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15.2 画轴对称的图形 讲义
知识点1：画轴对称的图形
几何图形都可以看作由点组成．对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形步骤如下：
一找：在原图形上找特殊点（如线段端点、线与线的交点、线段的中点等）．
二画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点．
三连：按原图的顺序依次连接各对称点．
知识点2：用坐标表示轴对称
1．关于坐标轴对称的点的坐标规律
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数．
（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数．
2．在直角坐标系中画与已知图形关于某直线成轴对称的图形的步骤
一算：计算出构成已知图形的特殊点（如：多边形的顶点）的对称点的坐标．
二描：根据对称点的坐标描点．
三连：按原图对应顺序依次连接所描各点得到对称图形．
1．轴对称变换是相互的，即成轴对称的两个图形中任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的．一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换得到的．
2．轴对称变换得到的图形一定全等，但全等的图形不一定是由轴对称变换得到的．
3．几何图形都可以看作是由点组成的，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于某直线的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴点，就可以得到原图形的轴对称图形．
4．找特殊点对画轴对称图形极为重要，找特殊点时，要把确定图形形状的特殊点找全，否则画出的图形不准确或不完整，常见的特殊点除线段的端点、中点外，线与线的交点也是画图过程中的特殊点．
5．同一个图形，因对称轴不同会得到不同位置的对称图形，所以画图时要先确定对形，所以画图时要先确定对称轴，再根据对称轴画出对称图形．
6．若已知图形中的点在对称轴上，则它的对称点为它本身；若已知图形中的点不在对称轴上，则它的对称点与这个点分别在对称轴两侧．
7．（1）点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（-x+2m，y）．
（2）点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标为（x，-y+2n）．
8．已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1+ x2=0，y1= y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立．
题型01 关于x轴、y轴对称的点的坐标
（2025春 石狮市期末）在平面直角坐标系中，点（2，5）关于x轴对称的点是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，﹣5） D．（5，2）
【答案】B
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可解答．
【解答】解：点（2，5）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣5）．
故选：B．
【变式练1】　（2024秋 高要区期末）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【变式练2】　（2024秋 恩施市期末）点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）
【变式练3】　（2025春 锦江区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，2）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣4，2） B．（4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（4，﹣2）
题型02 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用
（2025春 泉州期末）如果点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】D
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，
∴a＝2，b＝3，
则a+b的值是：5．
故选：D．
【变式练1】　（2024秋 寿阳县期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m﹣1）与点B（n+2，3）关于x轴对称，则m+n的值是（　　）
A．﹣6 B．4 C．5 D．﹣5
【变式练2】　（2024秋 老河口市期末）在直角坐标系中，点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，则m+n的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7
【变式练3】　（2025春 宁强县期末）已知点A（5，m﹣1）和点B（n+1，2）关于y轴成轴对称，则m+n＝　　 ．
题型03 利用轴对称补全图形
（2025春 工业园区期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'，图中标出了点A的对应点A′．根据下列条件，利用格点和直尺画图：
（1）补全△A'B'C'；
（2）做出点C关于直线AB的对称点D，连接AD；
①直线CD　　 线段AB的中垂线（填“是”或“不是”）；
②射线AB　　 ∠CAD的平分线（填“是”或“不是”）．
【答案】（1）见解答．
（2）①是．
②是．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）①结合轴对称的性质、线段垂直平分线的性质可得结论．
②由题意可知，直线AB垂直平分线段CD，则射线AB是∠CAD的平分线．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）①∵点C与点D关于直线AB对称，
∴CD⊥AB，
由图可知，CD平分AB，
∴直线CD是线段AB的中垂线．
故答案为：是．
②∵点C与点D关于直线AB对称，
∴直线AB垂直平分线段CD，
∴射线AB是∠CAD的平分线．
故答案为：是．
【变式练1】　（2023秋 青秀区校级月考）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．
（1）依题意补全图形（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）若BE＝8cm，CE＝3cm，求BD的长度．
【变式练2】　（2023秋 鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，BA＝BC，∠MBC＝15°，作点C关于直线BM的对称点D，连接AD、BD、CD．
（1）按要求补全图形，并求出∠BAD的度数；
（2）设AD交BC于点E，交BM于点F，猜想CE与DF的数量关系并证明．
题型04 利用网格实际轴对称图形
