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14.2 三角形全等的判定 讲义
知识点1：三角形全等的基本事实：边角边（SAS）
1．基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
2．此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．
知识点2：三角形全等的基本事实：角边角（ASA）
1．基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．
2．用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．
知识点3：三角形全等的判定定理：角角边（AAS）
1．判定定理：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．
2．这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．
知识点4：三角形全等的基本事实：边边边（SSS）
1．基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．
2．这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．
知识点5：尺规作图
1．基本作图：作一个角等于已知角．
求作一个角等于已知角∠MON．（SSS）
（1）作射线；
（2）在图（1）上，以O为圆心，恰当的长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；
（3）以为圆心，OA的长为半径作弧，交于点C；
（4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；
（5）过点D作射线．则∠就是所要求作的角．
2．利用基本作图根据已知条件作三角形．
知识点6：直角三角形全等的判定：斜边、直角边（HL）
1．判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．
2．“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．
1．寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等．
2．一般三角形全等的判定方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”四种，切记满足“SSA”的两个三角形不一定全等．
3．判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以用“HL” “SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等．
题型01 利用AAS证明三角形全等
（2024秋 仁和区期中）如图，AC＝AD，AD∥BC，∠B+∠CED＝180°，求证：△ABC≌△DEA．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据平行线的性质及邻补角定义求出∠C＝∠CAD，∠B＝∠AED，利用AAS即可证明△ABC≌△DEA．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠B+∠CED＝180°，∠AED+∠CED＝180°，
∴∠B＝∠AED，
在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（AAS）．
【变式练1】　（2025 白山模拟）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF．
【变式练2】　（2025春 泾阳县期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DFE．
【变式练3】　（2025春 锡山区校级月考）如图，AE∥BC，AE＝AB，∠EFA＝∠ACB．求证：△ABC≌△EAF．
题型02 利用ASA证明三角形全等
（2025 盘龙区校级模拟）如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O；求证：△AEC≌△BED．
【答案】见试题解答内容
【分析】由“ASA”可证△AEC≌△BED．
【解答】证明：∵∠1＝∠2
∴∠1+∠AED＝∠2+∠AED，
即∠AEC＝∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
【变式练1】　（2025春 麒麟区校级月考）如图，已知点B，D，E，C在同一直线上，∠1＝∠2，AB＝AC．求证：△ABE≌△ACD．
【变式练2】　（2025春 梅县区期末）如图，点C在线段BD上，CE∥AB，BC＝CE，∠ACB＝∠E．求证：△ABC≌△DCE．
【变式练3】　（2025春 宽城区校级期中）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AD∥BC，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE．求证：△ADF≌△CBE．
题型03 利用SAS证明三角形全等
（2025 冷水江市三模）如图，△ABC与△DCE的顶点C重合，DE∥AB交AC于点F，已知AC＝DE，AB＝CD＝CF．
求证：△ABC≌△DCE．
【答案】见详解．
【分析】由题意易得∠A＝∠CFD＝∠D，然后根据“SAS”可判定三角形全等．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠CFD，
∵CD＝CF，
∴∠CFD＝∠D＝∠A，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
【变式练1】　（2025春 明水县校级月考）如图，在三角形ABC和三角形AED中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD，连接CE，BD．试说明：△AEC≌△ADB．
【变式练2】　（2025春 芗城区校级月考）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF＝DC，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：△ABC＝△DEF．
