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18.1 分式及其基本性质 讲义
知识点1：分式的概念
分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．
知识点2：分式有意义的条件
分式有意义的条件：分式的分母表示除数，因为除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式有意义．
知识点3：分式的值为0的条件
分式的值为0的条件：
当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0，即当A=0且B≠0时，．
知识点4：分式的基本性质
1．（1）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式．
（3）用途：进行分式的恒等变形．
（4）注意事项
①分式的分子与分母要同时做“乘法”或“除法”运算；
②乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0的整式．
2．分式的符号法则：
分式的分子、分母与分式本身，这三处的符号，同时改变两处，分式的值不变．
用式子表示为：
或．
知识点5：分式的约分、最简分式
1．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分．
2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．
3．约分的一般方法
（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式．
（2）若分子或分母是多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去．
知识点6：分式的通分
1．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．
2．最简公分母：
通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫作最简公分母．
3．确定最简公分母的一般方法：
（1）分母为单项式
①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
②取单项式中每个出现的字母的最高次数作为最简公分母中该字母的次数；
③取单独出现的字母及其指数．
（2）分母为多项式
①若有系数，求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
②对每个分母因式分解；
③找出出现的每个因式的最高次幂，它们的积为最简公分母．
1．一个式子是分式需满足的三个条件：
（1）是形如的式子；
（2）A，B为整式；
（3）分母B中含有字母．三个条件缺一不可．
2．分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．
3．分式的基本性质：
（1）基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件．
（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式．
（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C．
4．约分和通分的相同点和不同点
约分 通分
不同点 分式的个数 1个 多于1个
变形过程
关键环节 确定分子、分母的公因式 确定几个分式的的最简公分母
目的 将分式化为最简分式或整式 把几个异分母的分式化为同分母的分式
相 同 点 依据 分式的基本性质
分式的值 不变
题型01 判定是否为分式
（2025春 兰考县校级月考）在，，，，分式的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据分式定义，逐一判断所给式子是否为分式．
【解答】解：根据：一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子叫做分式进行判断如下：
，其中A＝1，B＝b，B是含有字母的整式，且b≠0，符合分式定义，所以是分式；
，因为π是一个常数（圆周率），不是字母，所以是整式，不是分式；
，A＝3，B＝x+y，B是含有字母的整式，且x+y≠0，符合分式定义，所以是分式；
，A＝5，B＝6+x，B是含有字母的整式，且6+x≠0，符合分式定义，所以是分式；
，它是整式与的和，属于整式的加减运算，是整式，不是分式．
故选：B．
【变式练1】　　（2025春 原阳县校级月考）下列式子中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【变式练2】　　（2025春 鹤壁月考）下列各式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【变式练3】　　（2025春 威远县校级期末）下列各式，，，，，其中分式共有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型02 分式有意义的条件
（2025 五华区校级模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝﹣1 B．x≠﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1
【答案】B
【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+1≠0，
∴x≠﹣1；
故选：B．
【变式练1】　　（2025春 长春期末）若分式有意义，则（　　）
A．x一定是2 B．x一定是﹣2
C．x一定不是2 D．x一定不是﹣2
【变式练2】　　（2024秋 武汉期末）若分式有意义时，则x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x＞1
【变式练3】　　（2024秋 邢台期末）当x＝4时，下列分式没有意义的是（　　）
A． B． C． D．
题型03 分式的值为0的条件
（2025春 原阳县校级月考）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．﹣3 B．2 C．3 D．2或﹣3
【答案】B
【分析】根据分式的值为零即分子为0且分母不为0计算即可．
【解答】解：根据分式的值为零即分子为0且分母不为0得2x﹣4＝0且x+3≠0，
∴x＝2且x≠﹣3，
