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专题4.5 函数的应用（二）
教学目标 1.了解函数的零点与方程的解的关系，并能结合函数的图象判定函数的零点。 2.能根据函数零点存在性定理对函数零点存在进行判定，同时能处理与函数零点问题相结合的求参数及综合类的问题。 3.理解运用二分法逼近方程近似解的数学思想。 4.了解二分法只能用于求变号零点的方法。 5.借助数学工具用二分法求方程的近似解。 6.能解决与方程近似解有关的问题。 7.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 8.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。
教学重难点 1.重点：要求能判定函数零点的存在，同时能解决与函数零点相结合的综合问题 2.难点：掌握 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型；会从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解.高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式等知识交汇．
知识点01 函数的零点
1、函数的零点
（1）一般地，如果函数在实数处的值等于_______，即，则叫做这个函数的零点.
（2）二次函数的零点
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.
判别式 方程的根 函数的零点
两个不相等的实根 两个零点
两个相等的实根 一个二重零点
无实根 无零点
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值_______.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持_______.
2、函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程_______，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数的零点就是方程______________的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．
3、零点个数的判断方法
（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
（3）数形结合法：
①单个函数图象：利用图象_______的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.
4、判断函数零点所在区间
（1）将区间端点代入函数求函数的值；
（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；
（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；
（2）数形结合法：转化为____________________________，再结合图象求参数的取值范围；
（3）分离参数法：分离参数后转化为_____________________．
【即学即练】
1．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
知识点02 二分法
1、二分法
对于区间上图象连续不断且______________的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．
2、用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．
第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中．
第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间_______中，令；
③如果，则零点位于区间_______中，令
第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
．
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令；……
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度．
3、关于精确度
（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，
这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位．
（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．
【即学即练】
1．已知函数的零点分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点03 几种常见的函数模型
1、一次函数模型：______________（，为常数，）
2、二次函数模型：_____________________（为常数，）
3、指数函数模型：_____________________（为常数，，且）
4、对数函数模型：_____________________（为常数，，且）
5、幂函数模型：______________（为常数，）
6、分段函数模型：
【即学即练】
1．已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
B．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
C．当时，的增长速度一直快于
D．当时，
2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少于400元的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
知识点04 解答应用问题的基本思想和步骤
1、解应用题的基本思想
2、解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺______________，初步选择模型．
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立______________．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果．
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景．
上述四步可概括为以下流程：
实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）．
【即学即练】
1．当产品产量不大时，成本由固定成本和单位产量的可变成本决定，这二者都是常数，因此是产量的一次函数；而当产品产量较大时，决定成本的因素比较复杂，成本不再是产量的一次函数．现有某产品成本是产量的分段函数：下列说法不正确的是（ ）
A．时， B．时，函数取得最大值
C．函数的值域是 D．函数在上是增函数
2．Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：，）
A．14 B．15 C．16 D．17
题型01：求函数的零点
【典例1】已知是函数的零点，则（ ）
A． B．
C． D．
求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.
【变式1】设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2】若函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】设，下列关于的说法正确的是（ ）
A．是偶函数，是奇函数
B．的零点相同，都是
C．的单调递增区间是
D．
题型02：零点存在性定理的应用
【典例1】已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是 （ ）
A． B． C． D．
解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案．
【变式1】函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知是函数的零点，是函数的零点，则的值所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知是表示不超过的最大整数，例如．若是函数的零点，则（ ）
A． B． C．0 D．1
题型03：根据零点所在区间及零点个数求参数范围
【典例1】函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．
【变式1】已知且在内存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】对实数 和 ，定义运算 “ ”: .设函数 . 若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型04：函数零点分布求参数范围
【典例1】已知函数在区间恰有一个零点，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
1.代数法：根据零点定义，求出方程的实数解;
2.数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解
【变式1】设函数且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知函数．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若当时，关于的方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围．
题型05：函数与方程的综合应用
【典例1】已知存在实数满足，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
一元二次方程的实数根也称为函数的零点.
当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：
的实数根 （其中） 方程无实数根
的图象
的零点 函数无零点
【变式1】定义在上的偶函数满足：当时，，且当时，，则的零点个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．无数个
【变式2】对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
(1)当时，求函数的不动点；
(2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围.
【变式3】已知且，函数的图象恒过点．
(1)若，求的值；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)设函数，若关于的方程恰有唯一解，求实数的取值范围．
题型06：用二分法求方程的近似解
【典例1】下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ）
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x
1.用二分法求近似解的条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
用二分法求方程近似解的过程
（1）依据图象估计零点所在的初始区间（这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的小，区间的端点尽量为整数）．
（2）取区间端点的平均数，计算，确定有解区间是还是，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法）．
3.利用二分法求函数近似零点的流程图：
【变式1】已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示：
0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
1 0.1719 0.01245
若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（ ）
A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65
【变式2】下列关于函数，的叙述中，正确的个数为（ ）
①若且满足，则是的一个零点；
②若是在上的零点，则可用二分法求的近似值；
③函数的零点是方程的根，的根也一定是函数的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是根的近似值．
A．0 B．1 C．3 D．4
【变式3】函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行（ ）次函数值的计算．
A．2 B．3 C．4 D．5
题型07：一次函数与二次函数模型的应用
【典例1】某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（元/件）与月销售量（件）之间的关系为，生产件的成本为若每月获得的利润不少于元，该厂的月销售量的不可能取值为（　　）
A． B． C．. D．
1、一次函数模型的应用
利用一次函数求最值，常转化为求解不等式（或）．解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
2、二次函数模型的应用
构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围．
【变式1】在一般情况下，过江大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/小时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．设当车流密度时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大．则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】某公益团队计划联系第19届杭州亚运会组委会举办一场为期一个月的线上纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查了解，某款纪念品的日销售量（单位：件）是销售单价（单位：元/件）的一次函数，且单价越高，销量越低，当单价等于或高于110元/件时，销量为0.已知该款纪念品的成本价是10元/件，展销会上要求以高于成本价的价格出售该款纪念品.