【变式练3】　（2024秋 玉溪期末）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB＝DE，AF＝DC，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．
题型04 利用SSS证明三角形全等
（2024秋 乐清市期中）填空：
已知：如图，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，试说明∠B＝∠E．
解：∵AF＝DC（已知），
∴AF﹣CF＝DC﹣　　 ，
即AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌　　 （SSS）．
∴∠B＝ 　　 （全等三角形的对应角相等）．
【答案】CF；EF；DE；已知；△DEF；∠E．
【分析】求出AC＝DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出即可．
【解答】解：∵AF＝DC（已知），
∴AF﹣CF＝DC﹣CF，
即AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
∴∠B＝∠E（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：CF；EF；DE；已知；△DEF；∠E．
【变式练1】　（2025 景洪市二模）如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，CF＝BE，AF＝DE．
求证：△ACF≌△DBE．
【变式练2】　（2025 大姚县模拟）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF．
【变式练3】　（2025 怒江州模拟）如图，点D、C在线段AF上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．
求证：△ABC≌△DEF．
题型05 利用HL证明三角形全等
（2025春 包河区月考）如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE＝BF，求证：△ABF≌△CDE．
【答案】见解析．
【分析】求出∠DEC＝∠BFA＝90°，根据HL定理推出即可．
【解答】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．
【变式练1】　（2025春 富平县期末）如图，在四边形ABEC中，CE⊥BE，连接BC，点D为AC的中点，连接BD，BE＝CD，∠A＝∠ACB，求证：△ADB≌△BEC．
【变式练2】　（2025春 桂林期末）如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，且有BE＝CD，求证：△CBE≌△BCD．
【变式练3】　（2025春 雁塔区期末）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，点B、E、C、F在同一条直线上，且BE＝FC，求证：Rt△ABC≌Rt△DFE．
题型06 选择三角形全等的依据
（2024秋 武汉期末）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（　　）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】A
【分析】根据题目中的条件，可以得到OC＝OD，MC＝MD，再根据OM＝OM，即可得到△OMC≌△OMD，并写出依据即可．
【解答】解：由题意可得，
OC＝OD，MC＝MD，
又∵OM＝OM，
∴△OMC≌△OMD（SSS），
故选：A．
【变式练1】　（2025春 郑州校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF的依据是（　　）
A．SSA B．SAS C．SSS D．ASA
【变式练2】　（2024秋 冷水江市期末）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【变式练3】　（2025春 光明区期末）如图，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝DB，据此可以证明△ABC≌△DBC，依据是（　　）
A．SSS B．AAS C．ASA D．HL
题型07 三角形全等的判定与性质综合
（2025春 余江区校级月考）如图，AB＝BC，∠BCD＝45°，∠A＝135°，点E，F分别在CD，AD上，EF＝CE+AF，延长DC至点H，使得CH＝AF，连接BH．求证：
（1）△BCH≌△BAF；
（2）．
【答案】（1）∵∠BCD＝45°，∠A＝135°，点H在DC的延长线上，
∴∠BCH＝180°﹣∠BCD＝135°，
∴∠BCH＝∠A，
在△BCH和△BAF中，
，
∴△BCH≌△BAF（SAS）．
（2）由（1）得△BCH≌△BAF，
∴BH＝BF，∠CBH＝∠ABF，
∴∠CBH+∠CBF＝∠ABF+∠CBF，
∴∠HBF＝∠CBA，
∵CH＝AF，
∴EH＝CE+CH＝CE+AF，
∵EF＝CE+AF，
∴EH＝EF，
在△BEH和△BEF中，
，
∴△BEH≌△BEF（SSS），
∴∠EBH＝∠EBF∠HBF，
∴∠EBF∠CBA．
【分析】（1）由∠BCD＝45°，得∠BCH＝∠A＝135°，而CB＝AB，CH＝AF，即可根据“SAS”证明△BCH≌△BAF；
（2）由全等三角形的性质得BH＝BF，∠CBH＝∠ABF，推导出∠HBF＝∠CBA，因为EH＝CE+CH＝CE+AF，且EF＝CE+AF，所以EH＝EF，而BE＝BE，即可根据“SSS”证明△BEH≌△BEF，得∠EBH＝∠EBF∠HBF，则∠EBF∠CBA．
【解答】证明：（1）∵∠BCD＝45°，∠A＝135°，点H在DC的延长线上，
∴∠BCH＝180°﹣∠BCD＝135°，
∴∠BCH＝∠A，
在△BCH和△BAF中，
，
∴△BCH≌△BAF（SAS）．
（2）由（1）得△BCH≌△BAF，
∴BH＝BF，∠CBH＝∠ABF，
∴∠CBH+∠CBF＝∠ABF+∠CBF，
∴∠HBF＝∠CBA，
∵CH＝AF，
