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15.1.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线
的性质与判定
1. 探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
(重点)
2. 能运用线段的垂直平分线的性质及判定解题. (难点)
某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
在△ABC 中，如何找到一点 P 使得它到三角形三个顶点距离相等？
数学建模
分析：
先探究某点到一边
证明该点特殊位置
解决实际问题
操作探究：如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2， P3，···是 l 上的点，分别量一量点 P1，P2，P3，···到点 A 与点 B 的距离.
l
A
B
P3
P1
P2
探究点一：线段的垂直平分线的性质
问题1：观察量得的数据，你有什么发现？
问题2：如果把问题 1 中的线段 AB 沿直线 l 对折，线段 P1A 与 P1B、线段 P2 A 与 P2 B、线段 P3 A 与P3B ······都重合吗？它们都分别相等吗？
P1 A＝P1 B，
P2 A＝P2 B，
P3 A＝P3 B.
都重合，都分别相等.
探究点一：线段的垂直平分线的性质
【知识要点】
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_____.
相等
几何表达：
如果 l⊥AB，AC = CB，
那么对 l 上任意一点 P，
有 PA = PB.
探究点一：线段的垂直平分线的性质
问题3：上面的性质，可以利用判定两个三角形全等的方法进行证明．请你完成下面的证明.
∴ PA ＝PB.
证明： ∵ l ⊥ AB，
∴ ∠PCA ＝ ∠PCB.
又 AC ＝CB ，PC ＝PC ，
∴ △PCA≌△PCB(SAS).
如图，直线 l⊥AB ，垂足为 C ，AC ＝CB ，点 P 在 l 上．求证 PA ＝PB.
探究点一：线段的垂直平分线的性质
例1 如图，在△ABC 中，边 BC 的垂直平分线 DE
交 AB 于点 D ，连接 DC ，若 AB = 3.7 ，AC = 2.3 ，则△ADC 的周长是______.
解 ∵ DE 是 BC 的垂直平分线，
∴ BD = CD.
而 C△ADC = AD + CD + AC，
∴C△ADC = AD + BD + AC
= AB + AC
= 3.7 + 2.3
= 6.
6
探究点一：线段的垂直平分线的性质
思考：在前面的探究中，我们得知线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．反过来，与线段两个端点距离相等的点，是否一定在这条线 段的垂直平分线上呢？
探究：如图，PA ＝PB. 点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
A
B
P
探究点二：线段的垂直平分线的判定
问题1：过点 P 的直线有无数条，如果我们要说明 点 P 在 AB 的垂直平分线上，我们可以先选定一条 怎样的直线进行说明？怎样说明？
可以先过点 P 作一条与 AB 垂直的直线，再说明这 条直线平分线段 AB.
如图，先过点 P 作 PC⊥AB，垂 足为 C ，
再说明 AC ＝BC.
A
B
P
C
探究点二：线段的垂直平分线的判定
问题2：如图，已知点 P 是线段 AB 外一点连接 PA、PB，PA = PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
证明：过点 P 作 AB 的垂线 PC，垂足为点 C．
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
又 PC⊥AB，
∴ AC = BC．
∴ Rt△PCA≌Rt△PCB(HL)．
PA = PB，PC = PC，
在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中，
则∠PCA =∠PCB = 90°．
A
B
P
C
探究点二：线段的垂直平分线的判定
线段垂直平分线的判定：
与线段两个端点的距离_____的点在这条线段的___________上.
相等
垂直平分线
直线 l 可看成与两点 A、B 的距离相等的所有点的集合.
几何表达：
如果点 P 满足 PA = PB，
那么过点 P ⊥ AB 并交 AB 于点 C ，
有 AC = CB.
探究点二：线段的垂直平分线的判定
例2 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？证一证.
解：连接 AB、BC、CA，食堂应该建在线段 AB、BC、CA 的垂直平分线的交点上，理由如下：
探究点二：线段的垂直平分线的判定
总结
∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线 MN 上，
∴ PA = PB.
同理，PB = PC.
∴ PA = PB = PC.
三角形任意两边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.
探究点二：线段的垂直平分线的判定
【针对训练】1.如图，已知 AB = AC，AD⊥BC，AB + BD = DE ，求证：点 C 在 AE 的垂直平分线上.
分析：
AB = AC
AD 垂直平分 BC
AD⊥BC
BD = DC
AB + BD = DE
CA = CE
点 C 在 AE 的垂直平分线上
探究点二：线段的垂直平分线的判定
证明：∵ AB = AC，AD⊥BC，
∴点 C 在 AE 的垂直平分线上.
∴CA = CE.
∵AB + BD = DE ，AB = AC，
∴BD = DC.
∴AD 垂直平分 BC.
探究点二：线段的垂直平分线的判定
讨论：关于探究点一和探究点二中的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？回忆我们学过的知识，能说出其他具有类似关系的命题吗？
探究点三：原命题和逆命题
这两个命题的题设和结论正好相反，类似关系的命题有角平分线的性质和判定.
