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《用分解因式法求解一元二次方程》第2课时教案
学科 初中数学
年级册别 九年级上册（北师大版）
教材分析 本课为《用分解因式法求解一元二次方程》的第二课时，是在第一课时掌握基本解法的基础上进行深化与拓展。教材在此阶段安排了更多需要先整理、变形再分解的复杂方程，以及与实际问题深度融合的应用题。本节内容进一步强化学生对“化归”思想的理解，提升其综合运用代数技能解决实际问题的能力。同时，通过对比不同解法的适用性，培养学生算法选择与优化的意识，为后续学习二次函数的零点、不等式解集等内容奠定坚实基础，是连接代数运算与函数思想的重要桥梁。
教学目标 1. 观察现实世界：通过分析更复杂的实际问题，如运动轨迹、几何图形变化等，抽象出含一元二次方程的数学模型，深化对方程应用价值的认识。
2. 思考现实世界：在面对结构隐蔽、需多步变形的方程时，能综合运用因式分解技巧进行逻辑推理与策略选择，提升复杂问题的分析与解决能力。
3. 表达现实世界：能够清晰、有条理地表述复杂方程的求解思路与完整过程，规范书写解答步骤，并能对不同解法进行比较与评价，发展数学交流与批判性思维能力。
教学重难点 教学重点：熟练掌握对形如ax +bx+c=0（a≠0）的方程进行因式分解的技巧，特别是当系数不为1时的十字相乘法初步应用；能独立完成“移项→整理→分解→求解”的完整流程，并规范书写解题过程。
教学难点：对于需要先进行代数变形（如去括号、合并同类项、换元等）才能分解的方程，能准确识别其结构特征并选择合适的分解策略；在实际问题中正确建立方程模型，并对解的合理性进行检验与解释。
方法运用 本节课采用“议题式教学法”围绕“如何破解结构复杂的方程”展开深度探究；运用“情境探究法”设计递进式实际问题情境，提升应用能力；结合“合作探究法”组织小组攻克难题，促进思维碰撞；辅以“讲授法”精讲关键技巧与易错点，确保知识系统性。通过“问题链”驱动教学，实现从技能训练到思维提升的跨越。
教学准备 教师准备：多媒体课件（含动态演示十字相乘过程）、分层练习任务单、实际问题探究卡、实物投影仪；学生准备：复习第一课时内容及因式分解中的十字相乘法，准备好笔记本、练习本和草稿纸。
教学过程设计
教学环节 教学活动 设计意图
一、复习引入，温故知新 一、回顾旧知，搭建进阶平台 （1）、快速口答，激活前置经验
教师通过多媒体展示四个上节课的典型方程，要求学生快速口答解法与结果：
① x - 6x = 0 → 提公因式得x(x-6)=0 → x =0, x =6
② x - 16 = 0 → 平方差得(x+4)(x-4)=0 → x =-4, x =4
③ x + 8x + 16 = 0 → 完全平方得(x+4) =0 → x =x =-4
④ 2x = 10x → 移项得2x -10x=0 → 提公因式2x(2x-5)=0？错！应为2x(x-5)=0 → x =0, x =5
在第④题中故意展示一个常见错误（系数未提尽），引导学生发现并纠正，再次强调提公因式要彻底，包括数字系数。
（2）、提出挑战，引出新任务
教师提问：如果方程是x + 5x + 6 = 0，还能用我们学过的方法分解吗？左边没有公因式，也不是平方差或完全平方形式。引导学生观察：能否找到两个数，它们的积等于6，和等于5？学生尝试后发现3和2满足条件，因此可分解为(x+3)(x+2)=0。教师顺势引入“十字相乘法”的基本思想：对于x +px+q型的二次三项式，若能找到两数a、b，使得a+b=p且a·b=q，则可分解为(x+a)(x+b)。通过动画演示“十字”交叉相乘的过程，帮助学生直观理解。 通过快速口答巩固基础知识，纠正典型错误，强化解题规范；以“新问题”激发认知冲突，自然引出十字相乘法，使学生感受到学习新技能的必要性，为新知探究做好心理与知识准备。
二、深化探究，突破难点 二、深入探究复杂方程的分解策略 （1）、小组合作，破解标准型方程
