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2025-2026学年人教版数学九年级上册
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 预习讲义
思维导图
学习目标
掌握二次函数y=ax +bx+c的图象特征（开口方向、对称轴、顶点、最值）。
理解系数a、b、c对函数图象的影响。
能通过配方法将一般式化为顶点式y=a(x-h) +k，并分析性质。
会利用图象和性质解决简单实际问题。
知识点梳理
1. 二次函数y=ax +bx+c的图象特征
开口方向：由a决定，a>0时开口向上；a<0时开口向下。
对称轴：直线x=-b/(2a)，是函数图象的对称轴。
顶点坐标：(-b/(2a), (4ac-b )/(4a))，是函数的最值点。
最值：
当a>0时，函数在顶点处取得最小值，y最小=(4ac-b )/(4a)。
当a<0时，函数在顶点处取得最大值，y最大=(4ac-b )/(4a)。
2. 系数a、b、c的作用
a：决定开口方向和开口大小（|a|越大，开口越窄）。
b：与a共同决定对称轴位置（x=-b/(2a)）。
c：决定图象与y轴的交点（0, c）。
3. 配方法化顶点式
通过配方将y=ax +bx+c转化为y=a(x-h) +k的形式，其中顶点为(h, k)。
4. 实际应用
求最大利润、最优路径等最值问题。
分析抛物线的对称性和变化趋势。
易错点提醒
混淆a的符号：误认为a>0开口向下或a<0开口向上。
顶点坐标计算错误：漏掉负号或分母计算错误。
对称轴公式记错：写成x=b/(2a)或x=-b/a。
最值判断错误：忽略a的符号对最值的影响。
配方法错误：配方时漏项或符号错误。
忽略实际问题限制：如自变量取值范围导致最值不在顶点处。
知识点小结
核心性质：二次函数y=ax +bx+c的图象是抛物线，其开口方向、对称轴、顶点和最值由a、b、c决定。
关键公式：
对称轴：x=-b/(2a)
顶点坐标：(-b/(2a), (4ac-b )/(4a))
数学思想：数形结合（通过图象分析性质）、转化思想（配方法化顶点式）。
应用要点：
先确定a、b、c的值，再分析图象特征。
实际问题需结合定义域分析最值。
注意事项：
使用公式前确保函数是二次函数（a≠0）。
画图象时注意对称性和关键点（顶点、与y轴交点）。
注：本节是二次函数的核心内容，重点掌握图象与系数的关系，为后续学习二次函数与方程、不等式奠定基础。
巩固练习
一、选择题
1．已知二次函数的解析式为，则图象的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．二次函数的顶点坐标为，则实数c的值为（　　）
A． B． C．4 D．16
3．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是(　　)
A．
B．抛物线的对称轴是直线
C．当时，的值随值的增大而减小
D．
4．抛物线 （m为常数）上三点分别为，，，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
5．对于二次函数y=2(x+1)(x-3)，下列说法中正确的是（　　）
A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线x=-1
C．当x≥1时，y随x的增大而减小 D．当x≤1时，y随x的增大而减小
6．如图在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动.过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，则对角线的最小值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．将二次函数转化为的形式，结果为（　　）
A． B． C． D．
8．抛物线经过点，则a的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．抛物线 经过点 ，则 的值为　 　．
10．在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于　 　．
11．将抛物线y＝-2x2+4x-6先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标为　 　.
12．
（1）函数y=(x-2)2-7图象的对称轴是　 　，顶点坐标是　 　，开口　 　，顶点是抛物线的最　 　点．
（2）函数y=-x2+4x-3图象的对称轴是　 　，顶点坐标是　 　，开口　 　，顶点是拋物线的最　 　点．
13．二次函数，当时，则函数值的取值范围为　 　．
14．若a，b，c是实数，点A(a+1，6)，B(a+2，c)在二次函数y=x2-2ax+3的图象上，则b，c的大小关系是b　 　c．(填“>”或“<”)
15．二次函数的图像如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为　 　.
16．已知点、、为抛物线上的点，则　 　．
三、解答题
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B（1，﹣3）．
（1）求该二次函数解析式．
（2）当2≤x≤6时，求y的取值范围．
18．已知关于x的一元二次方程：．
（1）求证：无论m取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）一元二次方程对应的二次函数为．当时，写出该函数图象的三条性质．
19．在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知，当时，的取值范围是求，的值；
（3）在的条件下，是否存在实数，使得当时，的取值范围是若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
20．已知抛物线．
（1）直接写出抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）若点，在抛物线上，直接写出a的取值范围；
（3）若，，都在抛物线上，是否存在实数m，使得恒成立 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
2．C
3．C
4．D
5．D
6．D
7．D
8．A
9．-4
10．2
11．（2，-1）
12．（1）直线x=2；(2，-7)；向上；低
（2）直线x=2；(2，1)；向下；高
13．
14．<
15．-4
16．3
17．（1）解：由题意可知二次函数，代入点得，，解得.
该二次函数解析式为；
（2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为-3，
当时，随的增大而增大，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围是.
18．（1）证明：∵a=，b=m，c=-1，
∴Δ=b2-4ac=m2-4××（-1）=m2+2，
∵m2≥0，
∴Δ=m2+2＞0，
∴无论m取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：当m=1时，二次函数表达式为y=+x-1，
∴a=，b=1，c=-1，
①∵a=＞0，∴该函数图象开口向上，
②该函数图象的对称轴是直线x==-1，
当x＜-1时，y随着x的增大而减小，
当x＞-1时，y随着x的增大而增大，
③当x=0时，y=-1，∴该函数图象与y轴的交点是（0，-1），
（答案不唯一）
19．（1）解：抛物线为，
时，，
抛物线过点，
抛物线过点，
该抛物线的对称轴为：直线．
（2）抛物线的对称轴为直线，
，即．
，
．
，抛物线开口向上，
当时，函数值在上取得最小值．
即 ．
联立，解得，．
抛物线的表达式为，即．
，
当时，随的增大而减小，当时取得最大值，
当时，随的增大而增大，当时取得最大值，
对称轴为直线，
与时的函数值相等．
，
当时的函数值大于当时的函数值，即时的函数值．
当时，函数值在上取得最大值．
代入有，
得或舍去，
故，．
（3）解：存在，．
20．（1）
（2）或
（3）解：存在，；∵，
∴二次函数图象开口向下，
当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小，
∵，
∴当，且时，即，此时；
当，且时，无解；
综上，时，．

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