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15.3.2 等边三角形 讲义
知识点1：等边三角形的概念
三边都相等的三角形是等边三角形．
知识点2：等边三角形的性质
1．等边三角形的性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
2．等边三角形的性质2：等边三角形每条边上的中线、高及所对角的平分线重合，即“三线合一”．
3．轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线（或三个角的平分线所在直线或三边上的高线所在直线）．
知识点3：等边三角形的判定
1．定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
2．判定定理法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
3．判定定理法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
知识点4：含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
1．等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
2．含30°角的直角三角形的性质
（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
题型01 利用等边三角形的性质求角度
（2024春 北林区校级期中）已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】三角形为等边三角形，等边三角形三边相等，三个角也相等．
【解答】解：已知三角形为等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C60°故答案为C．
【变式练1】　（2024 泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（　　）
A．45° B．39° C．29° D．21°
【变式练2】　（2024秋 抚顺期中）在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD＝BF，则∠CDF的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【变式练3】　（2024春 朝阳期末）如图，P是等边三角形ABC的边AC的中点，E是BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数是（　　）
A．15° B．30° C．35° D．45°
题型02 利用等边三角形的性质求线段长度、周长
（2024春 驻马店期末）如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD⊥AB，CD∥AB，则BD的长为（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质求出AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，结合垂直的定义、平行线的性质求出∠CBD＝30°，∠D＝90°，根据含30°的直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：在等边△ABC中，AB＝4，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠D+∠ABD＝180°，
∴∠D＝90°，
∴CDBC＝2，
BD2．
故选：C．
【变式练1】　（2024秋 定安县期末）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式练2】　（2024秋 大余县期末）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　）
A．3 B． C．6 D．8
【变式练3】　（2024春 夏县期中）已知等边三角形的边长为2，则该等边三角形的周长为 　　 ．
题型03 等边三角形的判定
（2025春 埇桥区校级月考）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，∠DAC＝∠B，且∠BAD＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据角平分线定义得出∠ACE＝∠BCE，根据三角形外角性质推出∠AEF＝∠AFE，则AE＝AF，结合∠BAD＝60°，即可判定△AEF是等边三角形．
【解答】证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵∠AEF＝∠BCE+∠B，∠AFE＝∠DAC+∠ACE，∠DAC＝∠B，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵∠BAD＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
【变式练1】　（2025春 横山区期末）已知：如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB＝HC，∠A＝60°，求证：△ABC为等边三角形．
【变式练2】　（2024秋 武都区期末）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F，延长FD、CA交于点E．若∠E＝30°，AD＝AE．求证：△ABC为等边三角形．
【变式练3】　（2023秋 商南县校级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC 于点D，∠ABD＝30°，求证：△ABC为等边三角形．
题型04 含30°角的直角三角形的性质的应用
（2025春 湘潭期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，则AB的长为（　　）
A．30 B．15 C．12 D．10
【答案】C
【分析】根据直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半，得出AB与BC的数量关系．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，
∴AB＝2BC＝12，
故选：C．
【变式练1】　（2025春 法库县期末）如图，AC＝BC＝6cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【变式练2】　（2025春 南岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，若BC＝1，则AC＝　 　 ．
【变式练3】　（2025 沙市区三模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝3，则AB＝ 　　 ．
题型05 等边三角形的判定与性质综合
（2025春 庐阳区校级月考）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BDCD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接MD，先求出BD，CD，证明△FDC是等边三角形得FD＝CFC＝CD，根据直角三角形斜边中线性质得MD＝MF＝MEEF，证明CM是线段FD的垂直平分线得CM⊥FD，DN＝FNFD，在Rt△CDN中，由勾股定理得CN，在Rt△BDE中，根据∠BDE＝30°得BE，由勾股定理得DE，再由勾股定理求出EF得MD＝MF＝MEEF√19/6，然后在Rt△MND中，由勾股定理求出MN，继而可得CM的长．
【解答】解：连接MD，如图所示：
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴BC＝AC＝2，∠B＝∠ACB＝60°，
∵BDCD，
∴CD＝2BD，
∴BC＝BD+CD＝3BD＝2，
∴BD，
∴CD＝2BD，
∵DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B＝60°，
∴∠FDC＝∠ACB＝60°，
∴△FDC是等边三角形，
∴FD＝CFC＝CD＝4/3，
∵∠EDF＝90°，M为边EF的中点，
∴MD是Rt△DEF斜边EF上的中线，
∴MD＝MF＝MEEF，
∴点M在线段FD的垂直平分线上，
又∵FC＝CD，
∴点C在线段FD的垂直平分线上，
∴CM是线段FD的垂直平分线，
∴CM⊥FD，DN＝FNFD，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CN，
在Rt△BDE中，∠BDE＝180°﹣（∠EDF+∠FDC）＝180°﹣（90°+60°）＝30°，
∴BEBD，
由勾股定理得：DE，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF，
∴MD＝MF＝MEEF，
在Rt△MND中，由勾股定理得：MN，
∴CM＝CN+MN．
故选：A．
