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13.3 三角形的内角与外角 讲义
知识点1：三角形的内角和定理
1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
2．三角形内角和的证明思路：
（1）测量法：用量角器测量．
（2）拼合法：运用平行线的性质，将三个内角拼在一个顶点处，合并成一个平角．
（3）利用“平行线的性质”证明．
原理：运用平行线的性质，将三角形的三个内角转化为一个平角或者一对同旁内角．
知识点2：直角三角形的性质与判定
1．性质：直角三角形的两个锐角互余．
2．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
3．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．
知识点3：三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角．
2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
1．因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
2．直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
（3）性质和判定的推理依据都是三角形内角和定理．
3．教材延伸
（1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
（2）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°．
题型01 应用三角形内角和定理判断三角形的形状
（2025春 市南区期末）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】A
【分析】利用三角形的内角和定理和角的比即可求出．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∴3x+4x+5x＝180°，
解得：x＝15°，
则∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC是锐角三角形．
故选：A．
【变式练1】　（2024秋 凤台县期末）若△ABC的三个内角的比为2：5：3，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【变式练2】　（2025春 茂名期末）若一个三角形的三个内角度数的比为3：4：2，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【变式练3】　（2024秋 柳州期末）已知△ABC中∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
题型02 应用三角形内角和定理计算
（2025春 寿县期末）如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠B＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC的度数为（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】C
【分析】先求出∠BCD的度数，再根据三角形的内角和定理求解．
【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝50°，
∴∠BCD∠ACB＝25°．
在△BDC中，
∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝180°﹣70°﹣25°＝85°．
故选：C．
【变式练1】　（2025春 泉港区期末）一个三角形的两个内角分别是50°和60°，则第三个内角的度数是（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【变式练2】　（2025春 三元区期中）一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【变式练3】　（2024秋 黄埔区期末）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠AEC的度数为（　　）
A．105° B．120° C．75° D．45°
题型03 直角三角形的性质
（2025春 北海期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A的度数是（　　）
A．50° B．30° C．60° D．40°
【答案】A
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B＝90°，再代入∠B的度数可得∠A的度数．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠A＝50°，
故选：A．
【变式练1】　（2025春 湘潭期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，则∠B的度数为（　　）
A．53° B．63° C．73° D．83°
【变式练2】　（2025春 玉门市期末）在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A的度数为　　 ．
【变式练3】　（2025春 娄底期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A＝　　 ．
题型04 三角形内角和定理及角平分线、高的综合应用
（2025春 历城区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E，F分别在边BC，AC上，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P，若∠FEC＝26°，则∠P的度数为（　　）
A．39° B．52° C．65° D．78°
【答案】B
【分析】根据题意得出∠PBC＝∠C，设∠C＝x，则∠PBC＝x，表示出∠AFE，根据角平分线的定义可得∠FEP的度数，再根据∠PEC＝∠P+∠PBC，即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠PBC＝∠C，
设∠C＝x，则∠PBC＝x，
∵∠FEC＝26°，
∴∠AFE＝x+26°，
∵∠AEF＝2∠AFE，
∴∠AEF＝2x+52°，
∵EP平分∠AEF，
∴∠FEP＝x+26°，
∵∠PEC＝∠P+∠PBC，
∴x+26°+26°＝∠P+x，
∴∠P＝52°，
故选：B．
【变式练1】　（2025春 鲤城区校级期中）如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB＝40°，则∠DAE等于（　　）
A．50° B．40° C．35° D．25°
【变式练2】　（2025春 成都期中）如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝　　 ．
【变式练3】　（2025春 南岗区校级月考）在△ABC中，BD和BE分别为△ABC的高和角平分线，∠A＝30°，∠DBE＝10°，则∠ABC的度数为　　 ．
题型05 三角形外角的性质
（2025 宁江区校级模拟）将两把直尺如图放置，若∠2＝125°，则∠1的度数等于（　　）
A．115° B．125° C．135° D．145°
【答案】D
【分析】由邻补角的性质求出∠CAB的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．
