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第四章 指数函数与对数函数
教学目标 1.掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质,并能用图象和性质解决有关问题. 2.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,通过对几类基本初等函数的变化差异进行比较,来解决简单的实际问题. 3.掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法);理解用函数构建数学模型的基本过程;运用模型思想发现和提出、分析和解决问题.
教学重难点 1、重点 指数函数、对数函数的图象与性质及其应用,特别是单调性的应用. 2、难点 与指数、对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题和选择恰当的函数模型解决实际问题.
知识点01 指数幂运算
1．根式
(1)根式的概念
若 ，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a
2．有理数指数幂
幂的有 关概念 正分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义
有理数 指数幂 的性质 aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
【即学即练】
1．已知，且，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．8
2．已知幂函数的图象分别经过两点，则（ ）
A． B．
C． D．
知识点02 指数函数的图象与性质
1．指数函数的图象
函数 y＝ax(a>0，且a≠1)
01
图象
图象 特征 在x轴 ，过定点
当x逐渐增大时， 图象逐渐 当x逐渐增大时， 图象逐渐
2.指数函数图象画法的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
3．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为 .
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
4、指数函数的性质
函数 y＝ax(a>0，且a≠1)
01
性 质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
单调性 在R上是 在R上是
函数值变 化规律 当x＝0时，
当x<0时， ； 当x>0时， 当x<0时， 当x>0时，
【即学即练】
1．设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（ ）．
A． B．
C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点03 对数运算
对数的概念、性质及运算
概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质 对数式与指数式的互化：ax＝N
loga1＝0，logaa＝1，aaN＝N
运算法则 loga(M·N)＝ a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝
logaMn＝ (n∈R)
重要公式 (1)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)； (2)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
【即学即练】
1．计算：（ ）
A．17 B． C．52 D．
2．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
知识点04 对数函数的图象与性质
1．对数函数的图象
函数 y＝logax，a>1 y＝logax,0图象
图象特征 在y轴 ，过定点(1,0)
当x逐渐增大时，图象是 的 当x逐渐增大时，图象是 的
2.底数的大小决定了图象相对位置的高低
不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图， .
在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；
在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)
3．指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为 ，它们的图象关于直线 对称．
4. 对数函数的性质
函数 y＝logax(a>0，且a≠1)
a>1 0性质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是
函数值变 化规律 当x＝1时，
当x>1时， ；当01时， ；当0【即学即练】
1．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．已知（且）的最小值是，那么a的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
知识点05 函数零点存在定理及其应用
1、函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可.
2、函数零点的求法
①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解;
②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解
3、函数零点个数的判断
①利用代数法，求出所有零点；
②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数；
③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；
④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调.
【即学即练】
1．已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知是表示不超过的最大整数，例如．若是函数的零点，则（ ）
A． B． C．0 D．1
知识点06 二分法
1、二分法的概念
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection )
2、用二分法求零点的近似值
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点的初始区间，验证；
（2）求区间的中点
（3）计算;
①若（此时)，则就是函数的零点；
②若（此时)，则令；
③若（此时)，则令；
（4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4
【即学即练】
1．一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
知识点07 常见函数模型
1、一次函数模型（，为常数）
2、反比例函数模型（）
3、二次函数模型（）
4、指数函数模型（且，）
5、对数函数模型（且，）
6、幂函数模型（，）
7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合
8、对勾函数模型：
【即学即练】
1．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，经过相关数学小组成员的模拟实验及其数据记录与分析得到剩余的细沙量与时间满足（为常数）的函数模型，且实验中记录到经过时，上方还剩下一半细沙，则要使沙漏上方细沙是开始时的，需经过的时间为（ ）
A． B． C． D．
2．碳14具有放射性.活体生物组织内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳14的半衰期约为5730年，即生物死亡年后，碳14含量，其中为活体生物组织内碳14的含量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2025年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的含量约为原始含量的0.92，已知，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（ ）
A．宋（公元年） B．元（公元年）
C．明（公元年） D．清（公元年）
题型01 根式的化简求值
【典例1】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
【变式1】已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【变式3】化简：（1）；
（2）．
题型02 分数指数幂与根式的互化
【典例1】已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．24
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
【变式1】化简(其中，)的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】化简或求值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)（且）.
题型03 指数幂的化简求值与证明
【典例1】已知函数，，则（ ）
A．12 B． C． D．17
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．
【变式1】已知函数f（x）满足：对任意的，若函数与图像的交点为，则的值为（ ）
A．0 B．2n C．n D．-n
【变式2】（1）计算：；
（2）已知，，求的值；
（3）已知，求的值．
题型04 求指数函数的解析式或函数值
【典例1】已知指数函数的图象过点，
(1)求函数的解析式；
(2)判断的奇偶性，并加以证明；
(3)如果在区间上恒成立，求实数的取值范围．
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．
【变式1】已知函数且的图象与轴交于点，且点在一次函数的图象上.
(1)求的值；
(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.
【变式2】我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.
(1)已知函数，求该函数图象的对称轴方程；
(2)若函数的图象关于直线对称，且当时，.
①求的解析式；
②求不等式的解集.
题型05 指数函数的定义域与值域
【典例1】函数的最大值和最小值之和为（ ）
A． B． C． D．
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
【变式1】已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式2】已知函数若都使成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知定义在上的函数（且）.
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)若，函数，，求函数的值域；
(3)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
题型06 指数函数与对数函数的图象
【典例1】函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
1、指数函数的图像
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
2、对数函数图象的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．
(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．
【变式1】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】如图，①②③④中不属于函数的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
题型07 指数函数的单调性
【典例1】已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反．
【变式1】已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断的单调性，并证明你的结论；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【变式3】已知函数的定义域为，且，．
(1)借助，证明：函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和；
(2)设函数．
（i）判断在区间上的单调性，并根据定义进行证明；
（ii）求不等式的解集．
题型08 指数函数的最值
【典例1】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【变式1】已知是函数的图像上的相异两点，若点到直线的距离相等，则点的横坐标之和的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知表示两数中的最大值，若，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式3】已知函数．
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)若存在不相等的实数a，b同时满足．，求m的取值范围．
题型09 指数、对数不等式的解法
【典例1】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
1、解指数型不等式
(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x) f(x)>g(x)(a>1)或f(x)2、解对数型不等式
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
【变式1】已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知函数．
(1)设，判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断是否为定值，并求关于x的不等式的解集．
题型10 比较大小
【典例1】已知，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式1】已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型11 指数式与对数式的互化
【典例1】已知函数的图象沿轴向左平移个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（ ）
A． B． C． D．
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
【变式1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若，，则（ ）
A．10 B．20 C．50 D．100
【变式3】（1）求值：；
（2）设，求的值；
（3）若，求的值.
