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第10讲 统计
考向一 概念辨析
【例1】为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．总体是200 B．个体是40名学生
C．样本是40名学生 D．样本容量是40
【变式】
1．为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，被抽取的40名学生是（ ）
A．样本 B．个体 C．样本量 D．总体
2．某中学研究人员希望调查该校高中学生平均每天的自习时间.他调查了100名学生，发现他们每天的平均自习时间是3h.这里的总体是（ ）
A．该校的所有高中学生 B．该校所有高中学生的平均每天自习时间
C．所调查的100名高中学生 D．所调查的100名高中学生的平均每天自习时间
3．从某市参加升学考试的学生中随机抽查名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（ ）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩
B．样本是指名学生的数学成绩
C．样本量指的是名学生
D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩
考向二 随机数表法
【例2】某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
A．57 B．50 C．40 D．10
【变式】
1．某班有55人，要抽出3人，用随机数法确定人选，班长给全班同学编号为01，02，03，…，55，依次得到4个随机数为02，29，68，47，其中，不能作为编号的随机数是（ ）
A．02 B．29 C．68 D．47
2．某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为（ ）
3484 4217 5572 1754 5560 8331
0474 4767 2176 3350 2583 9212
0676 6301 6378 5916 9555 6719
A．331 B．047 C．447 D．672
3．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77
A．328 B．253 C．007 D．860
4．从编号为01，02，…，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第4个个体的编号为（ ）
7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．14 B．07 C．32 D．43
考向三 分层抽样
【例3-1】某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级人，高三年级1100人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（　　）
A．11，14，11 B．12，12，12 C．14，12，10 D．13，12，11
【例3-2】某校高一年级有720名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为48的样本，其中身高在175cm以下的学生人数为32，则该校高一年级身高在175cm以下的学生人数为（ ）
A．320 B．360 C．420 D．480
【变式】
1．某市准备建一个体育文化公园，针对公园中的体育设施，某社区采用分层随机抽样的方法对成年居民进行了调查．已知该社区青年居民有840人，中年居民有700人，老年居民有560人．若要从中抽取300人进行调查，则应该从中年居民中抽取的人数是（ ）
A．100 B．125 C．160 D．200
2．某班有男生30人，女生20人，现需要安排5人参加男女混合跑步接力比赛，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女生人数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．某学校高一、高二、高三年级的人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，高三年级抽取的人数为人，则（ ）
A． B． C． D．
4．某地区有1000家商铺，其中大型商铺50家，中型商铺100家，其余为小型商铺，为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为100的样本，则应抽取大型商铺（ ）
A．33家 B．20家 C．5家 D．10家
5．某公司生产，，三种不同型号的电子产品，产量分别为100，400，300件，为检验不同产品的质量，现用分层抽样的方法从以上产品中抽取40件进行检验，则应从种型号的产品中抽取的件数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为300的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．150
考向四 百分位数
【例4-1】某市某月10天的空气质量指数为35、54、80、86、72、85、58、125、111、53，这组数据的第80百分位数是（ ）
A．85 B．86 C．98.5 D．111
【例4-2】小冉同学近9次考试的数学成绩如下:72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（ ）
A．81.5 B．80 C．84 D．83
【例4-3】有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（ ）
A．11 B．13 C．22 D．33
【变式】
1．样本数据：77，79，81，81，83，87，89，91的分位数为（ ）
A．81 B．82 C．83 D．87
2．数据13，15，18，20，21，26，27，29，31，35的第70百分位数是（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
3．一组样本数据10，12，12，18，19，22，31，35，41，50的分位数是（ ）
A．31 B．33 C．34 D．35
4．为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年）后，得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的分位数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
5．2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，则这组数据的上四分位数为（ ）
A．40 B．30 C．15 D．14.5
考向五 数字型的特征数
【例5】数据6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则关于这组数据下列说法错误的是（ ）
A．中位数为5 B．方差为1.6
C．平均数为5 D．85%分位数为8
【变式】
1．一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则（ ）
A．极差为5 B．中位数是7
C．平均数是5 D．众数是8
2．已知一组数据：5，4，3，3，3，2，1，则下列叙述正确的是（ ）
A．极差是5 B．平均数是 C．方差是 D．下四分位数为4
3．某班成立了A、B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组平均成绩为130分，方差为115，B组平均成绩为110分，方差为215，则在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为（ ）
A．120分， 105 B．120分， 265 C．115分， 105 D．115分， 265
4．某数学竞赛小组6名同学的初赛成绩分别为：94，96，98，96，95，97．则这组数据的（ ）
A．众数为98 B．平均数为95 C．方差为 D．标准差为
考向六 频率直方图
【例6-1】某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取50户居民，得到他们的月均用水量全部介于1t至21t之间，将结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组有4户居民，则第七组的频率为（ ）
A．0.04 B．0.05 C．0.06 D．0.07
【例6-2】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56 B．60 C．120 D．140
【例6-3】某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小于1.5立方米的用户数为（ ）
A．20 B．30 C．50 D．60
2．某校对全校300名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于60分的人数为（ ）
A．270 B．240 C．180 D．150
3．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（ ）
A．0.017 B．0.018 C．0.020 D．0.023
4．某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高（单位：cm），将得到的数据按分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为（ ）
A．56 B．52 C．48 D．44
考向七 频率直方图中特征数
【例7】某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．满意度计分的众数约为75分
C．满意度计分的平均分约为79分
D．满意度计分的第25百分位数约为70分
【变式】
1．通过调查某省100家能够提供儿科夜间急诊服务的医疗机构，并统计其夜间提供急诊的时长（单位：h），绘制得到频率分布直方图如图所示，根据图中数据，下列结论错误的是（ ）

A．
B．估计夜间提供急诊时长的平均数为12.36
C．估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为11.33
D．估计夜间提供急诊时长的众数为14
2．某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，
下列说法中正确的是（ ）
A． B．评分的众数估值为70
C．评分的第25百分位数估值为67.5 D．评分的平均数估值为76
3．某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（ ）
A．估计数学成绩的众数为75 B．
C．估计数学成绩的75百分位数约为85 D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50
4．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（ ）