【解答】解：如图，由题意得到：∠C＝90°，
∵∠2＝125°，
∴∠CAB＝180°﹣∠2＝55°，
∴∠1＝∠CAB+∠C＝145°，
故选：D．
【变式练1】　（2025春 绿园区期末）△ABC中，点D是BC边上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝82°，则∠2＝（　　）
A．80° B．90° C．82° D．69°
【变式练2】　（2025 福州模拟）在△ABC中，∠A、∠B的外角分别是100°和150°，则∠C＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．90°
【变式练3】　（2024秋 集美区期末）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD．下列角中，大小等于∠B+∠BCD的是（　　）
A．∠ADC B．∠BDC C．∠A D．∠ACB中小学教育资源及组卷应用平台
13.3 三角形的内角与外角 讲义
知识点1：三角形的内角和定理
1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
2．三角形内角和的证明思路：
（1）测量法：用量角器测量．
（2）拼合法：运用平行线的性质，将三个内角拼在一个顶点处，合并成一个平角．
（3）利用“平行线的性质”证明．
原理：运用平行线的性质，将三角形的三个内角转化为一个平角或者一对同旁内角．
知识点2：直角三角形的性质与判定
1．性质：直角三角形的两个锐角互余．
2．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
3．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．
知识点3：三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角．
2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
1．因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
2．直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
（3）性质和判定的推理依据都是三角形内角和定理．
3．教材延伸
（1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
（2）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°．
题型01 应用三角形内角和定理判断三角形的形状
（2025春 市南区期末）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】A
【分析】利用三角形的内角和定理和角的比即可求出．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∴3x+4x+5x＝180°，
解得：x＝15°，
则∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC是锐角三角形．
故选：A．
【变式练1】　（2024秋 凤台县期末）若△ABC的三个内角的比为2：5：3，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【分析】设三角形的三个内角分别是5k，2k，3k．根据三角形的内角和是180°，列方程求得三个内角的度数，即可判断三角形的形状．
【解答】解：设三角形的三个内角分别是5k，2k，3k．
根据三角形的内角和定理，得5k+2k+3k＝180°，
解得k＝18°．
∴最大的内角为90°．
∴该三角形是直角三角形．
故选：C．
【变式练2】　（2025春 茂名期末）若一个三角形的三个内角度数的比为3：4：2，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】根据各角度数间的关系，可求出最大内角的度数，由该值小于90°，可得出这个三角形是锐角三角形．
【解答】解：根据题意得：最大内角的度数为180°＝80°，
∵80°＜90°，
∴这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
【变式练3】　（2024秋 柳州期末）已知△ABC中∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设出∠A，∠B，∠C分别为x，2x，3x，根据三角形内角和定理求出x即可．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A，∠B，∠C分别为x，2x，3x，
∴x+2x+3x＝180°，
∴6x＝180°，
∴x＝30°，
∴∠A，∠B，∠C分别为x＝30°，2x＝2×30°＝60°，3x＝3×30°＝90°，
∴△ABC的最大内角为90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
题型02 应用三角形内角和定理计算
（2025春 寿县期末）如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠B＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC的度数为（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】C
【分析】先求出∠BCD的度数，再根据三角形的内角和定理求解．
【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝50°，
∴∠BCD∠ACB＝25°．
在△BDC中，
∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝180°﹣70°﹣25°＝85°．
故选：C．
【变式练1】　（2025春 泉港区期末）一个三角形的两个内角分别是50°和60°，则第三个内角的度数是（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】根据三角形三个内角的和是180°计算即可．
【解答】解：一个三角形的两个内角分别是50°和60°，则第三个内角的度数是180°﹣50°﹣60°＝70°，
故选：C．
【变式练2】　（2025春 三元区期中）一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【分析】利用三角形内角和定理，即可求出第三个内角的度数．
【解答】解：∵一个三角形的两个内角分别是50°和70°，
∴第三个内角的度数是180°﹣50°﹣70°＝60°．
故选：C．
【变式练3】　（2024秋 黄埔区期末）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠AEC的度数为（　　）
A．105° B．120° C．75° D．45°
【答案】C
【分析】三角形内角和是180°，由此即可计算．
【解答】解：∵∠ECA＝45°，∠EAC＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故选：C．
题型03 直角三角形的性质
（2025春 北海期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A的度数是（　　）
A．50° B．30° C．60° D．40°
【答案】A
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B＝90°，再代入∠B的度数可得∠A的度数．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠A＝50°，
