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18.3 分式的加法与减法 讲义
知识点1：分式的加减
1．同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
用式子表示为．
2．异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
用式子表示为．
知识点2：分式的混合运算
分式的混合运算，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的．
在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．
1．异分母分式相加减的一般步骤：
（1）通分：将异分母分式转化成同分母分式；
（2）加减：写成分母不变，分子相加减的形式；
（3）合并：分子去括号，合并同类项；
（4）约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分．
2．分式的加减运算注意事项
（1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式．
（2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母．
3．当分式的分母互为相反数时，把其中一个提出“-”号，转化为同分母分式．
4．分式混合运算的关键点
（1）在计算分式的乘除时，需将除法转化为乘法；
（2）在计算分式的加减时，异分母要转化为同分母；
（3）在运算的过程中，可以借助乘法或加法运算律简化计算；
（4）最终结果一定要化为最简分式或整式．
题型01 分式的加减法
（2025 金凤区校级三模）化简结果是　　 ．
【答案】．
【分析】先把原式分母进行统一，然后分子合并化简，最后约分即可得到答案．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
【变式练1】　　（2025 龙湖区一模）计算的结果是（　　）
A．3 B．3a+3 C．2 D．
【变式练2】　　（2025 巴彦淖尔校级二模）计算的结果是（　　）
A． B．﹣2 C．2 D．4
【变式练3】　　（2025春 屯留区月考）计算的结果正确的是（　　）
A．1 B． C．a2 D．
题型02 分式的混合运算
（2025 襄城区模拟）计算：．
【答案】a2+2．
【分析】先计算单项式乘以多项式、括号内分式的加法、把分式的除法变为乘法，再进行分式的乘法，最后计算整式加减法即可．
【解答】解：原式
＝a2﹣a+a+2
＝a2+2．
【变式练1】　　（2025 峰峰矿区三模）化简的结果是（　　）
A．x﹣1 B．x+1 C．1﹣x D．
【变式练2】　　（2025 龙马潭区一模）化简：．
【变式练3】　　（2025 江阳区校级模拟）化简：．
题型03 分式的化简求值
（2025 苏州校级模拟）化简：，并从﹣1，1，2中任取一个数作为a的值，求代数式的值．
【答案】a+2，3．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：
＝a+2，
由题意得，a2﹣4≠0，a+1＝0，
则a≠±2，a≠﹣1，
∴a＝1，
当a＝1时，原式＝1+2＝3．
【变式练1】　　（2025 宿迁）先化简，再求值：，其中x＝﹣4．
【变式练2】　　（2025春 朝阳区校级月考）先化简，再从1、2、0中选择一个合适的数代入求值．
【变式练3】　　（2025 蓬江区校级三模）先化简，再求值：，其中m＝﹣2．
题型04 新定义问题
（2025春 邳州市月考）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，x，y，都有x*y．若5*3＝2，则　　 ．
【答案】﹣6．
【分析】先根据新定义得到2，则通分后变形得到2，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得2，
∴2，
即2，
∴3×（﹣2）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【变式练1】　　（2025 陇南模拟）定义新运算：，若a （﹣b）＝3，则的值是 　　 ．
【变式练2】　　（2025春 建邺区校级期末）定义：若两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式　　 ．
【变式练3】　　（2024秋 莘县期末）对于代数式m，n，定义运算“ ”：m n，例如：4 2，若（x﹣1） （x+2），则A+3B＝ 　　 ．
题型05 分式运算的灵活运用
（2024秋 天山区校级期末）已知，求（　　）
A．﹣9 B．12 C．﹣15 D．18
【答案】D
【分析】由已知条件可得a+b＝3ab，然后将其代入原式计算即可．
【解答】解：∵，
∴a+b＝3ab，
原式
＝18，
故选：D．
【变式练1】　　（2025春 隆昌市校级期末）若，则的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【变式练2】　　（2025春 瑶海区校级期末）已知，，，则的值为（　　）
A．1 B． C．3 D．
【变式练3】　　（2024秋 高青县期末）若a+b＝﹣2，则代数式的值为（　　）
A． B． C．2 D．﹣2中小学教育资源及组卷应用平台
18.3 分式的加法与减法 讲义
知识点1：分式的加减
1．同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
用式子表示为．
2．异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
用式子表示为．
知识点2：分式的混合运算
分式的混合运算，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的．
在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．
1．异分母分式相加减的一般步骤：
（1）通分：将异分母分式转化成同分母分式；
（2）加减：写成分母不变，分子相加减的形式；
（3）合并：分子去括号，合并同类项；
（4）约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分．
2．分式的加减运算注意事项
（1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式．
（2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母．
3．当分式的分母互为相反数时，把其中一个提出“-”号，转化为同分母分式．
4．分式混合运算的关键点
（1）在计算分式的乘除时，需将除法转化为乘法；
（2）在计算分式的加减时，异分母要转化为同分母；
（3）在运算的过程中，可以借助乘法或加法运算律简化计算；
（4）最终结果一定要化为最简分式或整式．
题型01 分式的加减法
（2025 金凤区校级三模）化简结果是　　 ．
【答案】．
【分析】先把原式分母进行统一，然后分子合并化简，最后约分即可得到答案．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
【变式练1】　　（2025 龙湖区一模）计算的结果是（　　）
A．3 B．3a+3 C．2 D．
【答案】A
【分析】同分母分式相加，分母不变，分子相加，进行计算即可．
【解答】解：．
故选：A．
【变式练2】　　（2025 巴彦淖尔校级二模）计算的结果是（　　）
A． B．﹣2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据同分母的分式相加减的法则计算即可．
【解答】解：
＝﹣2，
故选：B．
【变式练3】　　（2025春 屯留区月考）计算的结果正确的是（　　）
A．1 B． C．a2 D．
【答案】D
【分析】根据同分母的分式相加减的法则计算即可．
【解答】解：
，
故选：D．
题型02 分式的混合运算
（2025 襄城区模拟）计算：．
【答案】a2+2．
【分析】先计算单项式乘以多项式、括号内分式的加法、把分式的除法变为乘法，再进行分式的乘法，最后计算整式加减法即可．
【解答】解：原式
＝a2﹣a+a+2
＝a2+2．
【变式练1】　　（2025 峰峰矿区三模）化简的结果是（　　）
A．x﹣1 B．x+1 C．1﹣x D．
【答案】A
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：

