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第一章 集合与常用逻辑用语
教学目标 1.元素与集合 ① 理解元素与集合的概念，熟练常用数集的概念及其记法. ② 了解“属于”关系的意义. ③了解有限集、无限集、空集的意义. 2.集合的表示方法 掌握集合的常用表示方法(列举法、描述法及相互转化). 3.元素的性质 理解集合元素的三个性质：确定性、无序性、互异性. 4.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集; 5.理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。 6.理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义与具体要求. 7.会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件.
教学重难点 1.重点 理解并集、交集、全集与补集的意义，会集合间的运算. 2.难点 理解全称量词与存在量词的含义，并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念，能用数学符号表示两种命题，能准确判断两类命题的真假，及判定方法.
知识点01 集合的表示方法与分类
1、常用数集及其符号
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
数学符合 或
2、集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注用列举法表示集合时注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开．
②集合中的元素必须是明确的．
③集合中的元素不能重复．
④集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4）（韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
3、集合的分类
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.
（1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示.
（2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。
【即学即练】
1．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于①，，，结论①正确；
对于②，，，结论②错误；
对于③，对于任意一个整数，它除以的余数可能是、、、、，，结论③正确；
对于④，整数、属于同一“类”，设、，、、、、，则存在、，使得，，，结论④正确.故选C.
2．有下列说法：其中正确的说法是（ ）
（1）0与表示同一个集合
（2）由1，2，3组成的集合可表示为或；
（3）方程的所有解的集合可表示为；
（4）集合是有限集.
A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3）
【答案】C
【详解】对于（1），0是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，（1）错误；
对于（2），由集合元素的无序性知，（2）正确；
对于（3），方程的所有解的集合可表示为，（3）错误；
对于（4），集合是无限集.
故选：C
知识点02 元素与集合
1元素与集合的关系
(1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .
(2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.
2集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
【即学即练】
1．已知集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．不属于M，Q，P中的任意一个
【答案】A
【详解】∵，
∴，，
∴，
∴.
故选：A.
2．已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得，，，
，则，
.
故选：C.
知识点03 子集
1子集：
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.
【即学即练】
1．若集合的三个子集满足 ，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】D
【详解】的所有子集有：；
（1）若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有：
， ， ， ，
， ，共组；
（2）若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有：
， ， ，共组；
（3）若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有：
， ， ，共组；
（4）若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有：
， ， ，
， ， ，共组；
综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组.
故选：D.
2．已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】因为集合，
所以
，
由得，
所以与异号或其中至少有一个为，
又，，，
所以满足条件的集合或
或
或
，
所以集合中元素个数的最大值为.
故选：.
知识点04 集合相等
一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.
（1）的图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
【即学即练】
1．已知集合，．则（ ）
A． B．是的真子集
C． D．
【答案】C
【详解】从中任取一个元素，一定是偶数，所以，
从中任取一个元素，，所以,
所以，
故选：C
2．下列说法正确的是（ ）
A．由组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
【答案】A
【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确；
是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误；
集合，集合，故C错误；
集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误.
故选：A.
知识点05 真子集
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：①任何一个集合都不是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【即学即练】
1．已知集合，则A子集的个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【详解】由已知可得，
所以，所以，
所以A子集的个数为个，
故选：D.
2．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（ ）
A．12 B．32 C．80 D．192
【答案】B
【详解】集合的所有非空子集为
，
所以交替和的总和为
.
故选：B
知识点06 空集
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：
规定：空集是任何集合的子集，即;
性质：（1）空集只有一个子集，即它的本身，
(2)，则
和 和 和
相同点 都表示无 都是集合 都是集合
不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为：
关系 或者
【即学即练】
1．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】根据元素与集合、集合与集合关系：
是的一个元素，故，①正确；
是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；
没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；
所以①②③④⑥正确.
故选：C
2．设非空集合满足：当时，有，给出如下四个命题：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则或；其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】∵非空集合满足：当时，有
∴，，
则，，且，
即或，且
①当时，有，所以，故正确；
②当时，，所以，故正确；
③当时，，所以，所以，故正确；
④当时，可知或，故正确；
故选：D
知识点07 并集与交集
1、并集
(1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示.
2、交集
(1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成.
(2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是.
(4)当时,和同时成立.
【即学即练】
1．已知集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，则，且集合或，.
