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从不缺席高考三次函数
一．基础知识
1、三次函数概念
定义：形如叫做三次函数
2、三次函数的图像及单调性
对于三次函数，其导函数为二次函数:
，把△=叫做三次函数导函数的判别式。注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！
系数关系式 的图像 的图像 的性质
恒成立； 在上递增； 无极值。
恒成立； 在上递减； 无极值。
增区间； 减区间， 有两个不同的极值点，极大值极小值
增区间； 减区间，有两个不同的极值点，极大值极小值
注：（1）若，则在上无极值；
（2）若，则在上有两个极值；
3、三次函数的零点个数
三次函数的图像、零点、极值的关系如下：
性质 三次函数图像 说明
零点个数 三个 注：为极值。 函数存在两个不同极值； 图像与轴有三个交点。
两个 函数存在两个不同极值，有一个极值为0； 图像与轴有两个交点。
一个 函数存在两个不同极值； 图像与轴有一个交点。
函数单调，在上无极值； 图像与轴有一个交点
注：由图像可知：①含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）.
②有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一
为切点，所以，且.
③有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即
有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故且.
4、奇偶性
对于三次函数（、、、且）.
①不可能为偶函数；②当且仅当时是奇函数．
5、三次函数的对称性
结论1：三次函数的对称中心为点，
评注：其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
结论 2：极大值到对称中心距离为: ，极小值到对称中心距离为，极小值等值点到 极大值距离为，极大值等值点到极小值距离为。 即：对称中心为极值与极值等值点的三等分点。
结论 3：三次函数，直线为在对称中心处的切线。过平面上任一点，可作三次函数的切线条数：
结论4：已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有.
证明：，
由于，所以，，，
所以，
又，，
命题得证.
4、三次方程根与系数的关系
（1）已知实系数多项式有三个根,设为
（2）由三次方程根与系数的关系：
典型例题
1.（2024年新高考1卷第10题） 设函数 , 则（ ）.
是的极小值点 当时,
当时, 当时,
2.（2024新高考2卷第11题 ）设函数，则（ ）
当时，有三个零点 当时，是的极大值点
存在，使得为曲线的对称轴
存在，使得点为曲线的对称中心
3.（2022年新高考1卷第10题）已知函数,则
有两个极值点 有三个零点
点是曲线的对称中心 直线是曲线的切线
4.（2025江苏省新高考基地学校联考第10题）
已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有实数根 ，则
的最小值为
5.（24-25高二下·四川资阳·期末）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为，则（ ）
A．存在拐点 B．若，则
C．当，且有极值时， D．当，，且函数有三个零点时，
6.（24-25高二下·湖北·期中）已知三次函数在区间上的值域也为，那么下列说法正确的是（ ）
A．且
B．当时，满足要求的不存在
C．当时，有
D．当时，有
7.（24-25高三上·广东·阶段练习）对于一元三次函数图象上任一点，若在点处的切线与的图象交于另一点，则称为的“伴随割点”，关于“伴随割点”，下列说法正确的有（ ）
A．函数图象上所有点都有“伴随割点”
B．若点的“伴随割点”为点，则
C．若的图象上存在一点与其“伴随割点”关于原点对称，则
D．若的图象与轴的交点分别为，，，它们的“伴随割点”存在且分别为，，，则，，三点共线
8.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知三次函数有三个不同的零点，函数也有三个零点，则（ ）
A．
B．若成等差数列，则
C．
D．
三．练习
1.（24-25高二下·辽宁·期中）设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 .
2.（21-22高二下·北京海淀·期中）对于三次函数，有如下定义：设是函数的导函数，是的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.而某同学探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”恰为该三次函数图象的对称中心.对于函数，依据上述结论，可知图象的对称中心为 ，而 .
3.（16-17高三·云南昆明·阶段练习）已知三次函数在上单调递增，则的最小值为 ．
4．（2013·江西抚州·一模）已知三次函数有三个零点，且在点处的切线的斜率为.则 .
5.（24-25高二下·浙江·期中）若三次函数有三个相异且成等差的零点，则a的取值范围为 .
6.（19-20高三上·广东清远·期末）对于三次函数 有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．若点是函数 的“拐点”，也是函数图像上的点，则函数的最大值是 ．
7.（24-25高三上·湖北·阶段练习）任意一个三次多项式函数的图象都有且仅有一个中心对称点为，其中是的根，是的导数.若函数图象的中心对称点为，存在，使得成立，则的取值范围为 .
