． D．
【答案】D
【分析】解方程组，用集合表示即可判断.
【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为，
而.
故选：D.
【变式3】下面四个说法中不正确的是（ ）
A．10以内的质数组成的集合是；
B．由2，3组成的集合可表示为或；
C．方程的所有解组成的集合是；
D．0与表示同一个集合.
【答案】CD
【分析】结合集合元素的特征检验各选项即可判断.
【详解】10以内的质数组成的集合是，故A正确；
由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确；
根据集合的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误；
0是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，故D错误.
故选：CD.
题型05 用描述法表示集合
【典例1】集合的另一种表示法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定.
【详解】因为，所以．
又因为，所以，
所以．
故选：B.
描述法表示集合的2个步骤：
【变式1】已知集合，则下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断.
【详解】依题意可得，所以.
故选：A.
【变式2】下列用描述法表示的集合，正确的是（ ）
A．奇数集可以表示为
B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为
C．表示大于2的全体实数
D．不等式的解集表示为
【答案】ACD
【分析】根据描述法的特点逐项分析即可.
【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确；
对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误；
对C，表示大于2的全体实数，故C正确；
对D，不等式的解集表示为，故D正确.
故选：ACD.
【变式3】一次函数与的图象的交点组成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】通过联立方程组的方法来求得正确答案.
【详解】解方程组，解得，
故一次函数与的图象的交点组成的集合是：
或.
故选：BC
1．已知集合，则的元素个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【分析】根据题意求集合，即可判断元素个数.
【详解】由题意可得：，
可知有3个元素.
故选：B
2．已知，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可.
【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性；
若，不符合集合元素的互异性；
若或，不符合集合元素的互异性；
综上，.
故选：C
3．已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【分析】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，可得，所以x可能取值为
当时：代入得，又，
所以，此时得到元素；
当时：代入得，，，
此时得到元素；
当时：代入得，.，，
此时得到元素；
当时：代入得，，，
此时得到元素；
当时：代入得，所以，
此时得到元素；
满足条件的元素分别为：
，，，，共11个，
故选：C
4．已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】分别讨论当时的取值，进而可得元素个数.
【详解】当时，可能取值为，
当时，可能取值为，
当时，可能取值为.
故可能取值为，共6个.
故选：A
5．方程组的解集为 .
【答案】
【分析】解原方程组，可得其解集.
【详解】解方程组得，故原方程组的解集为.
故答案为：.
6．对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和．
【答案】
【分析】由题意，理解新定义，求得，通过定义，进而求得所有元素之和.
【详解】集合，则由定义可得，所以，
则可知所有元素的和为.
7．已知集合，若，则的值为 .
【答案】
【分析】分类讨论和，注意元素的互异性.
【详解】因为，所以或，
当，即时，，此时集合中有重复元素3，所以不符合题意，舍去；
当时，解得或（舍去），此时当时，符合题意，
综上可知，，
故答案为：.
8．用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ．
【答案】且．
【分析】根据描述法的定义求解．
【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且．
故答案为：且．
9．下列集合中有限集的个数为（ ）
（1）二次方程的实数解组成的集合；
（2）能被3整除的整数组成的集合；
（3）一年之中四个季节的名称组成的集合；
（4）偶数组成的集合；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】由集合的性质逐个判断即可；
【详解】二次方程的实数解组成的集合，有一个，两个或无，所以为有限集；
能被3整除的整数有无穷多个，所以组成的集合为无限集；
一年之中四个季节的名称为春季，夏季，秋季，冬季，所以组成的集合为有限集；
偶数组成的集合为无限集合；
所以有限集合共有2个，
故选：C.
10．集合的另一种表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据描述法转化为列举法得解.
【详解】由集合的描述法知，，
故选：C
11．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案.
【详解】当时，，符合题意.
当时，.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
12．设集合，，已知且，则a的取值集合为 .
【答案】
【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解.
【详解】因为，，且，
若，解得或，
当时，此时，
此时，不满足集合元素的互异性，舍去；
当时，此时，
此时，不满足集合元素的互异性，舍去；
若，，解得或，
前面已经分析不满足要求，
当时，此时，
此时集合，，满足集合元素的性质，
综上，，所以的取值集合为.
故答案为：.
13．已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可.
【详解】由题意，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
由集合中元素满足互异性，所以.
故选：B.
14．给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可.
【详解】对于命题①，，所以命题①错误，
对于命题②，，所以命题②错误，
对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误，
对于命题④，因为，所以命题④正确，
对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确，
故选：C.
15．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据绝对值性质分析可得，运算求解即可.
【详解】对于不等式，
因为，可得，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A.
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