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计数原理：二项式定理复习讲义
考点目录
型 型
型 二项展开式各项的系数和
二项式定理的性质 最大项问题
二项式定理的实际应用
【知识点解析】
型问题的解题思路：
步骤1：利用二项式定理展开，化简得展开式.
步骤2：令展开式次数等于题目所求次数，求.
步骤3：将代入展开式得系数.
【例题分析】
1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）的展开式中，项的系数是（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】A
【详解】，
二项式展开式的通项为：，
令，
所以项的系数是.
故选：A.
2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）的展开式中含项的系数为（ ）
A．10 B．5 C． D．
【答案】D
【详解】展开式的通项为：，
令得含项的系数为.
故选：D
3．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】的展开式通项为，
令可得，故展开式中的系数为.
故选：A.
4．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）展开式中的常数项为（ ）
A．7 B． C．14 D．
【答案】D
【详解】展开式的通项为，，
令，得，则展开式中的常数项为.
故选：D.
5．（24-25高二下·湖南长沙·期末）展开式中的常数项为 .
【答案】
【详解】对于，展开式通项为，，
当时，故原式的常数项为.
故答案为：
6．（24-25高二下·云南曲靖·期末）二项式展开式中的第3项为 ．
【答案】
【详解】二项式展开式的第r+1项为：.
则展开式中的第3项为：．
故答案为：.
7．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知的展开式中，的系数为80，则 ．
【答案】
【详解】由题意，
在中，通项为，
∵的系数为80，
∴当即时，，
∴，解得，
故答案为：.
8．（2025·湖南娄底·模拟预测）若的展开式中的系数为231，则 .
【答案】2
【详解】的展开式的通项，.
令，解得，则，解得.
故答案为：2.
9．（24-25高二下·浙江杭州·期末）在的展开式中，第项为常数项．
(1)求的值和该常数项的值；
(2)求展开式中所有项的系数之和．
【答案】(1)，常数项的值为
(2)
【详解】（1）因为的展开式的通项公式为，
由题知时，，得到，解得，
所以常数项的值为.
（2）由（1）知，令，得到，
所以展开式中所有项的系数之和为.
10．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知的展开式中第5项为常数项.
(1)求的值；
(2)求展开式中所有的无理项.
【答案】(1)；
(2)时，无理项为；时，无理项为；时，无理项为.
【详解】（1）根据二项式定理，的展开式的通项为，
化简得，
因为展开式中第5项为常数项，即，的指数为零，
所以，解得；
（2）由（1）得，当时的展开式的通项为，
要求展开式中的无理项，即的指数不为整数时，
即不为整数，则取奇数时满足条件，
对应的无理项为：时，；
时，；
时，.
【知识点解析】
型问题的解题思路：
步骤1：利用二项式定理展开，化简得展开式.
步骤2：分类讨论，令展开式与的次数分别等于题目所求次数，分别求.
步骤3：分别将代入展开式与得系数.
【例题分析】
1．（24-25高二下·广东广州·期末）的展开式中的系数为（ ）
A．0 B．10 C． D．20
【答案】A
【详解】由题意得展开式的通项公式为，
令，，
令，，所以的系数为0.
故选：A.
2．（24-25高二下·天津西青·期末）的展开式中的系数是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．10
【答案】B
【详解】由的展开式中的项是：，
所以的展开式中的系数是，
故选：B.
3．（24-25高二下·河北石家庄·期末）展开式中的系数为（ ）
A．5 B．15 C．20 D．35
【答案】A
【详解】展开式的通项为，所以展开式中的系数为5.
故选：A.
4．（2025·四川广安·模拟预测）已知的展开式中项的系数为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，
而展开式中的通项为，
，
令，得；令，得，
则的展开式中项的系数为
，解得.
故选：A.
5．（24-25高二下·山东威海·期末）的展开式中的系数为 .
【答案】
【详解】展开式通项公式为，所以所求的系数为.
故答案为：.
6．（25-26高三上·湖北·开学考试）在的展开式中，的系数为 ．
【答案】8
【详解】对于，其展开式的通项为：，
易知，中不含项，
故令，则
要得到与，需要与（）中的相乘，即，
所以的系数为8.
故答案为：8
7．（24-25高三上·云南临沧·开学考试）若在关于的展开式中，常数项为4，则的系数是 .
【答案】
【详解】，
其中展开式的通项为，
令，可得，
所以的常数项为，
令，可得，的的系数为，
令，可得，的的系数为，
所以的的系数为.
故答案为：.