(1)若要获取该款纪念品最大的日利润，则该款纪念品的单价应定为多少？
(2)通常情况下，获取商品最大日利润只是一种“理想结果”，若要获得该款纪念品最大日利润的84%，则该款纪念品的单价应定为多少？
【变式3】福清的观音埔大桥横跨龙江两岸是福清的标志性建筑之一，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为50千米/小时，当时，车流速度是车流密度的一次函数．当桥上的车流密度达到150辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．
题型08：分段函数模型的应用
【典例1】数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米/小时是车流密度单位：辆/千米的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时可以达到最大？（ ）
A．60 B．100 C．140 D．180
1、分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
2、分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
3、分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
【变式1】数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（ ）
A．60 B．100 C．200 D．600
【变式2】某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：；
(1)写出收入、成本与利润的等量关系
(2)将利润（单位：元）表示为月产量的函数
(3)上述研究问题选取函数的模型是（ ）
①二次函数和一次函数 ②二次函数和反比例函数 ③反比例函数和一次函数
(4)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大是多少？（总收入=总成本+利润）
【变式3】2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车.在一般情况下，大桥的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为100千米/时.研究表明：当时，车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的一次函数.
(1)当时，求的函数表达式；
(2)当车流密度x（单位：辆/千米）为多大时，车流量可以达到最大？并求出最大车流量.
（注：车流量是指单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）
题型9：指数或对数函数模型的应用
【典例1】下列说法错误的是（ ）
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的
C．对任意的
D．不一定存在，当时，总有
1、涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为（其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的形式．
2、在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型．
【变式1】滇池是云南省面积最大的高原淡水湖，一段时间曾由于人类活动的加剧，滇池水质恶化，藻类水华事件频发．在适当的条件下，藻类的生长会进入指数增长阶段．滇池外海北部某年从1月到7月的水华面积占比符合指数增长，其模型为．经研究“以鱼控藻”模式能有效控制藻类水华．如果3月开始向滇池投放一定量的鱼群后，鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数，将两函数模型放在同期进行比较，如图所示．下列说法正确的是（参考数据：）（ ）
A．水华面积占比每月增长率为1.65
B．如果不采取有效措施，到8月水华的面积占比就会达到左右
C．“以鱼控藻”模式并没有对水华面积占比减少起到作用
D．7月后滇池藻类水华会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理
【变式2】为研究一款额定功率是1.5kw、自带水温显示的电动热水壶的加热效果，在壶中水温从加热之初的室温升至完全沸腾的过程中，某数学兴趣小组统计了多个关键数值量，包含壶中水量a（单位：升）、壶中水温x（单位：）、加热时间y（单位：秒）.我们选择了其中几个数据记录在如下表格中.
水量a（升） 温度x（） 时间y（秒）
3 10 0
50 320
80 560

(1)根据记录的多组数据，兴趣小组断定3升水量的加热时间y是关于壶中水温x的一次函数.试结合表中数据，计算此函数关系式；并计算在同样室温条件下，将壶中3升水从室温烧至沸腾（即）需要的总时间；
(2)小组通过查阅资料，知道有如下科学论断：
①在同样条件下，将水烧到沸腾所花的时间与壶水量近似满足正比例关系；
②如果把水放在温度为的空气中冷却，若开始时水的温度是则t分钟后水温可由公式求得，其中，是由盛水的容器所确定的常量，为自然对数的底数.
因为要赶时间，现计划在10分钟内完成从水壶通电开始烧水，烧沸腾后立即放入容器，直到水温降到这一系列过程.根据以上论断，如在水壶中加入2升水，10分钟能完成整个过程吗？如时间够用，请说明理由：如时间不够用，请建议壶中应加入的水量.
参考数据：，.
【变式3】在常温下，物体冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么分钟后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.知空气的温度为，现用某品牌电热水壶烧600毫升水，2分钟后水烧开（温度为），再过30分钟，壶中开水自然冷却到.假设烧水时水的温度是关于时间的一次函数，水的初始温度与空气的温度一致.
(1)从开始烧水算起，求壶中水的温度（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数解析式；
(2)电热水壶在保温模式下会自动检测壶中水温，若水温高于，保温管不加热；若水温不高于，保温管开始加热，直至水温达到才停止加热，保温管加热时水温的上升速度是正常烧水时的.水烧开后，立即将电热水壶设定为保温模式.从开始烧水算起，求96分钟后壶中水的温度.