8．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）三次函数叙述正确的是（ ）
A．当时，函数无极值点 B．函数的图象关于点中心对称
C．过点的切线有两条 D．当时，函数有3个零点
9．（23-24高二下·江苏扬州·期中）定义：设是的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．的对称中心为
B．若关于x的方程有三解，则
C．若在上有极小值，则
D．若在上的最大值、最小值分别为，则
10．（23-24高二下·四川成都·期末）对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（ ）
A．函数 有三个零点
B．函数 有两个极值点
C．点 是曲线 的对称中心
D．方程 有三个不同的实数根
11．（2024·贵州·模拟预测）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．， B．函数的极大值与极小值之和为2
C．函数有三个零点 D．在区间上单调递减
12．（20-21高三上·江苏·阶段练习）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的值可能是 D．的值可能是
13．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知三次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，单调递减区间为
B．当时，单调递增区间为
C．当时，若函数恰有两个不同的零点，则
D．当时，恒成立，则a的取值范围为
14．（22-23高二下·江苏南京·期末）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是的对称中心
D．
15.24-25高二下·广东·期中）已知三次函数
(1)当时，试求的单调区间和零点．
(2)若函数存在3个不同的零点，证明下列结论：
（i）；
（ii）当时，成等差数列的充要条件是；
（iii）某同学课外研究时发现了一个有趣的结论：，请同学们结合本题中的关系证明如下命题：记，是函数的导函数，令，证明：对任意是一个次数不超过2的多项式函数．
16.（2024高三下·全国·竞赛）三次函数的三个零点为，两个极值点为．作直线，在上分别取使得是正三角形．
(1)计算：．
(2)证明：均与的内切圆相切．
17.（23-24高三下·上海·开学考试）对三次函数，如果其存在三个实根，则有.称为三次方程根与系数关系.
(1)试讨论函数的单调性.
(2)对三次函数，设，存在，满足.证明：存在，使得；
(3)称是上的广义正弦函数当且仅当存在极值点，使得.在平面直角坐标系中，是第一象限上一点，设.已知在上有两根.
（i）证明：在上存在两个极值点的充要条件是；
（ii）求点组成的点集，满足是上的广义正弦函数.从不缺席高考三次函数
一．基础知识
1、三次函数概念
定义：形如叫做三次函数
2、三次函数的图像及单调性
对于三次函数，其导函数为二次函数:
，把△=叫做三次函数导函数的判别式。注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！
系数关系式 的图像 的图像 的性质
恒成立； 在上递增； 无极值。
恒成立； 在上递减； 无极值。
增区间； 减区间， 有两个不同的极值点，极大值极小值
增区间； 减区间，有两个不同的极值点，极大值极小值
注：（1）若，则在上无极值；
（2）若，则在上有两个极值；
3、三次函数的零点个数
三次函数的图像、零点、极值的关系如下：
性质 三次函数图像 说明
零点个数 三个 注：为极值。 函数存在两个不同极值； 图像与轴有三个交点。
两个 函数存在两个不同极值，有一个极值为0； 图像与轴有两个交点。
一个 函数存在两个不同极值； 图像与轴有一个交点。
函数单调，在上无极值； 图像与轴有一个交点
注：由图像可知：①含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）.
②有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一
为切点，所以，且.
③有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即
有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故且.
4、奇偶性
对于三次函数（、、、且）.
①不可能为偶函数；②当且仅当时是奇函数．
5、三次函数的对称性
结论1：三次函数的对称中心为点，
评注：其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
结论 2：极大值到对称中心距离为: ，极小值到对称中心距离为，极小值等值点到 极大值距离为，极大值等值点到极小值距离为。 即：对称中心为极值与极值等值点的三等分点。
结论 3：三次函数，直线为在对称中心处的切线。过平面上任一点，可作三次函数的切线条数：
结论4：已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有.
证明：，
由于，所以，，，
所以，
又，，
命题得证.
4、三次方程根与系数的关系
（1）已知实系数多项式有三个根,设为
（2）由三次方程根与系数的关系：
典型例题
1.（2024年新高考1卷第10题） 设函数 , 则（ ）.
是的极小值点 当时,
当时, 当时,
解析：，当时，单调递减；当时，单调递增，所以是的极小值点，正确；
当时，单调递增，又，所以，错误；当时,，易知单调递减，所以，即，所以正确；
当 时,
所以 ，所以正确，
综上，本题选
2.（2024新高考2卷第11题 ）设函数，则（ ）
当时，有三个零点 当时，是的极大值点
存在，使得为曲线的对称轴
存在，使得点为曲线的对称中心
【解析】对于选项,，由得或，因为，所以当或时，单调递增，当时，单调递减，又，，，，所以由零点存在定理在，上各有一个零点，所以正确；
对于选项,结合选项可知，当时，是的极小值点，所以错误；
对于选项，任何三次函数都不存在对称轴，所以选项错误；
对于选项，，对称轴为，于是当时，点为曲线的对称中心，所以正确.