∴x＝2，
故选：B．
【变式练1】　　（2025春 商水县校级月考）若分式的值等于0，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式练2】　　（2025春 杞县月考）若分式的值等于0，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式练3】　　（2025春 渭滨区期末）若分式的值为零，则x的值为（　　）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0
题型04 分式的值
（2025春 南关区校级月考）若分式的值是正数，则x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．x＜5 C．x≥5 D．x≤5
【答案】A
【分析】先判断出分母为正数，再根据分式的值是正数得出x﹣5＞0，然后求解即可．
【解答】解：∵x2≥0，
∴x2+5＞0，
∵分式的值是正数，
∴x﹣5＞0，
∴x＞5，
故选：A．
【变式练1】　　（2025春 成华区期末）若分式的值为正数，则x的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【变式练2】　　（2025春 龙湾区期末）分式的值为整数，则整数a的值为（　　）
A．1，2，4 B．1，﹣1，2，﹣2，4，﹣4
C．0，1，3 D．0，﹣2，1，﹣3，3，﹣5
【变式练3】　　（2025春 天台县期末）若x+y＝2xy，则分式的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型05 分式的基本性质
（2025春 屯留区月考）下列变形正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、1，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、1，故D符合题意；
故选：D．
【变式练1】　　（2025春 东区校级月考）下列各式，从左到右变形错误的是（　　）
A．
B．
C．1
D．
【变式练2】　　（2025春 淮安区校级月考）将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．无法确定
【变式练3】　　（2025春 杞县月考）下列各式中，从左到右变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
题型06 约分
（2024秋 三亚期末）下列分式的约分正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，对选项逐一分析判断即可．
【解答】解：A、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意；
B、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意；
C、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意，
故选：D．
【变式练1】　　（2025春 五指山期末）化简分式的结果是（　　）
A．2 B． C． D．
【变式练2】　　（2025春 常宁市期末）把分式约分得（　　）
A．b+3 B．a+3 C． D．
【变式练3】　　（2025春 崇左期末）下列各式中，约分正确的是（　　）
A． B．
C． D．
题型07 通分
（2024春 洪泽区校级期中）通分
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）最简公分母是ab，利用分式的性质变形即可；
（2）中分式的分母分别为（x+y）（x﹣y），（x﹣y）2，确定最简公分母是（x﹣y）2（x+y），然后利用分式的基本性质变形即可．
【解答】解：（1）∵最简公分母为ab，
∴，；
（2）∵最简公分母为（x﹣y）2（x+y），
∴，
．
【变式练1】　　（2023秋 永定区期末）通分：，，．
【变式练2】　　（2024春 兴化市校级月考）计算．
（1）约分：；
（2）通分：，．
【变式练3】　　（2024春 宿城区校级期中）通分：
（1），；
（2），．
题型08 最简分式
（2025春 宿城区期末）下列分式中，属于最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
【解答】解：A、该分式的分子、分母中含有公因式x，不是最简分式，故不符合题意．
B、该分式的分子、分母中含有公因式（x﹣y），不是最简分式，故不符合题意．
C、该分式的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意．
D、该分式的分子、分母中含有公因式（x+3y），不是最简分式，故不符合题意．
故选：C．
【变式练1】　　（2025 台江区校级模拟）若分式是最简分式，则△表示的是（　　）
A．2x+2y B．（x﹣y）2 C．x2+2xy+y2 D．x2+y2
【变式练2】　　（2024秋 新县期末）下列分式中，最简分式是（　　）
A． B． C． D．
【变式练3】　　（2024秋 庆阳期末）下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
题型09 最简公分母
（2024秋 仁怀市期末）分式与的最简公分母是（　　）
A．6x3 B．5x5 C．6x5 D．6x6
【答案】A
【分析】利用最简公分母的定义：取系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母作为最简公分母的一个因数，判断即可．
【解答】解：分式与的最简公分母是6x3．
故选：A．
【变式练1】　　（2025春 南京期末）分式与的最简公分母是（　　）
A．4m2 B．4m3 C．8m2 D．8m3
【变式练2】　　（2025春 南京期末）分式，的最简公分母是（　　）
A．2abc B．a2bc C．abc D．2a2bc
【变式练3】　　（2025春 屯留区月考）分式的最简公分母是 abc ．中小学教育资源及组卷应用平台
18.1 分式及其基本性质 讲义
知识点1：分式的概念
分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．
知识点2：分式有意义的条件
分式有意义的条件：分式的分母表示除数，因为除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式有意义．
知识点3：分式的值为0的条件