∴EH＝CE+CH＝CE+AF，
∵EF＝CE+AF，
∴EH＝EF，
在△BEH和△BEF中，
，
∴△BEH≌△BEF（SSS），
∴∠EBH＝∠EBF∠HBF，
∴∠EBF∠CBA．
【变式练1】　（2025春 沙坪坝区校级期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．求证：
（1）DF∥BC；
（2）GD＝CE．
【变式练2】　（2025 上城区校级三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点P．
（1）证明：△AEB≌△ADC．
（2）若∠EBC＝35°，求∠ABE的度数．
【变式练3】　（2025春 咸阳校级月考）如图，已知△ABC为等边三角形，点E在BC边上，过点C作CD∥AB，使得CD＝BE，连接AE，AD．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）连接DE，试判断△ADE的形状，并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
14.2 三角形全等的判定 讲义
知识点1：三角形全等的基本事实：边角边（SAS）
1．基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
2．此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．
知识点2：三角形全等的基本事实：角边角（ASA）
1．基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．
2．用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．
知识点3：三角形全等的判定定理：角角边（AAS）
1．判定定理：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．
2．这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．
知识点4：三角形全等的基本事实：边边边（SSS）
1．基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．
2．这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．
知识点5：尺规作图
1．基本作图：作一个角等于已知角．
求作一个角等于已知角∠MON．（SSS）
（1）作射线；
（2）在图（1）上，以O为圆心，恰当的长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；
（3）以为圆心，OA的长为半径作弧，交于点C；
（4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；
（5）过点D作射线．则∠就是所要求作的角．
2．利用基本作图根据已知条件作三角形．
知识点6：直角三角形全等的判定：斜边、直角边（HL）
1．判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．
2．“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．
1．寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等．
2．一般三角形全等的判定方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”四种，切记满足“SSA”的两个三角形不一定全等．
3．判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以用“HL” “SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等．
题型01 利用AAS证明三角形全等
（2024秋 仁和区期中）如图，AC＝AD，AD∥BC，∠B+∠CED＝180°，求证：△ABC≌△DEA．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据平行线的性质及邻补角定义求出∠C＝∠CAD，∠B＝∠AED，利用AAS即可证明△ABC≌△DEA．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠B+∠CED＝180°，∠AED+∠CED＝180°，
∴∠B＝∠AED，
在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（AAS）．
【变式练1】　（2025 白山模拟）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，根据中点的定义得出BD＝CD，即可利用AAS判定△BDE≌△CDF．
【解答】证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
【变式练2】　（2025春 泾阳县期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DFE．
【答案】证明见解析部分．
【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定证明即可．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BC+CE＝CF+CE，即BC＝FE，
∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（AAS）．
【变式练3】　（2025春 锡山区校级月考）如图，AE∥BC，AE＝AB，∠EFA＝∠ACB．求证：△ABC≌△EAF．
【答案】见解答．
【分析】先根据平行线的性质得到∠EAF＝∠B，然后根据“AAS”证明△ABC≌△EAF．
【解答】证明：∵AE∥BC，
∴∠EAF＝∠B，
在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（AAS）．
题型02 利用ASA证明三角形全等
（2025 盘龙区校级模拟）如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O；求证：△AEC≌△BED．
