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15.1 图形的轴对称 讲义
知识点1：轴对称图形
1．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点这时，也说这个图形关于这条直线对称．
（1）轴对称图形是对一个图形而言的，它是一个图形自身注意的对称特性，它被对称轴分成的两部分能够互相重合．
（2）一个轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条，甚至是无数条．
2．常见的轴对称图形及它们的对称轴
名称 对称轴 对称轴的条数
角 角平分线所在直线 1
等腰三角形 底边上的高（顶角平分线、底边上的中线）所在直线 1
等边三角形 各边上的高（内角平分线、各边上的中线）所在直线 3
等腰梯形 上、下底的中点所在直线 1
长方形 对边中点所在直线 2
正方形 对边中点所在直线和两条对角线所在直线 4
圆 过圆心的每一条直线 无数条
知识点2：轴对称
1．轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．
2．轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形 轴对称
图示
区别 意义 一个形状特殊的图形 两个图形之间的特殊位置关系
对象 一个图形 两个图形
对称轴的数量 有一条或多条 只有一条
对称轴的位置 一定经过这个图形 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点）
联系 （1）都能沿某条直线折叠后互相重合； （2）把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．
知识点3：线段的垂直平分线
1．线段的垂直平分线的定义
（1）文字语言：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的．
（2）符号语言：如图，∵CA=CB，直线l⊥AB，∴直线l是线段AB的垂直平分线．
2．线段的垂直平分线的性质及点在垂直平分线上的判定
性质 点在垂直平分线上的判定 图示
文字语言 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
符号语言 如图∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上，∴PA=PB． 如图，已知线段AB，∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上
应用 证明线段相等 确定点在线段的垂直平分线上，然后根据“两点确定一条直线”，可以判定线段的垂直平分线
说明
（1）线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合．
（2）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．
知识点4：轴对称和轴对称图形的性质
1．线段的垂直平分线的定义
（1）文字语言：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的．
（2）符号语言：如图，∵CA=CB，直线l⊥AB，∴直线l是线段AB的垂直平分线．
2．线段的垂直平分线的性质及点在垂直平分线上的判定
性质 点在垂直平分线上的判定 图示
文字语言 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
符号语言 如图∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上，∴PA=PB． 如图，已知线段AB，∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上
应用 证明线段相等 确定点在线段的垂直平分线上，然后根据“两点确定一条直线”，可以判定线段的垂直平分线
说明
（1）线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合．
（2）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．
知识点5：互逆命题和互逆定理
1．互逆命题：
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题．
2．互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理．
3．说明
（1）一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．
（2）命题有真有假，但定理都是真命题．
（3）每个命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理．
知识点6：垂直平分线和垂线的尺规作图
1．要保留作图痕迹，并写明结论．
2．作弧时，半径必须大于线段长度的一半，否则两弧不能相交，且这两条弧的半径必须相等．
3．在作一条线段的垂直平分线时，若无特殊说明，则要画成一条直线．
1．轴对称图形或成轴对称的两个图形的对应线段（折叠后重合的线段）、对应角（折叠后重合的角）相等．
2．指第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，并非指它们的意义相反．
3．作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤：
（1）找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对称点．
（2）作：作对称点所连线段的垂直平分线．
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．
题型01 轴对称图形
（2025春 城厢区校级月考）公元2025年是我国农历乙巳年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春！下列年画图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据沿着一条直线对折，图形的两部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此判断即可．
【解答】解：根据轴对称图形的定义可得：
A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【变式练1】　（2024秋 牟平区期末）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式练2】　（2025春 莲池区期末）下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【变式练3】　（2024秋 句容市期末）下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
题型02 轴对称图形的性质
（2025春 余江区校级月考）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠A'的度数为 　　 ．
【答案】50°．
【分析】根据轴对称的性质得△ABC≌△A'B'C'，再根据全等三角形的性质即可得出∠A'的度数．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴∠A'＝∠A＝50°，
即∠A'的度数为50°．
故答案为：50°．
【变式练1】　（2025春 耀州区校级月考）如图，D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝7，AC＝3，BC＝6，则△BDE的周长是（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
【变式练2】　（2025春 芗城区校级月考）如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论中不一定正确的是（　　）
A．AD∥BE B．∠ABC＝∠DEF C．AB＝DF D．AD⊥MN
【变式练3】　（2025春 英德市期末）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝108°，∠F＝32°，则∠B的度数为（　　）
A．32° B．40° C．50° D．108°
题型03 线段垂直平分线的性质
（2025 横山区一模）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线分别交AB、BC边于点D、E，连接CD，CE＝1，△ACD的周长为5，则△ABC的周长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 DC＝DB，BC＝2CE＝2，再根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是BC边的垂直平分线，CE＝1，
∴DC＝DB，BC＝2CE＝2，
∵△ACD的周长为5，
∴AC+AD+DC＝5，
∴AC+AD+DB＝AC+AB＝5，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝5+2＝7，
故选：C．