故选：A．
【变式练1】　（2025春 湘潭期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，则∠B的度数为（　　）
A．53° B．63° C．73° D．83°
【答案】A
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，
则∠B＝90°﹣37°＝53°，
故选：A．
【变式练2】　（2025春 玉门市期末）在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A的度数为　　 ．
【答案】55°．
【分析】根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，
∴∠A＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55°．
【变式练3】　（2025春 娄底期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A＝　　 ．
【答案】50°．
【分析】根据三角形的内角和等于180度，能够得出答案．
【解答】解：∵三角形的内角和等于180度，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，即∠B＝90°﹣∠A，
∵∠A﹣∠B＝10°，
∴∠A﹣（90°﹣∠A）＝10°．
∴∠A＝50°．
故答案为：50°．
题型04 三角形内角和定理及角平分线、高的综合应用
（2025春 历城区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E，F分别在边BC，AC上，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P，若∠FEC＝26°，则∠P的度数为（　　）
A．39° B．52° C．65° D．78°
【答案】B
【分析】根据题意得出∠PBC＝∠C，设∠C＝x，则∠PBC＝x，表示出∠AFE，根据角平分线的定义可得∠FEP的度数，再根据∠PEC＝∠P+∠PBC，即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠PBC＝∠C，
设∠C＝x，则∠PBC＝x，
∵∠FEC＝26°，
∴∠AFE＝x+26°，
∵∠AEF＝2∠AFE，
∴∠AEF＝2x+52°，
∵EP平分∠AEF，
∴∠FEP＝x+26°，
∵∠PEC＝∠P+∠PBC，
∴x+26°+26°＝∠P+x，
∴∠P＝52°，
故选：B．
【变式练1】　（2025春 鲤城区校级期中）如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB＝40°，则∠DAE等于（　　）
A．50° B．40° C．35° D．25°
【答案】D
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CAE，再根据角平分线的定义可得∠DAE∠CAE．
【解答】解：∵AE是△ABC边上的高，∠ACB＝40°，
∴∠CAE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAE∠CAE50°＝25°．
故选：D．
【变式练2】　（2025春 成都期中）如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝　　 ．
【答案】16°．
【分析】由三角形内角和定理求得∠BAC，则根据角平分线的定义易求∠EAC，根据三角形外角定理，即可求得∠AED，在直角△AED中，利用直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠EAD，即可作答．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝70°，
则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°．
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC∠BAC＝36°，
∴∠AED＝∠B+∠BAE＝38°+36°＝74°，
∵AD是△ABC的高线，
∴△AED为直角三角形，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣74°＝16°，
故答案为：16°．
【变式练3】　（2025春 南岗区校级月考）在△ABC中，BD和BE分别为△ABC的高和角平分线，∠A＝30°，∠DBE＝10°，则∠ABC的度数为　　 ．
【答案】100°或140°．
【分析】设∠ABC＝x°，则∠C＝100°x°或∠C＝80°x°，利用三角形内角和定理，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设∠ABC＝x°，则∠C＝90°﹣（x°﹣10°）＝100°x°或∠C＝90°﹣（x°+10°）＝80°x°，
根据题意得：30°+x°+100°x°＝180°或30°+x°+80°x°＝180°，
解得：x＝100或x＝140，
∴∠ABC的度数为100°或140°．
故答案为：100°或140°．
题型05 三角形外角的性质
（2025 宁江区校级模拟）将两把直尺如图放置，若∠2＝125°，则∠1的度数等于（　　）
A．115° B．125° C．135° D．145°
【答案】D
【分析】由邻补角的性质求出∠CAB的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．
【解答】解：如图，由题意得到：∠C＝90°，
∵∠2＝125°，
∴∠CAB＝180°﹣∠2＝55°，
∴∠1＝∠CAB+∠C＝145°，
故选：D．
【变式练1】　（2025春 绿园区期末）△ABC中，点D是BC边上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝82°，则∠2＝（　　）
A．80° B．90° C．82° D．69°
【答案】C
【分析】根据题意，则∠BAC＝∠1+∠BAD＝82°，根据三角形的外角∠2＝∠B+∠BAD，即可．
【解答】解：由题意可知∠BAC＝∠1+∠BAD＝82°，
∵∠B＝∠1，
∴∠B+∠BAD＝82°，
∵∠2＝∠B+∠BAD，
∴∠2＝82°．
故选：C．
【变式练2】　（2025 福州模拟）在△ABC中，∠A、∠B的外角分别是100°和150°，则∠C＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．90°
【答案】C
【分析】由平角的定义可得∠A＝80°，∠B＝30°，由三角形的内角和即可求∠C．
【解答】解：∵∠A，∠B的外角分别是100°，150°，
∴∠A＝80°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°．
故选：C．
【变式练3】　（2024秋 集美区期末）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD．下列角中，大小等于∠B+∠BCD的是（　　）
A．∠ADC B．∠BDC C．∠A D．∠ACB
【答案】A
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可得到答案．
【解答】解：A、∠ADC＝∠B+∠BCD，故A符合题意；
B、∠BDC＝∠A+∠ACD，故B不符合题意；
C，显然∠B+∠BCD不一定等于∠A，故C不符合题意；
D、∠ACB＝∠BCD+∠ACD，故D不符合题意．
故选：A．

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