当时，则，合乎题意；
当时，则，
因为，则，解得；
当时，，
因为，则，解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
2．判断下列命题为真命题的个数（ ）
①0是的真子集；
②；
③如果集合A是集合B的子集，那么集合B就不是集合A的子集；
④如果，那么除以4的余数为0或1.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【详解】对于①，因为0是集合中的元素，所以，故①错误；
对于②，当时，，此时不是的真子集，故②错误；
对于③，当时，，且，故③错误；
对于④，，当，时，则除以4的余数为0，
当时，则除以4的余数为1，
综上，除以4的余数为0或1，故④正确.
所以真命题个数为1.
故选：B.
知识点08 全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
【即学即练】
1．设全集，集合，则中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】根据题给条件：可知，所以
即.
集合则，元素个数为4.
故选：B.
2．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由图可知阴影部分表示的集合为，
因为，所以或，所以，
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选：.
知识点09 德摩根律与容斥原理
1、德摩根律
(1)
(2)
2、容斥原理
一般地，对任意两个有限集,
进一步的：
【即学即练】
1．学业水平测试按照考生原始成绩从高分到低分分为，，，，五个等级，某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为的学生共有人.这两科中只有一科等级为的学生，其另外一科等级一定为．则该班（）
等级科目
物理
化学
A．物理化学等级都是的学生至多有人
B．物理化学等级都是的学生至少有人
C．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人
D．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人
【答案】C
【详解】两科等级均为的学生有人，
因为仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为，
所以物理等级为，化学等级为的有人人；
化学等级为，物理等级为的有人；
对于A，物理等级为的共有人，则化学等级也为的至多有人，A错误；
对于B，物理等级为的共有人，则化学等级也为的至少有人，B错误；
对于C，两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人，C正确；
对于D，两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人，D错误.
故选：C.
2．“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A 径赛项目B 其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ）
A．51 B．50 C．49 D．48
【答案】B
【详解】
由题意，，，，，
，，
因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，
所以这个班同学人数是.
故选：B.
知识点10 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作：
在逻辑推理中“”的几种说法
(1)“如果,那么”为真命题.
(2)是的充分条件.
(3)是的必要条件.
(4)的必要条件是.
(5)的充分条件是.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已..
2、从集合的角度理解充分与必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
【即学即练】
1．已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若，则.
①若，则，则，满足；
②若，则或.
时，，满足；
时，与元素的互异性相矛盾，故舍去.
综上所述，若，或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】若“”，则有，可推出“”成立，
若“”，则有或，解得或，推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
知识点11 全称量词与全称量词命题
概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.　
对全称量词与全称量词命题的理解
(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.
(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.
(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”.
(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
【即学即练】
1．命题“任意实数，都有”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】命题“任意实数，都有”的否定是:
.
故选：B.
2．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【详解】因为命题是假命题，
可得：为真命题；
可得：，
解得：，
故选：A
知识点12 存在量词与存在量词命题
概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为.
对存在量词与存在量词命题的理解
(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”.
(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
【即学即练】
1．已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】命题“”是假命题，则其否定“”是真命题.
当时，若，则，满足条件.
若，则在上单调递增，的最小值为，
要使成立，则，即，则，
若，则在上单调递减，的最小值为，
要使成立，则，即，则，
综上，当原命题为假时的取值范围是，
下面判断各个选项：
选项A：，不能推出，且也不能推出，
所以既不是充分条件也不是必要条件，
选项B：，能推出，但不能推出，
所以是充分不必要条件，
选项C：，不能推出，且不能推出，
所以是既不是充分条件也不是必要条件，
选项D：范围就是，为充要条件.
故选：B.
2．命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】依据题意，先改变量词，然后否定结论，
可得命题，的否定是：
，.
故选：B
题型01 集合的含义与表示
【典例1】若，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】若，
对于①，，①正确；
对于②，当中时，，所以，②正确；
对于③，若，不妨设，
则，，所以，③正确；
对于④，若且，不正确，
例如，，④不正确；
对于⑤，存在且，满足，
例如，，
若，
则，故，⑤正确.
综上，①②③⑤正确.
故选：C.
【典例2】已知集合，则集合等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，时，，
时，，
或或或时，，
或或或时，，
故.
故选：D.
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．
(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
【变式1】设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（ ）个.
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【详解】若不是孤立元，.
设另一元素为，
假设，此时，不合题意，故.
据此分析满足条件的集合为，共有6个.
故选：D
【变式2】由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【详解】当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致.故组成的集合中有两个元素.
故选:B.
