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15.1.2 线段垂直平分线的性质
第2课时 线段的垂直平分线
的有关作图
1. 经过已知直线外一点作这条直线的垂线。 (重点)
2. 进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据。（难点）
3. 能作出轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴，体会转化的数学思想。
上节课我们学到：食堂应建在三个宿舍楼 A、B、C 的垂直平分线上，才能使得它到宿舍楼的距离相等。如何画出这个位置呢？
已知两个点 A、B关于某条直线成轴对称，如何作出这条的对称轴。
探究：已知两个点 A、B关于某条直线成轴对称，如何作出这条直线的对称轴。
分析：
方法一：折叠法；
方法二：尺规作图法。
所连线段的垂直平分线
探究点一： 作线段的垂直平分线
操作 1： 你能用折叠的方法得到图中 A ，B 两点的对称轴吗？动手试一下，并试着大致画一画。
操作 2： 有什么办法可以准确得出 A ，B 两点的对称轴吗？与同桌讨论并试一试。
连接 AB ，画线段 AB 的垂直平分线。
A
B
探究点一： 作线段的垂直平分线
思考：根据我们前面学过的线段垂直平分线的判定， 怎样确定线段 AB 的垂直平分线呢？
到点 A，B 距离相等的点在线段 AB 的垂直平分
线上，我们只要找出两个这样的点，用直线将它们 连接，即可确定线段 AB 的垂直平分线。
A
B
M
N
探究点一： 作线段的垂直平分线
(2) 作直线 CD. CD 就是所求的直线。
C
D
(1) 分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点；
操作3：根据我们前面的探讨，请作出点 A，B 的对称轴。
常用尺规作图法作线段的垂直平分线。
总结
探究点一： 作线段的垂直平分线
例1 △ABC 如图所示，请作出边 AB 的垂直平分线MN.
解 如图，MN 即为所求。
A
C
B
M
N
探究点一： 作线段的垂直平分线
【回顾导入】食堂应建在三个宿舍楼 A、B、C 的垂直平分线上，才能使得它到宿舍楼的距离相等。请画出这个位置。
解：如图所示，
连接 AB、BC、AC，分别作三条线段的垂直平分线，即点 P 为所求。
探究点一： 作线段的垂直平分线
探究点二：作轴对称图形的对称轴
操作探究：下图中的五角星是一个轴对称图形。
问题1：如何作出它的对称轴？说说你的想法。
先找出一对对应点，再作对应点所连线段的垂直平分线。
问题2：请你动手试一试，作出这个五角星的一条对称轴。
如图，连接 AA′ ，
作出线段 AA′ 的垂直平分线 l ，
则 l 就是这个五角星的一条对称轴。
A
A′
l
探究点二：作轴对称图形的对称轴
问题3：这个五角星还有没有其他的对称轴？如果有，试着作出来。
从不同方向观察五角星，可知它共有 5 条对称轴。作图方法与前面类似，找出一对对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线即可。
探究点二：作轴对称图形的对称轴
对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，就能得到此图形的一条对称轴。
作轴对称图形的对称轴：
探究点二：作轴对称图形的对称轴
例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线。
已知：直线 AB 和 AB 外一点 C；
求作：AB 的垂线，使它经过点 C.
作法：如图。
(1) 以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，
交直线 AB 于点 D 和点 E.
探究点三：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
A
B
C
D
E
F
(3) 作直线 CF.
长为半径作弧，两弧相交于点 F .