题型10：拟合函数模型的应用问题
【典例1】数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．
(1)求车流速度（单位：千米/小时）关于车流密度（单位：辆/千米）的函数；
(2)当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时，即）可以达到最大，并求出最大值？
在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．
【变式1】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数，当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年．
(1)当时，求关于的函数解析式；
(2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．
【变式2】某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对，点落在如图所示的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量M（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示：
第t天 6 13 20 27
M（万股） 34 27 20 13
（1）根据提供的图象，写出该股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式______；
（2）根据表中数据，写出日交易量M（万股）与时间t（天）的一次函数关系式：______；
（3）用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？
1．已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知函数则有（ ）
A．
B．的值域为
C．在上单调递增
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为
3．已知函数其中，若存在实数，使得关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的零点分别为，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．抗生素主要有抑菌与杀菌的作用，但抗生素的大量使用容易导致其通过直接或间接的途径进入环境，进而造成环境污染、危害生物体健康．已知水中某生物体内抗生素的残留量（单位：mg）与时间（单位：年）近似满足关系式，其中为抗生素的残留系数，当时，，则的值约为（ ）（参考值：）
A．0.54 B．0.34 C．0.24 D．0.14
7．设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数的零点都在区间内，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．一种细胞的分裂速度v（单位：个/秒）与其年龄t（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中.而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的.若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（ ）
（参考数据：）
A．6.402 B．6.463 C．6.502 D．6.522
10．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足的函数关系式为（a，b为常数）.通常这种热饮在时，口感最佳.某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
11．若正数满足，则的大小关系可能是（ ）
A． B． C． D．
12．（多选）某打车平台欲对收费标准进行改革，现推出了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱
B．当打车距离为时，乘客选择甲、乙方案均可
C．打车以上时，甲方案每千米增加的费用比乙方案多
D．打车内（含）时，选甲方案需付费元，行程大于时，每增加费用增加0．7元
13．设，则（ ）
A．当时， B．当时，有3个零点
C．有实数解 D．当时，有个零点
14．已知函数，若有4个零点，则的取值范围是 ．
15．已知函数，且的所有零点按照从小到大的顺序排列依次为，则的取值范围为 .
16．随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机．某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投人100万元，此外每生产辆该汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为 万元．
17．若定义域为的函数满足，则称函数为“a型”弱对称函数.
(1)若函数为“1型”弱对称函数，求m的值；
(2)若函数为“4型”弱对称函数，且恰有3个零点，，，求的值；
(3)若函数为“2025型”弱对称函数，且恰有101个零点，当对任意满足条件的函数恒成立，求的最大值.
18．Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完.
(1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润.
19．已知函数
(1)若函数在区间上有且仅有1个零点， 求a的取值范围;
(2)若函数 在区间 上的最大值为 求a的值．
20．小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为，如图是小明和爸爸所走的路程与步行时间的函数图象．
(1)写出段图象所对应的函数解析式（不用写出t的取值范围）．
(2)小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？
(3)在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？
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专题4.5 函数的应用（二）
教学目标 1.了解函数的零点与方程的解的关系，并能结合函数的图象判定函数的零点。 2.能根据函数零点存在性定理对函数零点存在进行判定，同时能处理与函数零点问题相结合的求参数及综合类的问题。 3.理解运用二分法逼近方程近似解的数学思想。 4.了解二分法只能用于求变号零点的方法。 5.借助数学工具用二分法求方程的近似解。 6.能解决与方程近似解有关的问题。 7.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 8.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。
教学重难点 1.重点：要求能判定函数零点的存在，同时能解决与函数零点相结合的综合问题 2.难点：掌握 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型；会从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解.高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式等知识交汇．
知识点01 函数的零点
1、函数的零点
（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
（2）二次函数的零点
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.
判别式 方程的根 函数的零点
两个不相等的实根 两个零点
两个相等的实根 一个二重零点
无实根 无零点
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
2、函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．
3、零点个数的判断方法
（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
（3）数形结合法：
①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.
4、判断函数零点所在区间
（1）将区间端点代入函数求函数的值；
（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；
（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；
（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．
【即学即练】
1．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由函数单调性的性质可知函数是正实数集上的增函数，
因为，当自变量趋近时，函数值趋近，
所以函数的零点所在区间为，
故选：A
2．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】已知，因为都是R上的增函数，
所以函数是连续的增函数，
易知，，
可知，故函数的零点所在的区间是，
故选：C．
知识点02 二分法
1、二分法
对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．
2、用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．
第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中．
第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令
第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
．
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令；……
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度．
3、关于精确度
（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，
这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位．
（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．
【即学即练】
1．已知函数的零点分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由复合函数的单调性易知三个函数均连续且在定义域内单调递增.
对于，由零点存在定理知.
对于.
对于，可知的零点.
故选：B
2．下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，函数，
故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点；
对于C，当时，，
当且仅当时，等号成立，无零点；
当时，，当且仅当时，等号成立，
函数在上单调递减，在上单调递增，
此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于D，函数在上单调递增，有唯一零点，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.
故选：B
知识点03 几种常见的函数模型
1、一次函数模型：（，为常数，）
2、二次函数模型：（为常数，）
3、指数函数模型：（为常数，，且）
4、对数函数模型：（为常数，，且）
5、幂函数模型：（为常数，）
6、分段函数模型：
【即学即练】
1．已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
B．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
C．当时，的增长速度一直快于
D．当时，
【答案】B
【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图像，
如图所示，在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快，且快于，故A错误；B正确；
对于C，当时，的增长速度不是一直快于，故C错误；
对于D，当时，，故D错误.
故选：B.
2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少于400元的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设这批灯的销售单价为x元，由题意可得，
由题意可得，
即，解得，
可得x的范围为．
故选：C．
知识点04 解答应用问题的基本思想和步骤
1、解应用题的基本思想
2、解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果．
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景．
上述四步可概括为以下流程：
实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）．
【即学即练】
1．当产品产量不大时，成本由固定成本和单位产量的可变成本决定，这二者都是常数，因此是产量的一次函数；而当产品产量较大时，决定成本的因素比较复杂，成本不再是产量的一次函数．现有某产品成本是产量的分段函数：下列说法不正确的是（ ）
A．时， B．时，函数取得最大值
C．函数的值域是 D．函数在上是增函数
【答案】D
【详解】对于A，当时，，A正确；
对于B，当时，，
当且仅当时取等号，而当时，，
又，因此当时，函数取得最大值，B正确；
对于C，函数在上递增，，
在上递增，，因此函数的值域是，C正确；
对于D，，因此函数在上不单调，D错误.
