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16.1 幂的运算 讲义
知识点1：同底数幂的乘法
同底数幂的乘法性质
（1）符号语言：（m，n都是正整数）．
（2）文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（3）推导过程：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
am·an=·==．
知识点2：幂的乘方
1．幂的乘方的意义：
幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方．
2．幂的乘方的性质：
（1）符号语言：（m，n都是正整数）．
（2）文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
（3）推导过程：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
．
知识点3：积的乘方
1．积的乘方的意义：
积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．
2．积的乘方的性质：
（1）符号语言：（n为正整数）．
（2）文字语言：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（3）推导过程：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
．
因此，我们有（n为正整数）．
1．公式的逆用：
（1）am+n=am·an（m，n都是正整数）
（2）（m，n都是正整数）
（3）（n为正整数）
2．公式的推广
（1）（m，n，…，p都是正整数）
（2）（m，n，p都是正整数）
（3）（n为正整数）
3．同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算性质的比较
运算性质 等号左边 运算特点 公式
同底数幂的乘法 底数不变，指数相加
幂的乘方 底数不变，指数相乘
积的乘方 底数中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
4．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法中不变的是底数，相加的是指数．注意不要漏掉指数为1的因式．
（2）底数不同时，若能化成相同的底数，则先化成相同底数，再利用同底数幂的乘法法则计算．
（3）当幂的指数以和的形式出现时，可以转化为同底数幂相乘．
（4）底数为多项式时，法则同样适用．可将该多项式看作一个整体．
5．幂的乘方
（1）“底数不变”是指幂的底数不变，“指数相乘”是指幂的指数与乘方的指数相乘．
（2）当幂的指数以积的形式出现时，可以转化为幂的乘方的形式．
6．积的乘方
当底数不同，但指数相同的幂相乘时，可以转化为积的乘方的形式．
题型01 同底数幂的乘法
（2025春 余江区校级月考）计算x5 x6的结果，正确的是（　　）
A．x30 B．x11 C．x5 D．x6
【答案】B
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
【解答】解：x5 x6＝x11，
故选：B．
【变式练1】　（2025春 花溪区校级月考）a4 a的结果是（　　）
A．5a B．a5 C．a4 D．2a3
【变式练2】　（2025春 息烽县校级月考）计算x5 x3得（　　）
A．（x x）15 B．（x+x）8 C．x15 D．x8
【变式练3】　（2025春 灞桥区校级月考）若a a3＝a□，则□中的数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型02 幂的乘方
（2025春 龙川县校级月考）x2m＝2，则x6m＝（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】B
【分析】根据幂的乘方的性质将式子进行变形，然后再把已知条件代入计算．
【解答】解：x6m＝（x2m）3＝23＝8．
故选：B．
【变式练1】　（2025 定兴县一模）若k为正整数，则（k3）2表示的是（　　）
A．2个k3相加 B．3个k2相加 C．2个k3相乘 D．5个k相乘
【变式练2】　（2025春 彬州市月考）若2a＝3，则22a的值为（　　）
A．9 B．﹣9 C．6 D．3
【变式练3】　（2025 仓山区校级模拟）计算（2x2）3的结果是（　　）
A．6x6 B．8x5 C．8x6 D．6x5
题型03 积的乘方
（2025春 甘州区校级期末）计算0.1256×（﹣8）6的结果为（　　）
A．﹣1 B．1 C．8 D．﹣8
【答案】B
【分析】逆用积的乘方法则计算即可．
【解答】解：0.1256×（﹣8）6＝[0.125×（﹣8）]6＝（﹣1）6＝1，
故选：B．
【变式练1】　（2025春 余姚市校级期末）计算（2a2b）3的结果是（　　）
A．6a6b3 B．8a6b3 C．2a6b3 D．8a5b3
【变式练2】　（2025春 遂川县期末）计算（﹣3a）2的结果是（　　）
A．6a2 B．﹣9a2 C．9a2 D．﹣6a2
【变式练3】　（2025 裕安区校级二模）计算（﹣2x2y）3的结果是（　　）
A．﹣2x5y3 B．﹣8x6y3 C．﹣2x6y3 D．﹣8x5y3
题型04 利用幂的运算性质进行混合运算
（2025 赣榆区模拟）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣x）2 x3＝﹣x5 B．﹣x2 x3＝x6
C．x2 （﹣x）3＝﹣x6 D．（﹣x2）3＝﹣x6
【答案】D
【分析】直接利用同底数的乘法运算法则以及合并同类项法则分别化简求出答案．
【解答】解：A、（﹣x）2 x3＝x5，故此选项错误，不符合题意；
B、﹣x2 x3＝﹣x5，故此选项错误，不符合题意；
C、x2（﹣x3）＝﹣x5，此选项错误，不符合题意；
D、（﹣x2）3＝﹣x6，此选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式练1】　（2025春 彬州市月考）已知2x+3×3x+3＝62x﹣1，求x的值．
【变式练2】　（2024秋 徐汇区校级月考）．
【变式练3】　（2023春 漳浦县期中）计算：
（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m 16n的值；