8．（25-26高三上·广东·开学考试）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】
【详解】对于，展开式通项为，，
所以含项为，
所以该项对应系数为.
故答案为：
9．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中的系数为 .
【答案】12
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为12.
故答案为：12.
【知识点解析】
型问题的解题思路：
思路一：利用二项式定理展开，令展开式次数等于题目所求次数，求与，代入展开式得系数.
思路二：将题目所求次数依次分配给、、，再利用二项式定理展开.
【例题分析】
1．（24-25高二下·陕西西安·期末）的展开式中，项的系数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
【答案】D
【详解】多项式展开式的通项为
令，可得
由展开式通项为
当时，可得
所以展开式中项的系数为
故选：D
2．（24-25高二下·四川成都·期末）的展开式中的系数为（ ）
A．60 B．120 C．160 D．220
【答案】D
【详解】的展开式中含项为，
故选：D．
3．（24-25高二下·山东济南·期末）的展开式中，常数项为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【详解】，
通项为，
令，所以常数项为.
故选：C.
4．（24-25高二下·安徽宣城·期末）的展开式中，的系数是（ ）
A．60 B．30 C．20 D．10
【答案】A
【详解】由题意得，
由二项式定理得的通项为，
欲求的系数，则令，此时对应项为，
后续我们再从找到只含的项即可，
由二项式定理得的通项为，
令，解得，此时对应项为，
故的系数为，故A正确.
故选：A
5．（24-25高二下·山东聊城·期末）的展开式中的系数为（ ）
A．75 B．135 C．180 D．195
【答案】D
【详解】，
这个展开式中从第4项开始就不会出现，即只在前3项出现，
所以的系数为，
故选：D.
6．（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中项的系数为（ ）
A．360 B．540 C．720 D．1080
【答案】D
【详解】相当于6个因式相乘，
其中一个因式取，有种取法，
余下5个因式中有3个取，有种取法，
最后2个因式中全部取，有种取法，
故展开式中的系数为．
故选：D
7．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习·多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．各项系数之和为32 B．各项系数的绝对值之和为
C．常数项为80 D．的系数为0
【答案】ABD
【详解】对于A，令，可得各项系数之和为，故A正确；
对于B，多项式的展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等，
在多项式中，令，可得各项系数之和为，故B正确；
对于C，的展开式的通项公式为，
的展开式的通项公式为，
令，则有3种情况：当时，该项为；
当时，该项为；当时，该项为；
故常数项为，故C错误；
对于D，令，结合，则有，
解得或，
当时，该项为；
当时，该项为，
所以，的系数为，故D正确.
故选：ABD.
8．（24-25高二下·湖北宜昌·期中·多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．各项系数之和为1
B．各项系数的绝对值之和为
C．常数项为140
D．的系数为40
【答案】BD
【详解】对于A，令，可得各项系数之和为，故A错误；
对于B，多项式的展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等，
在多项式中，令，可得各项系数之和为，故B正确；
对于C，的展开式的通项公式为，
的展开式的通项公式为，
令，则有4种情况：
当时，该项为；
当时，该项为；
当时，该项为；
当时，该项为.
故常数项为，故C错误；
对于D，令，结合，则有，解得或，
当时，该项为；当时，该项为，
所以，的系数为，故D正确.
故选：BD.
9．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为 ．
【答案】1
【详解】由展开式中，
所以，
解得或（舍）．
故答案为：
10．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）展开式中含项的系数为 ．
【答案】
【详解】展开式中含项的为，则其系数为.
故答案为：.
11．（2025·广东广州·三模）展开式中的常数项为 。
【答案】4
【详解】，
3个因式中每个因式都包含三个项，若要得到常数项，
第一种方法是3个都取1，为，第二种方法是取2个，1个，为，
所以展开式的常数项为.
故答案为：4.
12．（24-25高二下·河北承德·期中）已知展开式中有一项是，则 .
【答案】3367
【详解】因为展开式中每一项的次数均为，故；
从而含有的项为，
所以，故.
故答案为：
【知识点解析】
已知
①令，得；
②令，得；
③令，得；
④令，得；
⑤令，得；
⑥令，得；
⑦
令，.
【例题分析】
1．（24-25高二下·安徽合肥·期末·多选）若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】当时，，故A错误；
，则的系数为
，故B正确；
当时，，故C正确；
当时，，
又，所以，
则，故D正确；
故选：BCD.
