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第7讲　函数的单调性与最值
一、知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[
当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的
(2)单调区间的定义
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
2.函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得
结论 为最大值 为最小值
3．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
【例】（1）函数的值域为　　　　 若加条件呢？
（2）函数的值域为　　　　
（3）已知函数,则f(x)的值域是　　　　
变式1、函数,则f(x)的值域是　　　　
2、函数,则f(x)的值域是　　　　
3、函数,则f(x)的值域是　　　　
二、三大核心原则
定义域优先原则 ：研究函数单调性和最值前必须首先明确定义域
单调性判定原则 ：通过定义法、导数法、图象法和性质法综合判断单调性
最值存在性原则 ：闭区间上连续函数必有最值，开区间需验证极值点
三、六大常见题型分类与解题策略
1. 单调性判定与区间求解
解题方法 ：
（1） 定义法 ：取值→作差→变形→判号→结论
（2） 导数法 ：求导→分析导函数符号→确定单调区间（适用于可导函数）
（3） 图象法 ：观察函数图象升降趋势
（4） 性质法 ：利用已知单调性的函数进行复合判断（如"同增异减"法则）
【例1】若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误
【例2】函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和．
2. 复合函数单调性问题
解题要点 ：（1）先确定内层函数和外层函数的单调性（2）应用"同增异减"法则
注意：定义域的变化
【例3】函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，则，解得或，
所以的定义域为，又开口向上，
对称轴为，在上单调递增，所以在上
单调递减，在上单调递增，因为在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即的单调增区间为.
3. 函数值域求解
【例4】的值域为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，所以，即．又在上单调递增，故当时，函数取最大值为，即的值域为．
【例5】已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【详解】依题意，，
显然，则，于是，
所以函数的值域是.故选：C.
4. 含参单调性问题
解题步骤 ：（1）求导后分类讨论参数对导函数符号的影响
（2）建立不等式（组）确定参数范围
（3）验证边界值
【例6】已知函数在上的最小值是1，则 .
【详解】若，则，在上单调递增，最小值为，不符合题意；
若，则的定义域为，且由复合函数的单调性可知在上单调递增，则最小值为，解得，不符合题意；
若，则的定义域为，由题意可得，则，
此时由复合函数的单调性可知在上单调递增，
则最小值为，解得，符合题意；综上， .
故答案为：
5. 单调性应用——比较大小
转化策略 ：（1）构造辅助函数比较函数值（2）利用奇偶性转化到同一单调区间（3）幂函数比较时化为同指数或同底数
【例6】已知点在幂函数的图象上，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为点在幂函数的图象上，则，解得，
所以，可得，故，
因为，，，且函数在上为增函数，
又因为，则，故.故选：C.
6. 单调性应用——解不等式
解题关键 ：（1）将不等式转化为与比较形式
（2）根据单调性去掉函数符号（注意单调性方向）
（3）考虑定义域限制
【例7】函数.若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】，
关于对称.
当时：为增函数，也为增函数，所以在上为增函数，
关于对称在为减函数，
，，.故选：A.
四、典例欣赏
【例8】已知x<,y>2,且x+y-xy=3,则x-y的取值范围为　　　　.
【详解】
法1： 因为x+y-xy=3，y>2，所以x=1-，由x<，得1-<，可得2法2：因为x+y-xy=3，y>2，所以，可得 ，令
，代入x+y-xy=3，得，变形为
结合对勾函数的性质第7讲　函数的单调性与最值
一、知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[
当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的
(2)单调区间的定义
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
2.函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得
结论 为最大值 为最小值
3．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
【例】（1）函数的值域为　　　　 若加条件呢？
（2）函数的值域为　　　　
（3）已知函数,则f(x)的值域是　　　　
变式1、函数,则f(x)的值域是　　　　
2、函数,则f(x)的值域是　　　　
3、函数,则f(x)的值域是　　　　
二、三大核心原则
定义域优先原则 ：研究函数单调性和最值前必须首先明确定义域
单调性判定原则 ：通过定义法、导数法、图象法和性质法综合判断单调性
最值存在性原则 ：闭区间上连续函数必有最值，开区间需验证极值点
三、六大常见题型分类与解题策略
1. 单调性判定与区间求解
解题方法 ：
（1） 定义法 ：取值→作差→变形→判号→结论
（2） 导数法 ：求导→分析导函数符号→确定单调区间（适用于可导函数）
（3） 图象法 ：观察函数图象升降趋势
（4） 性质法 ：利用已知单调性的函数进行复合判断（如"同增异减"法则）
【例1】若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
2. 复合函数单调性问题
解题要点 ：（1）先确定内层函数和外层函数的单调性（2）应用"同增异减"法则
注意：定义域的变化
【例3】函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
3. 函数值域求解
【例4】的值域为（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
4. 含参单调性问题
解题步骤 ：（1）求导后分类讨论参数对导函数符号的影响
（2）建立不等式（组）确定参数范围
（3）验证边界值
【例6】已知函数在上的最小值是1，则 .
5. 单调性应用——比较大小
转化策略 ：（1）构造辅助函数比较函数值（2）利用奇偶性转化到同一单调区间（3）幂函数比较时化为同指数或同底数
【例6】已知点在幂函数的图象上，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
6. 单调性应用——解不等式
解题关键 ：（1）将不等式转化为与比较形式
（2）根据单调性去掉函数符号（注意单调性方向）
（3）考虑定义域限制
【例7】函数.若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
四、典例欣赏
【例8】已知x<,y>2,且x+y-xy=3,则x-y的取值范围为　　　　.

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