（2024秋 济宁期末）如图，在3×3的正方形网格中，有A，B，C，D四个格点（网格线的交点），以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是点 　　 ．
【答案】B．
【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．
【解答】解：当以点B为原点时，
A（1，1），C（1，﹣1），
则点A和点C关于x轴对称，符合条件．
故答案为：B．
【变式练1】　（2024秋 北京期末）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 　　 ．
【变式练2】　（2024秋 西峰区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣3，1），C（﹣1，0），直线l上各点的纵坐标都为﹣1．
（1）在网格中画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标．
【变式练3】　（2024秋 澄城县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣3，1），C（﹣2，1），网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；（点A、B、C的对应点分别是点A′、B′、C′）
（2）在（1）的条件下，直接写出A′、B′的坐标．中小学教育资源及组卷应用平台
15.2 画轴对称的图形 讲义
知识点1：画轴对称的图形
几何图形都可以看作由点组成．对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形步骤如下：
一找：在原图形上找特殊点（如线段端点、线与线的交点、线段的中点等）．
二画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点．
三连：按原图的顺序依次连接各对称点．
知识点2：用坐标表示轴对称
1．关于坐标轴对称的点的坐标规律
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数．
（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数．
2．在直角坐标系中画与已知图形关于某直线成轴对称的图形的步骤
一算：计算出构成已知图形的特殊点（如：多边形的顶点）的对称点的坐标．
二描：根据对称点的坐标描点．
三连：按原图对应顺序依次连接所描各点得到对称图形．
1．轴对称变换是相互的，即成轴对称的两个图形中任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的．一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换得到的．
2．轴对称变换得到的图形一定全等，但全等的图形不一定是由轴对称变换得到的．
3．几何图形都可以看作是由点组成的，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于某直线的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴点，就可以得到原图形的轴对称图形．
4．找特殊点对画轴对称图形极为重要，找特殊点时，要把确定图形形状的特殊点找全，否则画出的图形不准确或不完整，常见的特殊点除线段的端点、中点外，线与线的交点也是画图过程中的特殊点．
5．同一个图形，因对称轴不同会得到不同位置的对称图形，所以画图时要先确定对形，所以画图时要先确定对称轴，再根据对称轴画出对称图形．
6．若已知图形中的点在对称轴上，则它的对称点为它本身；若已知图形中的点不在对称轴上，则它的对称点与这个点分别在对称轴两侧．
7．（1）点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（-x+2m，y）．
（2）点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标为（x，-y+2n）．
8．已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1+ x2=0，y1= y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立．
题型01 关于x轴、y轴对称的点的坐标
（2025春 石狮市期末）在平面直角坐标系中，点（2，5）关于x轴对称的点是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，﹣5） D．（5，2）
【答案】B
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可解答．
【解答】解：点（2，5）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣5）．
故选：B．
【变式练1】　（2024秋 高要区期末）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【答案】D
【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【解答】解：根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数可知：点P（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣3）．
故选：D．
【变式练2】　（2024秋 恩施市期末）点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）
【答案】A
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点解答即可．
【解答】解：点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2），
故选：A．
【变式练3】　（2025春 锦江区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，2）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣4，2） B．（4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（4，﹣2）
【答案】B
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得出答案．
【解答】解：根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，
则点M（﹣4，2）关于y轴对称的点的坐标是（4，2）．
故选：B．
题型02 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用
（2025春 泉州期末）如果点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】D
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，
∴a＝2，b＝3，
则a+b的值是：5．
故选：D．
【变式练1】　（2024秋 寿阳县期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m﹣1）与点B（n+2，3）关于x轴对称，则m+n的值是（　　）
A．﹣6 B．4 C．5 D．﹣5
【答案】A