2．（25-26高三上·广东深圳·开学考试·多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】根据二项式定理，当我们令展开式中时，此时展开式中除了这一项，其余含有的项都为，
所以，即，可得，故选项A正确；
二项式其展开式的通项公式为，
要求，也就是当时的系数，
将代入通项公式中，
先计算组合数，
则，故选项B错误；
令，则，
即，所以
又因为前面已经求得，那么，故选项C错误；
对两边同时求导。
左边求导为，右边求导为，即
令，则
即，所以，故选项D正确.
故选：AD.
3．（24-25高二下·河南商丘·期末·多选）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】令得，所以A错误；
令得，所以B正确；
令得，
显然都是正数，都是负数，
所以，所以C正确；
对两边同时求导，
得，
取得-2025，所以D正确.
故选：BCD.
4．（24-25高二下·贵州安顺·期末·多选）已知的展开式中各项系数之和为，则展开式中（ ）
A．各项的二项式系数之和为 B．含的项的系数为
C．奇数项的二项式系数之和为 D．二项式系数最大项为第项
【答案】ABC
【详解】因为的展开式中各项系数之和为，所以令，，即，解得.
对于A，各项的二项式系数之和为，故选项A正确；
对于B，的展开式的通项为，令，解得，，故含的项的系数为，选项B正确；
对于C，奇数项的二项式系数之和为，故选项C正确；
对于D，当为偶数时，二项式系数最大的项是中间项，时，中间项是第项，故二项式系数最大项为第项，选项D错误.
故选：ABC.
5．（25-26高三上·重庆·阶段练习·多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】对于A，等式右边最高次数为7，故，A正确；
对于B，令，则，B正确；
对于C，的系数为 ，C错误；
对于D，令 则，D错误.
故选：AB.
6．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习·多选）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】∵，∴令得，故选项A正确；
由展开式的通项公式，
令得，所以，故选项B不正确；
令得，故选项C正确；
令得，两式相减得，故，故选项D不正确.
故选：AC.
7．（25-26高三上·内蒙古包头·阶段练习·多选）已知多项式，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】对于A，取，得，A正确；
对于B，在的展开式中，含的项为，即，B正确；
对于C，令，得①，则，C正确；
对于D，令，得②，
由①-②可得：，则，D错误.
故选：ABC
8．（2024·河北·模拟预测·多选）若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对于A，令，则，故A正确；
对于B，由二项式定理，则，故B错误；
对于C，令，则，
则，故C正确；
对于D，令，则，又，
所以，得，故D正确.
故选：ACD.
9．（24-25高二下·河南信阳·期末）已知，求：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）令，得．令，得，
所以．
（2）令，得，
所以，
（3）
两边对求导，
得，
再令，得．
10．（24-25高二下·福建福州·期末）已知.
(1)求的值.
(2)求的值；
【答案】(1)80
(2)242
【详解】（1）法一：由二项式定理，得，则.
法二：由通项公式，得，
令得，，则.
（2）法一：因为，
所以令，得，
令，得
则.
法二：由二项式定理，得
因为
所以，，，，，
所以.
11．（24-25高二下·四川广元·期末）已知，
(1)求；
(2)求；
(3)求．
【答案】(1)；
(2);
(3).
【详解】（1）令，得，
令，得，
所以．
（2）因为展开式的通项为(且)，
所以当为奇数时，项的系数为负数．
所以，
令，得，
．
（3）对两边同时求导，
可得，
令，可得．
【知识点解析】
①若已知所有二项式系数之和为，则令，此时；
②若已知所有奇（偶）次项二项式系数之和为，则令，此时；
③若已知所有系数之和为，则，求解得；
④若已知第项和第项和二项式系数相等，则，此时；
⑤若已知只有第项的二项式系数最大，则最大，此时前后各有项，；
⑥若已知第项的二项式系数最大，则需分为只有第项的二项式系数最大、第项和第项的二项式系数最大、第项和第项的二项式系数最大三种情况分类讨论；
⑦，.
【例题分析】
1．（24-25高二下·安徽池州·期中）在二项式的展开式中，第五项的二项式系数最大，则（ ）
A．8 B．7或8 C．8或9 D．7，8或9
【答案】D
【详解】若的展开式中只有第五项的二项式系数最大可知；
当时，展开式有8项，则第四项，第五项的二项式系数最大，符合题意；
当时，展开式有10项，则第六项，第五项的二项式系数最大，符合题意；
故选：D.
2．（2025·北京朝阳·二模）已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【详解】由，根据题意有，由组合数的性质有.
故选：B.
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
【答案】D
【详解】令，可得，则，
则的展开式的通项为，，
令，得，
则的展开式中的系数为.
故选：D.