分式的值为0的条件：
当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0，即当A=0且B≠0时，．
知识点4：分式的基本性质
1．（1）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式．
（3）用途：进行分式的恒等变形．
（4）注意事项
①分式的分子与分母要同时做“乘法”或“除法”运算；
②乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0的整式．
2．分式的符号法则：
分式的分子、分母与分式本身，这三处的符号，同时改变两处，分式的值不变．
用式子表示为：
或．
知识点5：分式的约分、最简分式
1．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分．
2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．
3．约分的一般方法
（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式．
（2）若分子或分母是多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去．
知识点6：分式的通分
1．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．
2．最简公分母：
通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫作最简公分母．
3．确定最简公分母的一般方法：
（1）分母为单项式
①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
②取单项式中每个出现的字母的最高次数作为最简公分母中该字母的次数；
③取单独出现的字母及其指数．
（2）分母为多项式
①若有系数，求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
②对每个分母因式分解；
③找出出现的每个因式的最高次幂，它们的积为最简公分母．
1．一个式子是分式需满足的三个条件：
（1）是形如的式子；
（2）A，B为整式；
（3）分母B中含有字母．三个条件缺一不可．
2．分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．
3．分式的基本性质：
（1）基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件．
（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式．
（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C．
4．约分和通分的相同点和不同点
约分 通分
不同点 分式的个数 1个 多于1个
变形过程
关键环节 确定分子、分母的公因式 确定几个分式的的最简公分母
目的 将分式化为最简分式或整式 把几个异分母的分式化为同分母的分式
相 同 点 依据 分式的基本性质
分式的值 不变
题型01 判定是否为分式
（2025春 兰考县校级月考）在，，，，分式的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据分式定义，逐一判断所给式子是否为分式．
【解答】解：根据：一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子叫做分式进行判断如下：
，其中A＝1，B＝b，B是含有字母的整式，且b≠0，符合分式定义，所以是分式；
，因为π是一个常数（圆周率），不是字母，所以是整式，不是分式；
，A＝3，B＝x+y，B是含有字母的整式，且x+y≠0，符合分式定义，所以是分式；
，A＝5，B＝6+x，B是含有字母的整式，且6+x≠0，符合分式定义，所以是分式；
，它是整式与的和，属于整式的加减运算，是整式，不是分式．
故选：B．
【变式练1】　　（2025春 原阳县校级月考）下列式子中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可．
【解答】解：A、不是分式，不符合题意；
B、不是分式，不符合题意；
C、是分式，符合题意；
D、不是分式，不符合题意；
故选：C．
【变式练2】　　（2025春 鹤壁月考）下列各式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的定义逐项分析即可，一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母．
【解答】解：根据分式的定义逐项分析判断如下：
A．是整式，不是分式，不符合题意；
B．是整式，不是分式，不符合题意；
C．是分式，符合题意；
D．是整式，不符合题意．
故选：C．
【变式练3】　　（2025春 威远县校级期末）下列各式，，，，，其中分式共有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据分式的定义即可得出答案．
【解答】解：分式有：，共2个，
故选：B．
题型02 分式有意义的条件
（2025 五华区校级模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝﹣1 B．x≠﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1
【答案】B
【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+1≠0，
∴x≠﹣1；
故选：B．
【变式练1】　　（2025春 长春期末）若分式有意义，则（　　）
A．x一定是2 B．x一定是﹣2
C．x一定不是2 D．x一定不是﹣2
【答案】D
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2≠0，
解得x≠﹣2．
故选：D．
【变式练2】　　（2024秋 武汉期末）若分式有意义时，则x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x＞1
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意得，x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故选：B．