题型12 对数的运算
【典例1】计算下列各题．
(1)；
(2)．
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．
（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来.
（3）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．
（4）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（5）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．
【变式1】求解下列问题：
(1)在①，②中任选一个求值；
(2)已知，，试用a，b表示．
【变式2】（1）利用关系式证明换底公式：；
（2）利用（1）中的换底公式求值：；
（3）利用（1）中的换底公式证明：．
题型13 对数函数的定义域
【典例1】“成立”是“成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．
【变式1】关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若函数为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式3】已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型14 对数函数的值域与最值
【典例1】已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（ ）
A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值
【变式3】已知函数．
(1)当时，若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．
题型15 对数函数的单调性及其应用
【典例1】函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．
(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．
(3)当底数00这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间．
【变式1】已知函数．
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)若，求实数x的取值范围．
【变式2】已知函数．
(1)用定义法证明：函数在是单调递增函数；
(2)若，求函数的最小值．
【变式3】已知函数，.
(1)求证：为偶函数；
(2)设，判断的单调性，并用单调性定义加以证明.
题型16 反函数
【典例1】已知，则下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域．
【变式1】若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】下列命题中，不正确命题的个数为（ ）．
①函数与它的反函数的图像没有公共点；
②若函数有反函数，则它一定是单调函数；
③若函数存在反函数，则必有成立；
④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式3】在指数函数和对数函数的学习中，我们发现同底数的指数函数和对数函数互为反函数，它们的函数图象关于直线对称．一般地，设函数的值域为，根据这个函数中的关系，把用表示出，得到．若对于在中的任何一个值，通过在中都有唯一的值与之对应，那么，就表示是自变量，是因变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作．习惯上，我们用表示自变量，表示因变量，所以函数的反函数通常写为．
反函数的主要性质有：
①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；
②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域．
(1)试判断是否有反函数（直接写出答案）；
(2)试求出函数的反函数，并指明函数的定义域和值域然后判断函数的单调性；
(3)若关于的方程为常数）恰有两个根，且分别满足和，试求的值．
（注：若关于直线对称，则直线关于直线对称）
题型17 函数零点个数的判断方法
【典例1】已知定义在上的奇函数满足：，则在区间上的零点至少有（ ）．
A．1个 B．3个 C．5个 D．7个
（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）
才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：一种是转化成函数图像与轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数。如判断型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数和的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【变式1】定义在上的偶函数满足：当时，，且当时，，则的零点个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．无数个
【变式2】已知函数，其中为常数，且．
(1)若是奇函数，求的值；
(2)证明：在上有唯一的零点．
【变式3】已知函数（且）的图象过点．
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)求函数的零点个数．
题型18 已知函数零点所在区间求参数的取值范围
【典例1】若方程有且只有一个根在区间上，则实数的取值范围为 ．
根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
【变式1】若函数的零点，则整数的取值为 ．
【变式2】设函数，其中，且．
(1)当时，求的零点个数；
(2)若在区间和内均存在零点，写出一个满足题意的a（结果保留两位小数），并说明理由．
参考数据：…．
【变式3】设函数，其中．
(1)当时，求在区间上的最大值和最小值：
(2)若在区间上不单调，求的取值范围；
(3)若在区间内存在零点，求的取值范围．
题型19 已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
【典例1】定义在上的函数满足，当时，，若直线与的图象恰有8个交点，，，，则实数a的取值范围为 ， ．
一般情况下，常利用数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果．
【变式1】已知函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数的取值范围为 ．
【变式2】已知函数其中，且在上有三个零点，，．
(1)求实数的取值范围；
(2)求的取值范围．
【变式3】定义：给定函数，若存在实数，当有意义时，总成立，则称函数具有“性质”．
(1)判断函数是否具有“性质”，若是，写出的值，若不是，请说明理由；
(2)求证：函数（且）不具有“性质”；
(3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围．
1．若函数的图象与直线有两个交点，则a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有实根之和为（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中，增长速度最慢的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数的图象在上是连续不断的，则“”是“方程在内至少有两个解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．甲、乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b，得两根为及；乙写错了常数c，得两根为及64，则这个方程的真正的根为（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
8．已知，，，三个函数图象如图所示，则，，的图象依次为图中的（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
9．已知函数存在最小值，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，若关于的方程恰有三个不同的实数根，，，且（其中），则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象．若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需要的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍时所需要的时间为（ ）
参考数据：．
A．19.5天 B．20.5天 C．22.6天 D．19天
12．已知函数（且），且．
(1)求实数的值；
(2)设，，，当时，试比较大小．
13．已知函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)若，，判断的单调性，并求其最大值；
(2)若．
（ⅰ）证明：仅有1个零点；
（ⅱ）证明：．
14．对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质．
(1)判断函数是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数具有性质，求证：为定值；
(3)若函数具有性质，求ab的最小值．
15．某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量（件）与月份x（，且x为整数）之间满足的函数关系如下表
月份x（月） 2 3 4 5 6
市场采购工料量（件） 6000 4000 3000 2400 2000
7月至12月，该工厂自身生产的工料量（件）与月份x（，且x为取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示.2月至6月，该工厂每件工料的市场采购成本（元）与月份x之间满足函数关系式，该工厂自身生产的每件工料的成本（元）与月份x之间满足函数关系式：；7月至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件．
(1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别求出与x之间的函数关系式；
(2)请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用．
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第四章 指数函数与对数函数
教学目标 1.掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质,并能用图象和性质解决有关问题. 2.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,通过对几类基本初等函数的变化差异进行比较,来解决简单的实际问题. 3.掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法);理解用函数构建数学模型的基本过程;运用模型思想发现和提出、分析和解决问题.