A．估计该年级学生成绩的众数约为75
B．
C．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.50
考向八 特征数的规律
【例8-1】已知一组样本数据（）的平均数为，方差为，则（ ）
A．，，…，的平均数为
B．，，…，的方差为
C．，，…，的25%分位数为
D．，，…，的极差为
【例8-2】某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（ ）
A．168，35 B．168，20 C．169.6，35 D．169.6，20
【变式】
1．若一组样本数据为，，，另一组样本数据，，的方差为8，则，，这组数据的方差为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
2．已知数据的中位数为2，方差为3，那么数据的中位数和方差分别为（ ）
A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12
3．已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是3，那么另一组数据，，，，的平均数为 ；方差为 .
4．某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况， 按男、女学生的比例分别抽样调查了 48 名男生和 27 名女生的每周锻炼时间. 通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为 7.6 小时， 方差为 7.3， 女生每周锻炼时间的平均数为 6.4 小时， 方差为 8， 则所有样本数据的方差是 .
考向九 统计的解答题
【例9】某MOBA游戏统计了100名玩家的团战支援评分（百分制，分数越高支援效率越高），并按分数作出如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值及样本评分的第75百分位数；
(2)以每组数据区间中点作代表，估计该游戏玩家团战支援评分的平均分；
(3)在频率分布直方图中，若玩家的团战支援评分在的平均值为52，方差为6，在的平均值为64，方差为3，求两组样本评分合并后的平均数和方差．
【变式】
1．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了40名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中的值．
(2)求这40名工人一天生产该产品的数量的众数，80%分位数和平均数．
2．《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房一路高歌猛进，截至2025年5月，票房已突破158亿．根据灯塔数据库的数据，某团队随机抽取1000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如下的频数分布表和频率分布直方图：
组数 分组 频数
第一组 100
第二组
第三组 250
第四组 300
第五组
第六组 50
(1)请求出各年龄段频数分布表中的值，并补全各年龄段人数频率分布直方图；
(2)试估计观众年龄的众数、中位数和平均数（每组年龄用中间值代替）．
3．为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）.
(1)求a的值；
(2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）．
4．某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：，，，…，后得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用组中值作代表）．
(1)根据频率分布直方图求众数；
(2)用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在分数段抽取的人数是多少？
题组一 概念辨析
1．为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生的成绩是（ ）
A．总体 B．个体
C．样本 D．样本量
2．为确保食品安全，某市质检部门检查1000袋方便面的质量，抽查总量的.在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．总体是指这1000袋方便面 B．个体是1袋方便面
C．样本是按抽取的20袋方便面 D．样本容量为20
3．为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽查了其中100名同学的视力情况.在这个过程中，100名同学的视力情况（数据）是（　　）
A．总体 B．个体
C．总体的一个样本 D．样本容量
4．某县教育局为了解本县今年参加大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，则下列表述错误的是（　　）
A．5000名学生是总体
B．抽取的250名学生的成绩是总体的一个样本
C．样本量是250名学生的成绩
D．每一名学生是个体
5．从某公司600名员工中抽取20名进行体重的统计分析，下列说法正确的是（　　）
A．600名员工是总体
B．每个被抽查的员工是个体
C．抽取的20名员工的体重是一个样本
D．抽取的20名员工的体重是样本容量
6．某校今年二月份举行月考后，为了分析该校高一年级1800名学生的学习成绩，从中随机抽取了180名学生的成绩单，下列说法错误的是（）
A．样本容量是180 B．每名学生的成绩是所抽取的一个样本
C．每名学生是个体 D．1800名学生是总体
7．某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的种饮料中抽取了种饮料，对其质量进行了检查．在这个问题中，是（ ）
A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量
8．从绵阳市参加数学会考测试的48000名学生的成绩中抽取2000名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，2000名学生的成绩是（ ）
A．总体 B．个体 C．一个样本 D．样本容量
题组二 随机数表法
1．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号01，02，…，33的33个数字组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下表）第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为（ ）
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
A．23 B．09 C．20 D．17
2．某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行：
0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202
9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214
1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336
若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（ ）
A．37 B．32 C．14 D．16
3．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是（ ）
0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410
9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179
A．36 B．16 C．11 D．14
4．从某班57名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57名同学按01、02、…、57进行编号，然后从随机数表第一行的第7列和第8列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（ ）
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297
7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676
（注：表中的数据为随机数表第一行和第二行）
A．24 B．36 C．42 D．52
5．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样调查，先将650名学生进行编号：001，002，…，649，650．从中抽取50个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是 ．
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 24
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
6．劳动课中要考查上一届学生种出来的950颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将950颗种子按001，002，…，950进行编号，如果从随机数表第3行第4列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子编号依次是 ．（下面抽取了随机数表第1行至第3行）
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
7．欲利用随机数表从00，01，02，……，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第5个被抽取的样本的编号为 .
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 19 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
8．某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为 ．
64844217 55721754 55068331
04744767 21763350 25839212
06766301 63785916 95556719
题组三 分层抽样
1．一个公司共有210名员工，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为35的样本．已知某部门有30名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．某学校有男生2000名和女生1000名，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从男生中抽取100名学生，则为（ ）
A．150 B．200 C．250 D．300
3．某县有高中生2000人，初中生3000人，小学生4000人，幼儿园学生1500人，为了解该县学生的健康情况，采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取样本，若抽出的初中生为30人，则抽出的幼儿园学生人数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．40
4．某校高一年级有男生500人，女生700人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生中抽出一个容量为360的样本．如果样本按比例分配，那么男生，女生应分别抽取的人数为（ ）
A．； B．； C．； D．；
5．某学校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生，为了解不同年级学生运动的情况，通过分层随机抽样的方法，从全体学生中抽取一个容量为300的样本，那么从高一年级抽取的学生人数为（ ）
A．110 B．100 C．90 D．80
6．某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为（ ）
A．400 B．500 C．600 D．800
7．某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用比例分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有（ ）人.
A．13 B．14 C．15 D．16
8．一个公司共有240名员工，要采用分层抽样的方法从全体员工中抽取一个容量为30的样本.已知某部门有80名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为（ ）
A．9 B．6 C．10 D．8
9．某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1200，1500．现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级中抽取的学生人数为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
10．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为200的样本，则从高一年级抽取的学生人数为（ ）
A．40 B．60 C．80 D．100
11．某羽毛球俱乐部有队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．某校高一有1000名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大名著中选一本阅读，其中有400人选《三国演义》，250人选《水浒传》，250人选《西游记》，100人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取100名学生分享他们的读后感，则选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．50
13．五一期间，各大商场为促进消费，通过发送小礼品的方式吸引顾客.已知某商场五一发放了300件小礼品，其中老年人、中年人、青年人分别有150人、50人、100人，若按年龄的分层抽样从这300名顾客中随机抽取12人收集他们的意见，则被抽取的老年人比青年人多（ ）
A．4人 B．3人 C．2人 D．1人
14．某校开展“阅读经典”的调查研究，高一、高二、高三的人数比例为．现采用按比例分配分层随机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研．已知从高一抽取的人数为30，则从高三抽取的人数为（ ）
A．45 B．60 C．90 D．135
题组四 百分位数
1．在一次数学测试中，有8位同学的分数分别是115，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（ ）
A．130 B．132 C．134 D．136
2．数据的第百分位数为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
3．已知一组数据如下：，则这组数据的第80百分位数是 .
4．某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，34，32，41，则这8人年龄的25%分位数是 .
5．数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是 ．
6．样本数据5，11，6，8，14，6，10，5，9，8的分位数 .
7．从某中学抽取6名同学，他们的数学成绩如下：87，85，83，90，92，93（单位：分），则这6名同学数学成绩的第75百分位数为 （单位：分）．
6．某次体检，10位同学的身高（单位：米）分别为1.57，1.59，1.62，1.64，1.65，1.66，1.68，1.70，1.72，1.73，则这组数据的第60百分位数是 （米）．
题组五 数字型的特征数
1．下列各组数的方差最小的是（ ）
A． B．
C． D．
2．数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87的众数和中位数分别为（ ）
A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86
3．已知高一三班的某次数学测试中，某学习小组的成绩如下：70，75，94，85，85，90，86，90，85，100，则该小组成绩的平均数、众数、中位数的大小关系是（ ）
A．众数=中位数<平均数 B．众数<中位数<平均数
C．众数<平均数<中位数 D．众数=平均数<中位数
4．春节期间，电影《哪吒2》在全国各地的影院热映，已知某影院连续10天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，160，180，200，160，120，130，则这组数据的（ ）
A．众数为120 B．平均数为145 C．中位数为145 D．第85百分位数为170
5．体育强则中国强，国运兴则体育兴．为备战2025年成都世运会，10名运动员进行特训，特训的成绩分别为9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（ ）
A．众数为12 B．平均数为14 C．中位数为15 D．第85百分位数为16
6．从实现中华民族伟大复兴中国梦的宏伟目标来看，社会主义核心价值观是文化软实力的灵魂．构建具有强大的凝聚力、感召力的核心价值观至关重要．倡导中小学生学习践行的“富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善”这24个字，其中含有12个词，每个词的笔画数的和依次为24，10，12，19；11，17，9，16；18，17，17，16．则这12个笔画数的平均数、中位数、众数分别是（ ）
A．15，16，17 B．15.5，16.5，17 C．16.5，17，16 D．17，16，16
7．已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数和众数分别是（ ）
A．86，84 B．84.5，85 C．85，84 D．86.5，84
8．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为，则下列说法错误的是（ ）
A．这组数据的极差为 B．这组数据的众数为
C．这组数据的平均数为 D．这组数据的方差为
9．一个射击运动员打靶6次的环数为9，5，7，8，6，7，下列四个结论：①这组数据的平均数为7；②这组数据的众数为7；③这组数据的中位数为7；④这组数据的方差为.以上四个结论正确的个数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
10．对于数据，下列说法错误的是（ ）
A．平均数为5 B．众数为6 C．极差为11 D．中位数为6
11．有一组样本数据：，，，，，，，，则下列关于该组数据的数字特征中，数值最大的为（ ）
A．中位数 B．平均数
C．极差 D．众数
12．已知一组样本数据的平均值为10，则下列说法错误的是（ ）
A． B．众数为10
C．第70百分位数为10.5 D．方差为
题组六 频率直方图
1．某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，这批用户问卷的得分不低于80分的份数为（ ）
A．20 B．30 C．35 D．40
2．某厂对一批产品进行抽样检测，如图所示的是抽检产品净重(单位:克)的频率分布直方图，样本数据分组为.若这批产品有200个，估计其中净重大于或等于80克的个数是（ ）
A．110 B．140 C．150 D．90
3．某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在内的学生人数为（ ）

