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2025-2026学年人教版数学九年级上册
22.2 二次函数与一元二次方程 预习讲义
思维导图
学习目标
理解二次函数与一元二次方程的联系，掌握二次函数图象与x轴交点的意义。
会用判别式Δ判断二次函数图象与x轴的交点个数。
能通过二次函数图象求一元二次方程的近似解。
会利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题。
知识点梳理
1. 二次函数与一元二次方程的关系
联系：二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，就是一元二次方程ax +bx+c=0的实数根。
交点情况：
Δ>0：方程有两个不等实数根，函数图象与x轴有两个交点。
Δ=0：方程有两个相等实数根，函数图象与x轴有一个交点（顶点在x轴上）。
Δ<0：方程无实数根，函数图象与x轴无交点。
2. 利用图象求方程的近似解
当方程ax +bx+c=0的根不易直接求解时，可通过画出函数y=ax +bx+c的图象，观察其与x轴的交点横坐标，得到近似解。
3. 二次函数与不等式的关系
y>0：对应x的取值范围是函数图象在x轴上方的部分。
y<0：对应x的取值范围是函数图象在x轴下方的部分。
4. 实际应用
如抛物线的最高点（最大高度）、落地点（方程的解）、最优解等问题。
易错点提醒
混淆判别式Δ的作用：误认为Δ仅用于判断方程根的情况，忽略其与函数图象的关系。
忽略a≠0的条件：在讨论二次函数时，未确认二次项系数a≠0。
近似解误差过大：画图不准确导致求得的近似解偏差较大。
符号错误：在分析不等式时，混淆“y>0”和“y<0”对应的x范围。
实际问题忽略限制条件：如时间、长度等物理量未考虑实际意义（如非负性）。
知识点小结
核心思想：二次函数图象与x轴的交点对应一元二次方程的根，判别式Δ决定交点个数。
关键结论：
Δ>0→两个交点→方程有两个不等实根。
Δ=0→一个交点→方程有两个相等实根。
Δ<0→无交点→方程无实根。
应用方法：
数形结合：通过函数图象分析方程的解和不等式解集。
实际问题中，先建立函数模型，再结合方程求解。
注意事项：
画图时注意精确性，避免近似解误差过大。
使用判别式前确保方程为标准形式（ax +bx+c=0）。
注：本节是二次函数与方程的综合应用，重点理解图象与方程的关联，掌握数形结合的分析方法，为后续学习二次函数与实际问题奠定基础。
巩固练习
一、选择题
1．已知二次函数y=ax2+bx+c中自变量x和函数y的部分对应值如下表：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -1 -4 -1 8 23 …
则方程 ax2+bx+c=0的一个解x=t的取值范围下列可能的是（　　）
A．-32．下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
-1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程的一个近似根是（　　）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
3．将方程的两根记为、，方程的两根记为、，则、、、的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
4．二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是（　　）
1 2 3 4
0 5
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，已知二次函数的对称轴为直线，顶点的纵坐标为，有下列说法：
①；②时，的值随值的增大而减小；③；④若关于的一元二次方程有实数根，则．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为　 　
8．对于一个函数，当自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点．已知二次函数．
（1）若2是此函数的不动点，则的值为　 　．
（2）若此函数有两个相异不动点与，且，则的取值范围是　 　．
9．已知二次函数的部分图象如图，由其图象可知关于x的一元二次方程的两根分别为　 　．
10．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　 　．
11．抛物线的图象的部分如图所示，则关于x的一元二次方程的解是　 　.
12．二次函数为常数，且中的与的部分对应值如下表：
下列结论：
；
当时，的值随的增大而减小；
是方程的一个根；
当时，．
其中正确的是　 　 ．
三、解答题
13．二次函数 （a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … 0 3 4 …
y … 0 4 m 0 …
（1）直接写出m的值，并求该二次函数的解析式；
（2）当时，求函数值y的取值范围．
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
（4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围．
14．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P到x轴的距离为8时，求m的值；
（3）当图象G的最大值与最小值的差为4时，求m的取值范围．
15．阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程2x2+x﹣2=0的根的所在的范围．
第一步：画出函数y=2x2+x﹣2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，1之间．
第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0；当x=1时，y=1＞0．
所以可确定方程2x2+x﹣2=0的一个根x1所在的范围是0＜x1＜1．
第三步：通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围；
取x= ，因为当x= 时，y＜0，
又因为当x=1时，y＞0，
所以 ＜x1＜1．
（1）请仿照第二步，通过运算，验证2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；
（2）在﹣2＜x2＜﹣1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在范围缩小至m＜x2＜n，使得n﹣m≤ ．
参考答案
1．C
2．C
3．C
4．C
5．B
6．C
7．或
8．（1）-2
（2）m＞18
9．
10．且
11．x1=-1，x2=3
12．
13．（1）；
（2）
（3）
（4）
14．（1）解：抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：点的横坐标为，点P是抛物线上的任意一点，
，
∵点P到x轴的距离为8，
∴或，
当时，整理得，
解得：或；
当时，整理得，
解得：或；
综上可得， 当点P到x轴的距离为8时， m的值为或或或；
（3）解：抛物线的解析式为，与轴交于点；
∴x=0，y=0+0+5=5，
，
图象的最大值与最小值的差为4，
①当点在点上方时，
，且，
，
解得或0（舍去），
，
②当点在点下方时，
此时点在点左侧，不满足题意，
点在点右侧，
，
解得或（舍去），
综上所述，的取值范围是或．
15．（1）解：因为当x=﹣2时，y＞0；当x=﹣1时，y＜0，
所以方程2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是﹣2＜x2＜﹣1．…
（2）解：取x= =﹣ ，因为当x=﹣ 时，y=2× ﹣ ﹣2=1＞0，
又因为当x=﹣1时，y=﹣1＜0，
所以﹣ ＜x2＜﹣1，
取x= =﹣ ，因为当x=﹣ 时，y=2× ﹣ ﹣2=﹣ ＜0，
又因为当x=﹣ 时，y＞0，
所以﹣ ＜x2＜﹣ ，
又因为﹣ ﹣（﹣ ）= ，
所以﹣ ＜x2＜﹣ 即为所求x2 的范围.

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