教师发放探究任务单，包含三个形如x +px+q的方程：① x +7x+12=0；② x -3x-10=0；③ x -8x+15=0。要求小组合作，运用“找两数、积为常数、和为一次项系数”的方法进行分解，并写出完整解题过程。教师巡视，指导学生如何系统尝试因数组合，避免盲目猜测。5分钟后，请三组代表上台展示：第一组分解为(x+3)(x+4)=0；第二组分解为(x+2)(x-5)=0；第三组分解为(x-3)(x-5)=0。教师点评，强调符号处理的准确性，特别是当常数项为负时，两数异号，需根据一次项系数判断大小。
（2）、拓展延伸，应对非常规结构
教师出示两个需要先变形的方程：
① 解方程：(x+2)(x-3) = 4
② 解方程：x(x+1) + 2(x+1) = 0
对于①，引导学生先去括号得x - x - 6 = 4，再移项得x - x - 10 = 0。提问：能否分解？学生尝试后发现无法用整数分解，教师说明此方程不适合分解因式法，需用公式法，借此强调方法选择的重要性。对于②，引导学生观察：两项都含有(x+1)，可提取公因式(x+1)(x+2)=0，解得x =-1, x =-2。通过此例，展示“整体思想”在分解中的应用，拓展学生思维视野。 通过合作探究，让学生在实践中掌握十字相乘法的操作要领，提升因式分解能力；引入需变形的复杂方程，培养学生识别方程结构、灵活选择解法的能力；通过“无法分解”的案例，引导学生理性判断方法适用性，避免机械套用，发展元认知能力。
三、实际应用，建模求解 三、解决真实问题，提升应用能力 （1）、几何问题中的方程建模
教师出示问题：一个直角三角形的两条直角边相差2cm，面积是24cm ，求这两条边的长度。引导学生设较短直角边为x cm，则较长边为(x+2) cm，根据面积公式得： ·x·(x+2) = 24。去分母得x(x+2) = 48，即x +2x-48=0。学生尝试分解：找两数积为-48，和为2，得8和-6，故(x+8)(x-6)=0，解得x=6或x=-8（舍去负值）。因此两直角边为6cm和8cm。强调实际问题中需检验解的合理性。
（2）、动态情境中的方程构建
教师播放一段小球竖直上抛的动画，给出高度公式：h = 20t - 5t （h单位：米，t单位：秒）。提问：小球何时会落回地面？即h=0时，解方程20t - 5t = 0。学生分解得5t(4 - t) = 0，解得t =0（起始时刻），t =4（落地时刻）。追问：小球在空中停留多长时间？答案为4秒。通过物理情境，展现数学在科学中的应用价值，增强跨学科意识。 通过几何与物理情境的应用题，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力；强调解的实际意义与合理性检验，养成严谨的科学态度；拓宽数学视野，体会数学的广泛应用性，激发学习内驱力。
四、综合练习，分层提升 四、分层训练，促进能力进阶 （1）、基础巩固：规范解题流程
要求全体学生完成：
① x + 9x + 20 = 0 → (x+4)(x+5)=0 → x =-4, x =-5
② 3x - 12x = 0 → 3x(x-4)=0 → x =0, x =4
教师巡视批改，重点检查步骤完整性与符号准确性。
（2）、能力挑战：应对复杂结构
提供两道挑战题：
① (x-1) + 2(x-1) - 3 = 0（提示：设y=x-1）
② x - 5x + 6 = 0 与 2x - 7x + 3 = 0 的解是否相同？
鼓励学生尝试换元法或十字相乘法。第一题换元后得y +2y-3=0 → (y+3)(y-1)=0 → y=-3或1 → x=-2或2；第二题分别分解为(x-2)(x-3)=0和(2x-1)(x-3)=0，发现共同解为x=3。通过高阶任务，发展学生创新思维与综合应用能力。 基础题确保全体学生掌握核心技能；挑战题满足优生需求，引入换元思想，提升问题解决的灵活性与深度，实现差异化教学目标。
五、总结反思，构建体系 五、系统梳理，升华认知 （1）、归纳方法体系与适用条件
教师引导学生总结：今天我们进一步学习了分解因式法，重点掌握了十字相乘法和整体提取法。回顾三种解法：
- 分解因式法：快捷，但仅适用于可分解的方程；
- 公式法：通用，但计算量大；
- 配方法：基础，用于推导公式。