教学重难点 1、重点 指数函数、对数函数的图象与性质及其应用,特别是单调性的应用. 2、难点 与指数、对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题和选择恰当的函数模型解决实际问题.
知识点01 指数幂运算
1．根式
(1)根式的概念
若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a
2．有理数指数幂
幂的有 关概念 正分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义
有理数 指数幂 的性质 aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
【即学即练】
1．已知，且，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】D
【详解】因为
所以，当且仅当即时等号成立，
故选：D．
2．已知幂函数的图象分别经过两点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为幂函数的图象分别经过两点，
所以把两点分别代入可得，
故，故.
故选：B.
知识点02 指数函数的图象与性质
1．指数函数的图象
函数 y＝ax(a>0，且a≠1)
01
图象
图象 特征 在x轴上方，过定点(0,1)
当x逐渐增大时， 图象逐渐下降 当x逐渐增大时， 图象逐渐上升
2.指数函数图象画法的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
3．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
4、指数函数的性质
函数 y＝ax(a>0，且a≠1)
01
性 质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
单调性 在R上是减函数 在R上是增函数
函数值变 化规律 当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1； 当x>0时，00时，y>1
【即学即练】
1．设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，．
①当时，，此时，，
则，，
从而，，
所以．
②当时，，，
，，，，
故．
③当时，，此时，，
则，，
从而，，
所以．
综上所述，的值域为．
故选：B．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】（函数在上单调递增）．
当时不一定有，例如时有，但，充分性不成立；
当时不一定有，例如时有，但，必要性不成立．
故“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
知识点03 对数运算
对数的概念、性质及运算
概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质 对数式与指数式的互化：ax＝N x＝logaN
loga1＝0，logaa＝1，aaN＝N
运算法则 loga(M·N)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
重要公式 (1)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)； (2)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
【即学即练】
1．计算：（ ）
A．17 B． C．52 D．
【答案】C
【详解】方法一：．
方法二：，，
故．
故选：C.
2．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数，
则.
故选：C.
知识点04 对数函数的图象与性质
1．对数函数的图象
函数 y＝logax，a>1 y＝logax,0图象
图象特征 在y轴右侧，过定点(1,0)
当x逐渐增大时，图象是上升的 当x逐渐增大时，图象是下降的
2.底数的大小决定了图象相对位置的高低
不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；
在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)
3．指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
4. 对数函数的性质
函数 y＝logax(a>0，且a≠1)
a>1 0性质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是 增函数 在(0，＋∞)上是 减函数
函数值变 化规律 当x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
【即学即练】
1．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，，解得，
所以，
所以，
所以，即，
从而，解得，
故不等式的解集为.
故选：A
2．已知（且）的最小值是，那么a的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【详解】函数的最小值是，
当时，函数不单调递增，即，解得 ①；
当时，函数单调递增，即 ②，
综合①②可得，
又最小值为，故注意分段点处的取值即，解得，
综上所述，，的最大值为4．
故选：.
知识点05 函数零点存在定理及其应用
1、函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可.
2、函数零点的求法
①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解;
②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解
3、函数零点个数的判断
①利用代数法，求出所有零点；
②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数；
③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；
④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调.
【即学即练】
1．已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时， 在上恒成立，这表明函数在上没有零点，故A选项错误.
在，，连续，且单调递减，下面证明：
设，则.
对其进行化简：
，
因为，所以，，，，那么.
所以，即，也就是.
根据函数单调性的定义，函数在上是减函数.
当时，，当，，
当，，当，.
根据函数零点存在定理可知，可以判定函数在区间内有一个零点，故C选项正确.
在区间， 没有零点，故B选项错误.
在区间，也没有零点，故D选项错误.
故选：C
2．已知是表示不超过的最大整数，例如．若是函数的零点，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【详解】易知函数的定义域为，且在上单调递增；
显然，，
所以，再根据的定义可知.
故选：B
知识点06 二分法
1、二分法的概念
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection )
2、用二分法求零点的近似值
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点的初始区间，验证；
（2）求区间的中点
（3）计算;
①若（此时)，则就是函数的零点；
②若（此时)，则令；
③若（此时)，则令；
（4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4
【即学即练】
1．一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】对于，函数图象不连续且不存在零点，但在和上函数值符号不同，
所以不能用二分法判断零点，否则会得到矛盾结果，而不与轴相切；
若函数与x轴相切，即函数图象只在轴的一侧，故函数值恒正或恒负，但存在零点，
所以不能用二分法判断零点；
综上，一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的必要不充分条件.
故选：B
2．已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为依次确定了零点所在区间为，，，
可得，即，解得.
所以.
故选：B.
知识点07 常见函数模型
1、一次函数模型（，为常数）
2、反比例函数模型（）
3、二次函数模型（）
4、指数函数模型（且，）
5、对数函数模型（且，）
6、幂函数模型（，）
7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合
8、对勾函数模型：
【即学即练】
1．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，经过相关数学小组成员的模拟实验及其数据记录与分析得到剩余的细沙量与时间满足（为常数）的函数模型，且实验中记录到经过时，上方还剩下一半细沙，则要使沙漏上方细沙是开始时的，需经过的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，则，故，
当要使沙漏上方细沙是开始时的，
则，解得.
故选：B.
2．碳14具有放射性.活体生物组织内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳14的半衰期约为5730年，即生物死亡年后，碳14含量，其中为活体生物组织内碳14的含量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2025年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的含量约为原始含量的0.92，已知，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（ ）
A．宋（公元年） B．元（公元年）
C．明（公元年） D．清（公元年）
【答案】B
【详解】已知碳14含量公式，某生物遗体中碳14的含量约为原始含量的0，92，
即，代入公式可得，
因为，两边同时除以，得到，
对两边取以为底的对数，可得，
则，
因为，，即，
所以，
将代入，可得（年），
已知是在2025年发现该生物遗体，那么该生物死亡的时间约为（年），
因为，所以该生物死亡的朝代为元（公元年）.
