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16.2 整式的乘法 讲义
知识点1：单项式与单项式相乘
（1）单项式与单项式相乘的法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）拓展：对于三个及以上的单项式相乘，单项式与单项式相乘的法则同样适用．
知识点2：单项式与多项式相乘
（1）单项式与多项式相乘的法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）实质上是利用分配律将其转化为几个单项式相乘的和的形式．
（3）单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，合并前，其项数与因式中多项式的项数相同．
知识点3：多项式与多项式相乘
（1）多项式与多项式相乘的法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．
知识点4：同底数幂的除法
同底数幂的除法的性质
（1）文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
（2）符号语言：（a≠0，m，n都是正整数，m>n）
（3）推导过程：当a≠0，m，n都是正整数，m>n时，
∵，
∴．
知识点5：零指数幂
同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m=a0．
于是规定：a0=1（a≠0）．
文字语言：任何不等于0的数的0次幂都等于1．
知识点6：单项式除以单项式
单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
知识点7：多项式除以单项式
多项式除以单项式的法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
（1）单项式与单项式相乘
①积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．
②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．
（2）单项式与多项式相乘
①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．
②计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．
③对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．
（3）多项式与多项式相乘
①运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．
②多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．
（4）零指数幂的性质
①底数a不等于0，若a=0，则零的零次幂没有意义．
②底数a可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等．
③a0=1中，a≠0是极易忽略的问题，也易误认为a0=0．
（5）多项式除以单项式
①多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．
②多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．
③多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．
题型01 单项式乘单项式
（2025 碑林区校级模拟）计算：2xy2 （﹣3x2y）＝（　　）
A．﹣6x2y2 B．﹣6x3y3 C．6x2y2 D．6x3y3
【答案】B
【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可．
【解答】解：2xy2 （﹣3x2y）＝﹣6x3y3，
故选：B．
【变式练1】　（2025 白城模拟）计算3a a2的结果是（　　）
A．3a2 B．3a3 C．4a2 D．4a3
【变式练2】　（2025春 普宁市月考）计算2x 3x3的结果是（　　）
A．5x3 B．6x3 C．5x4 D．6x4
【变式练3】　（2025春 盐都区期末）计算：3x2y （﹣2y）＝　　 ．
题型02 单项式乘多项式
（2025春 阳山县期末）计算：﹣a（5a﹣1）＝　　 ．
【答案】﹣5a2+a．
【分析】根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣5a2+a．
故答案为：﹣5a2+a．
【变式练1】　（2025春 福田区期末）计算：2m（m+1）＝ 　　 ．
【变式练2】　（2024秋 漳州期末）计算：x（x+2）＝　　 ．
【变式练3】　（2025春 平和县校级月考）计算： 　　 ．
题型03 多项式乘多项式
（2025春 仪征市月考）计算：（x+2）（x﹣5）＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算即可求解．
【解答】解：（x+2）（x﹣5）
＝x2﹣5x+2x﹣10
＝x2﹣3x﹣10．
故答案为：x2﹣3x﹣10．
【变式练1】　（2025 杏花岭区二模）计算：（a+2）（a﹣3）＝　　 ；