【答案】见试题解答内容
【分析】由“ASA”可证△AEC≌△BED．
【解答】证明：∵∠1＝∠2
∴∠1+∠AED＝∠2+∠AED，
即∠AEC＝∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
【变式练1】　（2025春 麒麟区校级月考）如图，已知点B，D，E，C在同一直线上，∠1＝∠2，AB＝AC．求证：△ABE≌△ACD．
【答案】证明见解析．
【分析】由∠1＝∠2，得到∠BAE＝∠CAD，由等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，判定△ABE≌△ACD（ASA）．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
【变式练2】　（2025春 梅县区期末）如图，点C在线段BD上，CE∥AB，BC＝CE，∠ACB＝∠E．求证：△ABC≌△DCE．
【答案】证明见解析．
【分析】由平行线的性质推出∠ABC＝∠ECD，即可判定△ABC≌△DCE（ASA）．
【解答】证明：∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠ECD，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（ASA）．
【变式练3】　（2025春 宽城区校级期中）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AD∥BC，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE．求证：△ADF≌△CBE．
【答案】见试题解答内容
【分析】由AD∥BC得∠DAF＝∠BCE，再用ASA证△ADF≌△CBE即可．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（ASA）．
题型03 利用SAS证明三角形全等
（2025 冷水江市三模）如图，△ABC与△DCE的顶点C重合，DE∥AB交AC于点F，已知AC＝DE，AB＝CD＝CF．
求证：△ABC≌△DCE．
【答案】见详解．
【分析】由题意易得∠A＝∠CFD＝∠D，然后根据“SAS”可判定三角形全等．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠CFD，
∵CD＝CF，
∴∠CFD＝∠D＝∠A，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
【变式练1】　（2025春 明水县校级月考）如图，在三角形ABC和三角形AED中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD，连接CE，BD．试说明：△AEC≌△ADB．
【答案】见解析．
【分析】先证明∠CAE＝∠BAD，然后根据SAS可证△AEC≌△ADB．
【解答】解：∵在三角形ABC和三角形AED中，∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB+∠BAE＝∠EAD+∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）．
【变式练2】　（2025春 芗城区校级月考）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF＝DC，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：△ABC＝△DEF．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据AF＝DC，得AC＝DF，结合AB＝DE，∠A＝∠D，证明△ABC≌△DEF（SAS），即可作答．
【解答】解：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+FC，
则AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【变式练3】　（2024秋 玉溪期末）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB＝DE，AF＝DC，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见详解．
【分析】根据题意证明AC＝DF，根据SAS即可证明△ABC≌△DEF；
【解答】证明：由条件可得AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
题型04 利用SSS证明三角形全等
（2024秋 乐清市期中）填空：
已知：如图，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，试说明∠B＝∠E．
解：∵AF＝DC（已知），
∴AF﹣CF＝DC﹣　　 ，
即AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌　　 （SSS）．
∴∠B＝ 　　 （全等三角形的对应角相等）．
【答案】CF；EF；DE；已知；△DEF；∠E．
【分析】求出AC＝DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出即可．
【解答】解：∵AF＝DC（已知），
∴AF﹣CF＝DC﹣CF，
即AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
∴∠B＝∠E（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：CF；EF；DE；已知；△DEF；∠E．
【变式练1】　（2025 景洪市二模）如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，CF＝BE，AF＝DE．
求证：△ACF≌△DBE．
【答案】见解析．
【分析】根据全等三角形SSS判定即可证明．
【解答】证明：∵A，B，C，D四点共线，AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∵AC＝AB+BC，DB＝CD+BC，
∴AC＝DB，
在△ACF和△DBE中，
，
∴△ACF≌△DBE（SSS）．