故选：B
题型01 根式的化简求值
【典例1】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，得，则，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
【变式1】已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，，
，，
，
.
.
又，，
，.
故选：D
【变式2】求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
当时，原式；
当时，原式.
因此，原式；
（3）原式
【变式3】化简：（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）原式
．
（2）原式=，
∵，
∴，
所以，原式＝．
题型02 分数指数幂与根式的互化
【典例1】已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．24
【答案】D
【详解】，所以，
因为a，b为正数，
所以，
当且仅当时，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
【变式1】化简(其中，)的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因，，所以.
故选：C
【变式2】化简或求值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)（且）.
【答案】(1)112
(2)21
(3)4
(4)
【详解】（1）原式=.
（2）
=21.
（3）
.
（4）.
题型03 指数幂的化简求值与证明
【典例1】已知函数，，则（ ）
A．12 B． C． D．17
【答案】C
【详解】令，定义域为，关于原点对称，
，所以为奇函数，
，即，即，
，
故选：C
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．
【变式1】已知函数f（x）满足：对任意的，若函数与图像的交点为，则的值为（ ）
A．0 B．2n C．n D．-n
【答案】C
【详解】因为任意的，故的图象关于对称.
又，
设，则的定义域为且，
故为奇函数，故其图象关于原点对称，而，
故图像关于对称.
故函数与图像的诸交点关于对称，
不妨设，则，
且，其中，
故，所以，
故，
故选：C.
【变式2】（1）计算：；
（2）已知，，求的值；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）原式；
（2）由，，
则；
（3）由于，则，
所以，，
所以.
题型04 求指数函数的解析式或函数值
【典例1】已知指数函数的图象过点，
(1)求函数的解析式；
(2)判断的奇偶性，并加以证明；
(3)如果在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)是奇函数，证明见解析；
(3).
【详解】（1）由题知，的图象过点，
所以，，
；
（2）是奇函数.
证明如下：
由（1）得，，
∵的定义域为，定义域关于原点对称
∴，
故是奇函数.
（3）如果在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
显然在上单调递减，，
故．
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．
【变式1】已知函数且的图象与轴交于点，且点在一次函数的图象上.
(1)求的值；
(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为点在轴上，且在一次函数的图象上，
所以点的坐标为，
所以，
又，所以.
（2）因为，所以.
因为函数在上单调递增，所以对恒成立
即对恒成立.
当时，，
所以，即的取值范围为.
【变式2】我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.
(1)已知函数，求该函数图象的对称轴方程；
(2)若函数的图象关于直线对称，且当时，.
①求的解析式；
②求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)①；②.
【详解】（1）解：因为，
因为，
令，则该函数的定义域为，
，
所以，函数为偶函数，
因此，函数图象的对称轴方程为.
（2）解：①因为函数的图象关于直线对称，且当时，
当时，，则，
所以，.
②当时，，因为函数、在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
因为，则，
不等式两边平方可得，即，解得，
因此，不等式的解集为.
题型05 指数函数的定义域与值域
【典例1】函数的最大值和最小值之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，令，
可知函数的定义域为，且，
故函数为奇函数，
根据奇函数的性质可知，函数的最大值与最小值之和为，
即，
故．
故选：B．
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
【变式1】已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】正数满足，则
，当且仅当，即时取等号，
所以
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4.
故选：B
【变式2】已知函数若都使成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】都使成立，等价于
单调递增，所以，
所以对于恒成立，
即，所以恒成立，所以，
单调递增，，
所以即
故选：D.
【变式3】已知定义在上的函数（且）.
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)若，函数，，求函数的值域；
(3)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）函数是上的奇函数，
证明：由，得，，
所以函数是上的奇函数.
（2）由，得，即，而，解得，
函数，函数在上都是增函数，
因此是上的增函数，故当时，，
，
则当时，，当时，，
所以函数的值域是.
（3）当时，函数在上都是增函数，
因此是上的增函数，而，
当时，；当时，，
因此，，故函数是上的偶函数，且在上单调递减，
不等式，
因此，则依题意对任意，恒成立，
则，即，解得，
所以实数的取值范围是.
题型06 指数函数与对数函数的图象
【典例1】函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题可知，函数的定义域为，关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，所以排除选项BD；又，所以排除选项C.
故选：A.
1、指数函数的图像
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
2、对数函数图象的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．
(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．
【变式1】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设函数在上，定义域关于原点对称，
又因为，
所以函数为奇函数，排除C选项，
当时，，排除D选项，
当时，，所以A不正确，B正确.
故选：B.
【变式2】函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】易知函数的定义域为，
因为，所以，函数为奇函数，排除D.
又当时，，则，排除C.
又，排除B.
故选：A.
【变式3】如图，①②③④中不属于函数的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【详解】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意.
根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应.
由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①.
则②不属于函数的一个.
故选：B.
题型07 指数函数的单调性
【典例1】已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数对任意的，都有，所以函数在定义域内单调递减，
则一定有，解不等式组得.
故选：B.
研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反．
【变式1】已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设，函数在上单调递增，
易知在上单调递减，
当时，满足题设，
当时，或，
综上，.
故选：B.
【变式2】已知函数为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断的单调性，并证明你的结论；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)增函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）由题意可得：=，
∵是奇函数，
∴，即 ，
所以，
∴，即，
即.
（2）是上的增函数，证明如下：
设为区间内的任意两个值，且，
则，，
∵= =，
即，
∴是上的增函数.
（3）由（1）（2）知，是上的增函数，且是奇函数.
∵，
∴，
∴，
即对任意恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，只需，解得，
综上，实数的取值范围
【变式3】已知函数的定义域为，且，．
(1)借助，证明：函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和；
(2)设函数．
（i）判断在区间上的单调性，并根据定义进行证明；
（ii）求不等式的解集．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）在区间上单调递增，证明见解析；（ii）.