【变式3】用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于（ ）
A．5 B．3 C．2 D．4
【答案】B
【详解】根据定义可知，又，所以可得或；
由方程可得或；
当时，方程只有一个实数根，此时，符合题意；
当时，必有，此时方程有两个不相等的实数根；
显然都不是方程的根，
则方程有两个相等的实数根，且异于，
此时，可得或，经检验均满足题意；
故可知，可得.
故选：B
题型02 集合间的基本关系
【典例1】若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】根据题意可知，当时，，所以不是“和谐集”中的元素；
当时，；当时，；当时，；
所以是“和谐集”中的一组元素；
当时，，当时，无意义，所以不是“和谐集”中的元素；
综上可知，集合的子集中“和谐集”的个数只有1个，即.
故选：B
【典例2】含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知，
将集合的子集两两配对：使且，则符合条件的集合对有个，
又由题设定义有集合与集合的交替和之和为4，
所以交替和的总和为.
故选：A.
1、两种方法：
(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；
(2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系
2、一个关键：关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系
3、根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性；
(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
【变式1】设集合，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，
即是的奇数倍构成的集合，
，
即是的整数倍构成的集合，
所以.
故选：.
【变式2】下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】对于A，，，故，所以A错误；
对于B，为点集，为数集，故，所以B错误；
对于C，，，故，所以C错误；
对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确，
故选：D.
【变式3】若集合，，且，则实数的值可以是（ ）．
A．2 B．2，
C．2，，0 D．2，，0，1
【答案】C
【详解】因为，所以．
当时，集合不满足集合元素的互异性；
当时，或（舍去），即，
此时，，满足；
当时，或，
当时，，，满足，
当时，，，满足．
所以或或．
故选：C．
题型03 集合的基本运算
【典例1】已知集合，，则的非空真子集的个数为（ ）
A．4 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】因为，，所以，所以的非空真子集的个数为．
故选：C.
【典例2】已知集合，集合A，B，C满足：①每个集合恰有6个元素②，集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数，记作. 则的最大值与最小值之和（ ）．
A．116 B．132 C．126 D．114
【答案】D
【详解】因为满足:①每个集合都恰有个元素；②，
所以一定各包含个不同数值，
集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是18，13，8，
特征数的和最小，如：，特征数为；
，特征数为；
，特征数为；
则最小，最小值为；
当集合中元素的最小值分别是1，6，11，最大值是18，17，16时，
特征数的和最大，
如：，特征数为；
，特征数为；
，特征数为；
则最大，最大值为，
故的最大值与最小值的和为.
故选：D.
1、集合基本运算的方法技巧
2、数形结合常使集合间的运算更简捷、直观
对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用．
3、集合运算中参数问题的求解策略
集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍.
具体步骤如下：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验．
【变式1】设集合，其中为自然数集，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，，
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
又，而，则，
所以，故D正确.
故选：D.
【变式2】已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得当 时， ，故选项A不正确；
，当时， ，故选项B不正确；
当 时， ，故选项C不正确；
因为，所以，故选项D正确.
故选：D.
【变式3】已知集合，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于集合，
当时，
当时，
所以,
又,,
所以,
故选：C
题型04 韦恩图及其应用
【典例1】已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确；
因为，，
所以，故①正确；
，故④错误.
所以正确的有3个.
故选：C.
【典例2】如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于方程，
当时，，解得，
当时，，即，恒成立，
当时，，解得，
∴.
由题意得，，.
图中阴影部分表示在集合B中不在集合A中的元素构成的集合，为.
故选：D.
韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解．
【变式1】设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【详解】由题意得，阴影部分可表示为，
因为或，，
则或，
且，所以.
故选：B.
【变式2】设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【详解】由可得，，
故，进而.
故选：D
【变式3】如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（ ）
A．图形I表示的集合为
B．图形Ⅲ表示的集合为
C．图形Ⅴ表示的集合为
D．图形Ⅷ表示的集合为
【答案】D
【详解】图形I表示的集合为；
图形Ⅱ表示的集合为；
图形Ⅲ表示的集合为；
图形Ⅳ表示的集合为；
图形Ⅴ表示的集合为；
图形Ⅵ表示的集合为；
图形Ⅶ表示的集合为；
图形Ⅷ表示的集合为．
故选：D.
题型05 集合的新定义问题
【典例1】当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确；
对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确；
对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误；
对④：任取有理数，，令，，则， ，
，且，所以有理数集是数域，故④正确.
所以正确的有：①②④.
故选：B.