强调应根据方程特点灵活选择最优解法。
（2）、反思学习过程与思维成长
提问：在解决复杂方程时，你遇到了哪些困难？是如何克服的？鼓励学生分享经验，如“先观察结构”“尝试多种分解法”“注意检验解”等。教师总结：数学学习不仅是掌握方法，更是培养发现问题、分析问题、解决问题的思维品质。希望同学们在今后的学习中继续发扬探究精神，勇于挑战复杂问题。 通过系统总结，帮助学生构建完整的方程解法知识体系；引导反思学习过程，提升元认知能力；强调数学思维的价值，促进核心素养的深层发展。
教学反思 本节课在第一课时基础上实现了知识的深化与拓展，十字相乘法的教学通过动画演示与小组合作得到有效落实，多数学生掌握了基本操作。但在处理需要换元或整体思想的方程时，部分学生仍显吃力，说明抽象思维能力有待加强。实际应用环节学生参与积极，能较好地建立方程模型，但对解的合理性解释不够充分，今后需加强“数学建模—求解—解释—验证”全过程的训练。分层练习有效兼顾了不同层次学生的需求，挑战题激发了优生的探究欲望。整体教学节奏把握较好，但在时间分配上，探究环节略长，导致小结稍显仓促，下次应更精准控制各环节时长。通过本课，学生不仅提升了技能，更在思维深度上有所突破，为后续学习奠定了良好基础。《用分解因式法求解一元二次方程》第1课时教案
学科 初中数学
年级册别 九年级上册（北师大版）
教材分析 本课内容选自北师大版九年级上册第二章《一元二次方程》的第三节《用分解因式法求解一元二次方程》。在前两节中，学生已经学习了一元二次方程的概念、一般形式以及配方法、公式法的解法，具备了基本的代数运算能力和方程求解意识。分解因式法是求解一元二次方程的第三种方法，它以因式分解知识为基础，通过将方程转化为两个一次因式的乘积等于零的形式，利用“若ab=0，则a=0或b=0”的基本性质求解，体现了数学中“化归”思想的应用。本节内容不仅是对方程解法的补充和完善，也为后续学习函数零点、方程与不等式关系等内容打下基础，具有承上启下的作用。
教学目标 1. 观察现实世界：通过实际问题引入一元二次方程，引导学生从生活情境中抽象出数学模型，体会方程是刻画现实世界数量关系的重要工具。
2. 思考现实世界：经历从具体方程出发，通过观察、类比、归纳，探索分解因式法的解题思路与步骤，发展逻辑推理与抽象思维能力。
3. 表达现实世界：能准确使用数学语言描述分解因式法的解题过程，规范书写解题步骤，并能解释每一步的依据，提升数学表达与交流能力。
教学重难点 教学重点：掌握用分解因式法求解一元二次方程的基本思路和规范步骤，理解“若ab=0，则a=0或b=0”的理论依据，并能熟练应用于形如(x-a)(x-b)=0或可通过提公因式、公式法分解的方程。
教学难点：准确判断哪些一元二次方程适合使用分解因式法求解；在分解因式过程中正确处理符号与系数，避免漏解或增解；对于需要先移项整理再分解的方程，能独立完成完整的解题流程。
方法运用 本节课采用“情境探究法”创设问题情境，激发学生兴趣；运用“合作探究法”组织学生小组讨论，共同探索解法；结合“讲授法”系统讲解核心概念与解题步骤；通过“议题式教学法”围绕“如何快速求解特定类型的一元二次方程”展开深度讨论，引导学生主动建构知识体系，实现从“学会”到“会学”的转变。
教学准备 教师准备：多媒体课件（含动画演示分解过程）、探究任务单、课堂练习题、实物投影仪；学生准备：复习因式分解的三种基本方法（提公因式法、平方差公式、完全平方公式），准备好笔记本和练习本。
教学过程设计
教学环节 教学活动 设计意图
一、情境导入，提出问题 一、创设生活情境，引出数学问题 （1）、呈现实际问题，激发探究兴趣
教师通过多媒体展示一个真实的生活场景：某小区要修建一个矩形花坛，要求花坛的面积为30平方米，且长比宽多7米。现在需要你帮助设计人员计算出花坛的长和宽各是多少米？引导学生思考：这个问题中有哪些已知量和未知量？它们之间存在怎样的数量关系？能否用一个方程来表示这种关系？
学生在教师引导下逐步分析：设花坛的宽为x米，则长为(x+7)米，根据面积公式“长×宽=面积”，可列出方程：x(x+7)=30。进一步整理得：x +7x-30=0。教师强调：这是一个我们刚刚学习过的一元二次方程，之前我们用配方法或公式法可以求解，但过程较为繁琐。今天我们将学习一种更简洁的方法——分解因式法，来快速解决这类问题。