A．300 B．400 C．600 D．1200
4．某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为（ ）
A．270 B．240 C．180 D．150
5．某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图：
则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（ ）
A．20 B．30 C．35 D．40
6．从某高中高三年级1000名随机选取100名学生一次数学统测测试成绩，分为6组：，，，，，，绘制了频率分布直方图如图所示，按此图估计，则高三年级全体学生中，成绩在区间内的学生有（ ）
A．600名 B．650名 C．60名 D．65名
7．某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据 .
8．已知某校高一年级1000人，为普及航天知识，开展了航天知识竞赛．将成绩（单位：分）分成6组，绘制成频率分布直方图，如图所示：则成绩在分的有 人．
9．某品牌电动汽车公司为了解车主使用电动车辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行抽样分析，得出这100位车主每人在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的频率分布直方图如图，则 ．
10．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则的值为 ．

11．某校60名同学数学竞赛的成绩（满分：100分）均在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，若从这60名参赛者中随机选取1人，试估计其成绩在的概率为 ．
12．某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组：.抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示.则实数 .这1000名学生阅读古典名著的时间不少于8小时的人数为 .
题组七 频率直方图中特征数
1．学校为了解全校1800名学生的身体肥胖情况，随机抽取了100名学生的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图，如图所示.则下列说法错误的是（ ）

A．
B．估计样本的中位数为23
C．估计样本的众数为22
D．估计全校学生BMI值落在区间的人数为36人
2．某学校为了调查高一年级学生期中物理考试的情况，随机选取了100名学生成绩，绘制了如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．平均数的估计值为70（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表）
B．第60百分位数估计值为71
C．众数的估计值为75
D．随机选取这100名学生中只有25名学生物理成绩不低于80分
3．某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（ ）

A． B．车速的众数估计值是70
C．车速的平均数估计值大于其中位数的估计值 D．车速的中位数估计值是62.5
题组八 特征数的规律
1．设一组样本数据的方差为4，则数据的方差为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
2．有一组样本数据，，，，的平均数为3，方差为3，则，，，，，3的方差为（ ）
A．3 B． C． D．
3．已知一组数据的方差是，那么另一组数据，，，，的方差是（ ）
A． B． C．1 D．3
4．数据的平均数为，方差，现在增加两个数据和，则这组新数据的标准差为（ ）
A． B． C． D．
5．若数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（ ）
A． B． C． D．
6．设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据，，，，的平均数和方差分别为（ ）
A．4，14 B．4，16 C．5，14 D．5，16
题组九 统计的解答题
1．为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了m名学生作为样本，将他们每周的运动时长（单位：小时）分成，，，，，六组．根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在内的样本学生比在内的学生少10人．
(1)求a，m的值；
(2)求样本学生运动时长的中位数；
(3)若在，，内的样本学生运动时长的平均数分别为6，10，14，方差分别为，，，求在内的样本学生运动时长的方差．
2．为了了解小学生的体能情况，某机构抽取了某校部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图（如图）（每个分组包括左端点，不包括右端点）.已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.15，0.3，0.4，第一小组的频数为9.