【典例2】对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当都是偶数或都是奇数时，
则或或或或或或或或；
当是偶数，是奇数时，，或；
当是奇数，是偶数时，，或；
集合中含有个元素，它的子集个数为，
故选：B
(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；
(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．
【变式1】给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（ ）
A．自然数集是闭集合
B．无理数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合，为闭集合，则也为闭集合
【答案】C
【详解】取，则，故A错误；
取，则，不是无理数，故B错误；
设，，则，，故C正确；
取，，
由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被整除或被整除的全体整数集，
取，则，不能被或整除，即，故D错误.
故选：C
【变式2】集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据新定义可知集合M的长度为，集合N的长度为，
当集合的长度最小时，M与N应分别在区间上的左右两端，
故的长度的最小值是
故选：B.
【变式3】在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】解法一：一方面，取满足题意，则；
另一方面，若，不妨设，则，则，此时，且，矛盾！
综上所述，正整数的最大值为7.
解法二：，则，又，即若，内的数均不属于，
若，则，则，又，矛盾，
所以，当时，符合，所以．
故选：B.
题型06 充分条件与必要条件的判断
【典例1】已知集合是4与10的公倍数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】∵4与10的最小公倍数为20，
∴是4与10的公倍数，
∵，
∴ ，即由得不到，由能得到，
故是的必要不充分条件.
故选：B.
【典例2】“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．m<1
C． D．
【答案】D
【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件
为，解得，
又是的充分不必要条件，
故选：.
1．充要条件的四种判断方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断；
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
牢记：小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 p / q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且q p
注意区别是的充分不必要条件与的充分不必要条件是两者的不同．
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题
第一：化简条件和结论
第二：根据条件与结论范围的大小进行判断
第三：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
①若，则是的充分条件；
②若，则是的必要条件；
③若，则是的充分不必要条件；
④若，则是的必要不充分条件；
⑤若，则是的充要条件；
⑥若且，则是的既不充分也不必要条件.
(3)传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
①若是的充分条件，是的充分条件，则是的充分条件;
②若是的必要条件，是的必要条件，则是的必要条件;
③若是的充要条件，是的充要条件，则是的充要条件．
(4)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假
2．判断充要条件需注意的三点
(1)要分清条件与结论分别是什么；
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断；
(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．
【变式1】若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设，不等式且成立的充分条件是，
则，所以，
所以实数a的取值范围是.
故选：B.
【变式2】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】充分性，因为可得到或，
若或时，可得，所以是的充分条件；
必要性，若，当时，满足，但，
故不是的必要条件，
故选：A
【变式3】设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】，
故是的必要不充分条件，
故选：B
题型07 充分条件与必要条件的探求与应用
【典例1】设，则“”的充要条件为（ ）
A．至少有一个为1 B．都为1
C．都不为1 D．
【答案】A
【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1，
所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符.
故选：A
【典例2】给出下列各组条件：
①：，：；②：，：；
③：，：方程有实根；④：或，：.
其中是的充要条件的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】A
【详解】①由，即中至少有一个为0，
又由，可得且，即同时为0，
即，所以是的必要不充分条件；
②由，可得，即，
所以，可得，即，
所以是的充要条件.
③方程有实数根的充要条件是，解得，
所以，所以是有实数根的充分不必要条件.
④：或，：.
所以，所以或是的必要不充分条件.
故选：A.
1．把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
①准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
②注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
③灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“ ”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．（对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.）
2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
【变式1】已知集合M和集合N，那么的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对A，若，则，故A错误：
对B，若，则不能得到，故B错误；
对C，若，故C正确；
对D，，当是真子集时，不能得到，故D错误.
故选：C
【变式2】已知集合，．
(1)若，均有，求实数的取值范围；
(2)若，设：，，求证：成立的充要条件为．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）．
因为，均有，所以．
当时，，满足题意；
当时，，解得，所以．
综上，，即的取值范围是．
（2）证明：充分性：当时，则，
所以当时，，所以，为真命题，充分性成立；
必要性：若：，为真命题，则：，为假命题．
先求：，为真命题时的范围，
因为，所以，由：，，得．
则或，解得或，所以．
因为：，为假命题，所以.
综上，若，则成立的充要条件为．
【变式3】已知“”是“关于的方程至少有一个负根”的充要条件，求的值.
【答案】
【详解】“关于的方程至少有一个负根”的情况有：
当时，方程，解得，符合题意．
当时，方程有实根的充要条件是判别式，解得且，
设方程的两根为分别为，，则，，
①当时，方程的两根均为零即，不合题意；
②当时，，即方程有两个异号根；
③当时，，，即方程有两个负根；
综上所述，“”是“方程至少有一个负根”的充要条件，所以.