（2）、回顾旧知，搭建认知桥梁
教师提问：在学习新方法之前，我们先回顾一下因式分解的相关知识。请同学们回忆，我们学过哪些因式分解的方法？并举例说明。学生回答后，教师通过课件展示三个典型题目：① 3x -6x；② x -9；③ x +6x+9。邀请三位学生上台分别用提公因式法、平方差公式、完全平方公式进行分解，并说明每一步的依据。教师及时点评，强调因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，这是本节课方法的基础。
接着，教师提出关键问题：如果两个数的乘积等于0，那么这两个数有什么特点？引导学生回忆并说出：“如果a·b=0，那么a=0或b=0。”教师板书这一重要性质，并解释其在方程求解中的意义：只要能把一个方程变形为两个因式的乘积等于0的形式，就可以转化为两个一次方程来求解，从而大大简化运算过程。 通过贴近学生生活的实际问题引入，增强数学的实用性与趣味性，激发学习动机；复习因式分解和“零乘积性质”为新知学习扫清障碍，建立新旧知识之间的联系，帮助学生实现知识的正迁移，为后续探究做好铺垫。
二、合作探究，建构新知 二、小组合作，探索分解因式法的解题路径 （1）、分组探究典型例题，初步感知解法
教师将全班分为若干学习小组，每组发放一张探究任务单，上面印有三个由易到难的一元二次方程：① x -5x=0；② x -9=0；③ x +4x+4=0。要求各小组合作完成以下任务：第一步，观察每个方程的特点，尝试用因式分解的方法将其左边化为两个一次因式的乘积；第二步，根据“若ab=0，则a=0或b=0”的性质，将原方程转化为两个一元一次方程；第三步，分别求解这两个一元一次方程；第四步，写出原方程的解，并讨论解的个数与形式。
教师巡视各小组，适时给予指导，如提示学生观察方程是否含有公因式、是否符合平方差或完全平方结构。5分钟后，邀请三组代表依次上台展示解题过程。第一组展示x -5x=0的解法：提取公因式x，得x(x-5)=0，所以x=0或x-5=0，解得x =0，x =5。第二组展示x -9=0：利用平方差公式，得(x+3)(x-3)=0，所以x+3=0或x-3=0，解得x =-3，x =3。第三组展示x +4x+4=0：利用完全平方公式，得(x+2) =0，所以x+2=0，解得x =x =-2（重根）。教师对各组表现给予肯定，并强调解题的规范性与逻辑性。
（2）、归纳解法步骤，形成一般性认知
在学生完成探究后，教师引导全班共同总结用分解因式法求解一元二次方程的一般步骤：第一步，将方程右边化为0，使左边为一个多项式；第二步，尝试对左边的多项式进行因式分解，将其写成两个一次因式的乘积；第三步，根据“乘积为零”的性质，令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；第四步，分别解这两个一元一次方程；第五步，写出原方程的全部解。教师板书这五个步骤，并强调：并非所有一元二次方程都能用分解因式法求解，只有当左边能分解为两个一次因式的乘积时才适用。同时指出，这种方法特别适用于缺少常数项或缺少一次项的特殊方程，以及能明显看出可分解结构的方程。 通过小组合作探究，让学生亲身经历知识的发现过程，培养合作交流与自主探究能力；由浅入深的例题设计符合认知规律，帮助学生逐步建立解题模型；归纳总结环节提升学生的抽象概括能力，形成系统的解题策略，实现从具体到一般的思维跃迁。
三、典例精讲，深化理解 三、教师示范，突破难点 （1）、讲解需移项整理的综合题型
教师出示例题：解方程 2x =8x。提问：这个方程能否直接分解？为什么？引导学生发现右边不为0，无法直接应用分解因式法。教师示范解题过程：首先将方程移项，得2x -8x=0；然后提取公因式2x，得2x(x-4)=0；接着令2x=0或x-4=0；解得x =0，x =4。强调移项的重要性，并提醒学生注意公因式应提取彻底（包括系数2）。
