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15.3.1 等腰三角形 讲义
知识点1：等腰三角形的概念
有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边都叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．
知识点2：等腰三角形的性质
1．等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
3．轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线．
知识点3：等腰三角形的判定
1．利用定义：有两边相等的三角形是等腰三角形．
2．利用判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）．
3．尺规作图：已知底边及底边上高作等腰三角形．
1．等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
2．注意：
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
3．等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
4．在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
5．等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
6．利用“等边对等角”“等角对等边”进行边角转化的方法在同一个三角形中，（1）可通过证明两条边相等，利用“等边对等角”得到这两条边所对的角相等；（2）可通过证明两个角相等，利用“等角对等边得到这两个角所对的边相等解题时，注意必须在同一个三角形中，才能利用“等边对等角”和“等角对等边”．
7．证明两条线段相等的方法
（1）利用两个三角形全等；
（2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等；
（3）利用线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；
（4）利用轴对称的性质；
（5）利用“等角对等边．
题型01 等腰三角形中的分类讨论问题
（2025春 济阳区期末）等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（　　）
A．40° B．70° C．100° D．40°或100°
【答案】D
【分析】分这个角为顶角和底角，结合三角形内角和定理可求得答案．
【解答】解：当40°角为顶角时，则顶角为40°，
当40°角为底角时，则两个底角和为80°，求得顶角为180°﹣80°＝100°，
故选：D．
【变式练1】　（2025春 泾阳县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　）
A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40°
【变式练2】　（2025春 锦州期末）等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是（　　）
A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm
【变式练3】　（2025春 崇明区期末）若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（　　）
A．10cm B．13cm
C．17cm D．13cm或17cm
题型02 等腰三角形的性质
（2025春 织金县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝4，则BD的长为 　　 ．
【答案】2．
【分析】由等腰三角形的性质推出BDBC＝2．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BDBC4＝2．
故答案为：2．
【变式练1】　（2025春 柴桑区期中）等腰三角形的两底角相等，这一定理可以简述为：　　 ．
【变式练2】　（2025 兴庆区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝　　 ．
【变式练3】　（2025春 稷山县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD．若∠ABC＝50°，则∠BAD的度数为　　 ．
题型03 等腰三角形的判定
（2024秋 双辽市期末）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，连接AD与CE且相交于点F，有∠BAD＝∠BCE．求证：△AFC为等腰三角形．
【答案】见详解．
【分析】根据AAS推出△ABD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出AB＝BC，求出AE＝CD，根据AAS推出△AEF≌△CDF即可．
【解答】证明：∵在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴AB＝BC，
∵BE＝BD，
∴AE＝CD，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴AF＝CF，
∴△AFC是等腰三角形．
【变式练1】　（2024秋 岱岳区期中）如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形．
【变式练2】　（2024秋 曹县期中）已知：AD平分∠BAC，AD∥CE，AF⊥CE，求证：EF＝CF．
【变式练3】　（2024春 衡南县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，交AB于点D，求证：△ACD是等腰三角形．
题型04 等腰三角形的判定与性质综合
（2025春 青岛期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD，分别交AB，BC于点P，F．
（1）求证：△AEP是等腰三角形．
（2）若AD＝BD，求∠E的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及平行线的性质推出∠E＝∠APE，根据等腰三角形的判定定理即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质定理、三角形内角和定理及平行线的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AD，
∴∠E＝∠CAD，∠APE＝∠BAD，
∴∠E＝∠APE，
∴AE＝AP，
∴△AEP是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD＝180°，
∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠CAD＝45°，
∴∠E＝∠CAD＝45°．
【变式练1】　（2025春 太原月考）如图，∠A＝90°，BE⊥CD于点E，BE平分∠CBD．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2），求AD的长．