综上，本题选.
3.（2022年新高考1卷第10题）已知函数,则
有两个极值点 有三个零点
点是曲线的对称中心 直线是曲线的切线
【解析】在上单调递减，在，上单调递增，所以是极值点，故正确；
极小值，所以只有一个零点,故错误
由可知，点是曲线的对称中心,故正确
令，可得，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故错误.
综上，答案选．
4.（2025江苏省新高考基地学校联考第10题）
已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有实数根 ，则
的最小值为
【解析】 因为在单调递增，单调递减，所以所以选项正确；
解得或因为在单调递减， 所以解得，所以选项正确；
由得所以选项不正确；
因为所以
所以所以选项正确；综上，选．
5.（24-25高二下·四川资阳·期末）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为，则（ ）
A．存在拐点 B．若，则
C．当，且有极值时， D．当，，且函数有三个零点时，
【详解】由题意有，，所以，
令，所以，，所以不存在拐点，故A错误；
当时，由，解得，，故B正确；
由，令有：，由，
当时，，所以，故C正确；
当时，，所以，
当时，由有或，有，所以的单调减区间为，单调增区间为，
要使函数有三个零点，只需，又，所以，故D错误.
故选：BC.
6.（24-25高二下·湖北·期中）已知三次函数在区间上的值域也为，那么下列说法正确的是（ ）
A．且
B．当时，满足要求的不存在
C．当时，有
D．当时，有
【详解】对于A，由已知，当时，，且，则在上为减函数，
此时，矛盾，故且，故A正确；
对于B，由知，的极值点分别为
当时，则，如图1，在上为减函数，则，矛盾，故B正确；
对于C，当时，如图2，由（仅时成立，时，应为），
得，但，矛盾，故C错误；
对于D，当时，如图3，在上减，在上增，所以，
有，解得，符合条件，故D正确.
故选：ABD.
7.（24-25高三上·广东·阶段练习）对于一元三次函数图象上任一点，若在点处的切线与的图象交于另一点，则称为的“伴随割点”，关于“伴随割点”，下列说法正确的有（ ）
A．函数图象上所有点都有“伴随割点”
B．若点的“伴随割点”为点，则
C．若的图象上存在一点与其“伴随割点”关于原点对称，则
D．若的图象与轴的交点分别为，，，它们的“伴随割点”存在且分别为，，，则，，三点共线
【详解】对于A，
，
又
，
所以，
故点是一元三次函数的对称中心，
设是曲线上任意一点，
则曲线在点处的切线斜率为，
则切线方程为，
即
与联立，消去得
，
整理得一元三次方程，
则切线与曲线有唯一的公共点，等价于一元三次方程有三个相等实数根，
又等价于，所以点在曲线上，
且该点处的切线与的图象无其他交点，故A错误；
对于B，因为，故在处的切线为
，
联立与切线方程并整理得，
由于“伴随割点”的横坐标，
因此，故B正确；
对于C，设点的“伴随割点”为点，且两者关于原点对称，
则，又根据B选项得，
于是，
，故C正确；
对于D，由于，，是的图象与轴的交点，
可设，
根据系数的对应关系知，
又由，，分别为，，的“伴随割点”，
结合选项B可知，
，三式相加得，
所以，
于是设
，
则的图象为一条直线，又有，
即点均在的图象上，三点共线，故D正确.
故选：BCD.
7.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知三次函数有三个不同的零点，函数也有三个零点，则（ ）
A．
B．若成等差数列，则
C．
D．
【详解】由可得，
要使有三个不同的零点，
则有两个不相等的实数根，故，
即，A正确，
由于为二次函数，关于对称，因此
，
故关于对称，
因此成等差数列，故是的对称中心，则，故B正确，
当时，作出的图象，则的图象与的图象交点如图所示，
由于，故，故C错误，
对于D，根据，
展开可得，
故，
同理可得的三个实数根为，
则，
故，
因此，
故，
即得，故D正确，
故选：ABD
三．练习
1.（24-25高二下·辽宁·期中）设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 .
【详解】因为三次函数，
所以，所以，
令得，
所以三次函数的图象的对称中心为.
所以.
即若，则．
故答案为：4
2.（21-22高二下·北京海淀·期中）对于三次函数，有如下定义：设是函数的导函数，是的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.而某同学探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”恰为该三次函数图象的对称中心.对于函数，依据上述结论，可知图象的对称中心为 ，而 .