【变式练2】　（2025 大姚县模拟）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】证明见解析．
【分析】由AD＝BE，得到AB＝DE，即可证明△ABC≌△DEF（SSS）．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB，
∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
【变式练3】　（2025 怒江州模拟）如图，点D、C在线段AF上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．
求证：△ABC≌△DEF．
【答案】证明见解析过程．
【分析】将AD＝CF转化为AC＝DF，再结合判断三角形的判定即可解决问题．
【解答】证明：∵AD＝CF，
∴AD+DC＝CF+DC，
∴AC＝DF，
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
题型05 利用HL证明三角形全等
（2025春 包河区月考）如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE＝BF，求证：△ABF≌△CDE．
【答案】见解析．
【分析】求出∠DEC＝∠BFA＝90°，根据HL定理推出即可．
【解答】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．
【变式练1】　（2025春 富平县期末）如图，在四边形ABEC中，CE⊥BE，连接BC，点D为AC的中点，连接BD，BE＝CD，∠A＝∠ACB，求证：△ADB≌△BEC．
【答案】见解析．
【分析】根据等角对等边，得到AB＝BC，三线合一，得到AD＝DC，BD⊥AD，进而得到BE＝AD，利用HL即可得证．
【解答】证明：∵∠A＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∵点D为AC的中点，
∴AD＝DC，
∴BD⊥AD，
∵BE＝CD，
∴BE＝AD，
在Rt△ADB和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△BEC（HL）．
【变式练2】　（2025春 桂林期末）如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，且有BE＝CD，求证：△CBE≌△BCD．
【答案】见解析．
【分析】先证明∠BEC＝∠BDC＝90°，根据HL即可证明Rt△CBE≌Rt△BCD．
【解答】证明：由条件可知∠BEC＝∠BDC＝90°，
在Rt△BCE和Rt△CBD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△BCD（HL）．
【变式练3】　（2025春 雁塔区期末）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，点B、E、C、F在同一条直线上，且BE＝FC，求证：Rt△ABC≌Rt△DFE．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据BE＝FC，可得BC＝FE，根据HL证明Rt△ABC≌Rt△DFE即可．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EC＝FC+EC，
即BC＝FE，
∵∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）．
题型06 选择三角形全等的依据
（2024秋 武汉期末）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（　　）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】A
【分析】根据题目中的条件，可以得到OC＝OD，MC＝MD，再根据OM＝OM，即可得到△OMC≌△OMD，并写出依据即可．
【解答】解：由题意可得，
OC＝OD，MC＝MD，
又∵OM＝OM，
∴△OMC≌△OMD（SSS），
故选：A．
【变式练1】　（2025春 郑州校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF的依据是（　　）
A．SSA B．SAS C．SSS D．ASA
【答案】D
【分析】根据题中的条件推理出全等三角形的判定依据，即可求解．
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等），
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
所以△ABC≌△DEF的依据是ASA，
综上所述，只有选项D正确，符合题意，
故选：D．
【变式练2】　（2024秋 冷水江市期末）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS求解即可．
【解答】解：在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
故选：B．
【变式练3】　（2025春 光明区期末）如图，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝DB，据此可以证明△ABC≌△DBC，依据是（　　）
A．SSS B．AAS C．ASA D．HL
【答案】D
【分析】斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DBC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DBC（HL），
∴证明△ABC≌△DBC，依据是HL．
故选：D．
题型07 三角形全等的判定与性质综合
（2025春 余江区校级月考）如图，AB＝BC，∠BCD＝45°，∠A＝135°，点E，F分别在CD，AD上，EF＝CE+AF，延长DC至点H，使得CH＝AF，连接BH．求证：
（1）△BCH≌△BAF；
（2）．
【答案】（1）∵∠BCD＝45°，∠A＝135°，点H在DC的延长线上，
∴∠BCH＝180°﹣∠BCD＝135°，
∴∠BCH＝∠A，
在△BCH和△BAF中，
，
∴△BCH≌△BAF（SAS）．
（2）由（1）得△BCH≌△BAF，