【分析】根据关于x轴对称点的坐标性质“横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可．
【解答】解：由题意可得：﹣2＝n+2，m﹣1＝﹣3，
解得n＝﹣4，m＝﹣2，
∴m+n＝﹣6．
故选：A．
【变式练2】　（2024秋 老河口市期末）在直角坐标系中，点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，则m+n的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7
【答案】A
【分析】根据关于y轴对称求出m、n的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣4，n＝3，
∴m+n＝﹣4+3＝﹣1，
故选：A．
【变式练3】　（2025春 宁强县期末）已知点A（5，m﹣1）和点B（n+1，2）关于y轴成轴对称，则m+n＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程求出m、n，然后相加计算即可得解．
【解答】解：∵点A（5，m﹣1）和点B（n+1，2）关于y轴成轴对称，
∴n+1＝﹣5，m﹣1＝2，
解得m＝3，n＝﹣6，
所以m+n＝（﹣6）+3＝﹣3．
故答案为：﹣3．
题型03 利用轴对称补全图形
（2025春 工业园区期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'，图中标出了点A的对应点A′．根据下列条件，利用格点和直尺画图：
（1）补全△A'B'C'；
（2）做出点C关于直线AB的对称点D，连接AD；
①直线CD　　 线段AB的中垂线（填“是”或“不是”）；
②射线AB　　 ∠CAD的平分线（填“是”或“不是”）．
【答案】（1）见解答．
（2）①是．
②是．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）①结合轴对称的性质、线段垂直平分线的性质可得结论．
②由题意可知，直线AB垂直平分线段CD，则射线AB是∠CAD的平分线．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）①∵点C与点D关于直线AB对称，
∴CD⊥AB，
由图可知，CD平分AB，
∴直线CD是线段AB的中垂线．
故答案为：是．
②∵点C与点D关于直线AB对称，
∴直线AB垂直平分线段CD，
∴射线AB是∠CAD的平分线．
故答案为：是．
【变式练1】　（2023秋 青秀区校级月考）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．
（1）依题意补全图形（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）若BE＝8cm，CE＝3cm，求BD的长度．
【答案】（1）见解析；
（2）11cm．
【分析】（1）根据题意运用尺规作图补全图形即可解答；
（2）如图：连接CE，根据垂直平分线的性质可得ED＝CE＝3，然后再运用尺规作图即可．
【解答】解：（1）如图即为所求．
（2）∵点C关于直线AP的对称点为点D，
∴ED＝CE＝3，
∴BD＝BE+CD＝8+3＝11cm．
【变式练2】　（2023秋 鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，BA＝BC，∠MBC＝15°，作点C关于直线BM的对称点D，连接AD、BD、CD．
（1）按要求补全图形，并求出∠BAD的度数；
（2）设AD交BC于点E，交BM于点F，猜想CE与DF的数量关系并证明．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到BC＝BD，∠CBF＝∠DBF＝15°，求得∠CBD＝30°，推出△ABD是等边三角形，求得∠BAD＝60°；
（2）连接CF，根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD，求得∠CDA＝15°，根据等腰三角形的性质得到∠FCD＝∠FDC＝15°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）连接BD，
∵点C关于直线BM的对称点D，
∴BM垂直平分CD，
∴BC＝BD，∠CBF＝∠DBF＝15°，
∴∠CBD＝30°，
∵BA＝BC，
∴AB＝BD，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°；
（2）CEDF，
理由：连接CF，
∵BC＝BD，∠CBD＝30°，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴∠CDA＝15°，
∵BM垂直平分CD，
∴FC＝FD，
∴∠FCD＝∠FDC＝15°，
∴∠CFE＝∠FDC+∠FCD＝30°，
∴EC．
题型04 利用网格实际轴对称图形
（2024秋 济宁期末）如图，在3×3的正方形网格中，有A，B，C，D四个格点（网格线的交点），以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是点 　　 ．
【答案】B．
【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．
【解答】解：当以点B为原点时，
A（1，1），C（1，﹣1），
则点A和点C关于x轴对称，符合条件．
故答案为：B．
【变式练1】　（2024秋 北京期末）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 　　 ．
【答案】D．
【分析】直接利用已知网格结合三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，可得出原点位置．
【解答】解：如图所示：原点可能是D点．
故答案为：D．
【变式练2】　（2024秋 西峰区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣3，1），C（﹣1，0），直线l上各点的纵坐标都为﹣1．
（1）在网格中画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）A1（﹣1，﹣5），B1（﹣3，﹣3），C1（﹣1，﹣2）．
【分析】（1）先确定点A1，B1，C1的位置，然后连线即可；
（2）根据图形写出点A1，B1，C1的坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作；
（2）由图可得：点A1的坐标为（﹣1，﹣5），点B1的坐标为（﹣3，﹣3），点C1的坐标为（﹣1，﹣2）
【变式练3】　（2024秋 澄城县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣3，1），C（﹣2，1），网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；（点A、B、C的对应点分别是点A′、B′、C′）
（2）在（1）的条件下，直接写出A′、B′的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）A′（﹣1，﹣4），B′（﹣3，﹣1）．
【分析】（1）先确定点A′、B′、C′的位置，再顺次连接A′、B′、C′即可；
（2）根据（1）所求写出点A′、B′的坐标即可．
【解答】解：（1）△A′B′C′即为所求作；
（2）由图可知点A′的坐标为（﹣1，﹣4），点B′的坐标为（﹣3，﹣1）．

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