【详解】因为，
令，得
因为
所以图象的对称中心为
由对称性可知
所以
故答案为：，1011
3.（16-17高三·云南昆明·阶段练习）已知三次函数在上单调递增，则的最小值为 ．
【详解】解： , 三次函数在上单调递增，
在上恒成立，
则，，
.
令，则，
当且仅当，即时取等号.
故答案为:.
4．（2013·江西抚州·一模）已知三次函数有三个零点，且在点处的切线的斜率为.则 .
【详解】试题分析：设,则,由导数的几何意义可得, ,
所以．
考点：导数的几何意义．
5.（24-25高二下·浙江·期中）若三次函数有三个相异且成等差的零点，则a的取值范围为 .
【详解】定义域为R，
，时，恒成立，
故在R上单调递增，不会有三个零点，舍去，
故，解得，
设的三个相异的零点为，，故，
又①，②，③，
式子①-②得，
即，
故，
因为，所以④，
式子③-②得，
即，
故，
因为，所以⑤，
式子④-⑤得，
即，
因为，所以，
因为，所以，解得，
将其代入②得，，
即，，
又，故，又，解得.
故答案为：
6.（19-20高三上·广东清远·期末）对于三次函数 有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．若点是函数 的“拐点”，也是函数图像上的点，则函数的最大值是 ．
【详解】，由于是函数的拐点，故，解得.所以，根据，解得，故，当时，函数取得最大值为.
7.（24-25高三上·湖北·阶段练习）任意一个三次多项式函数的图象都有且仅有一个中心对称点为，其中是的根，是的导数.若函数图象的中心对称点为，存在，使得成立，则的取值范围为 .
【详解】，，，
又的图象的对称中心点，
所以，解得，所以，
不等式为，
因为，所以，
令，则，
当时，，递减，时，，递增，
所以，所以，
从而，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以的最小值是，
所以．
故答案为：．
8．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）三次函数叙述正确的是（ ）
A．当时，函数无极值点 B．函数的图象关于点中心对称
C．过点的切线有两条 D．当时，函数有3个零点
【详解】对于A，，，，单调递增，无极值点，故A正确；
对于B，因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；
对于C：设切点，则切线方程为，
因为过点，所以，，解得，
即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误；
对于D：，当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又有极大值为，所以若函数有3个零点，
则有极小值为，得到，故D正确．
故选：ABD．
9．（23-24高二下·江苏扬州·期中）定义：设是的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．的对称中心为
B．若关于x的方程有三解，则
C．若在上有极小值，则
D．若在上的最大值、最小值分别为，则
【详解】对于A，易知，，令，而，
由“拐点”定义可知的对称中心为，故A正确；
令，此时单调递减，
令或，此时单调递增，
则，即的极大值为3，极小值为，
所以关于x的方程有三解，即两函数有三个交点，
则，故B正确；
易知若在上有极小值，则，故C错误；
由上可知，若在上的最大值、最小值分别为，
则，最值在端点处取得，即，
根据函数的对称中心知，而，
所以关于对称中心对称，则，故D正确.
故选：ABD
10．（23-24高二下·四川成都·期末）对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（ ）
A．函数 有三个零点
B．函数 有两个极值点
C．点 是曲线 的对称中心
D．方程 有三个不同的实数根
【详解】由得，
令或，
所以在单调递减，在、单调递增.
A：因为，
所以在存在1个零点，故在R上有2个零点，故A错误；
B：的极大值点为，极小值点为，
所以有2个极值点，故B正确；
C：令，得，，
所以是的拐点，进而是的对称中心，故C正确；
D：因为的极大值为，极小值为，
作出直线与函数的图象，如图，
由图可知，直线与函数的图象有3个交点，
所以方程有3个不同的实根，故D正确.
故选：BCD
11．（2024·贵州·模拟预测）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．， B．函数的极大值与极小值之和为2
C．函数有三个零点 D．在区间上单调递减
【详解】由，可得，，
令，得，
因为函数图象的对称中心为，
因此，解得，，故选项A正确；
由以上过程可知，，
且当或时，；当时，.
于是在和上都是增函数，在上是减函数，
故选项D错误；
因为关于点对称，
所以的极大值与极小值之和为，故选项B正确；
因为函数极小值，
由三次函数的性质知，只有一个零点，所以选项C错误，
故选：AB.
12．（20-21高三上·江苏·阶段练习）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的值可能是 D．的值可能是
【详解】由题意可得，因为，所以，所以，
解得，所以．
因为，所以等价于对任意恒成立．令，则.