【变式练3】　　（2024秋 邢台期末）当x＝4时，下列分式没有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分母等于0时，分式无意义，因而把x＝4代入各式的分母检验一下就可以得解．
【解答】解：A、当x＝4时，分式有意义，故此选项不符合题意；
B、当x＝4时，分母4﹣x＝0，分式无意义，故此选项符合题意；
C、当x＝4时，分母2x﹣4＝4，分式无意义，故此选项不符合题意；
D、当x＝4时，分母x+4＝8，分式有意义，故此选项不符合题意．
故选：B．
题型03 分式的值为0的条件
（2025春 原阳县校级月考）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．﹣3 B．2 C．3 D．2或﹣3
【答案】B
【分析】根据分式的值为零即分子为0且分母不为0计算即可．
【解答】解：根据分式的值为零即分子为0且分母不为0得2x﹣4＝0且x+3≠0，
∴x＝2且x≠﹣3，
∴x＝2，
故选：B．
【变式练1】　　（2025春 商水县校级月考）若分式的值等于0，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据分式值为0的条件得到，即可求解．
【解答】解：有v条件可得，
∴a＝0，
故选：A．
【变式练2】　　（2025春 杞县月考）若分式的值等于0，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】分式的值为零即分子为0且分母不为0，由此计算即可．
【解答】解：若分式的值等于0，则5a＝0且a﹣3≠0，
解得a＝0，
故选：A．
【变式练3】　　（2025春 渭滨区期末）若分式的值为零，则x的值为（　　）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0
【答案】B
【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意，得
x2﹣4＝0，且x+2≠0，
解得，x＝2．
故选：B．
题型04 分式的值
（2025春 南关区校级月考）若分式的值是正数，则x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．x＜5 C．x≥5 D．x≤5
【答案】A
【分析】先判断出分母为正数，再根据分式的值是正数得出x﹣5＞0，然后求解即可．
【解答】解：∵x2≥0，
∴x2+5＞0，
∵分式的值是正数，
∴x﹣5＞0，
∴x＞5，
故选：A．
【变式练1】　　（2025春 成华区期末）若分式的值为正数，则x的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【答案】A
【分析】根据题意易得x﹣1＞0，解得x的取值范围后即可求得答案．
【解答】解：若分式的值为正数，
则x﹣1＞0，
解得：x＞1，
那么只有2符合题意，
故选：A．
【变式练2】　　（2025春 龙湾区期末）分式的值为整数，则整数a的值为（　　）
A．1，2，4 B．1，﹣1，2，﹣2，4，﹣4
C．0，1，3 D．0，﹣2，1，﹣3，3，﹣5
【答案】D
【分析】根据分式的值为整数可知，a+1的值为﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，计算可得答案．
【解答】解：由条件可知a+1是4的因数，
故a+1的值为﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，
∴a的值为﹣5，﹣3，﹣2，0，1，3，
故选：D．
【变式练3】　　（2025春 天台县期末）若x+y＝2xy，则分式的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】将原式变形后代入已知条件计算并约分即可．
【解答】解：若x+y＝2xy，
原式
＝5，
故选：D．
题型05 分式的基本性质
（2025春 屯留区月考）下列变形正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、1，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、1，故D符合题意；
故选：D．
【变式练1】　　（2025春 东区校级月考）下列各式，从左到右变形错误的是（　　）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质逐项判断即可．
【解答】解：A、分式的分子分母同乘2，分式值不变，正确，不符合题意；
B、分式的分子变成了相反数，分母没变，前面加了一个负号，正确，不符合题意；
C、分式的分子和分母互为相反数，平方后商为1，正确，不符合题意；
D、分子分母都扩大10倍，但分母中b却没有扩大，错误，符合题意．
故选：D．
【变式练2】　　（2025春 淮安区校级月考）将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．无法确定
【答案】A
【分析】利用分式的基本性质将原式中x与y的值同时扩大为原来的3倍后再约分即可．
【解答】解：将分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍得，
则分式的值扩大3倍，
故选：A．
【变式练3】　　（2025春 杞县月考）下列各式中，从左到右变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断．
【解答】解：根据分式的基本性质逐项分析判断如下：
A、到，分子分母不是同时乘或除以同一个不为0的整式，不符合分式的基本性质，该变形错误．
B、到，分子分母不是同时除以同一个不为0的整式（x2÷x＝x，y2÷y＝y，相当于分子除以x，分母除以y），不符合分式的基本性质，该变形错误．
C、到，根据分式基本性质，分子分母同时除以2，符合分式的基本性质，该变形正确．
D、，不符合分式的基本性质，该变形错误．
故选：C．
题型06 约分
（2024秋 三亚期末）下列分式的约分正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，对选项逐一分析判断即可．
【解答】解：A、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意；
B、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意；
C、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意，
故选：D．