【详解】（1）函数的定义域为，则函数，的定义域也为，
由，，得，函数为偶函数，
由，，得，函数为奇函数，
又，
所以函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
（2）（i）函数在区间上单调递增，
，且，
，
由，知，则，，，
因此，，所以在区间上单调递增.
（ii）因为为偶函数图象关于轴对称，在区间上单调递增，
不等式等价于，即，解之得，
所以不等式的解集为.
题型08 指数函数的最值
【典例1】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，
则当时，，
若时，则，，
所以，
由和在R上单调递减，知在上单调递减，
故当时，所以.
故选：B
【变式1】已知是函数的图像上的相异两点，若点到直线的距离相等，则点的横坐标之和的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】不妨设，且，
根据题意，可得，可得，
由基本不等式，可得，可得，解得，
即点的横坐标之和的取值范围是.
故选：D.
【变式2】已知表示两数中的最大值，若，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【详解】根据函数,画出图像如下图所示:
取最大值后函数图像为:
由图像可知,当时取得最小值,即
故选:A
【变式3】已知函数．
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)若存在不相等的实数a，b同时满足．，求m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【详解】（1）函数中，，
设，函数的图象对称轴为，
当时，函数在处取得最小值；
当时，函数在处取得最小值，
所以当时，；当时，.
（2）由，得，则，
化简得，解得，由不等，得；
由，得，则，
设，则，函数都是上的增函数，
因此函数在上单调递增，则，
所以m的取值范围是.
题型09 指数、对数不等式的解法
【典例1】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】,
,
所以为奇函数,
为单调增函数,
,
,恒成立,
,
.
故选：D.
1、解指数型不等式
(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x) f(x)>g(x)(a>1)或f(x)2、解对数型不等式
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
【变式1】已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，不等式为，即，
因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以；
由于，则当时，函数在上单调递减，
所以，解得，所以；
综上，的取值范围是.
【变式2】若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由得，
，所以的最小值为，
所以，．
故选：B．
【变式3】已知函数．
(1)设，判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断是否为定值，并求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)是定值，关于x的不等式的解集为
【详解】（1）
，
是奇函数，证明如下：
的定义域是，，
所以是奇函数.
（2）为定值.
所以，
即，
即①，
在上单调递增，
，
，即②，
由①②得，而，
所以关于x的不等式的解集为.
题型10 比较大小
【典例1】已知，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【详解】对于A，因为，所以，故正确；
对于B，若，则，故不正确；
对于C，因为在上单调递增，
所以，可得，故正确；
对于D，因为，所以，
又因为在上为单调递减函数，
所以，故正确；
故选：B.
【变式1】已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为是定义域为的偶函数，
所以，
因为，且是上的增函数，故，
又，即.
因为在上单调递增，
所以，所以，即.
故选：C.
【变式2】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由于，
所以，又，
，所以．
故选：C.
【变式3】函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
又当时，在上单调递增，
所以，即.
故选：D
题型11 指数式与对数式的互化
【典例1】已知函数的图象沿轴向左平移个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】关于轴对称的函数为，，
，.
故选：C.
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
【变式1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据指数幂运算法则，可得.
再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以.
已知，根据对数与指数的关系，可得.
同理，因为，所以.
将和代入中计算结果
把，代入可得：.
故选：D.
【变式2】若，，则（ ）
A．10 B．20 C．50 D．100
【答案】B
【详解】因为，又因为可得,
所以.
故选：B.
【变式3】（1）求值：；
（2）设，求的值；
（3）若，求的值.
【答案】（1）（2）；（3）.
【详解】（1）原式；
（2）由已知得 ，，，，
因此，；
（3）方法一：因为 ，所以，所以；
方法二：因为，所以，所以，所以.
题型12 对数的运算
【典例1】计算下列各题．
(1)；
(2)．
【答案】(1)100
(2)1
【详解】（1）原式．
（2）原式
．
故答案为：(1) 100，(2) 1.
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．
（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来.
（3）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．
（4）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（5）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．
【变式1】求解下列问题：
(1)在①，②中任选一个求值；
(2)已知，，试用a，b表示．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）选①，原式
．
选②，原式
．
（2）因为，
所以．
【变式2】（1）利用关系式证明换底公式：；
（2）利用（1）中的换底公式求值：；
（3）利用（1）中的换底公式证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析；
【详解】解答：（1）证明：
设，则，化为，
又，所以；
（2）解：；
（3）证明：
．
所以．
题型13 对数函数的定义域
【典例1】“成立”是“成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】B
【详解】若成立，则，分为和两种情况，
但时不能推出成立，故充分性不成立；
而成立一定能推出成立，故必要性成立．
所以“成立”是“成立”的必要不充分条件．
故选：B.
与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．
【变式1】关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因的定义域是，则定义域为.
则定义域满足.
故选：A
【变式2】若函数为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【详解】令，解得，可知函数的定义域为，
若函数为奇函数，则，
可得，即，则，
可得，
即，可知函数为奇函数，
所以.
故选：B.
【变式3】已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据复合函数的单调性法则、二次函数的单调性结合已知条件可知，二次函数在区间上单调递减，
所以有.
根据对数函数的定义域可知，应有在区间上恒成立，
则只需要，即，所以.
综上所述，.
故选：D.
题型14 对数函数的值域与最值
【典例1】已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，在区间上单调递增，且，
在区间上的值域为.
∵函数的值域为，
是在区间上的值域的子集.
当时，，
当时，，显然不满足题意；
当时，在上单调递减，故在区间上的值域为，不满足题意；
当时，在上单调递增，故在区间上的值域为， ，解得，即实数的取值范围为.
故选：D.
【变式1】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意可知，解得；
易知函数的定义域为；
又是由函数和复合而成的，
由对数函数单调性可知在定义域内单调递减，
而二次函数开口向上，关于对称，
因此在上单调递增，在上单调递减；
由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增；
因此在处取得最大值，即，
可得的值域为.