(1)求第四小组的频率；
(2)参加这次测试的学生有多少人？
(3)若次数在60次以上（含60次）为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少.
3．某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户，根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，…，.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在，，中抽取20人，则评分在内的用户应抽取多少人？
4．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数；
(2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？
(3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差．
5．“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，特举办数学竞赛活动，在活动中，共有19道题.从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的上四分位数；
(2)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.
6．为深化共享单车监管工作，某市交通管理部门随机选取100名市民开展共享单车使用满意度问卷调查．按照百分制评分标准，将这100份问卷的结果分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]6组，并作出如图所示的频率分布直方图．
(1)估计本次问卷调查评分的众数和中位数；
(2)估计本次问卷调查评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）．
7．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示.
(1)估计此批棉花纤维长度的众数；
(2)估计此批棉花纤维长度的下四分位数和中位数；（保留整数）
(3)估计此批棉花纤维长度的平均数.（保留整数）
8．为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成，，，六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：
(1)求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)请根据频率分布直方图，估计样本的众数、第八十百分位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）
9．每年七月，八月是兰州最热，用电量比较高的月份.下图是兰州市城关区某小区住户八月份用电量（单位：度）的频率分布直方图，其分组区间依次为：.
(1)求直方图中的；
(2)根据直方图估计八月份用电量的众数和中位数；
(3)在用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则用电量在的用户应抽取多少户？
10．某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩均为整数分成六组：后得到如图所示频率分布直方图．
(1)求的值；
(2)根据频率分布直方图，求众数和中位数；
(3)用比例分配的分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，求在分数段抽取的人数；第10讲 统计
考向一 概念辨析
【例1】为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．总体是200 B．个体是40名学生
C．样本是40名学生 D．样本容量是40
【答案】D
【解析】由题意可得，总体是200名学生或他们的年龄，故A错误；
个体是每一名学生或他们的年龄，故B错误；
样本是40名学生或他们的年龄，故C错误；
样本容量是40，故D正确.
故选：D
【变式】
1．为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，被抽取的40名学生是（ ）
A．样本 B．个体 C．样本量 D．总体
【答案】A
【解析】根据定义，被抽取的40名学生是样本.故选:A．
2．某中学研究人员希望调查该校高中学生平均每天的自习时间.他调查了100名学生，发现他们每天的平均自习时间是3h.这里的总体是（ ）
A．该校的所有高中学生 B．该校所有高中学生的平均每天自习时间
C．所调查的100名高中学生 D．所调查的100名高中学生的平均每天自习时间
【答案】B
【解析】调查对象的全体为该校所有高中学生的平均每天自习时间，
因此总体应是该校所有高中学生的平均每天自习时间.
故选：B
3．从某市参加升学考试的学生中随机抽查名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（ ）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩
B．样本是指名学生的数学成绩
C．样本量指的是名学生
D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩
【答案】C
【解析】总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，A正确；
样本是指名学生的数学成绩，B正确；样本量是，C错误；
个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，D正确.故选：C
考向二 随机数表法
【例2】某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
A．57 B．50 C．40 D．10
【答案】B
【解析】从随机数表第1行的第6列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有03，46，40，11，10，50，所以选出来的第6个个体的编号为50.
故选：B.
【变式】
1．某班有55人，要抽出3人，用随机数法确定人选，班长给全班同学编号为01，02，03，…，55，依次得到4个随机数为02，29，68，47，其中，不能作为编号的随机数是（ ）
A．02 B．29 C．68 D．47
【答案】C
【解析】由于，所以68不能作为编号．故选：C.
2．某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为（ ）
3484 4217 5572 1754 5560 8331
0474 4767 2176 3350 2583 9212
0676 6301 6378 5916 9555 6719
A．331 B．047 C．447 D．672
【答案】B
【解析】由题知，选取的同学编号分别是442,175,572,175,455,608,331,047，
剔除重复数据，超过500的数据，符合条件的是442,175,455,331,047，第五个是047.
故选：B.
3．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77
A．328 B．253 C．007 D．860
【答案】A
【解析】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第四个数为328.
故选：A.
4．从编号为01，02，…，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第4个个体的编号为（ ）
7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．14 B．07 C．32 D．43
【答案】B
【解析】依题意选出的个体编号依次为：，，，，……，
所以选出来的第4个个体的编号为.故选：B.
考向三 分层抽样
【例3-1】某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级人，高三年级1100人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（　　）
A．11，14，11 B．12，12，12 C．14，12，10 D．13，12，11
【答案】D
【解析】用分层抽样在各层中的每个个体被抽到的可能性为，
则在高一年级抽取的人数是（人），
高二年级抽取的人数是（人），
高三年级抽取的人数是（人），
所以高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为13，12，11,
故选：D.
【例3-2】某校高一年级有720名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为48的样本，其中身高在175cm以下的学生人数为32，则该校高一年级身高在175cm以下的学生人数为（ ）
A．320 B．360 C．420 D．480
【答案】D
【解析】由比例分配的分层抽样方法可得高一年级身高在175cm以下的学生人数为.
故选：D.
【变式】
1．某市准备建一个体育文化公园，针对公园中的体育设施，某社区采用分层随机抽样的方法对成年居民进行了调查．已知该社区青年居民有840人，中年居民有700人，老年居民有560人．若要从中抽取300人进行调查，则应该从中年居民中抽取的人数是（ ）
A．100 B．125 C．160 D．200
【答案】A
【解析】由题意知，中年居民所占的比例为，故应该从中年居民中抽取的人数为人.故选：A
2．某班有男生30人，女生20人，现需要安排5人参加男女混合跑步接力比赛，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女生人数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】由题意得该班女生所占比例为，应抽取的女生人数为，故C正确.
故选：C
3．某学校高一、高二、高三年级的人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，高三年级抽取的人数为人，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由分层随机抽样的方法可知，所以．故选：D．
4．某地区有1000家商铺，其中大型商铺50家，中型商铺100家，其余为小型商铺，为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为100的样本，则应抽取大型商铺（ ）
A．33家 B．20家 C．5家 D．10家
【答案】C
【解析】依题意，分层抽样的抽样比为，
所以应抽取大型商铺（家）.
故选：C
5．某公司生产，，三种不同型号的电子产品，产量分别为100，400，300件，为检验不同产品的质量，现用分层抽样的方法从以上产品中抽取40件进行检验，则应从种型号的产品中抽取的件数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【解析】依题意，分层抽样的抽样比为，
所以从种型号的产品中抽取的件数为.
故选：C
6．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为300的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．150
【答案】B
【解析】由题意：从高二年级抽取的学生人数为：.故选：B
考向四 百分位数
【例4-1】某市某月10天的空气质量指数为35、54、80、86、72、85、58、125、111、53，这组数据的第80百分位数是（ ）
A．85 B．86 C．98.5 D．111
【答案】C
【解析】数据从小到大排序为：35、53、54、58、72、80、85、86、111、125，
，所以第80百分位数是.
故选：C
【例4-2】小冉同学近9次考试的数学成绩如下:72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（ ）
A．81.5 B．80 C．84 D．83
【答案】D
【解析】数学成绩从小到大为，
所以，故数据的第40百分位数是第四个数，为.
故选：D
【例4-3】有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（ ）
A．11 B．13 C．22 D．33
【答案】D
【解析】该组数据从小到大排列为2，11，13，15，17，22，33，34，42，共有9个数据，
由题意且，
则这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即33．故D正确.
故选:D．
【变式】
1．样本数据：77，79，81，81，83，87，89，91的分位数为（ ）
A．81 B．82 C．83 D．87
【答案】B
【解析】样本数据符合从小到大的排序，，第四个数与第五个数的平均值为82即为所求.
故选：B.
2．数据13，15，18，20，21，26，27，29，31，35的第70百分位数是（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】B
【解析】因为，所以这组数据的第70百分位数是第7个与第8个数据的平均数，即．故选：B
3．一组样本数据10，12，12，18，19，22，31，35，41，50的分位数是（ ）
A．31 B．33 C．34 D．35
【答案】D
【解析】依题意，该组样本数据已经按照从小到大的顺序进行排列，且该组样本共10个数据，，算得小数，向下取整，因此取第8个数作为分位数，即分位数为35.
故选：D.
4．为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年）后，得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的分位数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
【答案】B
【解析】数据从小到大为：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15，且，
5．2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，则这组数据的上四分位数为（ ）
A．40 B．30 C．15 D．14.5
【答案】B
【解析】由题设，数据从小到大为，且，
所以数据的上四分位数为.
故选：B
考向五 数字型的特征数
【例5】数据6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则关于这组数据下列说法错误的是（ ）
A．中位数为5 B．方差为1.6
C．平均数为5 D．85%分位数为8
【答案】B
【解析】将数据从小到大排列为1，3，3，3，4，6，6，8，8，8，
中位数为，平均数为，
由，所以85%分位数为第9个数为8，
方差为，
所以ACD正确，B错误.
故选：B
【变式】
1．一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则（ ）
A．极差为5 B．中位数是7
C．平均数是5 D．众数是8
【答案】C
【解析】样本数据从小到大排列为，
则极差为，A选项错误；
中位数是，B选项错误；
平均数是，C选项正确；
众数不是8，D选项错误；
故选：C.
2．已知一组数据：5，4，3，3，3，2，1，则下列叙述正确的是（ ）
A．极差是5 B．平均数是 C．方差是 D．下四分位数为4
【答案】C
【解析】将这7个数据从小到大排列为：1，2，3，3，3，4，5，
对于A，极差是，故A错误；
对于B，平均数是，故B错误；
对于C，方差是，故C正确；
对于D，，所以下四分位数为从小到大排列的第2个数，即2，故D错误.
故选：C.
3．某班成立了A、B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组平均成绩为130分，方差为115，B组平均成绩为110分，方差为215，则在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为（ ）
A．120分， 105 B．120分， 265 C．115分， 105 D．115分， 265
【答案】D
【解析】依题意，A组10人，B组30人，A组平均成绩为130分，方差为115，B组平均成绩为110分，方差为215.
则全班学生的平均成绩为：，
其方差为：.
故选：D.
4．某数学竞赛小组6名同学的初赛成绩分别为：94，96，98，96，95，97．则这组数据的（ ）
A．众数为98 B．平均数为95 C．方差为 D．标准差为
【答案】C
【解析】易知这组数据中只有96出现了两次，所以众数为96，即A错误；
平均数为，因此B错误；
方差为；即C正确；
标准差为，即D错误.
故选：C
考向六 频率直方图
【例6-1】某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取50户居民，得到他们的月均用水量全部介于1t至21t之间，将结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组有4户居民，则第七组的频率为（ ）
A．0.04 B．0.05 C．0.06 D．0.07
【答案】C
【解析】第六组的频率为，所以第七组的频率为.
故选：C
【例6-2】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56 B．60 C．120 D．140
【答案】D
【解析】由频率分布直方图中的数据可得每周的自习时间不少于22.5小时的频率为
，
则200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是.
故选：D.
【例6-3】某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在频率分布直方图可知，所有直方图面积之和为，
所以，解得.
故选：B.
【变式】
1．某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小于1.5立方米的用户数为（ ）
A．20 B．30 C．50 D．60
【答案】C
【解析】根据直方图可得用水量小于1.5立方米的用户数为．
故答案为：C．
2．某校对全校300名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于60分的人数为（ ）
A．270 B．240 C．180 D．150
【答案】B
【解析】，解得，
故物理成绩大于等于60分的人数为.
故选：B.
3．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（ ）
A．0.017 B．0.018 C．0.020 D．0.023
【答案】C
【解析】由题意得，解得
故选：C
4．某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高（单位：cm），将得到的数据按分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为（ ）
A．56 B．52 C．48 D．44
【答案】A
【解析】由图可得，得，
所以估计这100名学生中身高低于170cm的人数为．
故选：A
考向七 频率直方图中特征数
【例7】某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．满意度计分的众数约为75分
C．满意度计分的平均分约为79分
D．满意度计分的第25百分位数约为70分
【答案】C
【解析】对于A，由频率分布直方图可得，又，
解得，，故A正确；
对于B，满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确；
对于C，满意度计分的平均分约为，故C错误；
对于D，前两组的频率之和为，所以满意度计分的第25百分位数约为70分，故D正确.
故选：C.
【变式】
1．通过调查某省100家能够提供儿科夜间急诊服务的医疗机构，并统计其夜间提供急诊的时长（单位：h），绘制得到频率分布直方图如图所示，根据图中数据，下列结论错误的是（ ）

A．
B．估计夜间提供急诊时长的平均数为12.36
C．估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为11.33
D．估计夜间提供急诊时长的众数为14
【答案】C
【解析】对于A，由频率分布直方图的性质，可得，
解得，所以A正确；
对于B，估计夜间提供急诊时长的平均数为
，所以B正确；
对于C，第三四分位数为第75百分位数，
因为，所以第三四分位数一定位于内，
由，则估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为14，所以C错误；
对于D，估计夜间提供急诊时长的众数为，所以D正确.
故选：C.
2．某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，
下列说法中正确的是（ ）
A． B．评分的众数估值为70
C．评分的第25百分位数估值为67.5 D．评分的平均数估值为76
【答案】C
【解析】由题意：，
解得，A错误，
所以平均数为，故D错误；
众数为，故B错误；
因为，第百分位数估计为，故C正确；
故选：C
3．某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（ ）
A．估计数学成绩的众数为75 B．
C．估计数学成绩的75百分位数约为85 D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50
【答案】B
【解析】估计数学成绩的众数为（分），A选项正确.
根据题意可得，∴， B选项错误.
∵前四组的频率依次为0.1，0.15，0.35，0.3，
∴估计数学成绩的75百分位数约为（分），C选项正确.
∵成绩在80分及以上的学生的两组的频率之比为，
∴估计成绩在80分及以上的学生的平均分为，D选项正确．
故选：B．
4．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（ ）