故选：D
2．Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：，）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【详解】由于，所以，
依题意，则，
则，由，
所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为16次．
故选：C.
题型01：求函数的零点
【典例1】已知是函数的零点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】均为单调增函数，故为单调增函数;
对A：因为，故，故A错误;
对B：因为，故，两边取对数可得，故B正确;
对C：，故，则，则，故C错误;
对D：因为，故，则，故D错误．
故选：B．
求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.
【变式1】设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】方程的解为或，作出的图象，由图象可知零点的个数为6．
故选：C.
【变式2】若函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数，，的零点，
即为函数的图象
分别与函数，，的图象交点的横坐标，
如图所示：
由图象可得，
故选：B．
【变式3】设，下列关于的说法正确的是（ ）
A．是偶函数，是奇函数
B．的零点相同，都是
C．的单调递增区间是
D．
【答案】D
【详解】已知，其定义域为，关于原点对称.
且，所以是奇函数.
，，所以是偶函数，故A选项错误.
令，即，也就是，因为，所以，解得，则的零点是.
令，则，由前面计算可知，所以的零点也是.
函数的零点是一个数，而不是一个点，所以B选项错误.
令，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，则在上单调递增.
，当时，单调递增.
当时，，且在上单调递增，
所以且单调递增，根据复合函数“同增异减”的原则，
在上单调递增，故C选项错误.
令，则，那么.
将进行配方可得，
所以，成立，故D选项正确.
故选：D.
题型02：零点存在性定理的应用
【典例1】已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时， 在上恒成立，这表明函数在上没有零点，故A选项错误.
在，，连续，且单调递减，下面证明：
设，则.
对其进行化简：
，
因为，所以，，，，那么.
所以，即，也就是.
根据函数单调性的定义，函数在上是减函数.
当时，，当，，
当，，当，.
根据函数零点存在定理可知，可以判定函数在区间内有一个零点，故C选项正确.
在区间， 没有零点，故B选项错误.
在区间，也没有零点，故D选项错误.
故选：C
解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案．
【变式1】函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】将代入函数， .
把代入函数，则.
由于，，满足，且内图像连续，根据零点存在定理可知函数在区间内有零点. 故A正确.
将代入函数，得到.
因为，，则，所以函数在区间不一定有零点.
把代入函数，可得.
由于，，即，所以函数在区间内不一定有零点.
将代入函数，得到.
因为，，则，所以函数在区间内不一定有零点.
再由于中，时，单调递增，单调递增，则时，随着变大增大.
综上所得，函数的零点所在的大致区间是，
故选：A
【变式2】已知是函数的零点，是函数的零点，则的值所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为在内单调递增，
可知函数在定义域内单调递增，
且，
可知函数存在唯一零点，
注意到，即，
且是函数的零点，可得，即，
结合选项可知的值所在的区间为.
故选：C.
【变式3】已知是表示不超过的最大整数，例如．若是函数的零点，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【详解】易知函数的定义域为，且在上单调递增；
显然，，
所以，再根据的定义可知.
故选：B
题型03：根据零点所在区间及零点个数求参数范围
【典例1】函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】易知在上是增函数，
它的零点在区间上，
则，解得，
故选：C．
体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．
【变式1】已知且在内存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，故即.
所以在R单调递增，且在内存在零点，
故，即，解得.
故选：C.
【变式2】对实数 和 ，定义运算 “ ”: .设函数 . 若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令 ，解得 ，
∴
作出函数 的图象如图所示:
函数 的图象与 轴恰有两个公共点，即函数 与 的图象有 2 个交点，
由函数图象可得 或 ;
故选：B.
【变式3】已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令，则令 即有4个不同的实数根.
则要有两个解，

由图知，.
，得.
则.
令，得，则，，得，.
则.
故选：D.
题型04：函数零点分布求参数范围
【典例1】已知函数在区间恰有一个零点，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：若，则，它的零点为，故符合题意．
若，函数在区间恰有一个零点，则需满足：
①或②或③
解①得，或；解②得，解集为；解③得；
综上，的取值范围是．
故选：D．
1.代数法：根据零点定义，求出方程的实数解;
2.数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解
【变式1】设函数且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，当时，，当时，为方程，
即的两个根，则，
又当时，，当且仅当时取等号，
作出函数的图象，观察图象知，当且仅当时，方程恰有3个不同的实根，
由，得，
，而当或时，，
因此，所以的取值范围是.
故选：D
【变式2】已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
时，，
若无解，则或；
时，，
若无解，则，
因为函数在上没有零点，
所以．
故选：D．
【变式3】已知函数．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若当时，关于的方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以原不等式可化为，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
（2）若当时，关于的方程有且仅有一个实数解，
则方程有且仅有一个实数解，
所以有且仅有一个属于的实数解．
因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，，
当趋向于0时，趋向于，
所以或，解得或或，
所以实数的取值范围是．
题型05：函数与方程的综合应用
【典例1】已知存在实数满足，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，所以在上单调递增，所以的图象如下所示，
又，，，
∵存在，满足，
函数图象可知，，
，
所以，
∴，即，
，
的取值范围是.
故选：B．
一元二次方程的实数根也称为函数的零点.
当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：
的实数根 （其中） 方程无实数根
的图象
的零点 函数无零点
【变式1】定义在上的偶函数满足：当时，，且当时，，则的零点个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．无数个
【答案】C
【详解】的零点，则，即的根个数，
画出与图像，看两个函数图像交点个数即可.
