资源简介

3　一元一次方程的应用
第1课时　形积问题
1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题.
2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用.
3.用实例对一些数学猜想做出检验，提高学生发现问题和解决问题的能力.
重点：通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题.
难点：通过对“变化中的不变量”的分析，提高分析问题、解决问题的能力.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
一种牙膏出口处直径为5 mm，子昂每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次.该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，子昂还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这支牙膏能用多少次呢？
二、合作探究
探究点一：等长变形问题
用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2（π－2） m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大.
解析：本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长.
解：设圆的半径为r m，
则正方形的边长为[r＋2（π－2）] m.
则有2πr＝4（r＋2π－4）.解得r＝4.
所以铁丝的长为2πr＝8π（m）.
所以圆的面积是π×42＝16π（m2），正方形的面积为[4＋2（π－2）]2＝4π2（m2）.
因为16π>4π2，所以圆的面积大.
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大.
　　方法总结：形状、面积不同，而周长相同可根据题意列出关于周长的等量关系式.解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而列出方程.
探究点二：等体积变形问题
用直径为90 mm的圆钢，铸造一个底面长和宽都是131 mm，高度是81 mm的长方体钢锭.问需要截取多长的一段圆钢？（结果保留π）
解析：圆钢由圆柱体变为长方体，形状变了，但体积不变.
解：设截取圆钢的长度为x mm.
根据题意，得π（）2x＝131×131×81，
解方程，得x＝.
答：截取圆钢的长度为 mm.
　　方法总结：圆钢由圆柱体变成了长方体，形状发生了变化，但是体积保持不变.“变形之前圆钢的体积＝变形之后长方体的体积”就是我们所要寻找的等量关系.
探究点三：面积变化问题
将一个长、宽、高分别为15 cm，12 cm和8 cm的长方体钢坯锻造成一个底面是边长为12 cm的正方形的长方体钢坯.试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较.
解析：由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高.再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可.
解析：设锻造后长方体的高为x cm，依题意，得15×12×8＝12×12x.解得x＝10.
锻造前长方体钢坯的表面积为2×（15×12＋15×8＋12×8）＝2×（180＋120＋96）＝792（cm2），
锻造后长方体钢坯的表面积为2×（12×12＋12×10＋12×10）＝2×（144＋120＋120）＝768（cm2）.
因为792>768，所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大.
　　方法总结：长方体的表面积为六个面的面积之和，其中上下、左右、前后面积分别相等.
三、板书设计
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教学过程中，通过对问题的探讨，使学生在动手、独立思考的过程中，进一步体会方程模型的作用，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.第2课时　分配问题
1.借助表格分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题.
2.领悟数学来源于实践，服务于实践，解决问题用最简单的方法.
重点：利用方程解决分配问题.
难点：根据题意建立等量关系，列出方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
用代数式表示：
（1）x的平方与2的平方的和；
（2）x与2的和的平方；
（3）x的平方与2的和；
（4）x与2的平方的和.
解：（1）x2＋4；（2）（x＋2）2.
（3）x2＋2；（4）x＋4.
　　方法总结：用代数式表示数量关系时，一般要将句子分层，逐层分析，一步步列出代数式.
二、合作探究
探究点一：分配问题
已知甲队有91人，乙队有26人，为了完成某项任务，从外队调来30人支援甲、乙两队.为了使甲队的人数是乙队的人数的2倍，问应调往甲、乙两队各多少人？
解：设应调往甲队x人，则应调往乙队（30－x）人.根据题意，得91＋x＝2（26＋30－x），解得x＝7，所以30－x＝30－7＝23.
答：应调往甲队7人，调往乙队23人.
探究点二：“盈不足”问题
《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？
题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱.合伙人数、金价各是多少？
分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？
有关量 每人出400钱 每人出300钱
人数 x x
出钱总数 400x 300x
金价 400x－3400 300x－100
400x－3400＝300x－100.
解得x＝33.
300×33－100＝9800.
故人数为33，金价为9800钱.
思考：
（1）对于例2，如果设金价为y，能列出怎样的方程？
（2）《九章算术》给出了一种算法：
人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差，
或物价＝每人出的较多钱数×人数－剩余钱数，
物价＝每人出的较少钱数×人数＋不足的钱数.
你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流.
三、板书设计
通过借助表格准确分析问题中的等量关系，让学生经历抽象、建模、运算等过程，使学生学会运用方程解决实际问题的一般步骤.本节课学习的是列一元一次方程解决实际问题，为八年级学习列二元一次方程组解决实际问题打下基础.第3课时　行程问题
1.能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而列出方程，解决问题.
2.使学生进一步领会采用代数方法解应用题的优越性.
3.培养学生实事求是的态度及与人合作交流的能力，逐步树立克服困难的信心、意志力，培养学生学习数学的热情和良好的人格品质.
重点：利用方程解决行程问题.
难点：找等量关系列方程.
一、情境导入
亲爱的同学们，你们读过名著《西游记》吗？关于孙悟空的故事你一定知道很多吧？有这样一首描述孙悟空捉妖的诗：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，风速多少才算准.请你帮孙悟空算算当时的风速每分钟是多少里.
二、合作探究
探究点一：用一元一次方程解决相遇问题
小明家离学校2.9千米，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？
解析：本题等量关系：小明所走的路程＋爸爸所走的路程＝全部路程，但要注意小明比爸爸多走了5分钟，另外也要注意本题单位的统一.
如图所示，由题意得200x＋60（x＋5）＝2900，
解得x＝10.
答：小明爸爸从家出发10分钟后接到小明.
　　方法总结：找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系.这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系.
探究点二：用一元一次方程解决追及问题
敌我两军相距25 km，敌军以5 km/h的速度逃跑，我军同时以8 km/h的速度追击，并在相距1 km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？
解析：本题相等关系：我军所走的路程－敌军所走的路程＝敌我两军相距的路程.
解：设战斗是在开始追击后x小时发生的.
根据题意得8x－5x＝25－1.
解得x＝8.
答：战斗是在开始追击后8小时发生的.
探究点三：用一元一次方程解决环形问题
甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分.
（1）两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？
（2）两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？
解析：（1）题实质上是追及问题，两人第一次相遇，实际上就是快者追上慢者一圈，其等量关系是追上时，甲走的路程－乙走的路程＝400米；（2）题实质上是相遇问题，两人第一次相遇就是两人所走的路程之和为环行跑道一圈的长，其等量关系是相遇时，甲走的路程＋乙走的路程＝400米.
解：（1）设x分钟后两人第一次相遇，
由题意得360x－240x＝400.
解得x＝.
（×360＋×240）÷400＝5（圈）.
答：两人一共跑了5圈.
（2）设x分钟后两人第一次相遇，由题意得360x＋240x＝400.解得x＝.分钟＝40秒.
答：40秒后两人第一次相遇.
　　方法总结：环形问题中的相等关系：两个人同地背向而行：相遇问题（首次相遇），甲的行程＋乙的行程＝一圈周长；两个人同地同向而行：追及问题（首次追上），甲的行程－乙的行程＝一圈周长.
三、板书设计
行程问题→
教学过程中，通过对开放性问题的探讨与交流，体验生活中数学的应用与价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识、团队精神和克服困难的勇气.

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