【变式练1】　　（2025春 五指山期末）化简分式的结果是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】通过对分式的分子和分母分别提取公因式进行约分，即可得到化简结果．
【解答】解：原式，
故选：B．
【变式练2】　　（2025春 常宁市期末）把分式约分得（　　）
A．b+3 B．a+3 C． D．
【答案】D
【分析】首先把分式的分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可．
【解答】解：；
故选：D．
【变式练3】　　（2025春 崇左期末）下列各式中，约分正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的约分法则计算，判断即可．
【解答】解：A、是最简分式，不能约分，故本选项结论不正确，不符合题意；
B、a2，故本选项结论不正确，不符合题意；
C、，结论正确，符合题意；
D、，故本选项结论不正确，不符合题意；
故选：C．
题型07 通分
（2024春 洪泽区校级期中）通分
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）最简公分母是ab，利用分式的性质变形即可；
（2）中分式的分母分别为（x+y）（x﹣y），（x﹣y）2，确定最简公分母是（x﹣y）2（x+y），然后利用分式的基本性质变形即可．
【解答】解：（1）∵最简公分母为ab，
∴，；
（2）∵最简公分母为（x﹣y）2（x+y），
∴，
．
【变式练1】　　（2023秋 永定区期末）通分：，，．
【答案】，，．
【分析】由题意可知，最简公分母是2（a+2）（a﹣2），然后根据分式的基本性质进行通分即可．
【解答】解：最简公分母是2（a+2）（a﹣2），
则，
，
．
【变式练2】　　（2024春 兴化市校级月考）计算．
（1）约分：；
（2）通分：，．
【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案；
（2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可．
【解答】解：（1）
；
（2）∵，，
∴，
，
【变式练3】　　（2024春 宿城区校级期中）通分：
（1），；
（2），．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案；
（2）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案．
【解答】解：（1），，
∵最简公分母是a2b2，
∴，
；
（2）∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），x2+xy＝x（x+y），
∴最简公分母是x（x+y）（x﹣y），
∴，
．
题型08 最简分式
（2025春 宿城区期末）下列分式中，属于最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
【解答】解：A、该分式的分子、分母中含有公因式x，不是最简分式，故不符合题意．
B、该分式的分子、分母中含有公因式（x﹣y），不是最简分式，故不符合题意．
C、该分式的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意．
D、该分式的分子、分母中含有公因式（x+3y），不是最简分式，故不符合题意．
故选：C．
【变式练1】　　（2025 台江区校级模拟）若分式是最简分式，则△表示的是（　　）
A．2x+2y B．（x﹣y）2 C．x2+2xy+y2 D．x2+y2
【答案】D
【分析】利用最简分式的意义（一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式）进行分析解答．
【解答】解：因为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），且分式是最简分式，
所以△中肯定不含有（x+y）或（x﹣y）．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【变式练2】　　（2024秋 新县期末）下列分式中，最简分式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据最简分式的概念求解即可．
【解答】解：A、该分式的分子、分母中含有公因式3，不是最简分式，故此选项不符合题意；
B、该分式的分子、分母中含有公因式（a+b），不是最简分式，故此选项不符合题意；
C、该分式的分子、分母中含有公因式（a+1），不是最简分式，故此选项不符合题意；
D、是最简分式，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式练3】　　（2024秋 庆阳期末）下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：（A）原式1，故A错误；
（B）原式，故B错误；
（D）原式，故D错误；
故选：C．
题型09 最简公分母
（2024秋 仁怀市期末）分式与的最简公分母是（　　）
A．6x3 B．5x5 C．6x5 D．6x6
【答案】A
【分析】利用最简公分母的定义：取系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母作为最简公分母的一个因数，判断即可．
【解答】解：分式与的最简公分母是6x3．
故选：A．
【变式练1】　　（2025春 南京期末）分式与的最简公分母是（　　）
A．4m2 B．4m3 C．8m2 D．8m3
【答案】A
【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，得到最简公分母．
【解答】解：与的最简公分母是4m2，
故选：A．
【变式练2】　　（2025春 南京期末）分式，的最简公分母是（　　）
A．2abc B．a2bc C．abc D．2a2bc
【答案】C
【分析】取各分母字母因式的最高次幂的积作公分母得到最简公分母．
【解答】解：，的最简公分母是abc，
故选：C．
【变式练3】　　（2025春 屯留区月考）分式的最简公分母是 abc ．
【答案】abc．
【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，得到最简公分母．
【解答】解：，，的最简公分母是abc，
故答案为：abc．

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