4．（24-25高三下·贵州·阶段练习）若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（ ）
A．1960 B． C．40 D．
【答案】A
【详解】因为展开式的各项的二项式系数和为32，所以，解得，
则展开式的通项公式为，
令，得展开式中含的系数为.
故选：A
5．（24-25高二下·天津·期末）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
【答案】B
【详解】由二项式系数性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为，
当时，可知；
可得，则奇数项的二项式系数和为.
故选：B.
6．（2025·江苏泰州·模拟预测）的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．8 B．12 C．15 D．－20
【答案】C
【详解】由题可知：，通项公式为，
令，所以常数项为.
故选：C
7．（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A．840 B． C． D．210
【答案】A
【详解】因为二项式系数只有第6项最大，故，
又二项展开式的通项公式为，
令，则，
故，
故选：A.
8．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）已知的展开式中第4项和第6项的二项式系数相等，则（ ）
A．12 B．78 C．220 D．286
【答案】D
【详解】由题意，所以，
因为，
所以
.
故选：D.
9．（24-25高二下·浙江·期末）若的展开式中,二项式系数之和与系数之和相等,则展开式中项的系数是 （用数字作答）
【答案】5
【详解】由二项式系数之和与系数之和相等可得
因为
所以令
所以系数是
故答案为：5
10．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知的展开式中第5项和第9项的二项式系数相等，则n的值为
【答案】12
【详解】二项式展开式的通项为（且），
所以第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，
依题意可得，所以.
故答案为:12.
11．（24-25高二下·四川遂宁·期末）在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 ．（用数字作答）
【答案】
【详解】由于的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中共有7项，故，
所以的展开式通项为，,
令，解得，
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
12．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是 ．
【答案】
所以展开式共有9项，所以，
则二项式展开式的通项为，
令，则，
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
【知识点解析】
考向一：若求二项式系数的最大值，可利用二项式定理的性质进行解决.
考向二：若求系数的最大值，可先写出系数的表达式，利用作差法或作商法求表达式的单调性，进而得到系数的最大值.
【例题分析】
1．（24-25高二下·安徽滁州·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【答案】B
【详解】因为展开式中共有7项，所以展开式中间项的二项式系数最大，
则第4项的二项式系数最大，故B正确.
故选：B.
2．（24-25高二下·天津河东·期中）的展开式中系数最大的项是（ ）
A．第项 B．第n项
C．第项 D．第项
【答案】C
【详解】因为的展开式的通项为，
可知第项的系数为，即为第项的二项式系数，
根据二项式系数的性质可知：的最大值为，
所以系数最大的项为第项.
故选：C.
3．（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（ ）
A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数
【答案】B
【详解】设的展开式的通项为，，
由题意可得，
解得，因为
所以，
所以的展开式中系数最大的是的系数.
故选：B.
4．（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（ ）
A．252 B．210 C．120 D．10
【答案】B
【详解】因为展开式的所有二项式系数之和为32，
所以，
所以的通项公式为
，
当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为，
故选：B
5．（24-25高二下·上海奉贤·期末）在的二项展开式中系数最大的项的系数是 （结果用数字表示）
【答案】20412
【详解】的展开式通项为，则系数为，
设第项系数最大，则
即，解得，又，所以，
所以最大项系数为第7项，最大系数为.
故答案为：20412.
6．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，系数最大的项是 ．
【答案】
【详解】令第项的系数最大，则，解得，
因为，所以时，二项展开式中系数最大，
则二项展开式中系数最大的项为.
故答案为：.
7．（24-25高二下·湖北荆州·期末）已知，且．
(1)求二项式系数最大的项；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）展开式通项为，
令，，所以，，
结合，故．
二项式系数最大的项为第项.
（2）在中，
分别令得：，
令，则，
所以.
8．（24-25高二下·河北·期末）已知的二项式系数之和是128，求：
(1)展开式中含的项的系数；
(2)展开式中二项式系数最大的项；
(3)展开式中系数绝对值最大的项．
【答案】(1)
(2)，；
(3).
【详解】（1）由的二项式系数之和是128，得，解得，
展开式的通项为，
令，得，所以展开式中含的项的系数为.
（2）展开式中二项式系数最大的项为，.
（3）由（1）知，的系数绝对值为，
当时，，解得，
由，得，因此，
所以展开式中系数绝对值最大的项是第3项，.
9．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等，
(1)求；
(2)求展开式的常数项；
(3)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由二项式定理得的通项为，
则第3项为，第5项为，
因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得.
（2）由已知得，
其展开式的通项为，令，解得，
则展开式的常数项为.
（3）由已知得展开式的通项为，
则第项的系数为，设第项的系数最大，
则，解得，
因为是整数，所以，
此时系数最大的项为.