当时，，画出此部分图像，再根据当时，，
即表示x隔2函数值减半，画出y轴右侧图像.最后根据偶函数图像性质，得到y轴左侧图像.
根据图像，知道的零点个数是8个.
故选：C.
【变式2】对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
(1)当时，求函数的不动点；
(2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以.
设函数的不动点为，则.
化简得，解得，所以的不动点为-1.
（2）令，则有两个相异的解.
所以，即：对于任意恒成立.
令，则，
解得.
（3）因为为的两个不动点，且，
所以.
因为由（2）知，，所以，
所以.
由（2）得到，根据基本不等式的性质可得，
当且仅当时，即时等号成立，
所以.
又，所以.
所以实数的取值范围为.
【变式3】已知且，函数的图象恒过点．
(1)若，求的值；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)设函数，若关于的方程恰有唯一解，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)奇函数，理由见解析；
(3)．
【详解】（1）因为函数的图象恒过点，
所以，即，解得，
所以，即．
由，解得．
（2）为奇函数，理由如下：
由（1）知，
所以，
所以，
又的定义域为，关于原点对称，
所以是奇函数．
（3）由，得，
所以
由，得，解得．
由，整理得，
解得或．
因为关于的方程恰有唯一解，
所以或
解得或，即实数的取值范围为．
题型06：用二分法求方程的近似解
【典例1】下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ）
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x
【答案】C
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)＝3x－1在R上是单调函数，有唯一零点，
且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于B，f(x)＝x3在R上是单调函数，有唯一零点，
且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于C，f(x)＝|x|，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，
故不能用二分法求零点；
对于D，f(x)＝ln x在(0,+∞)上是单调函数，有唯一零点，
且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
故选：C．
1.用二分法求近似解的条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
用二分法求方程近似解的过程
（1）依据图象估计零点所在的初始区间（这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的小，区间的端点尽量为整数）．
（2）取区间端点的平均数，计算，确定有解区间是还是，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法）．
3.利用二分法求函数近似零点的流程图：
【变式1】已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示：
0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
1 0.1719 0.01245
若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（ ）
A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65
【答案】C
【详解】由题意可知，对区间内，设零点为，
因为，，，所以，精确度为，
又，，，精确度为，
又，，，精确度为
又，，，精确度为，
需要求解的值，
然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次.
故选：C
【变式2】下列关于函数，的叙述中，正确的个数为（ ）
①若且满足，则是的一个零点；
②若是在上的零点，则可用二分法求的近似值；
③函数的零点是方程的根，的根也一定是函数的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是根的近似值．
A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】B
【详解】①若且满足，则是的一个零点，而不是，所以①错误；
②因为函数不一定连续，所以②错误；
③函数的零点是方程的根，方程的根一定是函数的零点，所以③正确的；
④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以④错误．
故选：B．
【变式3】函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行（ ）次函数值的计算．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：
，
，
取区间的中点，
且，
所以.
，
取区间的中点，
且，
所以.
，
取区间的中点，
且，
所以.
因为，
所以区间的中点，
即为零点的近似值，即函数的零点，
所以至少需进行3次函数值的计算.
故选：B.
题型07：一次函数与二次函数模型的应用
【典例1】某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（元/件）与月销售量（件）之间的关系为，生产件的成本为若每月获得的利润不少于元，该厂的月销售量的不可能取值为（　　）
A． B． C．. D．
【答案】D
【详解】设该厂月获得的利润为元，
则.
由题意，， 解得：，
∴当月产量在至件（包括和）之间时，月获得的利润不少于元.
故选：D.
1、一次函数模型的应用
利用一次函数求最值，常转化为求解不等式（或）．解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
2、二次函数模型的应用
构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围．
【变式1】在一般情况下，过江大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/小时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．设当车流密度时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
则当时，，
当时，，即，解得，，
故，
当时，的最大值为时，；
当时，，
根据二次函数的对称轴方程为，得的最大值为时，．
故选：A．
【变式2】某公益团队计划联系第19届杭州亚运会组委会举办一场为期一个月的线上纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查了解，某款纪念品的日销售量（单位：件）是销售单价（单位：元/件）的一次函数，且单价越高，销量越低，当单价等于或高于110元/件时，销量为0.已知该款纪念品的成本价是10元/件，展销会上要求以高于成本价的价格出售该款纪念品.
(1)若要获取该款纪念品最大的日利润，则该款纪念品的单价应定为多少？
(2)通常情况下，获取商品最大日利润只是一种“理想结果”，若要获得该款纪念品最大日利润的84%，则该款纪念品的单价应定为多少？
【答案】(1)60元/件
(2)40元/件或80元/件
【详解】（1）依题意设.
将，代入，解得.
故.
设该款纪念品的日利润为元，
则
，
因为，所以当时，取得最大值，且最大值为.
故若要获取该款纪念品最大的日利润，则该款纪念品的单价应定为60元/件.
（2）由题意可得，即，
解得或.
故若要获得该款纪念品最大日利润的，则该款纪念品的单价应定为40元/件或80元/件.