题型08 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【典例1】下列命题中为真命题的是（ ）
A． B．是整数
C． D．
【答案】B
【详解】对于A 选项，对于命题，因为对于任意实数，，所以，恒大于，A选项错误.
对于B 选项，对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数，所以是整数，B选项正确.
对于C 选项，对于命题，当时，，不满足，C选项错误.
对于D 选项，对于命题，例如，则，D选项错误.
故选：B.
【典例2】已知命题：，，命题：，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】C
【详解】当时，成立，所以命题为真命题；
当或1时，命题为假命题，所以为真命题；
故选：C.
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称量词命题 真 所有对象使命题真 否定为假
假 存在一个对象使命题假 否定为真
存在量词命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假
假 所有对象使命题假 否定为真
【变式1】设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（ ）
①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集；
②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集；
③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集；
④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【详解】对于集合，，
任意，即，则，即有，
因此对任意a，是的子集，命题③④错误；
对于集合，，
当时，，，则是的子集，
当时，，，
则不是的子集，命题①③错误，
所以对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，命题②正确，正确命题的个数为1.
故选：B
【变式2】已知命题，命题，则下列说法中正确的是（ ）
A．命题都是真命题 B．命题是真命题，是假命题
C．命题是假命题，是真命题 D．命题都是假命题
【答案】C
【详解】因为时,,是假命题；
因为时，,是真命题；
故选：C.
【变式3】已知集合，
(1)若，求；
(2)判断命题“，”的真假，并说明理由；
(3)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)真命题，理由见解析
(3)
【详解】（1）解：，
当时，，则或，
此时，.
（2）解：若，则，解得，
因为，所以，命题“，”为真命题.
（3）解：因为，则，
若，则，解得；
若，由可得，该不等式组无解.
综上所述，实数的取值范围是.
题型9 全称量词命题与存在量词命题的否定
【典例1】已知命题，命题，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【详解】对于而言，取，则，故是假命题，是真命题.
对于而言，令，，，
由零点存在性定理可知，存在，使得，
故是真命题，是假命题.
综上，和都是真命题.
故选：B
【典例2】若命题p：有些三角形是锐角三角形，则（ ）．
A．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形
B．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形
C．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形
D．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形
【答案】A
【详解】p：有些三角形是锐角三角形为真命题，
根据存在量词命题否定为全称量词命题。
所以p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形，
故选：A.
（1）含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
（2）全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
（3）命题的否定与否命题的区别
“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
【变式1】已知命题，；命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【详解】对于命题，时，，
所以，为假命题，为真命题，
对于命题，，解得或，
所以，，为真命题，为假命题，
所以和都是真命题.
故选：B
【变式2】已知命题．命题．
(1)写出两个命题的否定；
(2)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）因为，
所以非，
因为，
所以；
（2）因为，所以，
又，故，故，
命题．
即，又，故．
综上，当两个命题都是真命题时，的取值范围为．
【变式3】已知集合，集合，命题，命题，．
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）若为真命题，则，
所以，所以，
所以命题为假命题时，的取值范围为.
（2）当为假命题时，即“”为真命题，
所以，所以的取值范围为，
所以当均为假命题时的取值范围为，
所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或.
题型10 根据命题的真假求参数
【典例1】命题是假命题，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，命题的否定：.
∵命题是假命题，
∴命题的否定是真命题.
当时，，符合题意，
当时，，解得，
综上所述，的范围是.
故选：A.
【典例2】已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为命题“，”为假命题，
所以，命题“，”为真命题；
因为集合，集合，
所以，当时，即时，成立，
当时，
由“，”得，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
故选：A
(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
(3)利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
①，；
②，；
③，；
④，.
【变式1】设全集，集合，，其中．
(1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1），
“”是“”的必要而不充分条件，

，解得，
即实数的取值范围为；
（2）若命题“，使得”是假命题，则，
，或，
①当时，，解得，
②当时，则，无解，
即命题为假命题时，实数的取值范围为，
命题为真命题时，实数的取值范围为．
【变式2】已知，命题，；命题，．
(1)若p是真命题，求a的最大值；
(2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以，
即a的最大值为.
（2）若q是真命题，，解得或，
若q是假命题，，解得，
由已知p、q一真一假，
若p真q假，则，
若q真p假，则，
综上： 或
【变式3】已知集合，集合，．
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围;
(3)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
所以，解得，
所以实数的取值范围为；
（2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集，
当时，，得；
当时，，不等式组无解，
综上实数的取值范围为；
（3）若，
当时，，得；
当时，或，解得或无解，
综上，
所以实数的取值范围为.