【变式练2】　（2024秋 湛江校级期末）计算：（3a+2b）（a﹣b）+（2a﹣b）（a+b）＝ 　　 ．
【变式练3】　（2023秋 普陀区期末）计算：（x﹣5y）（2x+y）＝　　 ．
题型04 多项式乘多项式展开式中不含某项
（2024春 武侯区校级期中）（x2+ax+3）（x+4）的展开式中不含x的一次项，则常数a的值为 　　 ．
【答案】
【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：因为多项式（x2+ax+3）（x+4）＝x3+（a+4）x2+（4a+3）x+12不含x的一次项，
∴4a+3＝0，
解得a．
故答案为：．
【变式练1】　（2025春 玄武区校级月考）若多项式（x+a）（3x﹣2）不含x的一次项，则a＝　　 ．
【变式练2】　（2025春 仪征市期末）已知（x﹣a）（﹣4x+1）的展开式中不含x项，则常数a的值为　　 ．
【变式练3】　（2025春 青羊区校级月考）已知（2x2+mx）（x﹣1）展开的结果中不含x2项，则m的值为　　 ．
题型05 同底数幂的除法
（2024秋 孝南区期末）若5m＝8，5n＝4，则5m﹣n＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】逆用同底数幂的除法进行计算即可．
【解答】解：∵5m＝8，5n＝4，
∴5m﹣n＝5m÷5n＝8÷4＝2，
故答案为：2．
【变式练1】　（2025春 仪征市期末）若4x＝9，4y＝3，则4x﹣y的值＝　　 ．
【变式练2】　（2025春 鼓楼区期末）已知xm＝6，xn＝3，则xm﹣2n的值为 　　 ．
【变式练3】　（2025春 淮安期末）计算：a10÷a2＝ 　　 （a≠0）．
题型06 单项式除以单项式
（2025春 武侯区校级月考）化简：9m6÷3m3＝　　 ．
【变式练1】　（2024秋 城西区校级期末）计算的结果是　　 ．
【变式练2】　（2025春 耒阳市校级期末）计算：12a5b3÷3ab＝ 　　 ．
【变式练3】　（2025春 铁西区期末）x5y÷x2＝ 　　 ．
题型07 多项式除以单项式
（2025春 余江区期末）计算：（3a2+2a）÷a＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（3a2+2a）÷a
＝3a2÷a+2a÷a
＝3a+2．
故答案为：3a+2．
【变式练1】　（2025春 宁化县期末）计算：（ab2﹣b）÷b＝　　 ．
【变式练2】　（2024秋 文峰区期末）（3a2﹣6ab）÷3a＝　　 ．
【变式练3】　（2024秋 闵行区期末）计算：（10a3﹣12a2+2a）÷2a＝　　 ．中小学教育资源及组卷应用平台
16.2 整式的乘法 讲义
知识点1：单项式与单项式相乘
（1）单项式与单项式相乘的法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）拓展：对于三个及以上的单项式相乘，单项式与单项式相乘的法则同样适用．
知识点2：单项式与多项式相乘
（1）单项式与多项式相乘的法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）实质上是利用分配律将其转化为几个单项式相乘的和的形式．
（3）单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，合并前，其项数与因式中多项式的项数相同．
知识点3：多项式与多项式相乘
（1）多项式与多项式相乘的法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．
知识点4：同底数幂的除法
同底数幂的除法的性质
（1）文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
（2）符号语言：（a≠0，m，n都是正整数，m>n）
（3）推导过程：当a≠0，m，n都是正整数，m>n时，
∵，
∴．
知识点5：零指数幂
同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m=a0．
于是规定：a0=1（a≠0）．
文字语言：任何不等于0的数的0次幂都等于1．
知识点6：单项式除以单项式
单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
知识点7：多项式除以单项式
多项式除以单项式的法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
（1）单项式与单项式相乘
①积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．
②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．
（2）单项式与多项式相乘
①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．
②计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．
③对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．
（3）多项式与多项式相乘