故选：C
【变式2】若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（ ）
A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值
【答案】A
【详解】设，
因为，所以恒成立，所以的定义域为且关于原点对称，
又
，
所以是奇函数，
因为在上有最大值，所以在上有最大值为，
所以在上有最小值，所以在上有最小值．
故选：A．
【变式3】已知函数．
(1)当时，若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）当时，若在区间上单调递增，
则①在上恒成立；
②在上单调递增．
由①②得，即或；
由②得或，解得．
所以实数的取值范围为．
（2）由题意知对任意，关于的方程，
即在区间上有解．，
令，，则问题等价于在区间上，与有交点，
由于，则且，
（ⅰ）当即时，则且，解得；
（ⅱ）当即时，，得，矛盾，从而无解；
（ⅲ）当即时，，不满足条件，无解．
综上所述，的取值范围为．
题型15 对数函数的单调性及其应用
【典例1】函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，则，分解因式可得，
解得，所以函数的定义域为，
由函数在上单调递增，在上单调递减，
且函数在上单调递减，
则函数的增区间为.
故选：D.
(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．
(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．
(3)当底数00这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间．
【变式1】已知函数．
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)若，求实数x的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析
(2)
【详解】（1）在上单调递增．
证明如下：令，解得，所以的定义域为．设，
得．
因为，所以，
得，所以在上单调递增．
（2），定义域为，，所以是奇函数．
所以，即，
又在上单调递增，所以，解得，
所以x的取值范围为．
【变式2】已知函数．
(1)用定义法证明：函数在是单调递增函数；
(2)若，求函数的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）不妨设，所以，
因为，所以，即，
所以函数在是单调递增函数.
（2）若，则，
所以
，
，
若，则单调递减，
所以此时，
若，则，
若，则单调递增，
所以此时，
综上所述，.
【变式3】已知函数，.
(1)求证：为偶函数；
(2)设，判断的单调性，并用单调性定义加以证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)是单调递增函数，证明见解析
【详解】（1）函数的自变量满足，
解得，
所以函数的定义域为.
对于，都有，
且
所以函数为偶函数.
（2）函数是单调递增函数.
理由如下：设，且，
因为，所以，即，
又知，所以，
因此，
即，由函数单调性定义可知，函数是单调递增函数.
题型16 反函数
【典例1】已知，则下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，，
所以a，b分别是，与图象交点的横坐标，
因为，的图象关于直线对称，也关于直线对称，
所以两交点，关于直线对称，
所以，，所以，故A正确；
因为，，所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
若成立，再结合，可得，与矛盾，故D错误.
故选：D.
反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域．
【变式1】若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，可得，
，则，所以，，
作出函数、、的图象如下图所示：
对于函数可得，所以，函数的图象关于直线对称，
又因为函数、的图象关于直线对称，
所以，点、关于直线对称，则，故.
故选：B.
【变式2】下列命题中，不正确命题的个数为（ ）．
①函数与它的反函数的图像没有公共点；
②若函数有反函数，则它一定是单调函数；
③若函数存在反函数，则必有成立；
④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【详解】当时，，，
此时函数与它的反函数的图像有两个公共点，故①错误；
②若函数有反函数，
则函数一定是一一映射，但它不一定是单调函数；故②错误
③若函数存在反函数，若x不属于函数的定义域时，
无意义；
当x不属于函数的定义域时，无意义；故③错误；
④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性，故④正确；
故不正确的命题的个数为3个，
故选：D．
【变式3】在指数函数和对数函数的学习中，我们发现同底数的指数函数和对数函数互为反函数，它们的函数图象关于直线对称．一般地，设函数的值域为，根据这个函数中的关系，把用表示出，得到．若对于在中的任何一个值，通过在中都有唯一的值与之对应，那么，就表示是自变量，是因变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作．习惯上，我们用表示自变量，表示因变量，所以函数的反函数通常写为．
反函数的主要性质有：
①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；
②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域．
(1)试判断是否有反函数（直接写出答案）；
(2)试求出函数的反函数，并指明函数的定义域和值域然后判断函数的单调性；
(3)若关于的方程为常数）恰有两个根，且分别满足和，试求的值．
（注：若关于直线对称，则直线关于直线对称）
【答案】(1)无反函数，有反函数
(2)的定义域为，值域为，在和上单调递减
(3)19
【详解】（1）设，则，此时一个有两个与之对应，不唯一，所以无反函数；
设，则，此时一个有唯一一个与之对应，所以有反函数.
（2）设，所以，
即，所以的定义域为，
因为的定义域为，所以的值域为，
因为，所以在和上单调递减.
（3）方程化为，所以,
因为，所以，
即，
所以与分别是与和的两个交点的横坐标，
因为与互为反函数，关于直线对称，
所以和的中点为，
所以，即，所以，所以，
所以.
题型17 函数零点个数的判断方法
【典例1】已知定义在上的奇函数满足：，则在区间上的零点至少有（ ）．
A．1个 B．3个 C．5个 D．7个
【答案】D
【详解】因为为上的奇函数，所以．
因为，所以，
故，所以是周期为6的函数，
令，则，
而，故．
令，知，所以，故．
令，则，从而，故．
综上可知在区间上的零点至少有7个．
故选：D．
（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）
才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：一种是转化成函数图像与轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数。如判断型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数和的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【变式1】定义在上的偶函数满足：当时，，且当时，，则的零点个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．无数个
【答案】C
【详解】的零点，则，即的根个数，
画出与图像，看两个函数图像交点个数即可.
当时，，画出此部分图像，再根据当时，，
即表示x隔2函数值减半，画出y轴右侧图像.最后根据偶函数图像性质，得到y轴左侧图像.
根据图像，知道的零点个数是8个.
故选：C.
【变式2】已知函数，其中为常数，且．
(1)若是奇函数，求的值；
(2)证明：在上有唯一的零点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）函数的定义域为，
由是奇函数，得
，
解得；
（2）函数，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，又在上单调递增，
因此在上单调递增，
而，
所以在上有唯一的零点.
