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18.4 整数指数幂 讲义
知识点1：整数指数幂
1．负整数指数幂：
一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数．
2．整数指数幂的运算性质
（1）同底数幂的乘法：．（m，n是整数，）
（2）幂的乘方：．（m，n是整数，）
（3）积的乘方：．（n是整数，）
（4）同底数幂的除法：．（m，n是整数，）
（5）商的乘方：．（n是整数，）
知识点2：科学记数法（表示小于1的正数）
1．用科学记数法表示小于1的正数：
小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a<10，n为正整数．
2．用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤：
（1）确定a：a是大于或等于1且小于10的数．
（2）确定n：
方法一：n等于原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0）．
方法二：小数点向右移到第一个不为0的数字后，小数点移动了几位，n就等于几．
（3）表示数：将原数用科学记数法表示为a×10-n的形式（其中1≤a<10，n为正整数）．
1．负整数指数幂运算结果的符号的确定
负整数指数幂运算结果的符号的确定方法与正整数指数幂相同，即对于，当时，若为偶数，则；若为奇数，则．当时，．
2．分数形式的负整数指数幂的运算技巧
∵，
∴可以根据（n是正整数），将分数形式的负整数指数幂进行转化，以简化运算．可简记为“底倒指反、幂值不变”．
3．科学记数法是一种记数方法，不改变此数的性质和大小．用科学记数法表示一个帝有单位的数时，其表示结果也应带有单位．
4．底数为多项式的指数幂的运算技巧
能进行因式分解的，一定要先将多项式分解因式，然后将底数化为最简分式或整式；在运用整数幂的性质计算时，相同的因式看作整体进行幂的运算；最终结果要化成正整数指数幂的形式．
5．将用科学记数法表示的数还原的方法
把形式为a×10-n（1≤a<10，n为正整数）的数还原成小数时，只需把a的小数点向左移动n位即可．
题型01 用科学记数法表示小于1的正数
（2025春 菏泽月考）DeepSeek成立于2023年7月17日，由知名量化资管巨头幻方量化创立．作为大厂外唯一一家储备万张A100芯片的公司，其为DeepSeek的技术研发提供了强大的硬件支持．A100芯片采用了目前最先进的台积电7nm工艺，7nm即0.000000007m用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣7m B．0.7×10﹣11m
C．7×10﹣11m D．7×10﹣9m
【答案】D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．
故选：D．
【变式练1】　　（2025春 李沧区校级月考）“纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，可以它用来检测直径大小为100纳米左右的病毒，100纳米是0.0000001米．将100纳米用科学记数法表示为（　　）
A．0.1×10﹣6米 B．1×10﹣8米
C．100×10﹣9米 D．1×10﹣7米
【变式练2】　　（2025 三门峡模拟）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.000015米，约是A4纸厚度的六分之一，其中0.000015用科学记数法表示为（　　）
A．0.15×10﹣4 B．1.5×10﹣5 C．1.5×10﹣4 D．15×10﹣5
【变式练3】　　（2025 隆昌市校级一模）气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于0.00000002m．数据“0.00000002m”用科学记数法表示为（　　）
A．2×10﹣8m B．0.2×10﹣8m C．0.2×10﹣7m D．2×10﹣7m
题型02 将用科学记数法表示的数还原
（2024 兴庆区校级一模）在显微镜下，人体的一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为7.8×10﹣7米，还原为原数为（　　）
A．0.0000078 B．0.00000078
C．0.000000078 D．0.0000000078
【答案】B
【分析】根据用科学记数法表示较小的数的方法，把7.8的小数点向左移动七位，判断出原数为多少即可．
【解答】解：7.8×10﹣7＝0.00000078．
故选：B．
【变式练1】　　（2024春 新野县期末）在显微镜下，一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为8.2×10﹣7米，还原为原数为（　　）
A．0.0000082 B．0.000000082
C．0.00000082 D．0.0000000082
【变式练2】　　（2025 遂平县三模）据新华社2025年3月3日电，中国科学家已成功构建目前最高水准超导量子计算机——105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录．已知105比特≈1.2517×10﹣5兆字节，则1.2517×10﹣5这个数对应的原数是（　　）
A．1251700 B．0.000012517
C．0.00012517 D．125170
【变式练3】　　（2024秋 青县校级期末）下列用科学记数法表示的数的原数是什么？
（1）﹣3.71×10﹣5；
（2）1.05×102．
题型03 零指数幂
（2025 灞桥区校级一模）计算（﹣2024）0＝（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2024
【答案】A
【分析】根据零指数幂的运算法则即可．
【解答】解：（﹣2024）0＝1．
故选：A．
【变式练1】　　（2025春 邗江区校级月考）若（x﹣1）0＝1，则（　　）
A．x≥1 B．x＝1 C．x≠1 D．x≠0
【变式练2】　　（2024秋 河北区期末）若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x D．x
【变式练3】　　（2025春 彬州市月考）计算（﹣7）0的结果是（　　）
A．0 B．1 C．﹣7 D．7
题型04 负整数指数幂
（2025春 渭城区校级期末）计算：2﹣2＝（　　）