①运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．
②多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．
（4）零指数幂的性质
①底数a不等于0，若a=0，则零的零次幂没有意义．
②底数a可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等．
③a0=1中，a≠0是极易忽略的问题，也易误认为a0=0．
（5）多项式除以单项式
①多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．
②多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．
③多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．
题型01 单项式乘单项式
（2025 碑林区校级模拟）计算：2xy2 （﹣3x2y）＝（　　）
A．﹣6x2y2 B．﹣6x3y3 C．6x2y2 D．6x3y3
【答案】B
【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可．
【解答】解：2xy2 （﹣3x2y）＝﹣6x3y3，
故选：B．
【变式练1】　（2025 白城模拟）计算3a a2的结果是（　　）
A．3a2 B．3a3 C．4a2 D．4a3
【答案】B
【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可．
【解答】解：3a a2＝3a3，
故选：B．
【变式练2】　（2025春 普宁市月考）计算2x 3x3的结果是（　　）
A．5x3 B．6x3 C．5x4 D．6x4
【答案】D
【分析】分别计算系数部分和字母部分的乘积即可．
【解答】解：根据单项式的乘法运算法则可得：
2x 3x3＝6x4，
故选：D．
【变式练3】　（2025春 盐都区期末）计算：3x2y （﹣2y）＝　　 ．
【答案】﹣6x2y2．
【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可．
【解答】解：3x2y （﹣2y）＝﹣6x2y2，
故答案为：﹣6x2y2．
题型02 单项式乘多项式
（2025春 阳山县期末）计算：﹣a（5a﹣1）＝　　 ．
【答案】﹣5a2+a．
【分析】根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣5a2+a．
故答案为：﹣5a2+a．
【变式练1】　（2025春 福田区期末）计算：2m（m+1）＝ 　　 ．
【答案】2m2+2m．
【分析】根据单项式乘多项式法则计算即可．
【解答】解：2m（m+1）＝2m2+2m，
故答案为：2m2+2m．
【变式练2】　（2024秋 漳州期末）计算：x（x+2）＝　　 ．
【答案】x2+2x．
【分析】根据单项式乘多项式法则计算即可．
【解答】解：根据单项式乘多项式法则可得：
x（x+2）＝x2+2x，
故答案为：x2+2x．
【变式练3】　（2025春 平和县校级月考）计算： 　　 ．
【答案】﹣x3y+4x2y3．
【分析】利用单项式乘多项式法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣x3y+4x2y3，
故答案为：﹣x3y+4x2y3．
题型03 多项式乘多项式
（2025春 仪征市月考）计算：（x+2）（x﹣5）＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算即可求解．
【解答】解：（x+2）（x﹣5）
＝x2﹣5x+2x﹣10
＝x2﹣3x﹣10．
故答案为：x2﹣3x﹣10．
【变式练1】　（2025 杏花岭区二模）计算：（a+2）（a﹣3）＝　　 ；
【答案】见试题解答内容
【分析】根据整式的运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝a2﹣a﹣6，
故答案为：a2﹣a﹣6
【变式练2】　（2024秋 湛江校级期末）计算：（3a+2b）（a﹣b）+（2a﹣b）（a+b）＝ 　　 ．
【答案】5a2﹣3b2．
【分析】利用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝3a2﹣3ab+2ab﹣2b2+2a2+2ab﹣ab﹣b2
＝5a2﹣3b2，
故答案为：5a2﹣3b2．
【变式练3】　（2023秋 普陀区期末）计算：（x﹣5y）（2x+y）＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，根据多项式乘多项式的法则计算即可．
【解答】解：（x﹣5y）（2x+y）
＝2x2+xy﹣10xy﹣5y2
＝2x2﹣9xy﹣5y2．
故答案为：2x2﹣9xy﹣5y2．
题型04 多项式乘多项式展开式中不含某项
（2024春 武侯区校级期中）（x2+ax+3）（x+4）的展开式中不含x的一次项，则常数a的值为 　　 ．
【答案】
【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：因为多项式（x2+ax+3）（x+4）＝x3+（a+4）x2+（4a+3）x+12不含x的一次项，
∴4a+3＝0，
解得a．
故答案为：．
