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17.1 用提公因式法分解因式 讲义
知识点1：因式分解
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．
可以看出，因式分解和整式乘法是方向相反的变形．
（1）因式分解的对象：一个多项式．
（2）因式分解的结果：几个整式的积．
（3）因式分解的程度：每一个因式都不能再分解．
（4）因式分解的本质：一种恒等变形，即只变形，不变值．
知识点2：用提公因式法分解因式
1．公因式：一个多项式各项都含有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式．
2．公因式的确定：
（1）定系数：取各项系数的最大公因数．
（2）定字母：取各项中的相同字母．
（3）定指数：取相同字母的最低指数．
3．提公因式法：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．
4．提公因式法分解因式的一般步骤：
（1）确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；
（2）提取公因式：依据为乘法分配律
（3）确定另一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因数；
（4）写成乘积的形式：相同因式的乘积写成幂的形式．
1．因式分解
（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；
（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；
（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．
2．提公因式法
（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．
（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．
（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．
题型01 因式分解的意义
（2025春 枣强县月考）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．3x+3y﹣3＝3（x+y）
B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
C．（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4
D．x2+2xy+y2＝（x+y）2
【答案】D
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此进行判断即可．
【解答】解：3x+3y﹣3＝3（x+y﹣1），则A不符合题意，
x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x中等号右边不是积的形式，则B不符合题意，
（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4是乘法运算，则C不符合题意，
x2+2xy+y2＝（x+y）2符合因式分解的定义，则D符合题意，
故选：D．
【变式练1】　（2025春 成华区校级期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
B．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
C．2n2﹣mn﹣n＝2n（n﹣m﹣1）
D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
【变式练2】　（2025春 建平县期末）下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．8a2b3c＝2a2 2b3 2c B．x2y+xy2+xy＝xy（x+y）
C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 D．3x3+27x＝3x（x2+9）
【变式练3】　（2025春 成都期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．ab+ac+d＝a（b+c）+d
C．a2+2ab+b2＝（a+b）2 D．12ab2＝3a 4b
题型02 公因式
（2025春 礼泉县期末）多项式6ab2﹣cb的公因式是（　　）
A．b B．ab C．b2 D．c
【答案】A
【分析】根据公因式的定义确定即可．
【解答】解：多项式6ab2﹣cb的公因式是b，
故选：A．
【变式练1】　（2025春 渭城区期末）多项式xy﹣x的公因式是（　　）
A．x B．x﹣1 C．y D．xy
【变式练2】　（2025春 永寿县校级月考）多项式8a3b2+4a3bc各项的公因式是（　　）
A．4a3b B．a3b C．4a3 D．﹣a3
【变式练3】　（2025春 乾县校级期末）在多项式6x2y﹣xb2+xc中，各项的公因式是（　　）
A．y B．6x C．x2 D．x
题型03 用提公因式法因式分解
（2025 南关区校级四模）因式分解：3ab﹣3a＝　　 ．
【答案】3a（b﹣1）．
【分析】先确定公因式，再提取即可．
【解答】解：3ab﹣3a＝3a（b﹣1），故答案为：3a（b﹣1）．
【变式练1】　（2025 大庆）因式分解：x2﹣x＝　　 ．
【变式练2】　（2025 亭湖区校级二模）分解因式：2ab+4a＝　　 ．
【变式练3】　（2025春 三水区校级月考）因式分解：7a2﹣21ab＝　　 ．
题型04 利用因式分解简化运算
（2025春 高唐县校级月考）计算（﹣2）1997+（﹣2）1998的结果是　　 ．
【答案】21997．
【分析】先提公因式（﹣2）1997，再进行计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣2）1997×[1+（﹣2）]
＝（﹣2）1997×（﹣1）
＝21997．
故答案为：21997．
【变式练1】　（2024秋 吉首市校级月考）计算（﹣3）2001+（﹣3）2002结果为（　　）
A．3 B．2×32001 C．﹣32001 D．32002
【变式练2】　（2024秋 九台区期末）计算（﹣2）2016+（﹣2）2017所得结果是（　　）
A．22016 B．﹣24033 C．﹣2 D．﹣22016
【变式练3】　（2024秋 陆丰市期中）计算（﹣2）2023+（﹣2）2024的结果是（　　）
A．﹣22023 B．22023 C．﹣22021 D．22002
题型05 因式分解的应用
（2025春 灵武市期末）如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（　　）