（2）已知n为正整数，且x2n＝2，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
题型05 与幂的运算相关的大小比较
（2025春 周村区期末）已知a＝255，b＝344，c＝533，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【答案】C
【分析】根据幂的乘方的逆用进行转换得255＝3211、344＝8111、533＝12511，比较即可．
【解答】解：（1）∵255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，533＝（53）11＝12511，
∵3211＜8111＜12511，
∴255＜344＜533，
∴c＞b＞a．
故选：C．
【变式练1】　（2025 南宁校级二模）已知a＝212，b＝38，c＝74，则a，b，c大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【变式练2】　（2025春 无锡期中）已知a＝212，b＝38，c＝74，则a，b、c大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【变式练3】　（2025春 东台市月考）比较大小：23　 　 32（填“＞”，“＝”，或“＜”）．中小学教育资源及组卷应用平台
16.1 幂的运算 讲义
知识点1：同底数幂的乘法
同底数幂的乘法性质
（1）符号语言：（m，n都是正整数）．
（2）文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（3）推导过程：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
am·an=·==．
知识点2：幂的乘方
1．幂的乘方的意义：
幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方．
2．幂的乘方的性质：
（1）符号语言：（m，n都是正整数）．
（2）文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
（3）推导过程：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
．
知识点3：积的乘方
1．积的乘方的意义：
积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．
2．积的乘方的性质：
（1）符号语言：（n为正整数）．
（2）文字语言：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（3）推导过程：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
．
因此，我们有（n为正整数）．
1．公式的逆用：
（1）am+n=am·an（m，n都是正整数）
（2）（m，n都是正整数）
（3）（n为正整数）
2．公式的推广
（1）（m，n，…，p都是正整数）
（2）（m，n，p都是正整数）
（3）（n为正整数）
3．同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算性质的比较
运算性质 等号左边 运算特点 公式
同底数幂的乘法 底数不变，指数相加
幂的乘方 底数不变，指数相乘
积的乘方 底数中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
4．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法中不变的是底数，相加的是指数．注意不要漏掉指数为1的因式．
（2）底数不同时，若能化成相同的底数，则先化成相同底数，再利用同底数幂的乘法法则计算．
（3）当幂的指数以和的形式出现时，可以转化为同底数幂相乘．
（4）底数为多项式时，法则同样适用．可将该多项式看作一个整体．
5．幂的乘方
（1）“底数不变”是指幂的底数不变，“指数相乘”是指幂的指数与乘方的指数相乘．
（2）当幂的指数以积的形式出现时，可以转化为幂的乘方的形式．
6．积的乘方
当底数不同，但指数相同的幂相乘时，可以转化为积的乘方的形式．
题型01 同底数幂的乘法
（2025春 余江区校级月考）计算x5 x6的结果，正确的是（　　）
A．x30 B．x11 C．x5 D．x6
【答案】B
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
【解答】解：x5 x6＝x11，
故选：B．
【变式练1】　（2025春 花溪区校级月考）a4 a的结果是（　　）
A．5a B．a5 C．a4 D．2a3
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【解答】解：a4 a＝a4+1＝a5，
∴B符合题意，ACD不符合题意．
故选：B．
【变式练2】　（2025春 息烽县校级月考）计算x5 x3得（　　）
A．（x x）15 B．（x+x）8 C．x15 D．x8
【答案】D
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
【解答】解：x5 x3＝x8，
故选：D．
【变式练3】　（2025春 灞桥区校级月考）若a a3＝a□，则□中的数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据am an＝am+n计算求解即可．
【解答】解：原式＝a1+3＝a4，
故选：D．
题型02 幂的乘方
（2025春 龙川县校级月考）x2m＝2，则x6m＝（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】B
【分析】根据幂的乘方的性质将式子进行变形，然后再把已知条件代入计算．
【解答】解：x6m＝（x2m）3＝23＝8．
故选：B．
【变式练1】　（2025 定兴县一模）若k为正整数，则（k3）2表示的是（　　）
A．2个k3相加 B．3个k2相加 C．2个k3相乘 D．5个k相乘
【答案】C
【分析】根据幂的定义判断即可．
【解答】解：（k3）2表示的是2个k3相乘．
故选：C．
【变式练2】　（2025春 彬州市月考）若2a＝3，则22a的值为（　　）
A．9 B．﹣9 C．6 D．3
【答案】A