【变式3】已知函数（且）的图象过点．
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)求函数的零点个数．
【答案】(1) (2) (3)1
【详解】（1）因为函数（且）的图象过点．
所以，解得．
（2）由复合函数的单调性知在上单调递增，
又，所以即即，
解得，所以不等式的解集为．
（3）由（1）得函数，令，得，
则函数的零点个数即为函数与的图象交点的个数，
作出函数与的图象，如图所示，

由图象知，函数的零点个数为1.
题型18 已知函数零点所在区间求参数的取值范围
【典例1】若方程有且只有一个根在区间上，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】设，
依题意，函数有且只有一个零点在区间上，可以分成三类情况：
①由解得或.
当时，，此时函数恰有一个二重根在区间上，符合题意；
当时，，此时函数的实根不在区间上，不合题意.
②由可得，解得；
③令，得，此时方程的另一根为，不合题意；
令，得，此时方程的另一根为，符合题意．
综上，可得实数的取值范围为．
故答案为：
根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
【变式1】若函数的零点，则整数的取值为 ．
【答案】或2
【详解】由题意得的定义域为，
令，则，
可得函数的零点为函数的图象与的图象交点的横坐标，
如答图15-18，可知交点有两个，其中一个交点的横坐标满足．

而函数的零点，解得，
而，，
则，由零点存在性定理得存在作为零点，
因为该零点满足，且为整数，所以，
综上，或2.
故答案为：或2
【变式2】设函数，其中，且．
(1)当时，求的零点个数；
(2)若在区间和内均存在零点，写出一个满足题意的a（结果保留两位小数），并说明理由．
参考数据：…．
【答案】(1)函数恰有一个零点
(2)a的可能值为0.71，或0.72，或0.73，或0.74，理由见解析
【详解】（1）时，，
因为，，
所以，由零点存在定理，在区间存在一个零点，
因为和均在单调递增，
所以在单调递增，
所以函数恰有一个零点．
（2）当时，由（1）可知，是增函数，
至多有一个零点，不符合题意；
当时，，，
，，
当时有，，符合题意；
此时，解得，，
因为，（或也可）
且，
所以a的可能值为0.71，或0.72，或0.73，或0.74．
【变式3】设函数，其中．
(1)当时，求在区间上的最大值和最小值：
(2)若在区间上不单调，求的取值范围；
(3)若在区间内存在零点，求的取值范围．
【答案】(1)最小值为3，最大值为7．
(2)
(3)．
【详解】（1）当时，，
所以的对称轴为，
所以在区间上的最小值为，最大值为．
（2）由已知，得的对称轴为．
因为在区间上不单调，
所以．
由，解得，
故的取值范围是
（3）解法1：由已知，得．
1）当即，或时，
由，得，此时的零点为3，不符合题意：
由，得，此时的零点为，符合题意．
2）当即，或时，
①若，此时的对称轴
且
所以在区间内存在零点，符合题意
②若，此时的对称轴，
所以在区间内单调递减．
又因为，
所以在区间内存在零点只需满足，
解得．
综上，的取值范围是．
解法2：由已知，得的对称轴为，
1）当即时，，
此时在区间内有零点为，符合题意．
2）当即时，，
此时在区间内无零点，不符合题意，
3）当即，且时，
由在区间内存在零点，则有以下两种情况：
①，解得，或
②解得．
综上，的取值范围是．
题型19 已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
【典例1】定义在上的函数满足，当时，，若直线与的图象恰有8个交点，，，，则实数a的取值范围为 ， ．
【答案】 32
【详解】因为定义在上的函数满足，
当时，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
作出函数与在上的图象如图所示．
由图可知，当时，直线与函数的图象有8个交点，
不妨设，结合图可知，点，关于直线对称，
则，同理可得，，，
因此，．
故答案为：；32.
一般情况下，常利用数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果．
【变式1】已知函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】若，则由，得，满足要求．
若，因为
若的图象与轴的交点只有一个在原点的右侧，则
解得；

若的图象与轴的两个交点都在原点的右侧，则
解得．

综上，实数的取值范围是．
故答案为：.
【变式2】已知函数其中，且在上有三个零点，，．
(1)求实数的取值范围；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因为，
所以由在上有三个零点，，得
在内有1个零点，且在内有两个不同的零点，
若在内有1个零点，则，得，
若在内有两个不同的零点，则，
即得．
综上所述，．
（2）不妨设，，，
则，
令则
由（1）知，∴，
所以．
【变式3】定义：给定函数，若存在实数，当有意义时，总成立，则称函数具有“性质”．
(1)判断函数是否具有“性质”，若是，写出的值，若不是，请说明理由；
(2)求证：函数（且）不具有“性质”；
(3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)存在，
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）函数具有“性质”．
因为，且，
所以，整理得．
若函数具有“性质”，则可得解得
所以函数具有“性质”，此时．
（2）假设函数（且）具有“性质”，
则，则解得，
整理得，则，
分别取，可得解得；
分别取，可得解得．
显然，即对任意，不存在实数使得恒成立，
所以假设不成立，函数（且）不具有“性质”．
（3）具有“性质”，则，可知的图象关于点对称，可得，即，
又因为是定义域为的奇函数，则，
可得，即函数的周期为2．
令，则，
由题意可得，的图象与直线在内有5个不同的交点，
又为奇函数，为的图象与直线的一个交点，
所以由图象的对称性可知，的图象与直线在内有2个不同的交点．
作出在内的图象（如图），
当直线过时，可得；直线过时，可得；当直线过时，可得．
结合图象可知，实数的取值范围为．
1．若函数的图象与直线有两个交点，则a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】由，令，则，
由在上单调递减且值域为，在上单调递增且值域为，
所以在上值域为，在上的值域为，
则时，有2个不同的对应值，此时有3或4个不同值，
时，有1个对应值，此时有2个不同值，
要使函数的图象与直线有两个交点，则，最小.
故选：B
2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A选项，，定义域为，关于原点对称，
又因为，所以是偶函数，
因为，由幂函数性质知在上单调递增，
又因为是偶函数，所以在上单调递减，不符合题意；
B选项，，定义域为，关于原点对称，
又因为，所以是偶函数，
当时，，
因为，所以在上单调递减，不符合题意；
C选项，定义域为，关于原点对称，
因为，所以不是偶函数，不符合题意；
D选项，定义域为，关于原点对称，
因为，所以是偶函数，
当时，，
因为，所以在上单调递减，
又因为是偶函数，所以在上单调递增，符合题意.