A．60 B．30 C．24 D．15
【答案】B
【分析】先由题意得到a+b＝5，ab＝6，再将a2b+ab2提公因式分解因式，将a+b＝5，ab＝6代入求解即可得到答案．
【解答】解：由条件可知a+b＝5，ab＝6，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝6×5
＝30，
故选：B．
【变式练1】　（2025春 山亭区期末）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　）
A．24 B．70 C．40 D．140
【变式练2】　（2025春 湖州期末）一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为20，面积为24，则a2b+ab2的值为　　 ．
【变式练3】　（2025春 宁德期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式a3b+6a2b2+9ab3的值是 　　 ．中小学教育资源及组卷应用平台
17.1 用提公因式法分解因式 讲义
知识点1：因式分解
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．
可以看出，因式分解和整式乘法是方向相反的变形．
（1）因式分解的对象：一个多项式．
（2）因式分解的结果：几个整式的积．
（3）因式分解的程度：每一个因式都不能再分解．
（4）因式分解的本质：一种恒等变形，即只变形，不变值．
知识点2：用提公因式法分解因式
1．公因式：一个多项式各项都含有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式．
2．公因式的确定：
（1）定系数：取各项系数的最大公因数．
（2）定字母：取各项中的相同字母．
（3）定指数：取相同字母的最低指数．
3．提公因式法：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．
4．提公因式法分解因式的一般步骤：
（1）确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；
（2）提取公因式：依据为乘法分配律
（3）确定另一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因数；
（4）写成乘积的形式：相同因式的乘积写成幂的形式．
1．因式分解
（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；
（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；
（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．
2．提公因式法
（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．
（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．
（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．
题型01 因式分解的意义
（2025春 枣强县月考）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．3x+3y﹣3＝3（x+y）
B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
C．（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4
D．x2+2xy+y2＝（x+y）2
【答案】D
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此进行判断即可．
【解答】解：3x+3y﹣3＝3（x+y﹣1），则A不符合题意，
x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x中等号右边不是积的形式，则B不符合题意，
（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4是乘法运算，则C不符合题意，
x2+2xy+y2＝（x+y）2符合因式分解的定义，则D符合题意，
故选：D．
【变式练1】　（2025春 成华区校级期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
B．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
C．2n2﹣mn﹣n＝2n（n﹣m﹣1）
D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
【答案】D
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可．
【解答】解：（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9是乘法运算，则A不符合题意，
a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1中等号右边不是积的形式，则B不符合题意，
2n2﹣mn﹣n＝n（2n﹣m﹣1），则C不符合题意，
x（x﹣y）+y（y﹣x）＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2，则D符合题意，
故选：D．
【变式练2】　（2025春 建平县期末）下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．8a2b3c＝2a2 2b3 2c B．x2y+xy2+xy＝xy（x+y）
C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 D．3x3+27x＝3x（x2+9）
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可判断．
【解答】解：A、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
B、x2y+xy2+xy＝xy（x+y+1），不是因式分解，此项不符题意；
C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解，此项符合题意．
故选：D．
【变式练3】　（2025春 成都期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．ab+ac+d＝a（b+c）+d
C．a2+2ab+b2＝（a+b）2 D．12ab2＝3a 4b
【答案】C
【分析】运用因式分解的定义进行逐一辨别、求解．