【变式练1】　（2024秋 盐田区校级期末）如图，已知△ABD是等边三角形，BC＝DC，E在AD上，CE交BD于点F，AE＝EC，若∠CBD＝2∠DCE，则∠DCE的度数为（　　）
A．40° B．20° C．30° D．15°
【变式练2】　（2023 岳麓区校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AEAB．
【变式练3】　（2023秋 西安校级期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．中小学教育资源及组卷应用平台
15.3.2 等边三角形 讲义
知识点1：等边三角形的概念
三边都相等的三角形是等边三角形．
知识点2：等边三角形的性质
1．等边三角形的性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
2．等边三角形的性质2：等边三角形每条边上的中线、高及所对角的平分线重合，即“三线合一”．
3．轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线（或三个角的平分线所在直线或三边上的高线所在直线）．
知识点3：等边三角形的判定
1．定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
2．判定定理法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
3．判定定理法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
知识点4：含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
1．等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
2．含30°角的直角三角形的性质
（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
题型01 利用等边三角形的性质求角度
（2024春 北林区校级期中）已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】三角形为等边三角形，等边三角形三边相等，三个角也相等．
【解答】解：已知三角形为等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C60°故答案为C．
【变式练1】　（2024 泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（　　）
A．45° B．39° C．29° D．21°
【答案】B
【分析】过点A作AF∥l，由平行公理的推论得出AF∥m，根据平行线的性质得出∠BAF＝∠ABE，∠ACD＝∠CAF，根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：如图，过点A作AF∥l，
∵直线l∥m，
∴AF∥m，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AF∥l，
∴∠BAF＝∠ABE，
∵∠ABE＝21°，
∴∠BAF＝21°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°，
∵AF∥m，
∴∠ACD＝∠CAF＝39°，
故选：B．
【变式练2】　（2024秋 抚顺期中）在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD＝BF，则∠CDF的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【分析】根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠DBC，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠BDF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得BD⊥AC，然后根据∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF计算即可得解．
【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC60°＝30°，
∵BD＝BF，
∴∠BDF（180°﹣∠DBC）（180°﹣30°）＝75°，
又∵等边△ABC中，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝90°﹣75°＝15°．
故选：B．
【变式练3】　（2024春 朝阳期末）如图，P是等边三角形ABC的边AC的中点，E是BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数是（　　）
A．15° B．30° C．35° D．45°
【答案】B
【分析】根据“三线合一”可得BP平分∠ABC，可得∠PBC＝30°，根据∠CPE＝∠ACB﹣∠E即可作答．
【解答】解：∵P是等边三角形ABC的边AC的中点，
∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB，
∴∠PBC＝30°，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠E＝30°，
∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°，
故选：B．
题型02 利用等边三角形的性质求线段长度、周长
（2024春 驻马店期末）如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD⊥AB，CD∥AB，则BD的长为（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质求出AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，结合垂直的定义、平行线的性质求出∠CBD＝30°，∠D＝90°，根据含30°的直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：在等边△ABC中，AB＝4，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠D+∠ABD＝180°，
∴∠D＝90°，
∴CDBC＝2，
BD2．
故选：C．
【变式练1】　（2024秋 定安县期末）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC＝∠ACB＝60°，BD是∠ABC的平分线，则∠DBC＝30°，AD＝CDAC，再由题中条件CE＝CD，即可求得BE．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD＝CDAC，∠DBC∠ABC＝30°，
∵CE＝CD，
∴CEAC＝3
∴BE＝BC+CE＝6+3＝9．
故选：C．
【变式练2】　（2024秋 大余县期末）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　）
A．3 B． C．6 D．8
【答案】D
【分析】首先求出，然后证△DEF为等边三角形即可求出△DEF的周长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且边长为8．
∴∠B＝∠C＝60°，BC＝8，
∵点E，F是BC边的三等分点，
∴，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴，
∴△DEF的周长是：DE+DF+EF＝3EF＝38．
故选：D．
【变式练3】　（2024春 夏县期中）已知等边三角形的边长为2，则该等边三角形的周长为 　　 ．
【答案】6．
【分析】三角形的周长，根据等边三角形的三条边相等求解．
【解答】解：∵等边三角形的三边相等，
∴周长为3×2＝6．
故答案为：6．
题型03 等边三角形的判定
（2025春 埇桥区校级月考）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，∠DAC＝∠B，且∠BAD＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据角平分线定义得出∠ACE＝∠BCE，根据三角形外角性质推出∠AEF＝∠AFE，则AE＝AF，结合∠BAD＝60°，即可判定△AEF是等边三角形．
【解答】证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵∠AEF＝∠BCE+∠B，∠AFE＝∠DAC+∠ACE，∠DAC＝∠B，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵∠BAD＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
【变式练1】　（2025春 横山区期末）已知：如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB＝HC，∠A＝60°，求证：△ABC为等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】由HB＝HC推出∠HBC＝∠HCB，再由∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACB+∠CBH＝90推出∠ABC＝∠ACB由此即可证明．