1．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，
若，则，B A，
若，则，B A，
若，则，B A，
∴B A的一个充分不必要条件是.
故选：B
2．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得.
当时，则或解得.
综上，，即m的取值范围是.

故选：C.
3．设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（ ）
A．12个 B．8个 C．6个 D．4个
【答案】A
【详解】由已知得，
故，化简得.
当时，，，，；
当时，，，，；
当时，，；
当时，，.
综上，满足条件的有序数对共有12对.
故选：A.
4．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为，所以集合中至少有3个整数，所以集合中的两个整数只能为0，1或2，3．
若集合中的两个整数是2，3，则解得；
若集合中的两个整数是0，1，则解得．
综上可得，或，即的取值范围是．
故选：A
5．已知全集，集合，，则正确的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，当，，所以，
当，，所以，所以，故A错误；
，故B正确；由，所以，故C错误；
因为，所以，故D错误.
故选：B.
6．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由命题“，”为假命题，则由“，”为真命题，
则，因，所以，所以可得，
所以原命题为假命题的一个充分不必要条件是，故A正确.
故选：A.
7．已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
又，，所以，
又，
所以，
故选：D.
8．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵，∴.
若命题“，”是真命题，则，即.
命题“，”是真命题的充分不必要条件对应的范围是的真子集，根据选项可知D选项符合题意.
故选：D.
9．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】1.判断充分性
已知，所以.
又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中，
所以和没有公共元素，即.
由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”，
所以“存在集合使得，”是“”的充分条件.
2. 判断必要性
已知，即和没有公共元素.此时取集合，
那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图，
因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即，
同时（即）.所以当“”时，
能推出“存在集合使得，”，
所以“存在集合使得，”是“”的必要条件.
则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件.
故选：C.
10．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个．
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可，
故满足条件的集合有：，，，，，，
，，，，，，，，
，.
故选：B.
11．设集合，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为集合，，
若，由集合的互异性知，则或．
当时，，
，有，得，
所以；
当时，集合，，有，
又，所以，得，不满足题意．
综上．
故选：C．
12．已知集合，，．
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集.
已知，，则，解得.
故实数的取值范围为.
（2）当时，因为，所以，解得，此时成立；
当时，，解得.
因为，，则或，解得或，故此时.
综上，若，则实数的取值范围为.
13．已知数集具有性质：对任意的，，使得成立.
(1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
(2)求证：.
【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）对于数集，若具有性质，则，，
因为，即，
，即，
，即，
所以具有性质；
对于数集，若具有性质，则，，
因为，即，，即，
，即，，即，
，即，，即，
，即，，即，
，即，，即，
所以不具有性质.
（2）因为集合具有性质：
即对任意的，使得成立，
又因为，，所以，，
所以，
即，
将上述不等式相加得：，
所以，
因为，所以，
故．
14．已知集合，集合．
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围；
(3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
（2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集．
当时，满足，此时，得；
当时，若，则，不等式组无解．
综上，实数的取值范围为．
（3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以．
所以，解得，所以实数的取值范围为．
方法二：“，”是真命题，则．
当时，若，则；
若，则或，解得．
综上，当时，．
所以当时，，即实数的取值范围为．
15．设全集，集合．
(1)若时，求；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，或
(2)
(3)．
【详解】（1）因为，所以，又，
所以．
方法一 因为或，或，
所以或．
方法二 或．
（2）因为，所以，
又，所以解得，
所以的取值范围是．
（3）因为，所以（，分为与两种情况讨论）．
若，则，可得，满足；
若，要使，则不等式组无解．
综上，的取值范围是．
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第一章 集合与常用逻辑用语
教学目标 1.元素与集合 ① 理解元素与集合的概念，熟练常用数集的概念及其记法. ② 了解“属于”关系的意义. ③了解有限集、无限集、空集的意义. 2.集合的表示方法 掌握集合的常用表示方法(列举法、描述法及相互转化). 3.元素的性质 理解集合元素的三个性质：确定性、无序性、互异性. 4.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集; 5.理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。 6.理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义与具体要求. 7.会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件.
教学重难点 1.重点 理解并集、交集、全集与补集的意义，会集合间的运算. 2.难点 理解全称量词与存在量词的含义，并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念，能用数学符号表示两种命题，能准确判断两类命题的真假，及判定方法.