探究一：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
探究二：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
两个命题的题设和结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
思考：如果原命题成立，它的逆命题一定成立吗？
互逆命题
不一定，原命题和逆命题是否成立没有直接关系.
探究点三：原命题和逆命题
例2 判断下列命题及其逆命题是否成立.
（1）对顶角相等.
（2）内错角相等，两直线平行.
（3）若 a > b ，则 | a | > | b |.
总结：一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理. 这两个定理叫作互逆定理.
其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
原命题成立，逆命题成立
原命题成立，逆命题不成立
原命题不成立，逆命题不成立
探究点三：原命题和逆命题
线段的垂直平分线的性质
___________________与这条线段_________的距离_____
与__________________距离_____的点在这条线段的___________上.
互逆
线段垂直平分线的点
两个端点
相等
这条线段两个端点
相等
垂直平分线
1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点P. 已知PA＝5，则线段PB的长度为(　D　)
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
第1题图
D
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，O是AD上一点，且OB＝OC，若BC＝4，则BD的长为(　B　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第2题图
B
3. 如图所示的仪器中，OD＝OE，CD＝CE. 小州把这个仪器放在直线l上，使点D，E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，其中蕴含的道理
是__________________________________
______________________________.
与线段两个端点距离相等的点在
这条线段的垂直平分线上　
4. 命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题是
，
它是 (填“真”或“假”)命题.
内错角相等，两直线平行　
真　
请把下面的说理过程补充完整.
已知：如图，在△ABC中，分别
作边AB，BC的垂直平分线，两
线相交于点P，分别交边AB，
BC于点E，F.
5.求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，
PA＝ .
证明：连接PA，PC，PB.
∵点P是AB边垂直平线上的一点，
∴PB＝ .
同理可得 .∴PA＝PC＝PB.
∴点P是 边垂直平线上的一点.
∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P.
PC＝PB　
PA　
PB＝PC　
AC　第15章 轴对称
15.1.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
【素养目标】
1. 探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理。 （重点）
2. 能运用线段的垂直平分线的性质及判定解题。 （难点）
【情境导入】
某学校为了方便学生生活，计划在三栋宿舍楼、、之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
在三栋宿舍楼 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
数学建模：在 中，如何找到一点 使得它到三角形三个顶点距离相等？
【合作探究】
探究点一： 线段的垂直平分线的性质
操作探究：如图，直线 垂直平分线段 , ，是 上的点，分别量一量点 到点 与点 的距离。
问题1: 观察量得的数据， 你有什么发现？
问题2: 如果把问题 1 中的线段 沿直线 对折， 线段 与 、线段 与 、线段 与 ……都重合吗？它们都分别相等吗？
【知识要点】
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______.
几何表达： 如果 ,
那么对 上任意一点 ，有 .
问题3：上面的性质，可以利用判定两个三角形全等的方法进行证明。 请你完成下面的证明。
如图，直线 ，垂足为点 ，点 在 上。 求证 .
例1 如图，在 中，边 的垂直平分线 交 于点 ，连接 ,
若 , 则 的周长是__________.
探究点二： 线段的垂直平分线的判定
思考： 在前面的探究中， 我们得知线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 反过来，与线段两个端点距离相等的点，是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？
探究： 如图， . 点 是否在线段 的垂直平分线上呢？
问题1: 过点 的直线有无数条，如果我们要说明点 在 的垂直平分线上，我们可以先选定一条怎样的直线进行说明？ 怎样说明？
问题2: 如图，已知点 是线段 外一点连接 , ,
求证： 点 在线段 的垂直平分线上。
线段垂直平分线的判定：
与线段两个端点的距离_______的点在这条线段的________上。
几何表达： 如果点 满足 , 那么过点 并交 于点 ,
有 .
直线 可看成与两点 、 的距离相等的所有点的集合。
例2 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 、 、 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？ 证一证。
【针对训练】
1. 如图，已知 , 求证： 点 在 的垂直平分线上。
探究点三：原命题和逆命题
讨论： 关于探究点一和探究点二中的两个命题， 它们的题设和结论有什么关系？回忆我们学过的知识， 能说出其他具有类似关系的命题吗？
探究一：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
探究二：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
互逆命题
两个命题的题设和结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题。 如果把其中一个叫作原命题， 那么另一个叫作它的逆命题。
思考： 如果原命题成立， 它的逆命题一定成立吗？
例2 判断下列命题及其逆命题是否成立。
(1) 对顶角相等。
(2) 内错角相等，两直线平行。
(3) 若 ，则 .
总结：一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理。 这两个定理叫作互逆定理。 其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。
当堂反馈
1. 如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 . 已知 ，则线段 的长度为 ( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
第1题图 第2题图 第3题图
2. 如图，在 中， , 是 上一点， 是 上一点，且 ，若 ，则 的长为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 如图所示的仪器中， . 小州把这个仪器放在直线 上，使点 落在直线 上，作直线 ，则 ，其中蕴含的道理是___________________________________________________.