【变式3】福清的观音埔大桥横跨龙江两岸是福清的标志性建筑之一，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为50千米/小时，当时，车流速度是车流密度的一次函数．当桥上的车流密度达到150辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．
【答案】(1)
(2)75辆/千米，2812辆/小时．
【详解】（1）由题意：当时，；当时，设
再由已知得，解得
故函数的表达式为．
（2）依题并由（1）可得，
当时，为增函数，，
当时，，
即当时，在区间上取得最大值约为2812，
即当车流密度为75辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为2812辆/小时．
题型08：分段函数模型的应用
【典例1】数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米/小时是车流密度单位：辆/千米的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时可以达到最大？（ ）
A．60 B．100 C．140 D．180
【答案】B
【详解】当时，设，则，解得，
于是，
设车流量为q，则车流量，
当时，；
当时，，当且仅当取等号，
所以当时，车流量最大，最大值约为3333辆．
故选：B
1、分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
2、分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
3、分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
【变式1】数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（ ）
A．60 B．100 C．200 D．600
【答案】B
【详解】解：当时，设，则，解得
于是
设车流量为q，则
当时，,此时，函数在区间上是增函数，恒有；
当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数，
因此恒有，等号成立当且仅当；
综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆．
故选：B．
【变式2】某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：；
(1)写出收入、成本与利润的等量关系
(2)将利润（单位：元）表示为月产量的函数
(3)上述研究问题选取函数的模型是（ ）
①二次函数和一次函数 ②二次函数和反比例函数 ③反比例函数和一次函数
(4)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大是多少？（总收入=总成本+利润）
【答案】(1)利润收入成本；
(2)；
(3)①；
(4)当月产量为300台时，公司获得利润最大，最大利润为25000元.
【详解】（1）由题意总收入=总成本+利润，所以收入、成本与利润的等量关系为：利润=收入成本.
（2）由题意成本关于月产量的函数关系为，且，
所以利润关于月产量的函数关系为.
（3）由（2）可知，
故上述研究问题选取函数的模型是①：二次函数和一次函数.
（4）当时，．所以，当时，有最大值25000.
当时，是减函数，．
所以，当月产量为300台时，公司获得利润最大，最大利润为25000元.
【变式3】2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车.在一般情况下，大桥的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为100千米/时.研究表明：当时，车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的一次函数.
(1)当时，求的函数表达式；
(2)当车流密度x（单位：辆/千米）为多大时，车流量可以达到最大？并求出最大车流量.
（注：车流量是指单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）
【答案】(1).
(2)当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大车流量为6050辆
【详解】（1）由题意，当时，若，则，解得
∴.
（2）当时，，由（1）得：，
∴，
当时，为增函数，所以的最大值为；
当时，.
当时，取得最大值，且的最大值为．
综上，当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大车流量为6050辆．
题型9：指数或对数函数模型的应用
【典例1】下列说法错误的是（ ）
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的
C．对任意的
D．不一定存在，当时，总有
【答案】ABC
【详解】对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错误；对于B，C，当时，显然不成立，故B，C错误；对于D，当时，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“”，就不一定存在，故D正确．
1、涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为（其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的形式．
2、在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型．
【变式1】滇池是云南省面积最大的高原淡水湖，一段时间曾由于人类活动的加剧，滇池水质恶化，藻类水华事件频发．在适当的条件下，藻类的生长会进入指数增长阶段．滇池外海北部某年从1月到7月的水华面积占比符合指数增长，其模型为．经研究“以鱼控藻”模式能有效控制藻类水华．如果3月开始向滇池投放一定量的鱼群后，鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数，将两函数模型放在同期进行比较，如图所示．下列说法正确的是（参考数据：）（ ）
A．水华面积占比每月增长率为1.65
B．如果不采取有效措施，到8月水华的面积占比就会达到左右
C．“以鱼控藻”模式并没有对水华面积占比减少起到作用
D．7月后滇池藻类水华会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理
【答案】B
【详解】对于A，由于模型呈指数增长，故A错误；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，因为鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数，
所以“以鱼控藻”模式对水华面积占比减少起到作用，故C错误；
对于D，由两函数模型放在同期进行比较的图象可知，
7月后滇池藻类水华并不会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理，故D错误.
故选：B.
【变式2】为研究一款额定功率是1.5kw、自带水温显示的电动热水壶的加热效果，在壶中水温从加热之初的室温升至完全沸腾的过程中，某数学兴趣小组统计了多个关键数值量，包含壶中水量a（单位：升）、壶中水温x（单位：）、加热时间y（单位：秒）.我们选择了其中几个数据记录在如下表格中.
水量a（升） 温度x（） 时间y（秒）
3 10 0
50 320
80 560

(1)根据记录的多组数据，兴趣小组断定3升水量的加热时间y是关于壶中水温x的一次函数.试结合表中数据，计算此函数关系式；并计算在同样室温条件下，将壶中3升水从室温烧至沸腾（即）需要的总时间；
(2)小组通过查阅资料，知道有如下科学论断：
①在同样条件下，将水烧到沸腾所花的时间与壶水量近似满足正比例关系；
②如果把水放在温度为的空气中冷却，若开始时水的温度是则t分钟后水温可由公式求得，其中，是由盛水的容器所确定的常量，为自然对数的底数.
因为要赶时间，现计划在10分钟内完成从水壶通电开始烧水，烧沸腾后立即放入容器，直到水温降到这一系列过程.根据以上论断，如在水壶中加入2升水，10分钟能完成整个过程吗？如时间够用，请说明理由：如时间不够用，请建议壶中应加入的水量.
参考数据：，.
【答案】(1)；秒
(2)不能，理由见详解；建议壶中应加入水量小于等于升.
【详解】（1）根据题意知，加热时间y是关于壶中水温x的一次函数，
可设，且点在函数的图象上，
所以，解得，
所以，经验证点也在函数的图象上，
当时，，
即将壶中3升水从室温烧至沸腾（即）需要的总时间秒.