10．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知的展开式中第项为，且第三项和第九项的二项式系数相等.
(1)求的值，并求二项式系数的最大值；
(2)求第四项的二项式系数与系数；
(3)的展开式中第几项的系数最大？并求系数的最大值.
【答案】(1)，最大值为
(2)二项式系数：，系数：
(3)第项的系数最大，最大值为
【详解】（1）记展开式的第项为的二项式系数为，
因为第三项的二项式系数与第九项的二项式系数相等，
即，故
因为10是偶数，故二项式系数的最大值为
（2），故，
所以第四项的二项式系数为，
系数为.
（3）因为，故
因为，令，
得：
因为是正整数，故时，；
时，.
所以第8项的系数最大，最大值为.
【例题分析】
1．（23-24高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（ ）
A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23
【答案】C
【详解】由题意得，
由二项式定理得，
而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可，
所以我们得到，
则其与1.22更接近，故C正确.
故选：C
2．（24-25高二下·河北·期中）已知能被11整除，则整数a的值可以是（ ）
A．1 B．9 C．10 D．0
【答案】C
【详解】因为，
能被11整除，
所以能被11整除，
由选项知当时，符合题意．
故选：C.
3．（24-25高二下·河南郑州·期末）若，且，若能被9整除，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
【答案】A
【详解】因为，
所以该二项展开式的通项为，
当时，能被9整除，
但时，不能被9整除，
要使能被9整除，则能被9整除，
因为，所以，
，即.
故选：A.
4．（24-25高二下·上海·阶段练习）今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（ ）
A．二 B．三 C．四 D．五
【答案】A
【详解】因为，
所以可以写成，的形式.
所以除以7所得的余数为4.
故天后为星期二.
故选：A
5．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）今天是星期四，小美在参加数学考试，那么再过天后是星期（ ）
A．一 B．二 C．三 D．日
【答案】A
【详解】
，
，能被整除，
又，再过天后是星期一.
故选：A.
6．（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为
，
因此，的小数点后第三位数字为.
故选：A.
7．（24-25高二下·江苏淮安·期中）设，且，若能被整除，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为
，
因为能被整除，又，即能被整除，
即能被整除，
所以能被整除，又且，所以.
故选：C
8．（2025·河南许昌·模拟预测）若，则被8整除的余数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】令得，令得，
两式相减得，
所以，因为
，，因为能被8整除，
所以被8整除的余数为4.
故选：C.
9．（24-25高二下·江苏无锡·期中）被8整除的余数为 .
【答案】
【分析】利用二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】由于，
由于均能被8整除，所以除以8的余数为7，
故答案为：7
10．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）若能被7整除，则的最小正整数取值为 .
【答案】5
【详解】因为，而，所以.
根据二项式定理，将展开可得
除了最后一项外，其余各项都含有因数，都能被整除.
所以（其中为整数）.
因为能被整除， 14k能被整除，所以只要能被整除即可.
当时，，此时取最小正整数.
故答案为：5.
11．（24-25高二下·上海·阶段练习）今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是星期 ．
【答案】四
【详解】因为，
且能被7整除，
故除以7后的余数为1，
所以今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是星期四．
故答案为：四
12．（24-25高二下·广东东莞·期中）（1）化简：.
（2）①用二项式定理证明能被100整除；
②求被100除所得的余数.
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②81.
【详解】（1）
.
（2）①
，
显然能被100整除；
②
，
所以被100除所得的余数为81.
13．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)证明：能被3整除.
【答案】(1).
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由的展开式中的系数为，
所以，即解得.
（2）由，
令，得，
令，得，
两式相减得.
（3）证明：当，可得，
，
所以能被3整除.
1．（24-25高二下·新疆·期末）在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（ ）
A．16 B．14 C．15 D．17
【答案】B
【详解】根据题意可得，
所以n＝2＋12＝14．
故选：B
2．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）的展开式中的系数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】多项式的展开式中含的项为，
所以的系数是4.
故选：C.
3．（24-25高二下·河北·期末）设，若，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【详解】令，则可得.
又，则．
故选：D．
4．（24-25高二下·山东威海·期中）的展开式中含的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
展开式通项为；展开式通项为，
当时，对应的项为；
当时，对应的项为；
当时，对应的项为；
当时，对应的项为；
当时，对应的项为；
展开式中含的项为.
故选：B.
5．（24-25高二下·广东东莞·期末）若多项式满足，，则被除所得的余式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据余式定理，余式需要满足：
，代入得，
解方程组得，所以．
故选：B.