知识点01 集合的表示方法与分类
1、常用数集及其符号
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
数学符合 或
2、集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注用列举法表示集合时注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开．
②集合中的元素必须是明确的．
③集合中的元素不能重复．
④集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4）（韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
3、集合的分类
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.
（1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示.
（2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。
【即学即练】
1．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．有下列说法：其中正确的说法是（ ）
（1）0与表示同一个集合
（2）由1，2，3组成的集合可表示为或；
（3）方程的所有解的集合可表示为；
（4）集合是有限集.
A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3）
知识点02 元素与集合
1元素与集合的关系
(1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .
(2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.
2集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
【即学即练】
1．已知集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．不属于M，Q，P中的任意一个
2．已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（ ）
A． B．
C． D．
知识点03 子集
1子集：
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：①任何一个集合是它本身的子集，即 .
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.
【即学即练】
1．若集合的三个子集满足 ，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
2．已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
知识点04 集合相等
一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则 .
（1）的图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
【即学即练】
1．已知集合，．则（ ）
A． B．是的真子集
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．由组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
知识点05 真子集
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：①任何一个集合都 它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【即学即练】
1．已知集合，则A子集的个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（ ）
A．12 B．32 C．80 D．192
知识点06 空集
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：
规定：空集是任何集合的子集，即 ;
性质：（1）空集只有一个子集，即它的本身，
(2)，则
和 和 和
相同点 都表示无 都是集合 都是集合
不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为：
关系 或者
【即学即练】
1．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．设非空集合满足：当时，有，给出如下四个命题：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则或；其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点07 并集与交集
1、并集
(1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:① ;② ;③ .可用下图所示形象地表示.
2、交集
(1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成.
(2)对于“”,包含以下两层意思:① ;② ,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是.
(4)当时,和同时成立.
【即学即练】
1．已知集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．判断下列命题为真命题的个数（ ）
①0是的真子集；
②；
③如果集合A是集合B的子集，那么集合B就不是集合A的子集；
④如果，那么除以4的余数为0或1.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
知识点08 全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即 .
补集的性质： , , .
【即学即练】
1．设全集，集合，则中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
知识点09 德摩根律与容斥原理
1、德摩根律
(1)
(2)
2、容斥原理
一般地，对任意两个有限集,
进一步的：
【即学即练】
1．学业水平测试按照考生原始成绩从高分到低分分为，，，，五个等级，某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为的学生共有人.这两科中只有一科等级为的学生，其另外一科等级一定为．则该班（）
等级科目
物理
化学
A．物理化学等级都是的学生至多有人
B．物理化学等级都是的学生至少有人
C．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人
D．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人
2．“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A 径赛项目B 其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ）
A．51 B．50 C．49 D．48
知识点10 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作：
在逻辑推理中“”的几种说法
(1)“如果,那么”为真命题.
(2)是的充分条件.
(3)是的必要条件.
(4)的必要条件是.
(5)的充分条件是.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已..
2、从集合的角度理解充分与必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
【即学即练】
1．已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
知识点11 全称量词与全称量词命题
概念:短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.　
对全称量词与全称量词命题的理解
(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.
(2)常见的全称量词还有“ ”“ ”等.
(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”.
(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
【即学即练】
1．命题“任意实数，都有”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
知识点12 存在量词与存在量词命题
概念:短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为.
对存在量词与存在量词命题的理解
(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)常见的存在量词还有“ ”“ ”“ ”“ ”等.
(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”.
(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
【即学即练】
1．已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
题型01 集合的含义与表示
【典例1】若，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足.
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例2】已知集合，则集合等于（ ）
A． B．
C． D．
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．
(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
【变式1】设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（ ）个.
A．0 B．2 C．4 D．6
【变式2】由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【变式3】用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于（ ）
A．5 B．3 C．2 D．4
题型02 集合间的基本关系
【典例1】若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例2】含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（ ）
A． B． C． D．
1、两种方法：
(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；
(2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系
2、一个关键：关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系
3、根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性；
(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
【变式1】设集合，，那么（ ）
A． B． C． D．
【变式2】下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式3】若集合，，且，则实数的值可以是（ ）．
A．2 B．2，
C．2，，0 D．2，，0，1
题型03 集合的基本运算
【典例1】已知集合，，则的非空真子集的个数为（ ）
A．4 B．1 C．2 D．3
【典例2】已知集合，集合A，B，C满足：①每个集合恰有6个元素②，集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数，记作. 则的最大值与最小值之和（ ）．
A．116 B．132 C．126 D．114
1、集合基本运算的方法技巧
2、数形结合常使集合间的运算更简捷、直观
对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用．
3、集合运算中参数问题的求解策略
集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍.