A． B．4 C． D．﹣4
【答案】A
【分析】根据负整数指数幂的法则，进行计算即可解答．
【解答】解：2﹣2，
故选：A．
【变式练1】　　（2025春 兴隆县期末）计算3﹣2的结果是（　　）
A．﹣6 B． C．9 D．﹣9
【变式练2】　　（2025 越秀区一模）（）﹣1的值是（　　）
A． B．2 C．﹣2 D．
【变式练3】　　（2025春 和顺县期末）计算5﹣2的结果是（　　）
A．﹣10 B．﹣25 C． D．
题型05 比较大小
（2025春 管城区期末）已知：的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b
【答案】D
【分析】先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再比较大小即可．
【解答】解：a＝﹣42＝﹣16，，，
∵﹣16＜1＜16，
∴a＜c＜b，
故选：D．
【变式练1】　　（2025春 桓台县期末）已知a＝（﹣2）0，b，c＝﹣22，那么a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b
【变式练2】　　（2025春 福山区期末）若a＝﹣22，b＝2﹣2，，，则（　　）
A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜d＜c C．a＜c＜b＜d D．a＜b＜c＜d
【变式练3】　　（2025春 惠山区校级月考）已知a＝（﹣2）0，，c＝﹣32，那么a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b中小学教育资源及组卷应用平台
18.4 整数指数幂 讲义
知识点1：整数指数幂
1．负整数指数幂：
一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数．
2．整数指数幂的运算性质
（1）同底数幂的乘法：．（m，n是整数，）
（2）幂的乘方：．（m，n是整数，）
（3）积的乘方：．（n是整数，）
（4）同底数幂的除法：．（m，n是整数，）
（5）商的乘方：．（n是整数，）
知识点2：科学记数法（表示小于1的正数）
1．用科学记数法表示小于1的正数：
小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a<10，n为正整数．
2．用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤：
（1）确定a：a是大于或等于1且小于10的数．
（2）确定n：
方法一：n等于原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0）．
方法二：小数点向右移到第一个不为0的数字后，小数点移动了几位，n就等于几．
（3）表示数：将原数用科学记数法表示为a×10-n的形式（其中1≤a<10，n为正整数）．
1．负整数指数幂运算结果的符号的确定
负整数指数幂运算结果的符号的确定方法与正整数指数幂相同，即对于，当时，若为偶数，则；若为奇数，则．当时，．
2．分数形式的负整数指数幂的运算技巧
∵，
∴可以根据（n是正整数），将分数形式的负整数指数幂进行转化，以简化运算．可简记为“底倒指反、幂值不变”．
3．科学记数法是一种记数方法，不改变此数的性质和大小．用科学记数法表示一个帝有单位的数时，其表示结果也应带有单位．
4．底数为多项式的指数幂的运算技巧
能进行因式分解的，一定要先将多项式分解因式，然后将底数化为最简分式或整式；在运用整数幂的性质计算时，相同的因式看作整体进行幂的运算；最终结果要化成正整数指数幂的形式．
5．将用科学记数法表示的数还原的方法
把形式为a×10-n（1≤a<10，n为正整数）的数还原成小数时，只需把a的小数点向左移动n位即可．
题型01 用科学记数法表示小于1的正数
（2025春 菏泽月考）DeepSeek成立于2023年7月17日，由知名量化资管巨头幻方量化创立．作为大厂外唯一一家储备万张A100芯片的公司，其为DeepSeek的技术研发提供了强大的硬件支持．A100芯片采用了目前最先进的台积电7nm工艺，7nm即0.000000007m用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣7m B．0.7×10﹣11m
C．7×10﹣11m D．7×10﹣9m
【答案】D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．
故选：D．
【变式练1】　　（2025春 李沧区校级月考）“纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，可以它用来检测直径大小为100纳米左右的病毒，100纳米是0.0000001米．将100纳米用科学记数法表示为（　　）
A．0.1×10﹣6米 B．1×10﹣8米
C．100×10﹣9米 D．1×10﹣7米
【答案】D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1米＝1000000000纳米，
100纳米＝0.0000001米＝1×10﹣7米．
故选：D．
【变式练2】　　（2025 三门峡模拟）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.000015米，约是A4纸厚度的六分之一，其中0.000015用科学记数法表示为（　　）
A．0.15×10﹣4 B．1.5×10﹣5 C．1.5×10﹣4 D．15×10﹣5
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000015＝1.5×10﹣5．
故选：B．
【变式练3】　　（2025 隆昌市校级一模）气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于0.00000002m．数据“0.00000002m”用科学记数法表示为（　　）
A．2×10﹣8m B．0.2×10﹣8m C．0.2×10﹣7m D．2×10﹣7m
【答案】A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.00000002＝2×10﹣8．
故选：A．
题型02 将用科学记数法表示的数还原
（2024 兴庆区校级一模）在显微镜下，人体的一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为7.8×10﹣7米，还原为原数为（　　）
A．0.0000078 B．0.00000078