6．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（ ）
A．51 B．43 C．41 D．33
【答案】C
【详解】因为，
且显然能被128整除，
所以所求余数即为681除以128的余数.
因为，所以除以128的余数为41.
故选：C.
7．（25-26高三上·福建·开学考试）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（ ）
A．
B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等
C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
D．记杨辉三角中第行的第个数为，则
【答案】D
【详解】对于A，
，
A正确；
对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确；
对于C，第行所有数字的平方和，
第行的中间一项的数字是展开式中项的系数，
而，
又展开式中项的系数为，
因此，C正确；
对于D，因为，所以，D不正确.
故选：D
8．（24-25高二下·湖北武汉·期末）在的展开式中，含项的系数是（ ）
A．1139 B．1140 C．1329 D．1330
【答案】C
【详解】因为的展开通项为，
所以的展开式中含项的系数分别为
、、，其系数和为，
则，
其中，，，依次类推，
得出.
故选：C.
9．（24-25高二下·四川南充·期末·多选）已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．被8整除的余数为1
【答案】AC
【详解】由题意展开式的二项式系数和为512，即，解得；
A：由，
令，则，故A正确；
B：的二项展开式为，，
则，则，
所以令，，
令，，
得，即，
得，即，
所以，故B错误；
C：由，两边同时求导得，
令，则，故C正确；
D：，则
所以被整除的余数为，故D错误；
故选：AC.
10．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末·多选）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】A选项，中，令得，
，故，A正确；
BC选项，中，令得
①，
令得②，
式子①+②得，故，C正确，
式子①-②得，故，B错误；
D选项，展开式的通项公式为，
则，，
所以，
由①得，由A知，，
所以，D正确.
故选：ACD
11．（24-25高二下·广东潮州·期末·多选）对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有6项 B．展开式的各项系数之和为
C．展开式的第2项是 D．展开式的各二项式系数之和为32
【答案】ABD
【详解】由可知的展开式共有6项，故选项A正确；
令，则，故选项B正确；
展开式中的第2项是，故选项C错误；
展开式的二项式系数和为，故选项D正确.
故选：ABD.
12．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）已知数列满足，且当n为奇数时，；当n为偶数时，则被9整除所得余数为 ．
【答案】
【详解】当n为奇数时，，所以．
当n为偶数时，，所以，所以，
所以数列是首项为4、公比为2的等比数列，
所以，
所以，
又由,
可得被整除的余数为，即被整除的余数为.
故答案为：.
13．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则二项式的展开式中含项的系数为 .
【答案】
【详解】由题意知，，所以，
则二项式的通项，
令，解得，所以含项的系数为.
故答案为：
14．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，则 .
【答案】
【详解】由，则展开式通项为且，
当，则，故.
故答案为：
15．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）设，求下面各式的值．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
【答案】(1)-4050
(2)
(3)
【详解】（1）；
（2）令，
则，
两式相减得，；
（3）因为，
两边分别求导，得2025，
令，得．
16．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知.
(1)求该二项展开式中二项式系数最大的项；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由二项式通项公式可得：，
因为为偶数，所以二项式系数最大项为中间项，即第项，
所以，
综上：二项式系数最大项为.
（2）由题可得令，则，
令，则，
所以.
17．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240.
(1)求的值及展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的有理项．
【答案】(1)，
(2)有理项有3项，分别为
【详解】（1）令，则展开式中各项系数之和为，各二项式系数和为，
则，解得，
展开式有5项，二项式系数最大的为第3项;
（2）二项式的展开式的通项公式为，
令，且，解得，
则展开式中含的有理项有3项，分别为.
18．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数.
(1)若，则的值；
(2)求，并求的值.
【答案】(1)
(2)；.
【详解】（1）由题意，得，
令，得.
（2）由得
.
由，得
，
令得
，计数原理：二项式定理复习讲义
考点目录
型 型
型 二项展开式各项的系数和
二项式定理的性质 最大项问题
二项式定理的实际应用
【知识点解析】
型问题的解题思路：
步骤1：利用二项式定理展开，化简得展开式.
步骤2：令展开式次数等于题目所求次数，求.
步骤3：将代入展开式得系数.
【例题分析】
1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）的展开式中，项的系数是（ ）
A．5 B． C．10 D．
2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）的展开式中含项的系数为（ ）
A．10 B．5 C． D．
3．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）展开式中的常数项为（ ）
A．7 B． C．14 D．
5．（24-25高二下·湖南长沙·期末）展开式中的常数项为 .