【解答】证明：∵HB＝HC，
∴∠HBC＝∠HCB，
∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BFC＝∠BEC＝90°，
∴∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【变式练2】　（2024秋 武都区期末）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F，延长FD、CA交于点E．若∠E＝30°，AD＝AE．求证：△ABC为等边三角形．
【答案】证明见解答过程．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠E＝∠ADE＝30°，证出∠C＝∠B＝∠CAB，则可得出结论．
【解答】证明：∵AD＝AE，
∴∠E＝∠ADE＝30°，
∴∠CAB＝∠E+∠ADE＝30°+30°＝60°，
∵DF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠E＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠CAB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠C＝∠B＝∠CAB，
∴△ABC为等边三角形．
【变式练3】　（2023秋 商南县校级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC 于点D，∠ABD＝30°，求证：△ABC为等边三角形．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得解．
【解答】证明：∵AB＝BC，BD⊥AC于点D，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∵∠ABD＝30°，
∴∠ABC＝60°，
又AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形．
题型04 含30°角的直角三角形的性质的应用
（2025春 湘潭期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，则AB的长为（　　）
A．30 B．15 C．12 D．10
【答案】C
【分析】根据直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半，得出AB与BC的数量关系．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，
∴AB＝2BC＝12，
故选：C．
【变式练1】　（2025春 法库县期末）如图，AC＝BC＝6cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：∵AC＝BC，∠B＝15°，
∴∠B＝∠BAC＝15°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝15°+15°＝30°，
∵AD⊥BC，AC＝BC＝6cm，
∴ADAC6cm＝3cm．
故选：B．
【变式练2】　（2025春 南岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，若BC＝1，则AC＝　 　 ．
【答案】2．
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AB＝2BC＝2，即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AC＝2BC＝2．
故答案为：2．
【变式练3】　（2025 沙市区三模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝3，则AB＝ 　　 ．
【答案】6．
【分析】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由此即可计算
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，
∴AB＝2AC＝6．
故答案为：6．
题型05 等边三角形的判定与性质综合
（2025春 庐阳区校级月考）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BDCD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接MD，先求出BD，CD，证明△FDC是等边三角形得FD＝CFC＝CD，根据直角三角形斜边中线性质得MD＝MF＝MEEF，证明CM是线段FD的垂直平分线得CM⊥FD，DN＝FNFD，在Rt△CDN中，由勾股定理得CN，在Rt△BDE中，根据∠BDE＝30°得BE，由勾股定理得DE，再由勾股定理求出EF得MD＝MF＝MEEF√19/6，然后在Rt△MND中，由勾股定理求出MN，继而可得CM的长．
【解答】解：连接MD，如图所示：
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴BC＝AC＝2，∠B＝∠ACB＝60°，
∵BDCD，
∴CD＝2BD，
∴BC＝BD+CD＝3BD＝2，
∴BD，
∴CD＝2BD，
∵DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B＝60°，
∴∠FDC＝∠ACB＝60°，
∴△FDC是等边三角形，
∴FD＝CFC＝CD＝4/3，
∵∠EDF＝90°，M为边EF的中点，
∴MD是Rt△DEF斜边EF上的中线，
∴MD＝MF＝MEEF，
∴点M在线段FD的垂直平分线上，
又∵FC＝CD，
∴点C在线段FD的垂直平分线上，
∴CM是线段FD的垂直平分线，
∴CM⊥FD，DN＝FNFD，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CN，
在Rt△BDE中，∠BDE＝180°﹣（∠EDF+∠FDC）＝180°﹣（90°+60°）＝30°，
∴BEBD，
由勾股定理得：DE，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF，
∴MD＝MF＝MEEF，
在Rt△MND中，由勾股定理得：MN，
∴CM＝CN+MN．
故选：A．
【变式练1】　（2024秋 盐田区校级期末）如图，已知△ABD是等边三角形，BC＝DC，E在AD上，CE交BD于点F，AE＝EC，若∠CBD＝2∠DCE，则∠DCE的度数为（　　）
A．40° B．20° C．30° D．15°
【答案】B
【分析】连接AC，由等边三角形的性质可得AB＝AD，∠BAD＝∠ADB＝60°，由等边对等角可得∠CBD＝∠CDB，证明AC垂直平分BD，得出，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得∠DEF＝∠ACE+∠EAC＝60°，推出△DEF为等边三角形，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解．
【解答】解：如图，连接AC，
由条件可知AB＝AD，∠BAD＝∠ADB＝60°，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，AC垂直平分BD，
∴∠ACE∠BAD＝30°，
∴∠ACE＝∠EAC＝30°，
∴∠DEF＝∠ACE+∠EAC＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴∠DFE＝60°，
∴∠CDB＝2∠DCE，
∵∠CDF+∠DCE＝∠DFE＝60°，
∴2∠DCE+∠DCE＝60°，
∴∠DCE＝20°，
故选：B．
【变式练2】　（2023 岳麓区校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AEAB．
【答案】见解答．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．
（2）根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC．
∵BD⊥AC，
∴ADAC．
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD．
∴AEAB．
【变式练3】　（2023秋 西安校级期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；
（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，
∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN＝∠CMB，
又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形．

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