【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是整式乘法，
∴选项A不符合题意；
∵ab+ac+d＝a（b+c）+d不是因式分解，
∴选项B不符合题意；
∵a2+2ab+b2＝（a+b）2是因式分解，
∴选项C符合题意；
∵12ab2＝3a 4b不是因式分解，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
题型02 公因式
（2025春 礼泉县期末）多项式6ab2﹣cb的公因式是（　　）
A．b B．ab C．b2 D．c
【答案】A
【分析】根据公因式的定义确定即可．
【解答】解：多项式6ab2﹣cb的公因式是b，
故选：A．
【变式练1】　（2025春 渭城区期末）多项式xy﹣x的公因式是（　　）
A．x B．x﹣1 C．y D．xy
【答案】A
【分析】根据公因式的定义解答即可．
【解答】解：多项式xy﹣x的公因式是x．
故选：A．
【变式练2】　（2025春 永寿县校级月考）多项式8a3b2+4a3bc各项的公因式是（　　）
A．4a3b B．a3b C．4a3 D．﹣a3
【答案】A
【分析】利用公因式的确定方法可得答案．
【解答】解：这三项系数的最大公约数是4，三项的字母部分都含有字母a、b，其中a的最低次数是3，b的最低次数是1，因此多项式8a3b2+4a3bc各项的公因式是4a3b．
故选：A．
【变式练3】　（2025春 乾县校级期末）在多项式6x2y﹣xb2+xc中，各项的公因式是（　　）
A．y B．6x C．x2 D．x
【答案】D
【分析】根据公因式的定义确定即可．
【解答】解：多项式6x2y﹣xb2+xc中各项的公因式是x，
故选：D．
题型03 用提公因式法因式分解
（2025 南关区校级四模）因式分解：3ab﹣3a＝　　 ．
【答案】3a（b﹣1）．
【分析】先确定公因式，再提取即可．
【解答】解：3ab﹣3a＝3a（b﹣1），故答案为：3a（b﹣1）．
【变式练1】　（2025 大庆）因式分解：x2﹣x＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】提取公因式x即可．
【解答】解：x2﹣x＝x（x﹣1）．
故答案为：x（x﹣1）．
【变式练2】　（2025 亭湖区校级二模）分解因式：2ab+4a＝　　 ．
【答案】2a（b+2）．
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（b+2），
故答案为：2a（b+2）．
【变式练3】　（2025春 三水区校级月考）因式分解：7a2﹣21ab＝　　 ．
【答案】7a（a﹣3b）．
【分析】先确定公因式，再提取即可．
【解答】解：7a2﹣21ab＝7a（a﹣3b），故答案为：7a（a﹣3b）．
题型04 利用因式分解简化运算
（2025春 高唐县校级月考）计算（﹣2）1997+（﹣2）1998的结果是　　 ．
【答案】21997．
【分析】先提公因式（﹣2）1997，再进行计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣2）1997×[1+（﹣2）]
＝（﹣2）1997×（﹣1）
＝21997．
故答案为：21997．
【变式练1】　（2024秋 吉首市校级月考）计算（﹣3）2001+（﹣3）2002结果为（　　）
A．3 B．2×32001 C．﹣32001 D．32002
【答案】B
【分析】应将（﹣3）2002改写成（﹣3）×（﹣3）2001，再与（﹣3）2001相加．
【解答】解：（﹣3）2001+（﹣3）2002＝（﹣3）2001+（﹣3）×（﹣3）2001＝（﹣2）×（﹣3）2001＝2×32001．
故选：B．
【变式练2】　（2024秋 九台区期末）计算（﹣2）2016+（﹣2）2017所得结果是（　　）
A．22016 B．﹣24033 C．﹣2 D．﹣22016
【答案】D
【分析】利用提公因式法因式分解，计算即可．
【解答】解：（﹣2）2016+（﹣2）2017
＝（﹣2）2016+（﹣2）2016×（﹣2）
＝（﹣2）2016（1﹣2）
＝﹣22016，
故选：D．
【变式练3】　（2024秋 陆丰市期中）计算（﹣2）2023+（﹣2）2024的结果是（　　）
A．﹣22023 B．22023 C．﹣22021 D．22002
【答案】B
【分析】先提公因式，再计算即可．
【解答】解：（﹣2）2023+（﹣2）2024
＝（﹣2）2023×[1+（﹣2）]
＝（﹣2）2023×（﹣1）
＝﹣22023×（﹣1）
＝22023，
故选：B．
题型05 因式分解的应用
（2025春 灵武市期末）如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（　　）
A．60 B．30 C．24 D．15
【答案】B
【分析】先由题意得到a+b＝5，ab＝6，再将a2b+ab2提公因式分解因式，将a+b＝5，ab＝6代入求解即可得到答案．
【解答】解：由条件可知a+b＝5，ab＝6，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝6×5
＝30，
故选：B．
【变式练1】　（2025春 山亭区期末）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　）
A．24 B．70 C．40 D．140
【答案】B
【分析】根据长方形的周长、面积公式得出2（a+b）＝14，ab＝10，再利用提公因式法将a2b+ab2分解因式，即可代入求值．
【解答】解：由题意得，2（a+b）＝14，ab＝10，
∴a+b＝7，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×7＝70，
故选：B．
【变式练2】　（2025春 湖州期末）一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为20，面积为24，则a2b+ab2的值为　　 ．
【答案】240．
【分析】根据已知条件长方形的长与宽之和即a+b＝10，长与宽的积为ab＝24，再将所给的代数式提取公因式ab，然后将a+b＝10与ab＝24代入即可．
【解答】解：由条件可知2（a+b）＝20，ab＝24，
∴a+b＝10，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝24×10＝240，
故答案为：240．
【变式练3】　（2025春 宁德期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式a3b+6a2b2+9ab3的值是 　　 ．
【答案】84．
【分析】根据大长方形的周长和面积，得出a+3b＝6，，再将代数式a3b+6a2b2+9ab3变形为ab（a+3b）2，即可求解．
【解答】解：由条件可知2（a+3b）＝12，3ab＝7，
∴a+3b＝6，，
∴，
故答案为：84．

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