【变式练2】　（2024秋 白塔区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB和AC于点E和F．
（1）求证：△BEO是等腰三角形．
（2）若AB＝5，AC＝4，求△AEF的周长．
【变式练3】　（2024秋 南昌期中）如图，已知AB∥CD，AC平分∠BAD．
（1）求证：AD＝DC；
（2）若∠D＝120°，AC⊥CB，求∠B的度数．中小学教育资源及组卷应用平台
15.3.1 等腰三角形 讲义
知识点1：等腰三角形的概念
有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边都叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．
知识点2：等腰三角形的性质
1．等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
3．轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线．
知识点3：等腰三角形的判定
1．利用定义：有两边相等的三角形是等腰三角形．
2．利用判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）．
3．尺规作图：已知底边及底边上高作等腰三角形．
1．等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
2．注意：
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
3．等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
4．在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
5．等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
6．利用“等边对等角”“等角对等边”进行边角转化的方法在同一个三角形中，（1）可通过证明两条边相等，利用“等边对等角”得到这两条边所对的角相等；（2）可通过证明两个角相等，利用“等角对等边得到这两个角所对的边相等解题时，注意必须在同一个三角形中，才能利用“等边对等角”和“等角对等边”．
7．证明两条线段相等的方法
（1）利用两个三角形全等；
（2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等；
（3）利用线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；
（4）利用轴对称的性质；
（5）利用“等角对等边．
题型01 等腰三角形中的分类讨论问题
（2025春 济阳区期末）等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（　　）
A．40° B．70° C．100° D．40°或100°
【答案】D
【分析】分这个角为顶角和底角，结合三角形内角和定理可求得答案．
【解答】解：当40°角为顶角时，则顶角为40°，
当40°角为底角时，则两个底角和为80°，求得顶角为180°﹣80°＝100°，
故选：D．
【变式练1】　（2025春 泾阳县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　）
A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40°
【答案】C
【分析】先分顶角为70°和底角为70°两种情况，再根据等腰三角形的性质即可解答．
【解答】解：当它的顶角为70°时，
它的顶角度数为：（180°﹣70°）÷2＝55°；
当它的底角为70°时，
它的顶角度数为：180°﹣2×70°＝40°；
∴它的底角度数是55°或70°．
故选：C．
【变式练2】　（2025春 锦州期末）等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是（　　）
A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：当9cm为腰长，4cm为底边长时；当9cm为底边长，4cm为腰长时；分别根据三角形三边关系定理判断即可．
【解答】解：若9cm为腰长，4cm为底边长，
∵9+9＞4，
∴能组成三角形，
∴它的第三边是9cm；
若9cm为底边长，4cm为腰长，
∵4+4＜9，
∴不能组成三角形；
故选：C．
【变式练3】　（2025春 崇明区期末）若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（　　）
A．10cm B．13cm
C．17cm D．13cm或17cm
【答案】C
【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17（cm）．
故选：C．
题型02 等腰三角形的性质
（2025春 织金县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝4，则BD的长为 　　 ．
【答案】2．
【分析】由等腰三角形的性质推出BDBC＝2．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BDBC4＝2．
故答案为：2．
【变式练1】　（2025春 柴桑区期中）等腰三角形的两底角相等，这一定理可以简述为：　　 ．
【答案】等边对等角．
【分析】根据等边对等角的性质即可求解．
【解答】解：等腰三角形的两底角相等，这一定理可以简述为：等边对等角．
故答案为：等边对等角．
【变式练2】　（2025 兴庆区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝　　 ．
【答案】115°．
【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，根据∠BAC＝130°即可求出∠C的度数，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，从而求出∠ADC的度数，问题得解．
【解答】解：由条件可知∠B＝∠C，
∵∠BAC＝130°，
∴，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
【变式练3】　（2025春 稷山县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD．若∠ABC＝50°，则∠BAD的度数为　　 ．
【答案】40°．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质即可解答．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，
∴AD是△ABC的中点，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝40°．
故答案为：40°．
题型03 等腰三角形的判定
（2024秋 双辽市期末）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，连接AD与CE且相交于点F，有∠BAD＝∠BCE．求证：△AFC为等腰三角形．
【答案】见详解．