具体步骤如下：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验．
【变式1】设集合，其中为自然数集，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（ ）.
A． B． C． D．
【变式3】已知集合，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
题型04 韦恩图及其应用
【典例1】已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例2】如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解．
【变式1】设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C．或 D．
【变式2】设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A．或 B．或
C． D．
【变式3】如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（ ）
A．图形I表示的集合为
B．图形Ⅲ表示的集合为
C．图形Ⅴ表示的集合为
D．图形Ⅷ表示的集合为
题型05 集合的新定义问题
【典例1】当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【典例2】对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（ ）
A． B． C． D．
(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；
(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．
【变式1】给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（ ）
A．自然数集是闭集合
B．无理数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合，为闭集合，则也为闭集合
【变式2】集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
题型06 充分条件与必要条件的判断
【典例1】已知集合是4与10的公倍数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．m<1
C． D．
1．充要条件的四种判断方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断；
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
牢记：小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 p / q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且q p
注意区别是的充分不必要条件与的充分不必要条件是两者的不同．
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题
第一：化简条件和结论
第二：根据条件与结论范围的大小进行判断
第三：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
①若，则是的充分条件；
②若，则是的必要条件；
③若，则是的充分不必要条件；
④若，则是的必要不充分条件；
⑤若，则是的充要条件；
⑥若且，则是的既不充分也不必要条件.
(3)传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
①若是的充分条件，是的充分条件，则是的充分条件;
②若是的必要条件，是的必要条件，则是的必要条件;
③若是的充要条件，是的充要条件，则是的充要条件．
(4)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假
2．判断充要条件需注意的三点
(1)要分清条件与结论分别是什么；
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断；
(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．
【变式1】若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3】设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型07 充分条件与必要条件的探求与应用
【典例1】设，则“”的充要条件为（ ）
A．至少有一个为1 B．都为1
C．都不为1 D．
【典例2】给出下列各组条件：
①：，：；②：，：；
③：，：方程有实根；④：或，：.
其中是的充要条件的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
1．把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
①准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
②注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
③灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“ ”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．（对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.）
2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
【变式1】已知集合M和集合N，那么的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知集合，．
(1)若，均有，求实数的取值范围；
(2)若，设：，，求证：成立的充要条件为．
【变式3】已知“”是“关于的方程至少有一个负根”的充要条件，求的值.
题型08 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【典例1】下列命题中为真命题的是（ ）
A． B．是整数
C． D．
【典例2】已知命题：，，命题：，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称量词命题 真 所有对象使命题真 否定为假
假 存在一个对象使命题假 否定为真
存在量词命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假
假 所有对象使命题假 否定为真
【变式1】设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（ ）
①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集；
②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集；
③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集；
④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式2】已知命题，命题，则下列说法中正确的是（ ）
A．命题都是真命题 B．命题是真命题，是假命题
C．命题是假命题，是真命题 D．命题都是假命题
【变式3】已知集合，
(1)若，求；
(2)判断命题“，”的真假，并说明理由；
(3)若，求的取值范围.
题型9 全称量词命题与存在量词命题的否定
【典例1】已知命题，命题，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【典例2】若命题p：有些三角形是锐角三角形，则（ ）．
A．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形
B．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形
C．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形
D．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形
（1）含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
（2）全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
（3）命题的否定与否命题的区别
“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
【变式1】已知命题，；命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【变式2】已知命题．命题．
(1)写出两个命题的否定；
(2)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围．
【变式3】已知集合，集合，命题，命题，．
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
题型10 根据命题的真假求参数
【典例1】命题是假命题，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
(3)利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
①，；
②，；
③，；
④，.
【变式1】设全集，集合，，其中．
(1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围．
【变式2】已知，命题，；命题，．
(1)若p是真命题，求a的最大值；
(2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
【变式3】已知集合，集合，．
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围;
(3)若，求实数的取值范围．
1．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（ ）
A．12个 B．8个 C．6个 D．4个
4．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知全集，集合，，则正确的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
7．已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ）
A． B． C． D．
8．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
9．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个．
A．14 B．16 C．18 D．20
11．设集合，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知集合，，．
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
13．已知数集具有性质：对任意的，，使得成立.
(1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
(2)求证：.
14．已知集合，集合．
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围；
(3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围．
15．设全集，集合．
(1)若时，求；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
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