（2）将水烧到沸腾所花的时间与壶水量近似满足正比例关系,
设壶水量为升，将水烧到沸腾所花的时间为分钟，
则，又题中条件知，当时，分钟，
所以，则，
所以，则当时，，
即把2升的水烧到沸腾所花的时间为8分钟.
又，根据题意可得：
，
化为，
则
分钟，
所以2升水从室温烧至沸腾，再降至,
所需时间为分钟，时间不够用.
令，则，
建议壶中应加入水量小于等于升.
【变式3】在常温下，物体冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么分钟后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.知空气的温度为，现用某品牌电热水壶烧600毫升水，2分钟后水烧开（温度为），再过30分钟，壶中开水自然冷却到.假设烧水时水的温度是关于时间的一次函数，水的初始温度与空气的温度一致.
(1)从开始烧水算起，求壶中水的温度（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数解析式；
(2)电热水壶在保温模式下会自动检测壶中水温，若水温高于，保温管不加热；若水温不高于，保温管开始加热，直至水温达到才停止加热，保温管加热时水温的上升速度是正常烧水时的.水烧开后，立即将电热水壶设定为保温模式.从开始烧水算起，求96分钟后壶中水的温度.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，空气的温度为，水温从自然冷却到用时30分钟，
则，即，所以，
当时，依题意设，则，
解得，所以；
当时，依题意得，，即；
综上所述：.
（2）由，解得，
即从开始烧水算起，水温从升到，再冷却到，用了62分钟，
因为，所以保温管加热过，
因为保温管加热时水温上升速度是正常烧水时的，
所以保温管加热时，水温每分钟升高，
所以水温从升至，所用时间为分钟，
假设水温从降至需要分钟，
则，即，
因为，所以，
即水温从冷却至所用时间超过30分钟，
因为，
所以从开始烧水算起，96分钟内保温管只加热过1次，
所以当时，，
所以当时，，
所以从开始烧水算起，96分钟后壶中水的温度为.
题型10：拟合函数模型的应用问题
【典例1】数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．
(1)求车流速度（单位：千米/小时）关于车流密度（单位：辆/千米）的函数；
(2)当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时，即）可以达到最大，并求出最大值？
【答案】(1)
(2)当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆
【详解】（1）当时，设，
则，解得，
所以；
（2）由（1）得，
当时，，
此时函数在区间上是增函数，恒有；
当时，，
此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数，
因此恒有，等号成立当且仅当，
综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆．
在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．
【变式1】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数，当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年．
(1)当时，求关于的函数解析式；
(2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．
【答案】(1)
(2)当养殖密度尾/立方米时，鱼的年生产量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
【详解】（1）由题意得当时，，
当时，设，
由已知得，解得，
故，
故；
（2）设鱼的年生长量为千克/立方米，由（1）可得
，
当时，单调递增，故；
当时，，
故当时，取得最大值，最大值为，
由于，故当养殖密度尾/立方米时，鱼的年生产量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
【变式2】某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对，点落在如图所示的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量M（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示：
第t天 6 13 20 27
M（万股） 34 27 20 13
（1）根据提供的图象，写出该股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式______；
（2）根据表中数据，写出日交易量M（万股）与时间t（天）的一次函数关系式：______；
（3）用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？
【答案】（1）（）（2），（）（3）；在这30天内第15天日交易额最大，最大值为125万元
【详解】（1）当时，设函数解析式为，
把点和代入得：，解得：，.
当时，.
当时，设函数解析式为，
把点和代入得：，解得：，，
（2）设，，
把点和点代入得，解得，
，（）.
（3）（）
①当时，，
当时，（万元）；
②当时，∵，
∴函数y在是单调减函数，
∴，
综合①和②，在这30天内第15天日交易额最大，最大值为125万元.
1．已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】因为，所以，
令，则，
又因为，
所以函数为偶函数，又函数有唯一零点，
则有唯一零点，所以，解得.
故选：D.
2．已知函数则有（ ）
A．
B．的值域为
C．在上单调递增
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为
【答案】D
【详解】对于A选项，，故，A错；
对于B选项，当时，；当时，.
因此，函数的值域为，B错；
对于C选项，因为，，则，
故函数在不是增函数，C错；
对于D选项，如下图所示：
当时，直线与函数的图象有两个交点，
此时关于的方程有两个不相等的实数根，
故实数的取值范围是，D对.
故选：D.
3．已知函数其中，若存在实数，使得关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题, 因为，对称轴为，
故，在定义域内为增函数，
由图像可知，若存在实数，使得关于x的方程有三个不同的根,
则当时,的值大于的值，
因为，所以，解得，故B正确.
故选：B.
4．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，在上单调递增，且值域为，
所以必有唯一解；
所以当时，有两个不同的根，
即有两个不同非正根，并设其两根为，
即，解得，
由，则，解得，
综上所述：的取值范围为，故B项正确.
故选：B.
5．已知函数的零点分别为，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示．

由图象可知．故B正确.
故选:B．
6．抗生素主要有抑菌与杀菌的作用，但抗生素的大量使用容易导致其通过直接或间接的途径进入环境，进而造成环境污染、危害生物体健康．已知水中某生物体内抗生素的残留量（单位：mg）与时间（单位：年）近似满足关系式，其中为抗生素的残留系数，当时，，则的值约为（ ）（参考值：）
A．0.54 B．0.34 C．0.24 D．0.14
【答案】D
【详解】由题可知：，将，代入上式，
所以.
故选：D
7．设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因，则的一个周期为4.
因时，，又是定义在上的偶函数，则，结合一个周期为4，可得大致图像如下.
注意到恰有三个不同的实数根等价于在上的大致图像与函数在上的大致图像有三个不同交点，则由图可得：.