接着出示第二个例题：解方程 (x+1) =4。提问：这个方程左边是平方形式，能否直接开方？当然可以，但今天我们用分解因式法来解。教师引导：先把方程右边化为0，得(x+1) -4=0；然后观察左边，符合平方差结构，即[(x+1)+2][(x+1)-2]=0，化简得(x+3)(x-1)=0；所以x+3=0或x-1=0；解得x =-3，x =1。通过此例，强化学生“先化为一般形式”的意识，并展示平方差公式的灵活应用。
（2）、辨析易错点，提升思维严谨性
教师提出一个常见错误案例：有同学解方程x =5x时，两边同时除以x，得到x=5，认为只有一个解。提问：这样做对吗？为什么？组织学生讨论。学生很快发现：当x=0时，原方程也成立，但被除掉了，导致漏解。教师借此强调：在解方程过程中，不能随意在等式两边除以含有未知数的代数式，否则可能丢失解。正确的做法是移项后分解因式：x -5x=0 → x(x-5)=0 → x=0或x=5。通过反例辨析，加深学生对解法本质的理解，培养严谨的数学思维。 通过典型例题的精讲，帮助学生掌握复杂情境下的解题策略，突破教学难点；反例辨析环节直击学生易错点，强化正确思维路径，避免机械模仿，提升思维的批判性与严密性。
四、巩固练习，应用提升 四、分层训练，巩固新知 （1）、基础达标练习
教师在屏幕上展示三道基础题，要求全体学生独立完成：
① 解方程：x -4x=0
② 解方程：x -25=0
③ 解方程：x +6x+9=0
学生完成后，教师随机抽取三名学生口述解题过程，其余学生对照修正。通过实物投影展示优秀作业，强调书写规范与步骤完整。
（2）、能力提升挑战
教师出示两道稍有难度的题目，供学有余力的学生挑战：
① 解方程：3x +6x=0
② 解方程：(2x-1) =9
鼓励学生先独立思考，再与同桌交流。教师巡视，重点关注学生是否能正确提取公因式中的系数，以及是否能灵活运用平方差公式进行分解。完成后请两位学生上台板演，师生共同点评，特别强调解题的逻辑链条与每一步的理论依据。 基础练习面向全体，确保每位学生掌握基本技能；提升题满足不同层次学生的学习需求，体现因材施教原则；通过独立完成与交流展示相结合的方式，促进知识内化，提升应用能力。
五、课堂小结，反思升华 五、总结归纳，构建知识网络 （1）、回顾本节课核心内容
教师引导学生回顾：今天我们学习了什么新方法？它的理论依据是什么？适用条件是什么？解题步骤有哪些？学生逐一回答，教师配合板书梳理：
方法：分解因式法
依据：若ab=0，则a=0或b=0
步骤：① 移项使右边为0；② 分解左边为乘积形式；③ 转化为两个一次方程；④ 分别求解；⑤ 写出原方程的解
条件：左边能分解为两个一次因式的乘积
（2）、联系旧知，形成方法体系
教师提问：分解因式法与之前学的配方法、公式法有何异同？引导学生讨论：三者都是求解一元二次方程的方法，但分解因式法更简便快捷，适用于特定类型；而配方法和公式法具有普适性，但计算量较大。强调应根据方程特点灵活选择解法，体现算法优化的思想。最后回到导入问题：花坛的长和宽是多少？学生尝试用新方法解x +7x-30=0（提示可分解为(x+10)(x-3)=0），得出宽为3米，长为10米，首尾呼应，增强成就感。 通过系统总结，帮助学生梳理知识脉络，形成清晰的认知结构；比较不同解法，培养学生选择最优策略的意识；再次解决导入问题，实现问题闭环，增强学习的完整性与满足感。
教学反思 本节课通过创设真实问题情境，有效激发了学生的学习兴趣，使抽象的数学知识变得生动可感。合作探究环节充分调动了学生的主动性，多数小组能顺利完成基础任务，体现了“以学生为主体”的教学理念。但在教学过程中也发现，部分学生对因式分解的熟练度不够，影响了解题速度与准确性，今后需加强前置知识的复习与巩固。此外，在辨析“两边除以x”错误时，虽然学生能指出漏解，但对“为什么不能除”的深层理解仍显不足，说明对等式性质的教学还需进一步深化。整体来看，教学目标基本达成，学生掌握了分解因式法的基本步骤，但在灵活应用与思维严谨性方面仍有提升空间，后续练习中应增加变式训练与错题分析，促进核心素养的全面发展。

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