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14.3 角的平分线 讲义
知识点1：作已知角的平分线
已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：
1．以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
2．分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
3．画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：
知识点2：角平分线的性质
1．内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．符号语言：
如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE．
3．图示
知识点3：证明几何命题的一般步骤
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：
1．明确命题中的已知和求证；
2．根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
知识点4：角的平分线的判定
1．内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
2．符号语言：
如图，点P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线OC上．
3．图示
1．用尺规作已知角的平分线，作图依据为：构造△△OMC≌△ONC（SSS）．
2．角平分线的性质
（1）角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
④运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
（2）角平分线的性质可以证明两条线段相等，不需要再通过证三角形全等来证线段相等；
（3）已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段，常添加辅助线：由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，利用角平分线的性质，得到相等的两条垂线段．
3．角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
题型01 角平分线的性质
（2024秋 西双版纳期末）如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若PD＝3，则PE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE＝PD．
【解答】解：∵OC是∠AOB的角平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝3，
∴PE＝3．
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
【变式练1】　（2025 凤城市一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝2，则BD的长为（　　）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】过点D作DF⊥AB，根据角平分线的性质得出DF＝DE＝2，再由等角对等边得出DF＝BF＝2，由勾股定理即可求解．
【解答】解：过点D作DF⊥AB，如图所示：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DE＝2，
∴DF＝DE＝2，
∵∠B＝45°，
∴∠BDF＝∠B＝45°，
∴DF＝BF＝2，
∴，
故选：D．
【变式练2】　（2025春 崂山区期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，△ABC的面积为30，AB＝8，DE＝4，则AC的长为（　　）
A．4 B．8 C．7 D．
【答案】C
【分析】过D点作DF⊥AC于F点，如图，先根据角平分线的性质得到DE＝DF＝4，再根据三角形面积公式计算出S△ABD＝16，接着计算出S△ACD＝14，然后根据三角形面积公式计算出AC的长．
【解答】解：过D点作DF⊥AC于F点，如图，
∵AD是∠BAC角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ABDAB×DE8×4＝16，
∴S△ACD＝S△ABC﹣S△ABD＝30﹣16＝14，
∴AC×DF＝14，
∴AC7．
故选：C．
【变式练3】　（2025春 贵阳月考）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DE＝3，AC＝4，则△ADC的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，由角平分线上的点到角的两边距离相等，得DF＝DE＝3，再根据面积公式进行列式，即可作答．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，如图所示：
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DE＝3，AC＝4，
∴DF＝DE＝3，
∴S△ADC．
故选：D．
题型02 角平分线的判定
（2025春 新城区校级月考）如图，CA＝CB，E在BC上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于F，连接CF．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：CF平分∠AFD．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据SAS定理得出△ACE≌△BCD即可得出结论；
（2）过点C作CG⊥AF，CH⊥BD，垂足分别为G、H，由AAS定理得出△ACG≌△BCH，故CG＝CH，故可得出结论．
【解答】（1）证明：在△ACE与△BCD中，
∵，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD；
（2）证明：过点C作CG⊥AF，CH⊥BD，垂足分别为G、H，
∵由（1）知，△ACE≌△BCD，
∴∠CAG＝∠CBH，AC＝BC．
在△ACG与△BCH中，
∵，
∴△ACG≌△BCH（AAS），
∴CG＝CH，
∴CF平分∠AFD．
【变式练1】　（2025春 宣汉县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积．
【答案】（1）40°；
（2）见解析；
（3）△ABE的面积为15．
【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出∠ACD，∠DCE的度数即可得到答案；
（2）过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，利用角平分线的性质定理，推出EM＝EN，再利用角的平分线的判定证明即可．
（3）设EM＝EH＝EN＝x，利用S△ACD＝S△ACE+S△CDE，求出x＝3，从而求出△ABE的面积即可．
【解答】（1）解：由条件可得∠ACD＝180°﹣∠ACB＝80°，
∵EH⊥BD，∠CEH＝50°，
∴∠DCE＝90°﹣∠CEH＝40°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝40°．