＝x﹣1，
故选：A．
【变式练2】　　（2025 龙马潭区一模）化简：．
【答案】．
【分析】先计算括号内的减法，再计算除法即可．
【解答】解：
．
【变式练3】　　（2025 江阳区校级模拟）化简：．
【答案】．
【分析】先算括号里面的，再算除法即可．
【解答】解：

．
题型03 分式的化简求值
（2025 苏州校级模拟）化简：，并从﹣1，1，2中任取一个数作为a的值，求代数式的值．
【答案】a+2，3．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：
＝a+2，
由题意得，a2﹣4≠0，a+1＝0，
则a≠±2，a≠﹣1，
∴a＝1，
当a＝1时，原式＝1+2＝3．
【变式练1】　　（2025 宿迁）先化简，再求值：，其中x＝﹣4．
【答案】x+3，﹣1．
【分析】先把括号内的整式写成分母是x﹣2的分式，然后按照同分母分式加减法则计算括号里面的，再把除法化成乘法，然后进行约分，最后把x的值代入化简后的式子进行计算即可．
【解答】解：原式
＝x+3，
当x＝﹣4时，
原式＝﹣4+3
＝﹣1．
【变式练2】　　（2025春 朝阳区校级月考）先化简，再从1、2、0中选择一个合适的数代入求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：

，
∵a≠0，a﹣1≠0，
∴a≠0，a≠1，
∴当a＝2时，原式1．
【变式练3】　　（2025 蓬江区校级三模）先化简，再求值：，其中m＝﹣2．
【答案】﹣m﹣1，1．
【分析】先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分，再将m的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：原式
＝﹣m﹣1．
当m＝﹣2时，
原式＝﹣（﹣2）﹣1＝1．
题型04 新定义问题
（2025春 邳州市月考）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，x，y，都有x*y．若5*3＝2，则　　 ．
【答案】﹣6．
【分析】先根据新定义得到2，则通分后变形得到2，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得2，
∴2，
即2，
∴3×（﹣2）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【变式练1】　　（2025 陇南模拟）定义新运算：，若a （﹣b）＝3，则的值是 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据，a （﹣b）＝3，可以得到ab和b﹣a的关系，然后将所求式子变形，再计算即可．
【解答】解：∵，a （﹣b）＝3，
∴3，
∴3，
∴3ab＝b﹣a，
∴
，
故答案为：．
【变式练2】　　（2025春 建邺区校级期末）定义：若两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式　　 ．
【答案】或．
【分析】根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①a＝﹣3b，②ab＝3b2﹣6a2，分别把①②代入分式中求出结果即可．
【解答】解：∵与互为“美妙分式”，
∴，
∵，
∴或，
∴3a2+ab＝3（a2﹣b2）或3a2+ab＝﹣3（a2﹣b2），
∵a、b均为不等于0的实数，
∴①a＝﹣3b，②ab＝3b2﹣6a2，
把①代入，
把②代入，
综上：分式的值为或．
故答案为：或．
【变式练3】　　（2024秋 莘县期末）对于代数式m，n，定义运算“ ”：m n，例如：4 2，若（x﹣1） （x+2），则A+3B＝ 　　 ．
【答案】8．
【分析】由定义的运算易得，再将通分并计算后得到关于A，B的二元一次方程组，解得A，B的值后计算A+3B即可．
【解答】解：（x﹣1） （x+2）
，
，
∵（x﹣1） （x+2），
∴，
∴，
解得：，
则A+3B＝﹣1+9＝8，
故答案为：8．
题型05 分式运算的灵活运用
（2024秋 天山区校级期末）已知，求（　　）
A．﹣9 B．12 C．﹣15 D．18
【答案】D
【分析】由已知条件可得a+b＝3ab，然后将其代入原式计算即可．
【解答】解：∵，
∴a+b＝3ab，
原式
＝18，
故选：D．
【变式练1】　　（2025春 隆昌市校级期末）若，则的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】B
【分析】把变形得，然后代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【变式练2】　　（2025春 瑶海区校级期末）已知，，，则的值为（　　）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据已知易得：5，6，7，从而可得5，6，7，进而可得9，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵，，，
∴5，6，7，
∴5，6，7，
∴2（）＝18，
∴9，
∴9，
∴，
故选：B．
【变式练3】　　（2024秋 高青县期末）若a+b＝﹣2，则代数式的值为（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】C
【分析】先运用分式的混合运算法则化简，然后将a+b＝﹣2代入计算即可．
【解答】解：

＝﹣（a+b）
＝﹣（﹣2）
＝2．
故选：C．

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