∴BH＝BF，∠CBH＝∠ABF，
∴∠CBH+∠CBF＝∠ABF+∠CBF，
∴∠HBF＝∠CBA，
∵CH＝AF，
∴EH＝CE+CH＝CE+AF，
∵EF＝CE+AF，
∴EH＝EF，
在△BEH和△BEF中，
，
∴△BEH≌△BEF（SSS），
∴∠EBH＝∠EBF∠HBF，
∴∠EBF∠CBA．
【分析】（1）由∠BCD＝45°，得∠BCH＝∠A＝135°，而CB＝AB，CH＝AF，即可根据“SAS”证明△BCH≌△BAF；
（2）由全等三角形的性质得BH＝BF，∠CBH＝∠ABF，推导出∠HBF＝∠CBA，因为EH＝CE+CH＝CE+AF，且EF＝CE+AF，所以EH＝EF，而BE＝BE，即可根据“SSS”证明△BEH≌△BEF，得∠EBH＝∠EBF∠HBF，则∠EBF∠CBA．
【解答】证明：（1）∵∠BCD＝45°，∠A＝135°，点H在DC的延长线上，
∴∠BCH＝180°﹣∠BCD＝135°，
∴∠BCH＝∠A，
在△BCH和△BAF中，
，
∴△BCH≌△BAF（SAS）．
（2）由（1）得△BCH≌△BAF，
∴BH＝BF，∠CBH＝∠ABF，
∴∠CBH+∠CBF＝∠ABF+∠CBF，
∴∠HBF＝∠CBA，
∵CH＝AF，
∴EH＝CE+CH＝CE+AF，
∵EF＝CE+AF，
∴EH＝EF，
在△BEH和△BEF中，
，
∴△BEH≌△BEF（SSS），
∴∠EBH＝∠EBF∠HBF，
∴∠EBF∠CBA．
【变式练1】　（2025春 沙坪坝区校级期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．求证：
（1）DF∥BC；
（2）GD＝CE．
【答案】（1）∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
，
∴△ACF≌△ADF（SAS）．
∴∠ACF＝∠ADF．
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∴∠ADF＝∠B．
∴DF∥BC；
（2）∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC．
∵FE⊥AB，
∴∠DGA＝∠CEA＝90°，
在△DGA和△CEA中，
，
∴△DGA≌△CEA（AAS），
∴GD＝CE．
【分析】（1）证明△ACF≌△ADF（SAS）．得∠ACF＝∠ADF．然后证明∠ADF＝∠B．可得DF∥BC；
（2）证明△DGA≌△CEA（AAS），可得GD＝CE．
【解答】证明：（1）∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
，
∴△ACF≌△ADF（SAS）．
∴∠ACF＝∠ADF．
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∴∠ADF＝∠B．
∴DF∥BC；
（2）∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC．
∵FE⊥AB，
∴∠DGA＝∠CEA＝90°，
在△DGA和△CEA中，
，
∴△DGA≌△CEA（AAS），
∴GD＝CE．
【变式练2】　（2025 上城区校级三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点P．
（1）证明：△AEB≌△ADC．
（2）若∠EBC＝35°，求∠ABE的度数．
【答案】（1）证明见解答；
（2）∠ABE的度数是20°．
【分析】（1）由BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，得∠AEB＝∠ADC＝90°，而∠A＝∠A，AB＝AC，即可根据“AAS”证明△AEB≌△ADC；
（2）由∠BEC＝90°，∠EBC＝35°，求得∠ACB＝90°﹣∠EBC＝55°，则∠ABC＝∠ACB＝55°，所以∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝20°．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（AAS）．
（2）解：∵∠BEC＝90°，∠EBC＝35°，
∴∠ACB＝90°﹣∠EBC＝55°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝55°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝55°﹣35°＝20°，
∴∠ABE的度数是20°．
【变式练3】　（2025春 咸阳校级月考）如图，已知△ABC为等边三角形，点E在BC边上，过点C作CD∥AB，使得CD＝BE，连接AE，AD．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）连接DE，试判断△ADE的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）△ADE是等边三角形，理由见解答．
【分析】（1）由等边三角形的性质得AB＝AC，∠B＝∠BAC，由CD∥AB，得∠ACD＝∠BAC，则∠B＝∠ACD，而BE＝CD，即可根据“SAS”证明△ABE≌△ACD；
（2）由全等三角形的性质得AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，推导出∠DAE＝∠BAC＝60°，所以△ADE是等边三角形．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠BAC，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴∠B＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
（2）△ADE是等边三角形，
理由：由（1）得△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，
∵∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠BAE+∠CAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形．

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