（2）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，
∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，
∴EM＝EH，
由（1）可知，∠ACE＝∠DCE＝40°，即CE平分∠ACD，
由条件可得EN＝EH，
∴EM＝EN，
又∵点E在∠CAF的内部，
∴AE平分∠CAF；
（3）解：如上图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，
由（2）已得：EM＝EH＝EN，
设EM＝EH＝EN＝x，
∵S△ACD＝24，
∴S△ACE+S△DCE＝24，
∴，即，
∴，
∴x＝3，
∴EM＝3，
∵AB＝10，
∴△ABE的面积为．
【变式练2】　（2025春 凤翔区期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BE＝EF，再求出CE＝EF，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．
【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∴∠B＝90°，AE平分∠BAD，
∴BE⊥AB，
∴BE＝EF．
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴CE＝EF．
又∵∠C＝90°，
∴EC⊥DC．
∵EF⊥AD，
∴DE是∠ADC的平分线．
【变式练3】　（2025春 武侯区校级月考）如图，BE，CE分别为△ABC的两个外角的角平分线，EP⊥AM于点P，EQ⊥AN于点Q，ED⊥BC于点D，求证：点E在∠NAM的角平分线上．
【答案】证明见解析．
【分析】先根据角平分线的性质得EP＝ED，EQ＝ED，进而可知EP＝EQ，再根据角平分线的判定定理证明即可．
【解答】证明：∵BE、CE分别为△ABC的两个外角∠CBM、∠BCN的平分线，EP⊥AM于点P，ED⊥BC于点D，EQ⊥AN于点Q，
∴EP＝ED，EQ＝ED，
∴EP＝EQ，
又∵EP⊥AM，EQ⊥AN，
∴点E在∠NAM的平分线上．
题型03 角平分线性质的实际应用
（2025春 顺德区校级月考）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
【变式练1】　（2025春 法库县期中）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 　　 个．
【答案】4．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置．
【解答】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处；
②三个外角两两平分线的交点，共三处，
∴中转站P可选择的点有共有4个．
【变式练2】　（2024秋 旌阳区期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（　　）
A．三条角平分线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三条高线的交点处
D．以上都不对
【答案】A
【分析】根据三角形的三条角的平分线交于一点，角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出答案．
【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
又∵三角形的三条角的平分线交于一点，
∴凉亭的位置应为三角形草坪的三条角平分线的交点处．
故选：A．
【变式练3】　（2024秋 鄂尔多斯月考）如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知条件，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知建在∠AOB的平分线与AB的交点上．
【解答】解：作∠AOB的平分线交AB于M，即M为水厂的位置．
题型04 基本作图
（2025春 船营区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE交AB于点F，则∠ACF的度数为（　　）
A．25° B．20° C．18° D．15°
【答案】C
【分析】由尺规作图可得CF⊥AB，再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可．
【解答】解：由作图可得，CF⊥AB于F，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣∠B＝36°，
又∵AB＝AC，∠B＝54°，
∴∠ACB＝∠B＝54°，
∴∠ACF＝54°﹣36°＝18°，
故选：C．
【变式练1】　（2024秋 五华区期末）在△ABC中，∠BAC为钝角，用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使∠BAP＝∠CAP（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的作法即可得到结论．
【解答】解：用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使∠BAP＝∠CAP，
实际上是作∠BAC的平分线，
∴符合要求的作图是D选项，
故选：D．
【变式练2】　（2025春 唐河县期末）如图，在Rt△ABC中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）
A．∠BAD＝∠CAD B．∠ADE＝∠BAC
C．DE⊥AB D．∠ADC＝∠B+∠CAD
【答案】B
【分析】根据作图痕迹一一判断即可．
【解答】解：由作图可知AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠ADC＝∠DAB+∠B，\
∴∠ADC＝∠B+∠CAD，
故象限A，C，D正确．
故选：B．
【变式练3】　（2025 格尔木市校级模拟）如图，AB∥CD，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线AP交CD于点E．若∠AEC＝55°，则∠C的大小为（　　）
A．70° B．75° C．80° D．60°
【答案】A
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可解答．
【解答】解：由题意得：AE平分∠BAC，
∴∠CAB＝2∠BAE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEC＝55°，
∴∠CAB＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
故选：A．中小学教育资源及组卷应用平台
14.3 角的平分线 讲义
知识点1：作已知角的平分线
已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：
1．以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
2．分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
3．画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：
知识点2：角平分线的性质
1．内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．符号语言：