【分析】根据幂的乘方法则将22a变形为（2a）2，再代入求值即可．
【解答】解：∵2a＝3，
∴22a＝（2a）2＝32＝9，
故选：A．
【变式练3】　（2025 仓山区校级模拟）计算（2x2）3的结果是（　　）
A．6x6 B．8x5 C．8x6 D．6x5
【答案】C
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解答即可．
【解答】解：由幂的乘方与积的乘方法则可知，
（2x2）3＝8x2×3＝8x6．
故选：C．
题型03 积的乘方
（2025春 甘州区校级期末）计算0.1256×（﹣8）6的结果为（　　）
A．﹣1 B．1 C．8 D．﹣8
【答案】B
【分析】逆用积的乘方法则计算即可．
【解答】解：0.1256×（﹣8）6＝[0.125×（﹣8）]6＝（﹣1）6＝1，
故选：B．
【变式练1】　（2025春 余姚市校级期末）计算（2a2b）3的结果是（　　）
A．6a6b3 B．8a6b3 C．2a6b3 D．8a5b3
【答案】B
【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：（2a2b）3＝23×（a2）3×b3＝8a6b3．
故选：B．
【变式练2】　（2025春 遂川县期末）计算（﹣3a）2的结果是（　　）
A．6a2 B．﹣9a2 C．9a2 D．﹣6a2
【答案】C
【分析】根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算．
【解答】解：（﹣3a）2＝9a2，
故选：C．
【变式练3】　（2025 裕安区校级二模）计算（﹣2x2y）3的结果是（　　）
A．﹣2x5y3 B．﹣8x6y3 C．﹣2x6y3 D．﹣8x5y3
【答案】B
【分析】积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此求解即可．
【解答】解：（﹣2x2y）3＝（﹣2）3（x2）3y3＝﹣8x6y3．
故选：B．
题型04 利用幂的运算性质进行混合运算
（2025 赣榆区模拟）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣x）2 x3＝﹣x5 B．﹣x2 x3＝x6
C．x2 （﹣x）3＝﹣x6 D．（﹣x2）3＝﹣x6
【答案】D
【分析】直接利用同底数的乘法运算法则以及合并同类项法则分别化简求出答案．
【解答】解：A、（﹣x）2 x3＝x5，故此选项错误，不符合题意；
B、﹣x2 x3＝﹣x5，故此选项错误，不符合题意；
C、x2（﹣x3）＝﹣x5，此选项错误，不符合题意；
D、（﹣x2）3＝﹣x6，此选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式练1】　（2025春 彬州市月考）已知2x+3×3x+3＝62x﹣1，求x的值．
【答案】4．
【分析】逆用积的乘方法则计算得出6x+3＝62x﹣1，于是得出x+3＝2x﹣1，即可求出x的值．
【解答】解：∵2x+3×3x+3＝62x﹣1，
∴（2×3）x+3＝62x﹣1，
∴6x+3＝62x﹣1，
∴x+3＝2x﹣1，
∴x＝4．
【变式练2】　（2024秋 徐汇区校级月考）．
【答案】．
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法公式计算即可．
【解答】解：原式
．
【变式练3】　（2023春 漳浦县期中）计算：
（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m 16n的值；
（2）已知n为正整数，且x2n＝2，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【答案】（1）8；（2）0．
【分析】（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可；
（2）先根据幂的乘方法则将原式化为x2n的幂的形式，然后代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵m+4n﹣3＝0，
∴m+4n＝3，
原式＝2m 24n
＝2m+4n
＝23
＝8．
（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2
＝23﹣2×22
＝8﹣8
＝0．
题型05 与幂的运算相关的大小比较
（2025春 周村区期末）已知a＝255，b＝344，c＝533，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【答案】C
【分析】根据幂的乘方的逆用进行转换得255＝3211、344＝8111、533＝12511，比较即可．
【解答】解：（1）∵255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，533＝（53）11＝12511，
∵3211＜8111＜12511，
∴255＜344＜533，
∴c＞b＞a．
故选：C．
【变式练1】　（2025 南宁校级二模）已知a＝212，b＝38，c＝74，则a，b，c大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【答案】B
【分析】将a、b、c化为同指数形式为a＝84，b＝94，c＝74，即可比较大小．
【解答】解：a＝212＝84，
b＝38＝94，
∵9＞8＞7，
∴94＞84＞74，
∴b＞a＞c，
故选：B．
【变式练2】　（2025春 无锡期中）已知a＝212，b＝38，c＝74，则a，b、c大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【答案】B
【分析】先化成相同的指数，再比较底数的大小．
【解答】解：∵a＝212＝84，
b＝38＝94，
c＝74，
9＞8＞7，
∴b＞a＞c，
故选：B．
【变式练3】　（2025春 东台市月考）比较大小：23　 　 32（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
【答案】＜
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵23＝8，32＝9，
∴23＜32．
故答案为：＜．

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