A．估计该年级学生成绩的众数约为75
B．
C．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.50
【答案】B
【解析】由图易知成绩在分之间的人数最多，
故可估计该年级学生成绩的众数为75，A正确；
由频率分布直方图可知，解得，B错误；
由于前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，
故估计该年级学生成绩的75百分位数约为，C正确；
由频率分布直方图可知成绩在分之间和分之间的频率之比为，
故估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为，D正确．
故选：B．
考向八 特征数的规律
【例8-1】已知一组样本数据（）的平均数为，方差为，则（ ）
A．，，…，的平均数为
B．，，…，的方差为
C．，，…，的25%分位数为
D．，，…，的极差为
【答案】C
【解析】对于A：，，…，的平均数为，故A错误；
对于B：，，…，的方差为，故B错误；
对于C：由，所以，，…，的25%分位数为，故C正确；
对于D：，，…，的极差为，故D错误.
故选：C.
【例8-2】某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（ ）
A．168，35 B．168，20 C．169.6，35 D．169.6，20
【答案】A
【解析】男学生和女学生人数比例为，
故样本中男生人数为人，女生人数为人，
样本的平均数为，
样本的方差为.
故选：A.
【变式】
1．若一组样本数据为，，，另一组样本数据，，的方差为8，则，，这组数据的方差为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
【答案】B
【解析】设，，这组数据的方差为，则，得，
故选：B
2．已知数据的中位数为2，方差为3，那么数据的中位数和方差分别为（ ）
A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12
【答案】C
【解析】因为数据的中位数为2，方差为3，
所以数据的中位数为，
方差为.
故选：C.
3．已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是3，那么另一组数据，，，，的平均数为 ；方差为 .
【答案】 1 12
【解析】原数据平均数为2，新数据平均数为，
原数据方差，新数据方差为
故答案为：1，12
4．某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况， 按男、女学生的比例分别抽样调查了 48 名男生和 27 名女生的每周锻炼时间. 通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为 7.6 小时， 方差为 7.3， 女生每周锻炼时间的平均数为 6.4 小时， 方差为 8， 则所有样本数据的方差是 .
【答案】
【解析】设所有样本数据的平均数为，
所以所有样本数据的方差为，
故答案为：
考向九 统计的解答题
【例9】某MOBA游戏统计了100名玩家的团战支援评分（百分制，分数越高支援效率越高），并按分数作出如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值及样本评分的第75百分位数；
(2)以每组数据区间中点作代表，估计该游戏玩家团战支援评分的平均分；
(3)在频率分布直方图中，若玩家的团战支援评分在的平均值为52，方差为6，在的平均值为64，方差为3，求两组样本评分合并后的平均数和方差．
【答案】(1)，第75百分位数为84
(2)74
(3)，
【解析】（1）由题意知，，解得．
由题意知，团战支援评分在的频率为，
团战支援评分在的频率为，
故第75百分位数在，则，
解得，故第75百分位数为84．
（2）因为，
所以估计该游戏玩家团战支援评分的平均分为74．
（3）样本数据在区间上的个数为，
在区间上的个数为，
所以平均数，
方差．
【变式】
1．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了40名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中的值．
(2)求这40名工人一天生产该产品的数量的众数，80%分位数和平均数．
【答案】(1)
(2)，，64
【解析】（1）由频率分别直方图的性质，可得，
解得．
（2）由频率分布直方图，可得众数为，
因为前2组的频率和为，前3组的频率和为,
所以80%分位数在第3组，设80%分位数为，
则，解得，所以80%分位数为73，
这40名工人一天生产该产品的数量的平均数为：，
所以这40名工人一天生产该产品的数量的平均数为64．
2．《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房一路高歌猛进，截至2025年5月，票房已突破158亿．根据灯塔数据库的数据，某团队随机抽取1000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如下的频数分布表和频率分布直方图：
组数 分组 频数
第一组 100
第二组
第三组 250
第四组 300
第五组
第六组 50
(1)请求出各年龄段频数分布表中的值，并补全各年龄段人数频率分布直方图；
(2)试估计观众年龄的众数、中位数和平均数（每组年龄用中间值代替）．
【答案】(1)，，直方图见解析
(2)众数为，中位数为，平均数为
【解析】（1）第二组的频率为，
，
，
补全频率分布直方图如下：
（2）观众年龄的众数为，
设年龄的中位数为，，
中位数位于.
则，解得，
年龄的平均数.
3．为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）.
(1)求a的值；
(2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）．
【答案】(1)
(2)众数为65，中位数为67.69，平均成绩为67.60
【解析】（1）由，
解得.
（2）由频率分布直方图知：众数为65，设中位数为x，
因为，，故中位数位于内，
则有，解得.
所以中位数为67.69.
这次数学考试的平均成绩为
.
4．某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：，，，…，后得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用组中值作代表）．
(1)根据频率分布直方图求众数；
(2)用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在分数段抽取的人数是多少？
【答案】(1)75
(2)11
【解析】（1）由题意得，，解得，
根据频率分布直方图可知，分段的频率最高，因此众数为75．
（2）因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为，
又分数段共有人，
因此在分数段抽取的人数是人．
题组一 概念辨析
1．为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生的成绩是（ ）
A．总体 B．个体
C．样本 D．样本量
【答案】C
【解析】从5000名学生的成绩中抽取了200名学生的成绩进行调查分析，
总体: 5000名学生的成绩；
个体:每个学生的成绩；
样本: 200名学生的成绩；
样本容量:200，
所以抽取的200名学生的成绩是样本
故选：C.
2．为确保食品安全，某市质检部门检查1000袋方便面的质量，抽查总量的.在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．总体是指这1000袋方便面 B．个体是1袋方便面
C．样本是按抽取的20袋方便面 D．样本容量为20
【答案】D
【解析】对于A，总体是指这1000袋方便面的质量，故A错误；
对于B，个体是指1袋方便面的质量，故B错误；
对于C，样本是指按照抽取的20袋方便面的质量，故C错误；
对于D，样本容量为，故D正确.
故选：D.
3．为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽查了其中100名同学的视力情况.在这个过程中，100名同学的视力情况（数据）是（　　）
A．总体 B．个体
C．总体的一个样本 D．样本容量
【答案】C
【解析】100名同学的视力情况（数据）是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合，
所以是总体的一个样本.
故选：C
4．某县教育局为了解本县今年参加大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，则下列表述错误的是（　　）
A．5000名学生是总体
B．抽取的250名学生的成绩是总体的一个样本
C．样本量是250名学生的成绩
D．每一名学生是个体
【答案】C
【解析】对A，总体指的是5000名参加今年大联考的学生或他们的成绩，所以A正确；
对B，样本指的是抽取的250名学生或他们的成绩，所以B正确；
对C，样本量是250，所以C错误；
对D，个体指的是5000名学生中的每一名学生或其成绩，所以D正确．
故选：C.
5．从某公司600名员工中抽取20名进行体重的统计分析，下列说法正确的是（　　）
A．600名员工是总体
B．每个被抽查的员工是个体
C．抽取的20名员工的体重是一个样本
D．抽取的20名员工的体重是样本容量
【答案】C
【解析】本题抽取的是20名员工的体重，因此600名员工的体重是总体，
每个员工的体重是个体，这20名员工的体重构成一个样本，样本容量为20.
故ABD错误，C正确；
故选：C.
6．某校今年二月份举行月考后，为了分析该校高一年级1800名学生的学习成绩，从中随机抽取了180名学生的成绩单，下列说法错误的是（）
A．样本容量是180 B．每名学生的成绩是所抽取的一个样本
C．每名学生是个体 D．1800名学生是总体
【答案】B
【解析】因为该校高一年级1800名学生的学习成绩，从中随机抽取了180名学生的成绩单，则样本容量为180，故选项A正确；
每名学生或他们的成绩单是所抽取的一个个体，故选项B错误，C正确；
1800名学生或他们的成绩单是总体，故选项D正确；
故选：B.
7．某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的种饮料中抽取了种饮料，对其质量进行了检查．在这个问题中，是（ ）
A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量
【答案】D
【解析】总体：我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体；
个体：把组成总体的每个对象称为个体；
样本：从总体中，抽取的一部分个体组成了一个样本；
样本量：样本中个体的个数叫样本量，其不带单位；
在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查，
在这个问题中，50种饮料是总体，每一种饮料是个体，30种饮料是样本，30是样本量．
故选：D．
8．从绵阳市参加数学会考测试的48000名学生的成绩中抽取2000名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，2000名学生的成绩是（ ）
A．总体 B．个体 C．一个样本 D．样本容量
【答案】C
【解析】由题知，总体是48000名学生的成绩，
个体是每一名学生的成绩，
2000名学生的成绩是从总体中所取的一个样本.
故选：C
题组二 随机数表法
1．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号01，02，…，33的33个数字组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下表）第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为（ ）
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
A．23 B．09 C．20 D．17
【答案】B
【解析】左到右依次选取两个数字，依次选取为：21，32，09，
故选：B．
2．某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行：
0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202
9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214
1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336
若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（ ）
A．37 B．32 C．14 D．16
【答案】D
【解析】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14，
57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16，
则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16．
故选：D
3．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是（ ）
0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410
9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179
A．36 B．16 C．11 D．14
【答案】C
【解析】由左至右依次读取，编号为：，
所以选出来的第5个零件编号是.
故选：C
4．从某班57名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57名同学按01、02、…、57进行编号，然后从随机数表第一行的第7列和第8列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（ ）
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297
7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676
（注：表中的数据为随机数表第一行和第二行）
A．24 B．36 C．42 D．52
【答案】A
【解析】从随机数表第一行第列和第列数字开始往右依次选：、、、，
选出的第4个同学的编号为24.
故选：A．
5．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样调查，先将650名学生进行编号：001，002，…，649，650．从中抽取50个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是 ．
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 24
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
【答案】623
【解析】按照随机数表的数据，三位一组进行读数，只取001到650内的数，重复的数只取一次．
从第5行第6列开始向右读取数据，
第一个数是253，
第二个数是313，
第三个数是457，
下一个数是860，不符合，
下一个数是736，不符合，
下一个数是253，重复，不符合，
第四个数是007，
第五个数是328，
第六个数是623．
故答案为：623
6．劳动课中要考查上一届学生种出来的950颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将950颗种子按001，002，…，950进行编号，如果从随机数表第3行第4列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子编号依次是 ．（下面抽取了随机数表第1行至第3行）
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
【答案】662 276 656 502
【解析】根据随机数表读取规则可知，第一个数是662，第二个数是276，第三个数是656，第四个是502.
故答案是：662；276；656；502