如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE．
3．图示
知识点3：证明几何命题的一般步骤
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：
1．明确命题中的已知和求证；
2．根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
知识点4：角的平分线的判定
1．内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
2．符号语言：
如图，点P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线OC上．
3．图示
1．用尺规作已知角的平分线，作图依据为：构造△△OMC≌△ONC（SSS）．
2．角平分线的性质
（1）角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
④运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
（2）角平分线的性质可以证明两条线段相等，不需要再通过证三角形全等来证线段相等；
（3）已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段，常添加辅助线：由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，利用角平分线的性质，得到相等的两条垂线段．
3．角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
题型01 角平分线的性质
（2024秋 西双版纳期末）如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若PD＝3，则PE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE＝PD．
【解答】解：∵OC是∠AOB的角平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝3，
∴PE＝3．
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
【变式练1】　（2025 凤城市一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝2，则BD的长为（　　）
A．4 B． C．2 D．
【变式练2】　（2025春 崂山区期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，△ABC的面积为30，AB＝8，DE＝4，则AC的长为（　　）
A．4 B．8 C．7 D．
【变式练3】　（2025春 贵阳月考）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DE＝3，AC＝4，则△ADC的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
题型02 角平分线的判定
（2025春 新城区校级月考）如图，CA＝CB，E在BC上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于F，连接CF．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：CF平分∠AFD．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据SAS定理得出△ACE≌△BCD即可得出结论；
（2）过点C作CG⊥AF，CH⊥BD，垂足分别为G、H，由AAS定理得出△ACG≌△BCH，故CG＝CH，故可得出结论．
【解答】（1）证明：在△ACE与△BCD中，
∵，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD；
（2）证明：过点C作CG⊥AF，CH⊥BD，垂足分别为G、H，
∵由（1）知，△ACE≌△BCD，
∴∠CAG＝∠CBH，AC＝BC．
在△ACG与△BCH中，
∵，
∴△ACG≌△BCH（AAS），
∴CG＝CH，
∴CF平分∠AFD．
【变式练1】　（2025春 宣汉县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积．
【变式练2】　（2025春 凤翔区期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线．
【变式练3】　（2025春 武侯区校级月考）如图，BE，CE分别为△ABC的两个外角的角平分线，EP⊥AM于点P，EQ⊥AN于点Q，ED⊥BC于点D，求证：点E在∠NAM的角平分线上．
题型03 角平分线性质的实际应用
（2025春 顺德区校级月考）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
【变式练1】　（2025春 法库县期中）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 　　 个．
【变式练2】　（2024秋 旌阳区期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（　　）
A．三条角平分线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三条高线的交点处
D．以上都不对
【变式练3】　（2024秋 鄂尔多斯月考）如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
题型04 基本作图
（2025春 船营区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE交AB于点F，则∠ACF的度数为（　　）
A．25° B．20° C．18° D．15°
【答案】C
【分析】由尺规作图可得CF⊥AB，再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可．
【解答】解：由作图可得，CF⊥AB于F，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣∠B＝36°，
又∵AB＝AC，∠B＝54°，
∴∠ACB＝∠B＝54°，
∴∠ACF＝54°﹣36°＝18°，
故选：C．
【变式练1】　（2024秋 五华区期末）在△ABC中，∠BAC为钝角，用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使∠BAP＝∠CAP（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　）
A． B．
C． D．
【变式练2】　（2025春 唐河县期末）如图，在Rt△ABC中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）
A．∠BAD＝∠CAD B．∠ADE＝∠BAC
C．DE⊥AB D．∠ADC＝∠B+∠CAD
【变式练3】　（2025 格尔木市校级模拟）如图，AB∥CD，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线AP交CD于点E．若∠AEC＝55°，则∠C的大小为（　　）
A．70° B．75° C．80° D．60°

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