6．（24-25高二下·云南曲靖·期末）二项式展开式中的第3项为 ．
7．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知的展开式中，的系数为80，则 ．
8．（2025·湖南娄底·模拟预测）若的展开式中的系数为231，则 .
9．（24-25高二下·浙江杭州·期末）在的展开式中，第项为常数项．
(1)求的值和该常数项的值；
(2)求展开式中所有项的系数之和．
10．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知的展开式中第5项为常数项.
(1)求的值；
(2)求展开式中所有的无理项.
【知识点解析】
型问题的解题思路：
步骤1：利用二项式定理展开，化简得展开式.
步骤2：分类讨论，令展开式与的次数分别等于题目所求次数，分别求.
步骤3：分别将代入展开式与得系数.
【例题分析】
1．（24-25高二下·广东广州·期末）的展开式中的系数为（ ）
A．0 B．10 C． D．20
2．（24-25高二下·天津西青·期末）的展开式中的系数是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．10
3．（24-25高二下·河北石家庄·期末）展开式中的系数为（ ）
A．5 B．15 C．20 D．35
4．（2025·四川广安·模拟预测）已知的展开式中项的系数为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·山东威海·期末）的展开式中的系数为 .
6．（25-26高三上·湖北·开学考试）在的展开式中，的系数为 ．
7．（24-25高三上·云南临沧·开学考试）若在关于的展开式中，常数项为4，则的系数是 .
8．（25-26高三上·广东·开学考试）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
9．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中的系数为 .
【知识点解析】
型问题的解题思路：
思路一：利用二项式定理展开，令展开式次数等于题目所求次数，求与，代入展开式得系数.
思路二：将题目所求次数依次分配给、、，再利用二项式定理展开.
【例题分析】
1．（24-25高二下·陕西西安·期末）的展开式中，项的系数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
2．（24-25高二下·四川成都·期末）的展开式中的系数为（ ）
A．60 B．120 C．160 D．220
3．（24-25高二下·山东济南·期末）的展开式中，常数项为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
4．（24-25高二下·安徽宣城·期末）的展开式中，的系数是（ ）
A．60 B．30 C．20 D．10
5．（24-25高二下·山东聊城·期末）的展开式中的系数为（ ）
A．75 B．135 C．180 D．195
6．（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中项的系数为（ ）
A．360 B．540 C．720 D．1080
7．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习·多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．各项系数之和为32 B．各项系数的绝对值之和为
C．常数项为80 D．的系数为0
8．（24-25高二下·湖北宜昌·期中·多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．各项系数之和为1 B．各项系数的绝对值之和为
C．常数项为140 D．的系数为40
9．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为 ．
10．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）展开式中含项的系数为 ．
11．（2025·广东广州·三模）展开式中的常数项为 。
12．（24-25高二下·河北承德·期中）已知展开式中有一项是，则 .
【知识点解析】
已知
①令，得；
②令，得；
③令，得；
④令，得；
⑤令，得；
⑥令，得；
⑦
令，.
【例题分析】
1．（24-25高二下·安徽合肥·期末·多选）若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高三上·广东深圳·开学考试·多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·河南商丘·期末·多选）若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二下·贵州安顺·期末·多选）已知的展开式中各项系数之和为，则展开式中（ ）
A．各项的二项式系数之和为 B．含的项的系数为
C．奇数项的二项式系数之和为 D．二项式系数最大项为第项
5．（25-26高三上·重庆·阶段练习·多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习·多选）若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（25-26高三上·内蒙古包头·阶段练习·多选）已知多项式，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·河北·模拟预测·多选）若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（24-25高二下·河南信阳·期末）已知，求：
(1)；
(2)；
(3)．
10．（24-25高二下·福建福州·期末）已知.
(1)求的值.
(2)求的值；
11．（24-25高二下·四川广元·期末）已知，
(1)求；
(2)求；
(3)求．
【知识点解析】
①若已知所有二项式系数之和为，则令，此时；
②若已知所有奇（偶）次项二项式系数之和为，则令，此时；
③若已知所有系数之和为，则，求解得；
④若已知第项和第项和二项式系数相等，则，此时；
⑤若已知只有第项的二项式系数最大，则最大，此时前后各有项，；
⑥若已知第项的二项式系数最大，则需分为只有第项的二项式系数最大、第项和第项的二项式系数最大、第项和第项的二项式系数最大三种情况分类讨论；
⑦，.