故答案为：B
8．设函数的零点都在区间内，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【详解】函数的定义域为，
，即函数为偶函数，
当时，在上单调递增，，
则存在，使得，因此函数在的唯一零点，
则，由偶函数的性质得，于是，
所以的最小值为4.
故选：C
9．一种细胞的分裂速度v（单位：个/秒）与其年龄t（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中.而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的.若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（ ）
（参考数据：）
A．6.402 B．6.463 C．6.502 D．6.522
【答案】B
【详解】由题意知细胞5岁和60岁的分裂速度相等，即，所以，整理得.又分裂速度变化是连续的，所以，整理得，所以，得，解得.
10．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足的函数关系式为（a，b为常数）.通常这种热饮在时，口感最佳.某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意知当时，图象是直线；当时，图象的解析式为，图象过和，则解得即.当时，得，解得，故最少需要的时间为.
11．若正数满足，则的大小关系可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】由题意令，分别作，，的图象，如图，
当时，可得，故D正确；
当时，可得，故C正确；
当时，可得，故A正确；
因为都为正数，所以结合图形不存在这种情况，故B错误；
故选：ACD.
12．（多选）某打车平台欲对收费标准进行改革，现推出了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱
B．当打车距离为时，乘客选择甲、乙方案均可
C．打车以上时，甲方案每千米增加的费用比乙方案多
D．打车内（含）时，选甲方案需付费元，行程大于时，每增加费用增加0．7元
【答案】BC
【详解】对于A，当打车距离为时，甲对应的函数图象在乙图象的下方，即甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱，即A错误；
对于B，当打车距离为时，由图可知，甲、乙均为12元，因此乘客选择甲 乙方案均可，即B正确；
对于C，打车以上时，甲方案每公里增加的费用为（元），乙方案每公里增加的费用为（元），故每公里增加的费用甲方案比乙方案多，即C正确；
对于D，由图可知，甲方案内（含）内（含）付费5元，行程大于每增加1公里费用增加1元，故D错误；
故选：BC
13．设，则（ ）
A．当时， B．当时，有3个零点
C．有实数解 D．当时，有个零点
【答案】ACD
【详解】对于A：当时，,，故A选项正确；
对于B：当作出的图像，由图像知只有2个零点，故B选项错误；
对于C：易知满足的解一定是的解，
而当时，，而方程一定有负根，故C选项正确；
对于D：令，当时，有2个零点；
当时， 在且)的图像向右平移一个单位，再向下平移一个单位，
即可得到在的图像，的零点问题等价于区间有几个整数问题，
零点有个；
一共有零点个，故D选项正确.
故选：ACD
14．已知函数，若有4个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】令，，
所以有4个零点等价于函数与图象有4个交点，
作出图象：
当时，，所以由图可知.
故答案为：
15．已知函数，且的所有零点按照从小到大的顺序排列依次为，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】令函数，函数的图象，如图所示，
由题意知，的零点为的图象与的交点横坐标，且
令，解得，结合函数图象，可得，所以，
因为，所以，
所以的取值范围为.
故答案为：.
16．随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机．某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投人100万元，此外每生产辆该汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为 万元．
【答案】
【详解】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元），
由题意可得，
即，
当时，函数的对称轴为，则；
当时，，
当且仅当时，取得最大值，
综上可得，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元．
故答案为：．
17．若定义域为的函数满足，则称函数为“a型”弱对称函数.
(1)若函数为“1型”弱对称函数，求m的值；
(2)若函数为“4型”弱对称函数，且恰有3个零点，，，求的值；
(3)若函数为“2025型”弱对称函数，且恰有101个零点，当对任意满足条件的函数恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)8
(3)4545
【详解】（1）因为为“1型”弱对称函数，所以，
，化简整理得恒成立，
，即.
（2）因为为“4型”弱对称函数，所以，
若是的零点，则也是零点，而恰有3个零点，
所以2显然是其中一个零点，不妨设，则，
.
（3）由题，，且，
对于的零点，有，则，
若，则，故45必为的一个零点，
若，且，则，
所以
，
又对任意满足条件的函数恒成立，故，
所以的最大值为4545.
18．Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完.
(1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润.
【答案】(1)，
(2)当时，取得最大值，且最大值为115万元
【详解】（1）将，，三点代入，得，
解得，即
依题意，.
（2）由（1）
当时，，则当为时，取得最大值60万元；
当时，
，当且仅当时，即时取得等号，
此时取得最大值，且最大值为115万元，
所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元.
19．已知函数
(1)若函数在区间上有且仅有1个零点， 求a的取值范围;
(2)若函数 在区间 上的最大值为 求a的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）①，解得：，此时，的零点为，0，不合题意；
②，解得：，此时，的零点为，1，不合题意；
③，解得：，当时，的零点为，不合题意；当时，的零点为，不合题意；
④，，
解得：，
综上：a的取值范围是
（2）的对称轴为
当 即 时， 在 上递增， 无最大值不合题意；
当 即 时，在 上递减，无最大值不合题意；
当 即 时， 的最大值为 解得 ( 舍去)，
所以
20．小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为，如图是小明和爸爸所走的路程与步行时间的函数图象．
(1)写出段图象所对应的函数解析式（不用写出t的取值范围）．
(2)小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？
(3)在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？
【答案】(1)
(2)
(3)．
【详解】解：（1）设直线所对应的函数表达式为，将代入得解得
所以直线所对应的函数解析式为．
（2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为，将代入得解得
即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是，
解方程组得即小明出发时与爸爸第三次相遇．
（3）当时，由，得．
因为，所以小明希望比爸爸早到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需要减少．
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