C．0.000000078 D．0.0000000078
【答案】B
【分析】根据用科学记数法表示较小的数的方法，把7.8的小数点向左移动七位，判断出原数为多少即可．
【解答】解：7.8×10﹣7＝0.00000078．
故选：B．
【变式练1】　　（2024春 新野县期末）在显微镜下，一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为8.2×10﹣7米，还原为原数为（　　）
A．0.0000082 B．0.000000082
C．0.00000082 D．0.0000000082
【答案】C
【分析】将一个数表示乘a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：8.2×10﹣7＝0.00000082，
故选：C．
【变式练2】　　（2025 遂平县三模）据新华社2025年3月3日电，中国科学家已成功构建目前最高水准超导量子计算机——105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录．已知105比特≈1.2517×10﹣5兆字节，则1.2517×10﹣5这个数对应的原数是（　　）
A．1251700 B．0.000012517
C．0.00012517 D．125170
【答案】B
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：根据科学记数法书写规则可知：1.2517×10﹣5＝0.000012517，
故选：B．
【变式练3】　　（2024秋 青县校级期末）下列用科学记数法表示的数的原数是什么？
（1）﹣3.71×10﹣5；
（2）1.05×102．
【答案】（1）﹣0.0000371；
（2）105．
【分析】运用科学记数法的知识进行逐一求解．
【解答】解：（1）﹣3.71×10﹣5＝﹣0.0000371；
（2）1.05×102＝105．
题型03 零指数幂
（2025 灞桥区校级一模）计算（﹣2024）0＝（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2024
【答案】A
【分析】根据零指数幂的运算法则即可．
【解答】解：（﹣2024）0＝1．
故选：A．
【变式练1】　　（2025春 邗江区校级月考）若（x﹣1）0＝1，则（　　）
A．x≥1 B．x＝1 C．x≠1 D．x≠0
【答案】C
【分析】根据任何非零实数的0次方都等于1解答即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：C．
【变式练2】　　（2024秋 河北区期末）若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x D．x
【答案】C
【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0），进而得出答案．
【解答】解：（2x﹣1）0有意义，则2x﹣1≠0，
解得：x．
故选：C．
【变式练3】　　（2025春 彬州市月考）计算（﹣7）0的结果是（　　）
A．0 B．1 C．﹣7 D．7
【答案】B
【分析】根据a0＝1（a≠0），进行计算即可解答．
【解答】解：（﹣7）0＝1，
故选：B．
题型04 负整数指数幂
（2025春 渭城区校级期末）计算：2﹣2＝（　　）
A． B．4 C． D．﹣4
【答案】A
【分析】根据负整数指数幂的法则，进行计算即可解答．
【解答】解：2﹣2，
故选：A．
【变式练1】　　（2025春 兴隆县期末）计算3﹣2的结果是（　　）
A．﹣6 B． C．9 D．﹣9
【答案】B
【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简得出答案．
【解答】解：3﹣2．
故选：B．
【变式练2】　　（2025 越秀区一模）（）﹣1的值是（　　）
A． B．2 C．﹣2 D．
【答案】C
【分析】根据负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣2，
故选：C．
【变式练3】　　（2025春 和顺县期末）计算5﹣2的结果是（　　）
A．﹣10 B．﹣25 C． D．
【答案】C
【分析】直接利用负指数幂的性质分析得出答案．
【解答】解：5﹣2．
故选：C．
题型05 比较大小
（2025春 管城区期末）已知：的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b
【答案】D
【分析】先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再比较大小即可．
【解答】解：a＝﹣42＝﹣16，，，
∵﹣16＜1＜16，
∴a＜c＜b，
故选：D．
【变式练1】　　（2025春 桓台县期末）已知a＝（﹣2）0，b，c＝﹣22，那么a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b
【答案】A
【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方法则分别计算，再比较大小即可．
【解答】解：∵a＝（﹣2）0＝1，b2，c＝﹣22＝﹣4，
∴b＞a＞c，
故选：A．
【变式练2】　　（2025春 福山区期末）若a＝﹣22，b＝2﹣2，，，则（　　）
A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜d＜c C．a＜c＜b＜d D．a＜b＜c＜d
【答案】B
【分析】首先根据负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方的运算方法，求出a、b、c、d的值；然后根据有理数大小比较的方法排序即可．
【解答】解：a＝﹣22＝﹣4，b＝2﹣2，4，1，
∵﹣41＜4，
∴a＜b＜d＜c．
故选：B．
【变式练3】　　（2025春 惠山区校级月考）已知a＝（﹣2）0，，c＝﹣32，那么a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【答案】B
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方的运算法则求出a、b、c，进而比较大小即可求解．
【解答】解：a＝（﹣2）0＝1，，c＝﹣32＝﹣9，
∴b＞a＞c，
故选：B．

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