4. 命题 “两直线平行，内错角相等” 的逆命题是___________________________,
它是 _____ （填“真”或“假”）命题。
5. 求证： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点， 并且这一点到三个顶点的距离相等。请把下面的说理过程补充完整。
已知： 如图，在 中，分别作边 的垂直平分线，两线相交于点 ，分别交边 , 于点 , .
求证： 的垂直平分线相交于点 , .
证明： 连接 .
点 是 边垂直平线上的一点，
______.
同理可得 ________ . .
点 是__________边垂直平线上的一点。
的垂直平分线相交于点 .
参考答案
探究点一： 线段的垂直平分线的性质
问题1:
问题2: 都重合， 都分别相等。
【知识要点】 相等。
问题3: 证明： ,
例1 解 是 的垂直平分线， .而 ,
.
探究点二： 线段的垂直平分线的判定
问题1: 可以先过点 作一条与 垂直的直线，再说明这条直线平分线段 .先过点 作 ，垂足为 ，再说明 .
问题2: 证明： 过点 作 的垂线 ，垂足为点 . 则 . 在 Rt 和 Rt 中， , . . 又 , 点 在线段 的垂直平分线上。
线段垂直平分线的判定： 相等 垂直平分线
例2 解： 连接 ，食堂应该建在线段 的垂直平分线的交点上，理由如下： 点 在线段 的垂直平分线 上， . 同理， . .
【针对训练】
证明： , 垂直平分 . . , .
点 在 的垂直平分线上。
探究点三：原命题和逆命题
讨论： 这两个命题的题设和结论正好相反，类似关系的命题有角平分线的性质和判定。
思考： 不一定， 原命题和逆命题是否成立没有直接关系。
例2 判断下列命题及其逆命题是否成立。
(1) 原命题成立， 逆命题不成立
(2) 原命题成立， 逆命题成立
(3) 原命题不成立，逆命题不成立
当堂反馈
1. D 2. B
3. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
4. 内错角相等，两直线平行 真。
5.15.1.2　线段的垂直平分线
第1课时　线段的垂直平分线的性质与判定
1.探索并证明线段的垂直平分线的性质和判定定理.
2.能运用线段的垂直平分线的性质及判定解题.
重点：线段的垂直平分线的性质.
难点：线段的垂直平分线的判定.
知识链接
前面我们学习了角的平分线，角平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系.类似地，这节课我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系.
创设情境——见配套课件
探究点一：线段的垂直平分线的性质
操作探究：如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离.
问题1：观察量得的数据，你有什么发现？
P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B…
问题2：如果把问题1中的线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都重合吗？它们都分别相等吗？
都重合，都分别相等.
总结：由问题1，2，我们可以得出线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
问题3：上面的性质，可以利用判定两个三角形全等的方法进行证明.请你完成下面的证明.
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上.求证：PA＝PB.
证明：∵l⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°.又AC＝CB，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴PA＝PB.
问题3图 例1题图
如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是　6　.
探究点二：线段的垂直平分线的判定
思考：在前面的探究中，我们得知线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与线段两个端点距离相等的点，是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？
探究：如图，PA＝PB.点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
问题1：过点P的直线有无数条，如果我们要说明点P在AB的垂直平分线上，我们可以先选定一条怎样的直线进行说明？怎样说明？
可以先过点P作一条与AB垂直的直线，再说明这条直线平分线段AB.如图，先过点P作PC⊥AB，垂足为C，再说明AC＝BC.
问题2：AC＝BC吗？说明理由.
AC＝BC.理由：如图，在Rt△PAC和Rt△PBC中，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）.∴AC＝BC.
归纳总结：根据线段垂直平分线的性质和判定定理可以看出：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点也都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合.
探究点三：原命题和逆命题
讨论：关于探究点一和探究点二中的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？回忆我们学过的知识，能说出其他具有类似关系的命题吗？
这两个命题的题设和结论正好相反，类似关系的命题有角平分线的性质和判定.
定义归纳：两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
思考：如果原命题成立，它的逆命题一定成立吗？不一定.
判断下列命题及其逆命题是否成立.
（1）对顶角相等；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）若a＞b，则｜a｜＞｜b｜.
（答案在配套课件中展示）
总结：像例2（2）中，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理.这两个定理叫作互逆定理.其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点P.已知PA＝5，则线段PB的长度为（　D　）
A.8 B.7 C.6 D.5
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，O是AD上一点，且OB＝OC，若BC＝4，则BD的长为（　B　）
A.1　　　　　　　　B.2　　　　　　　　C.3　　　　　　　　D.4
3.如图所示的仪器中，OD＝OE，CD＝CE.小州把这个仪器放在直线l上，使点D，E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，其中蕴含的道理是　与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上　.
4.命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题是　内错角相等，两直线平行　，它是　真　（填“真”或“假”）命题.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　

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