【分析】根据AAS推出△ABD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出AB＝BC，求出AE＝CD，根据AAS推出△AEF≌△CDF即可．
【解答】证明：∵在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴AB＝BC，
∵BE＝BD，
∴AE＝CD，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴AF＝CF，
∴△AFC是等腰三角形．
【变式练1】　（2024秋 岱岳区期中）如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形．
【答案】证明见解析
【分析】首先根据角平分线的定义得出∠ACD＝∠DCE，然后根据平行的性质，得出∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE，进而得出∠B＝∠A，即可得证．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE．
∵DC平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴∠B＝∠A，
∴AC＝BC，
∴△ABC为等腰三角形．
【变式练2】　（2024秋 曹县期中）已知：AD平分∠BAC，AD∥CE，AF⊥CE，求证：EF＝CF．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义推出∠E＝∠ACF，进而得到AC＝AE，根据等腰三角形三线合一的性质即可得解．
【解答】证明：∵AD∥CE，
∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠E＝∠ACF，
∴AC＝AE，
∵AF⊥CE，
∴EF＝CF．
【变式练3】　（2024春 衡南县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，交AB于点D，求证：△ACD是等腰三角形．
【答案】证明见解析．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ACD度数，即可得到∠A＝∠ACD，继而得证．
【解答】证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴．
∵CD平分∠ACB，
∴．
又∵∠A＝36°，
∴∠A＝∠ACD，
∴CD＝AD，即△ACD是等腰三角形．
题型04 等腰三角形的判定与性质综合
（2025春 青岛期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD，分别交AB，BC于点P，F．
（1）求证：△AEP是等腰三角形．
（2）若AD＝BD，求∠E的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及平行线的性质推出∠E＝∠APE，根据等腰三角形的判定定理即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质定理、三角形内角和定理及平行线的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AD，
∴∠E＝∠CAD，∠APE＝∠BAD，
∴∠E＝∠APE，
∴AE＝AP，
∴△AEP是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD＝180°，
∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠CAD＝45°，
∴∠E＝∠CAD＝45°．
【变式练1】　（2025春 太原月考）如图，∠A＝90°，BE⊥CD于点E，BE平分∠CBD．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2），求AD的长．
【答案】（1）见解析
（2）AD＝4．
【分析】（1）利用ASA证明△EBD≌△EBC，推出BD＝BC，即可证明结论成立；
（2）利用HL证明Rt△ABD≌Rt△EDB，推出AD＝BE＝4．
【解答】（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠BED＝∠BEC＝90°，
∵BE平分∠CBD，
∴∠EBD＝∠EBC，
∵BE＝BE，
∴△EBD≌△EBC（ASA），
∴BD＝BC，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵△EBD≌△EBC，
∴，
∵，
∴AB＝DE，
在Rt△ABD和Rt△EDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EDB（HL），
∴AD＝BE＝4．
【变式练2】　（2024秋 白塔区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB和AC于点E和F．
（1）求证：△BEO是等腰三角形．
（2）若AB＝5，AC＝4，求△AEF的周长．
【答案】（1）见解析；
（2）9．
【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明△BEO是等腰三角形，
（2）同理可得OE＝BE，再由等腰三角形的性质得OF＝FC，则△ADE的周长＝AB+AC，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∵OB是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE，
∴△BEO是等腰三角形．
（2）解：由（1）得：OE＝BE，
同理可得OF＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+EO+OF+AF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC，
∵AB＝5，AC＝4，
∴△AEF的周长5+4＝9．
【变式练3】　（2024秋 南昌期中）如图，已知AB∥CD，AC平分∠BAD．
（1）求证：AD＝DC；
（2）若∠D＝120°，AC⊥CB，求∠B的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）60°．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠2＝∠3，根据角平分线的性质得出∠1＝∠3，等量代换得出∠1＝∠2，进而证得AD＝DC；
（2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，根据∠D＝120°求出∠3，根据AC⊥CB得出∠ACB＝90°，进而求出∠B．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
AD＝DC；
（2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，
∵∠D＝120°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠3＝180°﹣90°﹣30°＝60°．

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