【变式练1】　（2025春 玄武区校级月考）若多项式（x+a）（3x﹣2）不含x的一次项，则a＝　　 ．
【答案】．
【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式（x+a）（3x﹣2）＝3x2+（3a﹣2）x﹣2a不含x的一次项，
∴3a﹣2＝0，
解得a．
故答案为：．
【变式练2】　（2025春 仪征市期末）已知（x﹣a）（﹣4x+1）的展开式中不含x项，则常数a的值为　　 ．
【答案】．
【分析】先把多项式展开后合并，然后令x项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式（x﹣a）（﹣4x+1）＝﹣4x2+（4a+1）x﹣a不含x项，
∴4a+1＝0，
解得a．
故答案为：．
【变式练3】　（2025春 青羊区校级月考）已知（2x2+mx）（x﹣1）展开的结果中不含x2项，则m的值为　　 ．
【答案】2．
【分析】先把多项式展开后合并，然后令x2项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式（2x2+mx）（x﹣1）＝2x3+（m﹣2）x2﹣mx不含x2项，
∴m﹣2＝0，
解得m＝2．
故答案为：2．
题型05 同底数幂的除法
（2024秋 孝南区期末）若5m＝8，5n＝4，则5m﹣n＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】逆用同底数幂的除法进行计算即可．
【解答】解：∵5m＝8，5n＝4，
∴5m﹣n＝5m÷5n＝8÷4＝2，
故答案为：2．
【变式练1】　（2025春 仪征市期末）若4x＝9，4y＝3，则4x﹣y的值＝　　 ．
【答案】3．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．
【解答】解：∵4x＝9，4y＝3，
∴4x﹣y＝4x÷4y＝9÷3＝3，
故答案为：3．
【变式练2】　（2025春 鼓楼区期末）已知xm＝6，xn＝3，则xm﹣2n的值为 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据同底数指数幂的除法和幂的乘方可得xm﹣2n＝xm÷（xn）2，将xm＝6，xn＝3代入即可求解．
【解答】解：xm﹣2n
＝xm÷x2n
＝xm÷（xn）2，
∵xm＝6，xn＝3，
∴xm﹣2n＝6÷32，
故答案为：．
【变式练3】　（2025春 淮安期末）计算：a10÷a2＝ 　　 （a≠0）．
【答案】a8．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．
【解答】解：a10÷a2＝a8（a≠0），
故答案为：a8．
题型06 单项式除以单项式
（2025春 武侯区校级月考）化简：9m6÷3m3＝　　 ．
【答案】3m3．
【分析】单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
【解答】解：根据单项式与单项式的除法运算法则可得：
9m6÷3m3＝3m3．
故答案为：3m3．
【变式练1】　（2024秋 城西区校级期末）计算的结果是　　 ．
【答案】﹣16x5y2．
【分析】先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据单项式除以单项式的法则计算即可．
【解答】解：16x5y2，
故答案为：﹣16x5y2．
【变式练2】　（2025春 耒阳市校级期末）计算：12a5b3÷3ab＝ 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算即可．
【解答】解：12a5b3÷3ab＝4a4b2，
故答案为：4a4b2．
【变式练3】　（2025春 铁西区期末）x5y÷x2＝ 　　 ．
【答案】x3y．
【分析】利用单项式除以单项式法则计算即可．
【解答】解：原式＝x3y，
故答案为：x3y．
题型07 多项式除以单项式
（2025春 余江区期末）计算：（3a2+2a）÷a＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（3a2+2a）÷a
＝3a2÷a+2a÷a
＝3a+2．
故答案为：3a+2．
【变式练1】　（2025春 宁化县期末）计算：（ab2﹣b）÷b＝　　 ．
【答案】ab﹣1．
【分析】根据多项式除以单项式法则计算即可．
【解答】解：（ab2﹣b）÷b＝ab﹣1，
故答案为：ab﹣1．
【变式练2】　（2024秋 文峰区期末）（3a2﹣6ab）÷3a＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（3a2﹣6ab）÷3a
＝3a2÷3a﹣6ab÷3a
＝a﹣2b．
故答案为：a﹣2b．
【变式练3】　（2024秋 闵行区期末）计算：（10a3﹣12a2+2a）÷2a＝　　 ．
【答案】5a2﹣6a+1．
【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可．
【解答】解：（10a3﹣12a2+2a）÷2a
＝10a3÷2a﹣12a2÷2a+2a÷2a
＝5a2﹣6a+1，
故答案为：5a2﹣6a+1．

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