设，则，从而在上单调递增．因为，所以，即，
则（当且仅当时，等号成立），
从而，所以．
故选：ABC．
13．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知三次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，单调递减区间为
B．当时，单调递增区间为
C．当时，若函数恰有两个不同的零点，则
D．当时，恒成立，则a的取值范围为
【详解】，则，
当时，在区间上，
所以在上单调递减区间，A正确，B错误；
要使函数恰有两个不同的零点，则有一个极值为0，
由上分析知：或，而时，不满足题意；
所以，有，化简可得，C正确；
当时恒成立，即恒成立，
令，则，故，
在上，单调递增，在上，单调递减，
∴，故，D正确．
故选：ACD
14．（22-23高二下·江苏南京·期末）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是的对称中心
D．
【详解】由函数，可得，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极大值，极大值为，所以A正确；
又由极小值，且当时，，
当时，，所以函数有3个零点，所以B错误；
由，可得，令，可得，
又由，所以点是函数的对称中心，
所以C正确；
因为是函数的对称中心，所以，
令，
可得，
所以，
所以，即，
所以D正确.
故选：ACD.
15.24-25高二下·广东·期中）已知三次函数
(1)当时，试求的单调区间和零点．
(2)若函数存在3个不同的零点，证明下列结论：
（i）；
（ii）当时，成等差数列的充要条件是；
（iii）某同学课外研究时发现了一个有趣的结论：，请同学们结合本题中的关系证明如下命题：记，是函数的导函数，令，证明：对任意是一个次数不超过2的多项式函数．
【详解】（1）因为，所以，
求导得，令，解得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
令，可得，所以，
所以，解得或或，
所以函数的零点为0，1，2；
（2）（i）因为函数存在3个不同的零点，
所以，
所以，
又，
所以.
（ii）先证明必要性：
由成等差数列，
所以，
所以,
由，
所以，
整理可得.
再证明充分性：由，所以，
即，
所以是函数的一个零点，
当时，,
又∵,
所以,所以,
所以成等差数列.
（iii）因为，
所以，
所以,
所以，
由，
可得
所以
所以
，
所以，
所以，
所以对任意是一个次数不超过2的多项式函数．
16.（2024高三下·全国·竞赛）三次函数的三个零点为，两个极值点为．作直线，在上分别取使得是正三角形．
(1)计算：．
(2)证明：均与的内切圆相切．
【详解】（1），
，
故，，，
即.
（2）易知图象是一个中心对称图形，不妨设，此时，
记，则，
在正中，逆时针旋转得到，由坐标旋转公式知①，
令，根据韦达定理知②，
设为的对称中心的横坐标，易知，
故的中心在直线上，
而，令，同理由韦达定理知③，
故，
而.
故均与的内切圆相切，证毕.
17.（23-24高三下·上海·开学考试）对三次函数，如果其存在三个实根，则有.称为三次方程根与系数关系.
(1)试讨论函数的单调性.
(2)对三次函数，设，存在，满足.证明：存在，使得；
(3)称是上的广义正弦函数当且仅当存在极值点，使得.在平面直角坐标系中，是第一象限上一点，设.已知在上有两根.
（i）证明：在上存在两个极值点的充要条件是；
（ii）求点组成的点集，满足是上的广义正弦函数.
【详解】（1）因为，所以，
若，则，从而此时在定义域内单调递增；
若，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
综上所述，若，则单调递增；若，则在分别单调递增，在单调递减.
（2）因为，所以不妨设，
所以，
而，故，
故存在使得，所以，
若，则，此时，与题设矛盾，
综上所述，存在，使得.
（3）（i）是第一象限上一点，所以，
因为，所以，
设，则，
而时，，时，，
所以存在负根，
因为在上存在两个极值点，等价于方程在上有两个根，
等价于方程在上存在两个变号根，
注意到三次方程最多有3个根，
所以方程有一个负根，两个不同的正根，
而，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当且仅当，即当且仅当，
综上所述，命题（i）得证；
（ii）由（i）可得在有两个极值点,
且.
由题设恰好有两个正根，
此时：由于对来说，等价于，
等价于，
所以对，如果，
那么，
故，故，
结合（i）中分析可得:
当时，；
当时，；
当时，；
故分别为在的极小值点、极大值点.
对两个不相等的正数，
所以当且仅当，
那么如果或，就有或，故，
此时，
所以，
故，
最后，由于有一个极值点，
所以都不等于（是不相等的正零点，同时该方程还有另一个负零点，但只要是根就是二重的，所以不可能是根），
这就说明，
结合的单调性以及，必有，
所以此时一定是广义正弦函数，
综上所述，满足题意的.

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