【变式练1】　（2024秋 琼海期末）如图，在△ABC中，PM，QN分别是线段AB，AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°．则∠PAQ的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【变式练2】　（2025 宝安区校级模拟）如图，△ABC中，AC边的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AD＝3cm，△ABC的周长为18cm，则△BEC的周长为（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
【变式练3】　（2025 三原县二模）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB．若BD＝6，CD＝3，则AC的长是（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
题型04 线段垂直平分线的判定
（2025春 宁德期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E．若AD＝2，CD＝1，则BC的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝AD＝2，结合图形计算得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AD＝2，
∴DB＝AD＝2，
∵CD＝1，
∴BC＝CD+BD＝1+2＝3，
故选：B．
【变式练1】　（2025春 徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，OM、ON分别是AB、AC的垂直平分线，OM与ON相交于点O．求证：点O在BC的垂直平分线上．
【变式练2】　（2024春 子洲县校级期末）如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD＝BC，求证：点D在AC的垂直平分线上．
【变式练3】　（2023秋 成武县期末）证明：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．中小学教育资源及组卷应用平台
15.1 图形的轴对称 讲义
知识点1：轴对称图形
1．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点这时，也说这个图形关于这条直线对称．
（1）轴对称图形是对一个图形而言的，它是一个图形自身注意的对称特性，它被对称轴分成的两部分能够互相重合．
（2）一个轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条，甚至是无数条．
2．常见的轴对称图形及它们的对称轴
名称 对称轴 对称轴的条数
角 角平分线所在直线 1
等腰三角形 底边上的高（顶角平分线、底边上的中线）所在直线 1
等边三角形 各边上的高（内角平分线、各边上的中线）所在直线 3
等腰梯形 上、下底的中点所在直线 1
长方形 对边中点所在直线 2
正方形 对边中点所在直线和两条对角线所在直线 4
圆 过圆心的每一条直线 无数条
知识点2：轴对称
1．轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．
2．轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形 轴对称
图示
区别 意义 一个形状特殊的图形 两个图形之间的特殊位置关系
对象 一个图形 两个图形
对称轴的数量 有一条或多条 只有一条
对称轴的位置 一定经过这个图形 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点）
联系 （1）都能沿某条直线折叠后互相重合； （2）把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．
知识点3：线段的垂直平分线
1．线段的垂直平分线的定义
（1）文字语言：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）符号语言：如图，∵CA=CB，直线l⊥AB，∴直线l是线段AB的垂直平分线．
2．线段的垂直平分线的性质及点在垂直平分线上的判定
性质 点在垂直平分线上的判定 图示
文字语言 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
符号语言 如图∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上，∴PA=PB． 如图，已知线段AB，∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上
应用 证明线段相等 确定点在线段的垂直平分线上，然后根据“两点确定一条直线”，可以判定线段的垂直平分线
说明
（1）线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合．
（2）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．
知识点4：轴对称和轴对称图形的性质
1．线段的垂直平分线的定义
（1）文字语言：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）符号语言：如图，∵CA=CB，直线l⊥AB，∴直线l是线段AB的垂直平分线．
2．线段的垂直平分线的性质及点在垂直平分线上的判定
性质 点在垂直平分线上的判定 图示
文字语言 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
符号语言 如图∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上，∴PA=PB． 如图，已知线段AB，∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上
应用 证明线段相等 确定点在线段的垂直平分线上，然后根据“两点确定一条直线”，可以判定线段的垂直平分线
说明
（1）线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合．
（2）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．
知识点5：互逆命题和互逆定理
1．互逆命题：
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题．
2．互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理．
3．说明
（1）一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．
（2）命题有真有假，但定理都是真命题．
（3）每个命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理．
知识点6：垂直平分线和垂线的尺规作图
1．要保留作图痕迹，并写明结论．
2．作弧时，半径必须大于线段长度的一半，否则两弧不能相交，且这两条弧的半径必须相等．
3．在作一条线段的垂直平分线时，若无特殊说明，则要画成一条直线．
1．轴对称图形或成轴对称的两个图形的对应线段（折叠后重合的线段）、对应角（折叠后重合的角）相等．
2．指第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，并非指它们的意义相反．
3．作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤：
（1）找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对称点．
（2）作：作对称点所连线段的垂直平分线．
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．
题型01 轴对称图形
（2025春 城厢区校级月考）公元2025年是我国农历乙巳年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春！下列年画图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据沿着一条直线对折，图形的两部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此判断即可．
【解答】解：根据轴对称图形的定义可得：
A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【变式练1】　（2024秋 牟平区期末）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：A，B，C不是轴对称图形，D是轴对称图形，
故选：D．
【变式练2】　（2025春 莲池区期末）下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
【解答】解：由题意可知，只有选项A的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边完全重合，所以选项A是轴对称图形，选项B、C、D不是轴对称图形．
故选：A．
【变式练3】　（2024秋 句容市期末）下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合轴对称图形的定义可得答案．