7．欲利用随机数表从00，01，02，……，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第5个被抽取的样本的编号为 .
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 19 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
【答案】12
【解析】随机数表中第1行第11列的数字为1，每次读取两位，分别取出的编号为：16，55，19，50，12，58.
第5个被抽取的样本的编号为：12.
故答案为：12
8．某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为 ．
64844217 55721754 55068331
04744767 21763350 25839212
06766301 63785916 95556719
【答案】447
依题意，被抽到的前5个不重复的编号依次为：175，068，331，047，447，
所以第5个被抽到的同学的编号为447.
故答案为：447
题组三 分层抽样
1．一个公司共有210名员工，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为35的样本．已知某部门有30名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】设从这一部门抽取的员工人数为，则，解得．
故选：A．
2．某学校有男生2000名和女生1000名，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从男生中抽取100名学生，则为（ ）
A．150 B．200 C．250 D．300
【答案】A
【解析】由题知，，解得.
故选：A
3．某县有高中生2000人，初中生3000人，小学生4000人，幼儿园学生1500人，为了解该县学生的健康情况，采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取样本，若抽出的初中生为30人，则抽出的幼儿园学生人数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．40
【答案】A
【解析】分层抽样的抽取比例为，
所以幼儿园应抽取的学生人数为：人，
故选：A.
4．某校高一年级有男生500人，女生700人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生中抽出一个容量为360的样本．如果样本按比例分配，那么男生，女生应分别抽取的人数为（ ）
A．； B．； C．； D．；
【答案】B
【解析】共有人，则抽取男生数量为人，抽取女生数量为人；
故选：B.
5．某学校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生，为了解不同年级学生运动的情况，通过分层随机抽样的方法，从全体学生中抽取一个容量为300的样本，那么从高一年级抽取的学生人数为（ ）
A．110 B．100 C．90 D．80
【答案】A
【解析】样本中高一年级的学生人数为．
故选：A
6．某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为（ ）
A．400 B．500 C．600 D．800
【答案】C
【解析】容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则抽到的男生有30人，
则该校高三男生人数为．
故选：C．
7．某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用比例分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有（ ）人.
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解析】设抽取样本人数为人，所以.
故选：B
8．一个公司共有240名员工，要采用分层抽样的方法从全体员工中抽取一个容量为30的样本.已知某部门有80名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为（ ）
A．9 B．6 C．10 D．8
【答案】C
【解析】由题可得分层抽样的抽样比比值为，
所以从这一部门抽取的员工人数为.
故选：C
9．某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1200，1500．现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级中抽取的学生人数为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
【答案】C
【解析】因为高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1200，1500，所以高一、高二、高三年级的学生人数之比为，
所以从高三年级抽取的学生人数为．
故选：C.
10．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为200的样本，则从高一年级抽取的学生人数为（ ）
A．40 B．60 C．80 D．100
【答案】B
【解析】因为高一、高二、高三年级的学生人数之比为，
所以高一年级学生人数占三个年级总人数的比例为：，
根据分层随机抽样的计算方法，从高一年级抽取的学生人数为：（人）.
故选：B.
11．某羽毛球俱乐部有队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据分层抽样可得，解得．
故选：D．
12．某校高一有1000名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大名著中选一本阅读，其中有400人选《三国演义》，250人选《水浒传》，250人选《西游记》，100人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取100名学生分享他们的读后感，则选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．50
【答案】C
【解析】选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为.
故选：C.
13．五一期间，各大商场为促进消费，通过发送小礼品的方式吸引顾客.已知某商场五一发放了300件小礼品，其中老年人、中年人、青年人分别有150人、50人、100人，若按年龄的分层抽样从这300名顾客中随机抽取12人收集他们的意见，则被抽取的老年人比青年人多（ ）
A．4人 B．3人 C．2人 D．1人
【答案】C
【解析】由题意知，老年人、中年人、青年人分别有150人、50人、100人，
可得老年人、中年人、青年人的比例分别为，
故抽取的12人中老年人抽取了人，
青年人抽取了人，则老年人比青年人多2人.
故选：C.
14．某校开展“阅读经典”的调查研究，高一、高二、高三的人数比例为．现采用按比例分配分层随机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研．已知从高一抽取的人数为30，则从高三抽取的人数为（ ）
A．45 B．60 C．90 D．135
【答案】B
【解析】设高三抽取的人数为，则由分层抽样可知，解得：.
故选：B.
题组四 百分位数
1．在一次数学测试中，有8位同学的分数分别是115，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（ ）
A．130 B．132 C．134 D．136
【答案】C
【解析】将8位同学分数从小到大排序为：115，118，125，130，130，132，136，140，
因，即这组数据的75百分位数为.
故选:C.
2．数据的第百分位数为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】首先将数据从小到大排序：
由题意可知：，则从小到大第8个数为.
故选：C
3．已知一组数据如下：，则这组数据的第80百分位数是 .
【答案】8.5/
【解析】由题意，数据，可得，
故第80百分位数是第8个数和第9个数的平均数，即为.
故答案为：8.5.
4．某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，34，32，41，则这8人年龄的25%分位数是 .
【答案】33
【解析】将他们的年龄从小到大排序为：29，32，34，35，36，38，40，41.
因，故这8人年龄的25%分位数是.
故答案为：33.
5．数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是 ．
【答案】3
【解析】数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是3.
故答案为：3
6．样本数据5，11，6，8，14，6，10，5，9，8的分位数 .
【答案】7
【解析】样本数据由小到大排序为：5，5，6，6，8，8，9，10，11，14，共10个，
又，则样本数据的分位数为．
故答案为：7．
7．从某中学抽取6名同学，他们的数学成绩如下：87，85，83，90，92，93（单位：分），则这6名同学数学成绩的第75百分位数为 （单位：分）．
【答案】92
【解析】6名同学的成绩按从小到大顺序排列为：83，85，87，90，92，93，
，
所以第75百分位数为第5个数：92.
故答案为：92.
6．某次体检，10位同学的身高（单位：米）分别为1.57，1.59，1.62，1.64，1.65，1.66，1.68，1.70，1.72，1.73，则这组数据的第60百分位数是 （米）．
【答案】1.67
【解析】，该组数据的第60百分位数为从小到大排列，第6个和第7个数的平均数，即，
故答案为：1.67.
题组五 数字型的特征数
1．下列各组数的方差最小的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A 组所有数据相同，完全集中，方差为 0；
B 组数据在 4 到 6 之间，有一定分散；
C 组数据在 3 到 4 之间，相对集中，但方差大于 A 组；
D 组数据从 5 到 9，分散程度最大，方差大于 A 组；
所以A 组方差最小.
故选：A.
2．数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87的众数和中位数分别为（ ）
A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86
【答案】C
【解析】数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87从小到大排序可得：78，79，81，81，82，84，85，85，86，86，86，87，88，90，93，
所以该组数据的众数为86，中位数为.
故选：C.
3．已知高一三班的某次数学测试中，某学习小组的成绩如下：70，75，94，85，85，90，86，90，85，100，则该小组成绩的平均数、众数、中位数的大小关系是（ ）
A．众数=中位数<平均数 B．众数<中位数<平均数
C．众数<平均数<中位数 D．众数=平均数<中位数
【答案】B
【解析】学习小组的成绩从小到大排列如下：70，75，85，85，85，86，90，90，94，100，
众数为85；中位数为，
平均数为,
故众数<中位数<平均数,
故选：B
4．春节期间，电影《哪吒2》在全国各地的影院热映，已知某影院连续10天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，160，180，200，160，120，130，则这组数据的（ ）
A．众数为120 B．平均数为145 C．中位数为145 D．第85百分位数为170
【答案】C
【解析】观影人数从小到大排列为：80，90，120，120，130，160，160，160，180，200，
所以这组数据的众数为160，故选项A不正确；
平均数为，故选项B不正确；
中位数为，故选项C正确；
又，故第85百分位数为180，故选项D不正确.
故选：C.
5．体育强则中国强，国运兴则体育兴．为备战2025年成都世运会，10名运动员进行特训，特训的成绩分别为9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（ ）
A．众数为12 B．平均数为14 C．中位数为15 D．第85百分位数为16
【答案】B
【解析】成绩从小到大排列为：，
对于A，出现次数最多的数为，故A错误；
对于B，平均数，故B正确；
对于C，中位数为，故C错误；
对于D，第85百分位数为第，
即第位，为，故D错误.
故选：B.
6．从实现中华民族伟大复兴中国梦的宏伟目标来看，社会主义核心价值观是文化软实力的灵魂．构建具有强大的凝聚力、感召力的核心价值观至关重要．倡导中小学生学习践行的“富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善”这24个字，其中含有12个词，每个词的笔画数的和依次为24，10，12，19；11，17，9，16；18，17，17，16．则这12个笔画数的平均数、中位数、众数分别是（ ）
A．15，16，17 B．15.5，16.5，17 C．16.5，17，16 D．17，16，16
【答案】B
【解析】把这12个数按照从小到大的顺序排列为9，10，11，12，16，16，17，17，17，18，19，24，则这组数据的平均数是，
中位数是，众数是17．故选：B
7．已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数和众数分别是（ ）
A．86，84 B．84.5，85 C．85，84 D．86.5，84
【答案】D
【解析】将样本数据按升序排列为79，84，84，84，86，87，93，95，可得平均数，
因为84出现了三次，且次数最多，所以众数为84.
故选：D
8．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为，则下列说法错误的是（ ）
A．这组数据的极差为 B．这组数据的众数为
C．这组数据的平均数为 D．这组数据的方差为
【答案】B
【解析】由数据得，极差为6，众数为3，9，所以A正确，B错误.
数据的平均数,所以C正确.
数据的方差，所以D正确.
故选：B.
9．一个射击运动员打靶6次的环数为9，5，7，8，6，7，下列四个结论：①这组数据的平均数为7；②这组数据的众数为7；③这组数据的中位数为7；④这组数据的方差为.以上四个结论正确的个数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】打靶6次的环数由小到大排列为5，6，7，7，8，9，
平均数为，众数为7，中位数为，①②③正确；
方差为，④正确.
故选：D
10．对于数据，下列说法错误的是（ ）
A．平均数为5 B．众数为6 C．极差为11 D．中位数为6
【答案】D
【解析】对于数据，众数为6，极差为，平均数为，
中位数为，所以选项ABC正确，选项D错误.
故选：D
11．有一组样本数据：，，，，，，，，则下列关于该组数据的数字特征中，数值最大的为（ ）
A．中位数 B．平均数
C．极差 D．众数
【答案】C
【解析】由题设数据，其中位数、众数为3，平均数，极差为，
所以最大的为极差.
故选：C
12．已知一组样本数据的平均值为10，则下列说法错误的是（ ）
A． B．众数为10
C．第70百分位数为10.5 D．方差为
【答案】C
【解析】由条件可知，，得，故A正确；
所有数据中10出现的次数最多，出现3次，所以众数为10，故B正确；
共 9个数据，则，所以第70百分位数为第7个数据，为11，故C错误；
方差，故D正确.
故选：C
题组六 频率直方图
1．某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，这批用户问卷的得分不低于80分的份数为（ ）
A．20 B．30 C．35 D．40
【答案】B
【解析】由图可得这批用户问卷的得分不低于80分的频率为，
故这批用户问卷的得分不低于80分的份数为：，
故选：B
2．某厂对一批产品进行抽样检测，如图所示的是抽检产品净重(单位:克)的频率分布直方图，样本数据分组为.若这批产品有200个，估计其中净重大于或等于80克的个数是（ ）
A．110 B．140 C．150 D．90
【答案】B
【解析】由频率分布直方图，可得净重大于或等于80克的频率为，
所以净重大于或等于80克的个数为个.
故选：B.
3．某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在内的学生人数为（ ）