故选：D.
3．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有实根之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得方程的根是函数的图象与直线的交点的横坐标，
根据分段函数的解析式，以及是定义在上的奇函数，作出函数的图象如图所示：
作出直线，由图可知，与的图象有5个交点，从左到右依次记为，
根据的图象的对称性可得，
根据是奇函数得，，
所以，
由得，
所以，
故选：C
4．下列函数中，增长速度最慢的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢．
故选：B.
5．已知函数的图象在上是连续不断的，则“”是“方程在内至少有两个解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】根据题意，若，则，，中两正一负，或者三负，
例如，当，，时，方程在和内至少各有一个解，
当，，时，不能保证方程在至少有两解，
所以“”不是“方程在内至少有两个解”的充分条件；
反之，若方程在内至少有两个解，无法确定，，的符号，
所以“”不是“方程在内至少有两个解”的必要条件.
所以“”是“方程在内至少有两个解”的既不充分也不必要条件.
故选：D
6．甲、乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b，得两根为及；乙写错了常数c，得两根为及64，则这个方程的真正的根为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【详解】原方程两边同时乘以，可变形为，
∵甲写错了b，得到两根为及，∴，
又∵乙写错了常数c，得到两根为及64，∴，
∴原方程为，即，
∴或，∴或8.
故选：C.
7．已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】C
【详解】解法一：
当函数只有一个零点且在区间内时，
；
当函数有两个零点时，，解得或，
又有在内只有一个零点，则或或，
即或或，
解得或或．
综上所述，实数的取值范围是．
故选：C.
解法二：
由，得，又，所以，
所以，
令，，，要使在区间内只有一个零点，
只需直线与的图象在上只有一个交点，作出两函数图象如图所示，
由图可知或，解得或，
所以的取值范围是．
故选：C.
8．已知，，，三个函数图象如图所示，则，，的图象依次为图中的（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【详解】令，可得，，，
因为，可得，，又因为，可得，即，
所以，所以，，的图象依次为图中的.
故选：C.
9．已知函数存在最小值，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，单调递增，则有．
当时，，若，即时，；若，则在上单调递增，此时．
若存在最小值，必有或，
解得或，则a的取值范围是．
故选：D
10．已知函数，若关于的方程恰有三个不同的实数根，，，且（其中），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以的图象关于对称，所以的根应成对出现，
又因为关于的方程恰有三个不同的实数根且，
所以该方程的一个根是，得，，，
所以
由得．
当，即时， ①，
则 ②，①②可得，所以；
当，即时， ③， ④，
③④得，所以，不符合题意．
综上，得所以．
故选：D
11．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象．若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需要的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍时所需要的时间为（ ）
参考数据：．
A．19.5天 B．20.5天 C．22.6天 D．19天
【答案】C
【详解】由题可知，
设初始时间为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍时的时间为，则
，
所以该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍时所需要的时间为22.6天．
故选：C.
12．已知函数（且），且．
(1)求实数的值；
(2)设，，，当时，试比较大小．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由，得，即解得；
（2）由，得，．
法一：在上单调递减，故，
由对数函数在上单调递增，可知，
由指数函数在上单调递增，可得，
所以；
法二：在同一平面直角坐标系中画出的图象如下，

由图，在上.
13．已知函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)若，，判断的单调性，并求其最大值；
(2)若．
（ⅰ）证明：仅有1个零点；
（ⅱ）证明：．
【答案】(1)单调递增，；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【详解】（1）由已知得，，，，
，，，
，，所以，
即在上单调递增．
所以，的最大值为．
（2）证明：（ⅰ）由（1）得，，所以定义域为且单调递增．
因为，，
所以，
所以由函数零点存在定理得，存在唯一零点，使得．
（ⅱ）由（ⅰ）得，
要证，即证，
即证，
令．显然函数在上单调递增，
因为，所以．
因为，所以，则，
所以成立，所以成立，原不等式得证．
14．对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质．
(1)判断函数是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数具有性质，求证：为定值；
(3)若函数具有性质，求ab的最小值．
【答案】(1)函数不具有性质，理由见解析
(2)证明见解析
(3)4
【详解】（1）假设函数具有性质，因为的定义域为R，
则存在，对任意的，都有，
所以，所以对恒成立，
所以，此方程组无解，
所以函数不具有性质．
（2）因为函数具有性质，且函数定义域为，
所以存在，对任意的，都有，
即，所以，所以，
所以，所以，故为定值．
（3）因为函数具有性质，定义域为，所以．
所以对任意的，都有．
即．
所以，
即，所以，
，
当且仅当，即时取等号，
则，解得，
所以ab的最小值为4.
15．某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量（件）与月份x（，且x为整数）之间满足的函数关系如下表
月份x（月） 2 3 4 5 6
市场采购工料量（件） 6000 4000 3000 2400 2000
7月至12月，该工厂自身生产的工料量（件）与月份x（，且x为取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示.2月至6月，该工厂每件工料的市场采购成本（元）与月份x之间满足函数关系式，该工厂自身生产的每件工料的成本（元）与月份x之间满足函数关系式：；7月至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件．
(1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别求出与x之间的函数关系式；
(2)请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用．
【答案】(1)（，且x取整数），（，且x取整数）
(2)去年5月用于所需工料的总费用最多，最多费用是22000元
【详解】（1）根据表格中数据可以得出定值，则与x之间的函数关系为反比例函数关系
设，将代入得：，
故（，且x取整数）
根据图象可以看出：的图象过，两个点，
代入得：
解得：
故（，且x取整数）
（2）当，且x取整数时：
,则开口向下，且对称轴为，
当时，（元）
当时，且x取整数时，
为开口向下，对称轴为轴，
当时，W随x的增大而减小，
当时，（元）
去年5月用于所需工料的总费用最多，最多费用是22000元．
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