【例题分析】
1．（24-25高二下·安徽池州·期中）在二项式的展开式中，第五项的二项式系数最大，则（ ）
A．8 B．7或8 C．8或9 D．7，8或9
2．（2025·北京朝阳·二模）已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
4．（24-25高三下·贵州·阶段练习）若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（ ）
A．1960 B． C．40 D．
5．（24-25高二下·天津·期末）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
6．（2025·江苏泰州·模拟预测）的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．8 B．12 C．15 D．－20
7．（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A．840 B． C． D．210
8．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）已知的展开式中第4项和第6项的二项式系数相等，则（ ）
A．12 B．78 C．220 D．286
9．（24-25高二下·浙江·期末）若的展开式中,二项式系数之和与系数之和相等,则展开式中项的系数是 （用数字作答）
10．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知的展开式中第5项和第9项的二项式系数相等，则n的值为
11．（24-25高二下·四川遂宁·期末）在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 ．（用数字作答）
12．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是 ．
【知识点解析】
考向一：若求二项式系数的最大值，可利用二项式定理的性质进行解决.
考向二：若求系数的最大值，可先写出系数的表达式，利用作差法或作商法求表达式的单调性，进而得到系数的最大值.
【例题分析】
1．（24-25高二下·安徽滁州·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
2．（24-25高二下·天津河东·期中）的展开式中系数最大的项是（ ）
A．第项 B．第n项
C．第项 D．第项
3．（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（ ）
A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数
4．（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（ ）
A．252 B．210 C．120 D．10
5．（24-25高二下·上海奉贤·期末）在的二项展开式中系数最大的项的系数是 （结果用数字表示）
6．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，系数最大的项是 ．
7．（24-25高二下·湖北荆州·期末）已知，且．
(1)求二项式系数最大的项；
(2)求的值．
8．（24-25高二下·河北·期末）已知的二项式系数之和是128，求：
(1)展开式中含的项的系数；
(2)展开式中二项式系数最大的项；
(3)展开式中系数绝对值最大的项．
9．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等，
(1)求；
(2)求展开式的常数项；
(3)求展开式中系数最大的项．
10．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知的展开式中第项为，且第三项和第九项的二项式系数相等.
(1)求的值，并求二项式系数的最大值；
(2)求第四项的二项式系数与系数；
(3)的展开式中第几项的系数最大？并求系数的最大值.
【例题分析】
1．（23-24高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（ ）
A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23
2．（24-25高二下·河北·期中）已知能被11整除，则整数a的值可以是（ ）
A．1 B．9 C．10 D．0
3．（24-25高二下·河南郑州·期末）若，且，若能被9整除，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
4．（24-25高二下·上海·阶段练习）今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（ ）
A．二 B．三 C．四 D．五
5．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）今天是星期四，小美在参加数学考试，那么再过天后是星期（ ）
A．一 B．二 C．三 D．日
6．（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·江苏淮安·期中）设，且，若能被整除，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·河南许昌·模拟预测）若，则被8整除的余数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（24-25高二下·江苏无锡·期中）被8整除的余数为 .
10．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）若能被7整除，则的最小正整数取值为 .
11．（24-25高二下·上海·阶段练习）今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是星期 ．
12．（24-25高二下·广东东莞·期中）（1）化简：.
（2）①用二项式定理证明能被100整除；
②求被100除所得的余数.
13．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)证明：能被3整除.
1．（24-25高二下·新疆·期末）在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（ ）
A．16 B．14 C．15 D．17
2．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）的展开式中的系数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（24-25高二下·河北·期末）设，若，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
4．（24-25高二下·山东威海·期中）的展开式中含的项为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·广东东莞·期末）若多项式满足，，则被除所得的余式为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（ ）
A．51 B．43 C．41 D．33
7．（25-26高三上·福建·开学考试）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（ ）
A．
B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等
C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
D．记杨辉三角中第行的第个数为，则
8．（24-25高二下·湖北武汉·期末）在的展开式中，含项的系数是（ ）
A．1139 B．1140 C．1329 D．1330
9．（24-25高二下·四川南充·期末·多选）已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．被8整除的余数为1
10．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末·多选）若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（24-25高二下·广东潮州·期末·多选）对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有6项 B．展开式的各项系数之和为
C．展开式的第2项是 D．展开式的各二项式系数之和为32
12．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）已知数列满足，且当n为奇数时，；当n为偶数时，则被9整除所得余数为 ．
13．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则二项式的展开式中含项的系数为 .
14．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，则 .
15．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）设，求下面各式的值．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
16．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知.
(1)求该二项展开式中二项式系数最大的项；
(2)求的值.
17．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240.
(1)求的值及展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的有理项．
18．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数.
(1)若，则的值；
(2)求，并求的值.

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