A．300 B．400 C．600 D．1200
【答案】B
【解析】由频率分布直方图可得，，
解得，
所以成绩在内的学生人数为．
故选：B．
4．某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为（ ）
A．270 B．240 C．180 D．150
【答案】B
【解析】，解得，
故物理成绩大于等于60分的人数为.
故选：B.
5．某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图：
则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（ ）
A．20 B．30 C．35 D．40
【答案】D
【解析】由条形图得合唱人数为70，由饼状图得合唱人数占比，
因此选取的总人数为，
由饼状图得演讲及舞蹈人数和占比为，
人数和为，
由条形图得演讲人数为30，所以舞蹈人数为40.
故选：D.
6．从某高中高三年级1000名随机选取100名学生一次数学统测测试成绩，分为6组：，，，，，，绘制了频率分布直方图如图所示，按此图估计，则高三年级全体学生中，成绩在区间内的学生有（ ）
A．600名 B．650名 C．60名 D．65名
【答案】B
【解析】由题意可知每组的频率依次为：，
可知成绩在区间内的频率为，人数为.
故选：B.
7．某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据 .
【答案】
【解析】样本中分数低于60分的有15人，属于区间，，由于学生中随机抽取了100名，
因此分数在，的频数为，因此这两个区间内的频率和为，
设区间的频率为，则，解得.
故答案为：.
8．已知某校高一年级1000人，为普及航天知识，开展了航天知识竞赛．将成绩（单位：分）分成6组，绘制成频率分布直方图，如图所示：则成绩在分的有 人．
【答案】
【解析】因为成绩在分的频率为，
所以成绩在分的有人.
故答案为：
9．某品牌电动汽车公司为了解车主使用电动车辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行抽样分析，得出这100位车主每人在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的频率分布直方图如图，则 ．
【答案】0.010
【解析】由，得．
故选：
10．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则的值为 ．