(2) 分别以点 D 和 E 为圆心，以大于 DE 的
直线 CF 就是所求作的直线。
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探究点三：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
问题1：以点 D 和点 E 为圆心画弧线时，为什么半径要大于 DE 的长？等于或小于 DE 的长行不行？
半径大于 DE 的能让两条弧相交。
等于或小于 DE 都无法相交。
探究点三：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
问题2：为什么直线 CF 就是所求作的垂线？
A
B
C
D
E
F
∵ DF = EF, CD = CE,
证明：连接 DF，EF，CD，CE，
∴ C 点和 F 点都在线段 DE的垂直平分线上。
∴ CF 为线段 DE 的垂直平分线，
∴ CF 为线段 AB 的垂线。
探究点三：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
①找到一组________；
②作出连接它们的线段的___________
对应点
垂直平分线
作成轴对称的两个图形的对称轴
作轴对称图形的对称轴
1. 如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大
于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则
直线DE是（　D　）
A. ∠A的平分线
B. AC边的中线
C. BC边的高线
D. AB边的垂直平分线
D
2. 通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的
是（　B　）
B
3. 下列图形是轴对称图形吗？若是，画出它们的对
称轴。
解：三个图形都是轴对称图形，画对称轴如图所示。
4.如图，请你在下列各图中，过点P作出线段AB所在直线的垂线。（尺规作图，保留作图痕迹）
解：如图所示。
解：如图所示。
5. 如图，直线m表示一条公路，A，B表示两所大学。要在公路旁修建一个车站P使其到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
解：如图所示，点P即为所求作。第15章 轴对称
15.1.2 线段垂直平分线的性质
第2课时 线段的垂直平分线的有关作图
【素养目标】
1. 经过已知直线外一点作这条直线的垂线。 （重点）
2. 进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据。 （难点）
3. 能作出轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴， 体会转化的数学思想。
【情境导入】
上节课我们学到： 食堂应建在三栋宿舍楼 、 的垂直平分线上，才能使得它到宿舍楼的距离相等。 如何画出这个位置呢？
已知两个点 、 关于某条直线成轴对称，如何作出这条的对称轴。
【合作探究】
探究点一： 作线段的垂直平分线
探究： 已知两个点 、 关于某条直线成轴对称，如所连线段的垂直平分线
分析： 方法一： 折叠法； 方法二： 尺规作图法。
操作1: 你能用折叠的方法得到图中 两点的对称轴吗？ 动手试一下，并试着大致画一画。
操作2: 有什么办法可以准确得出两点的对称轴吗？ 与同桌讨论并试一试。
思考： 根据我们前面学过的线段垂直平分线的判定， 怎样确定线段 的垂直平分线呢？
操作3: 根据我们前面的探讨，请作出点 的对称轴。
例1 如图所示，请作出边 的垂直平分线 .
【回顾导入】食堂应建在三栋宿舍楼 的垂直平分线上，才能使得它到宿舍楼的距离相等。 请画出这个位置。
探究点二： 作轴对称图形的对称轴
操作探究： 下图中的五角星是一个轴对称图形。
问题1: 如何作出它的对称轴？ 说说你的想法。
问题2：请你动手试一试，作出这个五角星的一条对称轴。
问题3：这个五角星还有没有其他的对称轴？如果有， 试着作出来。
作轴对称图形的对称轴：
对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点， 作出对称点所连线段的垂直平分线，就能得到此图形的一条对称轴。
例2 尺规作图： 经过已知直线外一点作这条直线的垂线。
已知： 直线 和 外一点 ; 求作： 的垂线，使它经过点 .
探究点三：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
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尺规作图： 过一点作已知直线的垂线
问题1: 以点 和点 为圆心画弧线时，为什么半径要大于 的长？ 等于或小于 的长行不行？
问题2: 为什么直线 就是所求作的垂线？
当堂反馈
1. 如图，在 中，分别以点 , 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧分别交于点 , ，则直线 是 ( )
A. 的平分线
B. 边的中线
C. 边的高线
D. 边的垂直平分线
2. 通过如下尺规作图，能确定点 是 边中点的是 ( )
3. 下列图形是轴对称图形吗？ 若是， 画出它们的对称轴。
4. 如图，请你在下列各图中，过点 作出线段 所在直线的垂线。 （尺规作图，保留作图痕迹）
5. 如图，直线 表示一条公路， , 表示两所大学。 要在公路旁修建一个车站 使其到两所大学的距离相等，请在图上找出这点 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）。
参考答案
探究点一 : 作线段的垂直平分线
操作1 : 略
操作2 : 连接 ，画线段 的垂直平分线。
思考： 到点 距离相等的点在线段 的垂直平分线上，我们只要找出两个这样的点，用直线将它们连接，即可确定线段 的垂直平分线。
操作3: 根据我们前面的探讨，请作出点 的对称轴。
(1) 分别以点 为圆心，
以大于 的长为半径作弧，两弧交于 两点；
(2) 作直线 . 就是所求的直线。
例1 解 如图， 即为所求。
【回顾导入】解： 如右上图所示，
连接 、 、 ，分别作三条线段的垂直平分线，即点 为所求。
探究点二： 作轴对称图形的对称轴
问题1: 先找出一对对应点， 再作对应点所连线段
的垂直平分线。
问题2: 如图，连接 ,
作出线段 的垂直平分线 ,
则 就是这个五角星的一条对称轴。
问题3：从不同方向观察五角星，可知它共有 5 条
对称轴。作图方法与前面类似， 找出一对对应点， 作出对应点所连线段的垂直平分线即可。
例2 作法： 如图。
(1) 以点 为圆心，适当长为半径作弧， 交直线
于点 和点 .