【解答】解：由各选项图形可知，是轴对称图形的是D选项，
故选：D．
题型02 轴对称图形的性质
（2025春 余江区校级月考）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠A'的度数为 　　 ．
【答案】50°．
【分析】根据轴对称的性质得△ABC≌△A'B'C'，再根据全等三角形的性质即可得出∠A'的度数．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴∠A'＝∠A＝50°，
即∠A'的度数为50°．
故答案为：50°．
【变式练1】　（2025春 耀州区校级月考）如图，D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝7，AC＝3，BC＝6，则△BDE的周长是（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，
所以AD＝ED，EC＝AC＝3．
因为BC＝6，
所以BE＝6﹣3＝3，
所以△BDE的周长为：BD+DE+BE＝BD+AD+BE＝AB+BE＝7+3＝10．
故选：D．
【变式练2】　（2025春 芗城区校级月考）如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论中不一定正确的是（　　）
A．AD∥BE B．∠ABC＝∠DEF C．AB＝DF D．AD⊥MN
【答案】C
【分析】如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．依据轴对称的性质进行判断即可．
【解答】解：A．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得AD⊥MN，BE⊥MN，所以AD∥BE，故本选项正确；
B．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得△ABC≌△DEF，所以∠ABC＝∠DEF，故本选项正确；
C．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得AB＝DE，AB与DF不相等，故本选项不一定正确；
D．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得AD⊥MN，故本选项正确；
故选：C．
【变式练3】　（2025春 英德市期末）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝108°，∠F＝32°，则∠B的度数为（　　）
A．32° B．40° C．50° D．108°
【答案】B
【分析】首先根据对称的两个图形全等求得∠C的度数，然后在△ABC中利用三角形内角和求解．
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴∠C＝∠F＝32°，
∵∠A＝108°，
∴∠B＝180°﹣32°﹣108°＝40°．
故选：B．
题型03 线段垂直平分线的性质
（2025 横山区一模）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线分别交AB、BC边于点D、E，连接CD，CE＝1，△ACD的周长为5，则△ABC的周长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 DC＝DB，BC＝2CE＝2，再根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是BC边的垂直平分线，CE＝1，
∴DC＝DB，BC＝2CE＝2，
∵△ACD的周长为5，
∴AC+AD+DC＝5，
∴AC+AD+DB＝AC+AB＝5，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝5+2＝7，
故选：C．
【变式练1】　（2024秋 琼海期末）如图，在△ABC中，PM，QN分别是线段AB，AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°．则∠PAQ的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，CQ＝AQ，求出∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，再求出∠BAP+∠CAQ＝70°，再求出答案即可．
【解答】解：∵∠BAC＝110°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
∵PM，QN分别是线段AB，AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，CQ＝AQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°，
故选：B．
【变式练2】　（2025 宝安区校级模拟）如图，△ABC中，AC边的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AD＝3cm，△ABC的周长为18cm，则△BEC的周长为（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
【答案】C
【分析】由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，由△ABC的周长为18cm求出AB+BC，最后根据△BEC的周长为BE+CE+BC＝AB+BC即可求解．
【解答】解：∵AC边的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，
∴AE＝CE，，
∵AD＝3cm，
∴AC＝6cm，
∵△ABC的周长为18cm，
∴AB+BC＝12cm，
∴△BEC的周长为BE+CE+BC＝AB+BC＝12cm，
故选：C．
【变式练3】　（2025 三原县二模）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB．若BD＝6，CD＝3，则AC的长是（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【分析】由线段垂直平分线的性质推出AD＝BD＝6，即可求出AC的长．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝6，
∴AC＝AD+CD＝6+3＝9．
故选：C．
题型04 线段垂直平分线的判定
（2025春 宁德期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E．若AD＝2，CD＝1，则BC的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝AD＝2，结合图形计算得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AD＝2，
∴DB＝AD＝2，
∵CD＝1，
∴BC＝CD+BD＝1+2＝3，
故选：B．
【变式练1】　（2025春 徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，OM、ON分别是AB、AC的垂直平分线，OM与ON相交于点O．求证：点O在BC的垂直平分线上．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AO、BO、CO，根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AO＝BO，AO＝CO，利用等量代换可得CO＝BO，再根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上可得结论．
【解答】证明：连接AO、BO、CO，
∵OM是AB的垂直平分线，
∴AO＝BO，
∵ON分别是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
∴CO＝BO，
∴点O在BC的垂直平分线上．
【变式练2】　（2024春 子洲县校级期末）如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD＝BC，求证：点D在AC的垂直平分线上．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先证明AD＝CD，然后根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上可得结论．
【解答】证明：∵BD+AD＝BC，BD+DC＝BC，
∴AD＝CD，
∴点D在AC的垂直平分线上．
【变式练3】　（2023秋 成武县期末）证明：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
【答案】见试题解答内容
【分析】先画出图形，写出已知、求证，过P作PD⊥AB于D，推出∠PDA＝∠PDB＝90°，根据HL推出Rt△PDA≌Rt△PDB，根据全等三角形的性质得出AD＝BD，即可得出答案．
【解答】已知：
线段AB外一点P，且PA＝PB，
求证：P在线段AB的垂直平分线上
证明：
过P作PD⊥AB于D，
则∠PDA＝∠PDB＝90°，
∵在Rt△PDA和Rt△PDB中
∴Rt△PDA≌Rt△PDB（HL），
∴AD＝BD，
∵PD⊥AB，
即P在线段AB的垂直平分线上．

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