【答案】
【解析】
由频率直方图可得，支出在内的频率为，
所以有
故答案为：.
11．某校60名同学数学竞赛的成绩（满分：100分）均在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，若从这60名参赛者中随机选取1人，试估计其成绩在的概率为 ．
【答案】0.05
【解析】由图可知，，解得，
成绩在的频率为，以频率为概率估计概率为0.05．
故答案为：0.05
12．某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组：.抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示.则实数 .这1000名学生阅读古典名著的时间不少于8小时的人数为 .
【答案】 /
【解析】根据频率分布直方图的几何意义，坐标系内的所有矩形的高度之和乘以组距为定值1，
所以，得，
阅读时间不少于小时的人数为.
故答案为：①，②.
题组七 频率直方图中特征数
1．学校为了解全校1800名学生的身体肥胖情况，随机抽取了100名学生的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图，如图所示.则下列说法错误的是（ ）

A．
B．估计样本的中位数为23
C．估计样本的众数为22
D．估计全校学生BMI值落在区间的人数为36人
【答案】D
【解析】对A，由题意，，解得，故A正确；
对B，区间的频率分别为，
因为，，故中位数位于内.
设中位数为，则，解得，故B正确；
对C，由直方图可得估计这组数据的众数为，故C正确；
对D，由直方图可得的频率为，
故估计全校学生BMI值落在区间的人数为，故D错误.
故选：D
2．某学校为了调查高一年级学生期中物理考试的情况，随机选取了100名学生成绩，绘制了如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．平均数的估计值为70（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表）
B．第60百分位数估计值为71
C．众数的估计值为75
D．随机选取这100名学生中只有25名学生物理成绩不低于80分
【答案】C
【解析】对于A中，根据频率分布直方图中的数据，可得数据的平均数为：
，所以A不正确；
对于B中，由前三个矩形的面积为，
前四个矩形的面积为，
所以数据的60百分位数落在第4个矩形，设为，则，所以B错误；
对于C中，根据频率分布直方图中的数据，可得数据的众数为，所以C正确；
对于D中，根据频率分布直方图，可得位于的频率为，
则，所以随机选取这100名学生中只有30名学生物理成绩不低于80分，所以D错误.
故选：C.
3．某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（ ）

A． B．车速的众数估计值是70
C．车速的平均数估计值大于其中位数的估计值 D．车速的中位数估计值是62.5
【答案】D
【解析】对于A，由，得，A错误；
对于B，车速在内的频率最大，车速的众数估计值是65，B错误；
对于C，车速的平均数为，
车速的中位数，则，解得，C错误；
对于D，车速的中位数估计值是62.5.
故选：D
题组八 特征数的规律
1．设一组样本数据的方差为4，则数据的方差为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【解析】因为的方差为，
所以根据方差的性质得：
数据，， ，的方差为.
故选：C．
2．有一组样本数据，，，，的平均数为3，方差为3，则，，，，，3的方差为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知：，
所以.
故选：C
3．已知一组数据的方差是，那么另一组数据，，，，的方差是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】D
【解析】由题意可得：，，，，的方差是.
故选：D.
4．数据的平均数为，方差，现在增加两个数据和，则这组新数据的标准差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】数据的平均数为，方差
即，
则数据，，的平均数为
方差
标准差为．
故选B．
5．若数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设数据，，，的平均数为，
则方差，
即；
则数据，，，的平均数为，
则方差，
故选：C.
6．设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据，，，，的平均数和方差分别为（ ）
A．4，14 B．4，16 C．5，14 D．5，16
【答案】C
【解析】由样本数据的平均数为，方差为，得，，
则，，
因此数据，的平均数为
，
方差为
.
故选：C
题组九 统计的解答题
1．为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了m名学生作为样本，将他们每周的运动时长（单位：小时）分成，，，，，六组．根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在内的样本学生比在内的学生少10人．
(1)求a，m的值；
(2)求样本学生运动时长的中位数；
(3)若在，，内的样本学生运动时长的平均数分别为6，10，14，方差分别为，，，求在内的样本学生运动时长的方差．
【答案】(1)，
(2)11.2小时
(3)
【解析】（1）由图可知，解得，
在样本中，运动时长在内的频率为，
运动时长在内的频率为，
则，解得；
（2）因为，
，
所以样本学生运动时长的中位数在内．设中位数为x小时，
则，解得，
即样本学生运动时长的中位数为11.2小时；
（3）由图可知，运动时长在，，内的样本学生的频率分别为0.2，0.25，0.15，
则在内的样本学生运动时长的平均数为，
因为在，，内的样本学生运动时长的方差分别为，，，
所以在内的样本学生运动时长的方差
．
2．为了了解小学生的体能情况，某机构抽取了某校部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图（如图）（每个分组包括左端点，不包括右端点）.已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.15，0.3，0.4，第一小组的频数为9.

(1)求第四小组的频率；
(2)参加这次测试的学生有多少人？
(3)若次数在60次以上（含60次）为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少.
【答案】(1)0.15
(2)60
(3)55%.
【解析】（1）由累积频率为1知，第四小组的频率为.
（2）设参加这次测试的学生有x人，则，
，即参加这次测试的学生有60人.
（3）达标率为，估计该年级学生跳绳测试的达标率为55%.
3．某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户，根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，…，.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在，，中抽取20人，则评分在内的用户应抽取多少人？
【答案】(1)；
(2)2人
【解析】（1）由，
解得；
（2）由频率分布直方图可知，评分在，，内的用户人数之比为，
所以评分在内的用户应抽取（人）.
4．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数；
(2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？
(3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差．
【答案】(1)，平均数约为74
(2)6人
(3)，36
【解析】（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得，
解得，
样本成绩的平均数约为．
（2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人），
其中样本答卷成绩在的市民人数为，
用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）．
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
所以总平均数，
总方差.
5．“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，特举办数学竞赛活动，在活动中，共有19道题.从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的上四分位数；
(2)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.
【答案】(1)；上四分位数为84.
(2)总平均数；总方差.
【解析】（1）因为频率之和为1，所以，
解得.
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第分位数为，则，
由，得，
所以样本成绩的第分位数为84.
综上，；上四分位数为84.
（2）由图可知，成绩在的人数为，
成绩在的人数为，
故这两组成绩的总平均数，
总方差.
综上，总平均数；总方差.
6．为深化共享单车监管工作，某市交通管理部门随机选取100名市民开展共享单车使用满意度问卷调查．按照百分制评分标准，将这100份问卷的结果分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]6组，并作出如图所示的频率分布直方图．
(1)估计本次问卷调查评分的众数和中位数；
(2)估计本次问卷调查评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）．
【答案】(1)75，75
(2)74
【解析】（1）众数为．
∵，解得．
设中位数为，则前3组频率之和为，
又前4组频率之和为，
∴中位数在第4组，由，可得，故中位数为75；
（2）平均数为．
7．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示.
(1)估计此批棉花纤维长度的众数；
(2)估计此批棉花纤维长度的下四分位数和中位数；（保留整数）
(3)估计此批棉花纤维长度的平均数.（保留整数）
【答案】(1)
(2)下四分位数约为，中位数约为
(3)
【解析】（1）由图可知，区间对应的矩形最高，所以估计此批棉花纤维长度的众数为；
（2）因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和，
所以估计此批棉花纤维长度的下四分位数在区间，且为，
因为前三组的频率之和，前四组的频率之和，
所以估计此批棉花纤维长度的中位数在区间，且为；
（3）估计此批棉花纤维长度的平均数为
.
8．为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成，，，六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：
(1)求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)请根据频率分布直方图，估计样本的众数、第八十百分位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）
【答案】(1)，频率分布直方图见解析
(2)75；84；71
【解析】（1）设第四组的频率为，则由频率分布直方图可得：
，解得.
故可补全频率分布直方图为：
（2）由频率分布直方图，可估计样本众数为：；
设样本的第八十百分位数为，则，解得；
样本的平均数为：.
9．每年七月，八月是兰州最热，用电量比较高的月份.下图是兰州市城关区某小区住户八月份用电量（单位：度）的频率分布直方图，其分组区间依次为：.
(1)求直方图中的；
(2)根据直方图估计八月份用电量的众数和中位数；
(3)在用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则用电量在的用户应抽取多少户？
【答案】(1)
(2)250，244
(3)5
【解析】（1）由，解得；
（2）由小矩形最高的一组是，所以众数为；
所以，解得，
故月平均用电量中位数的估计值为244度；
（3）用电量为的频率
用电量为的频率
用电量为的频率
用电量为的频率
则月均用电量在内应抽取（户）
10．某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩均为整数分成六组：后得到如图所示频率分布直方图．
(1)求的值；
(2)根据频率分布直方图，求众数和中位数；
(3)用比例分配的分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，求在分数段抽取的人数；
【答案】(1)
(2)众数为75，中位数
(3)11
【解析】（1）由题意可得，
解得；
（2）根据频率分布直方图可知，分数段的频率最高，因此众数为75，
设中位数为，则，
解得；
（3）因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为．
又在分数段共有（人），
因此在分数段抽取的人数是（人）．

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