(2) 分别以点 和 为圆心，以大于 的
长为半径作弧，两弧相交于点 .
(3) 作直线 . 直线 就是所求作的直线。
探究点三：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
问题1: 半径大于 的能让两条弧相交。等于或小于 都无法相交。
问题2: 证明： 连接 , ,
点和 点都在线段 的垂直平分线上。
为线段 的垂直平分线，
为线段 的垂线。
当堂反馈
1. D 2. B
3. 解： 三个图形都是轴对称图形， 画对称轴如图所示。
4. 解： 如图所示。
5. 解： 如图所示，点 即为所求。第2课时　线段的垂直平分线的有关作图
1.能用尺规作出线段的垂直平分线.
2.进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据.
3.能作出轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴，体会转化的数学思想.
重点：利用尺规作图的方法作出线段的垂直平分线及轴对称图形的对称轴.
难点：较复杂的图形中尺规作图的规范性与合理性.
知识链接
有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
创设情境——见配套课件
探究点一：作线段的垂直平分线
情境探究：如图①，点A和点B关于某条直线成轴对称，如何准确作出这条直线呢？
　　　　　　　　
操作1：你能用折叠的方法得到图①中A，B两点的对称轴吗？动手试一下，并试着大致画一画.
操作2：有什么办法可以准确得出A，B两点的对称轴吗？与同桌讨论并试一试.
连接AB，画线段AB的垂直平分线.
思考：根据我们前面学过的线段垂直平分线的判定，怎样确定线段AB的垂直平分线呢？
与点A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，我们只要找出两个这样的点，用直线将它们连接，即可确定线段AB的垂直平分线（如图②）.
操作3：根据我们前面的探讨，请作出图①中点A，B的对称轴.
作法：如图③.
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD.CD就是所求作的直线.
△ABC如图所示，请作出边AB的垂直平分线MN.
解：如图，MN即为所求.
探究点二：作轴对称图形的对称轴
操作探究：图①中的五角星是一个轴对称图形.
　　　　
问题1：如何作出它的对称轴？说说你的想法.
先找出一对对应点，再作对应点所连线段的垂直平分线.
问题2：请你动手试一试，作出这个五角星的一条对称轴.
如图②，连接AA'，作出线段AA'的垂直平分线l，则l就是这个五角星的一条对称轴.
问题3：这个五角星还有没有其他的对称轴？如果有，试着作出来.
从不同方向观察五角星，可知它共有5条对称轴.作图方法与前面类似，找出一对对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线即可.下面图③中画出了另外一条对称轴l'.其他对称轴可类似画出.
探究点三：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
讨论：阅读教材P68例题，与同桌思考讨论下列问题.
问题1：为什么作图时点F和点C要在AB的两旁？在同一旁有什么问题？
问题2：以点D和点E为圆心画弧时，为什么半径要大于DE的长？等于或小于DE的长行不行？
问题3：为什么直线CF就是所求作的垂线？（师生共同讨论得出答案）
1.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　D　）
A.∠A的平分线
B.AC边的中线
C.BC边的高线
D.AB边的垂直平分线
2.通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（　B　）
3.下列图形是轴对称图形吗？若是，画出它们的对称轴.
解：三个图形都是轴对称图形，画对称轴如图所示.
4.[作图通关]如图，直线m表示一条公路，A，B表示两所大学.要在公路旁修建一个车站P使其到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
解：如图所示，点P即为所求作.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
对应点连线→线段的垂直平分线→对称轴
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　

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