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第六章 几何图形初步
6.3.3 余角和补角
【学习目标】
1. 了解一个角的余角和补角的概念，能求出一个角的余角和补角；
2. 经历探究互为余角和补角的性质的过程，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化.
【学习重难点】
重点：余角、补角的概念及其性质．
难点：灵活运用余角、补角的概念及其性质解题．
【学习内容】
问题导入
(1)在一副三角尺中，每块都有一个角是90°，那么其余两个角的和是多少？它们有什么关系呢？
(2)观察方格如图中的两个角，你能猜想∠1＋∠2等于多少度？它们有什么关系呢？
新知探究
1．余角的概念
如果两个角的和等于_________，就说这两个角互为余角，简称互余，即其中的一个角是另外一个角的余角．
如果∠1=30°，∠2=60°，我们可以说∠1与∠2互余，或者可以说∠1是∠2的余角，还可以说__________________________．
图中给出的各角，哪些互为余角？
2．补角的概念
如果两个角的和等于_________，就说这两个角互为补角，简称互补，即其中的一个角是另外一个角的补角．
如果∠1=45°，∠2=135°，我们可以说∠1与∠2互补，或者可以说∠1是∠2的补角，还可以说__________________________．
图中给出的各角，哪些互为补角？
思考：
∠β=18°，余角= ，补角= .
∠β=35°，余角= ，补角= .
∠β=78°，余角= ，补角= .
∠β=63°，余角= ，补角= .
观察可得：锐角的补角比它的余角大 .
提醒：
①余角、补角都是成对出现的，单独的一个角、三个或三个以上的角之间不能说互余或互补；
②互余的两个角都必须是锐角，互补的两个角为一个锐角、一个钝角或两个角都是直角.
3．补角和余角的性质
思考：
(1) 若∠1与∠2，∠3都互为余角，∠2与∠3的大小有什么关系？
因为∠1与∠2，∠3都互为余角，
所以∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠1，
所以∠2=∠3.
(2) 若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠1=∠3，那么∠2与∠4的大小有什么关系？
因为∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，
所以∠2=90°-∠1，∠4=90°-∠3，
因为∠1=∠3，
所以∠2=∠4.
由此，我们可以得到补角性质：
________________________________________________
类似地，余角的性质：
________________________________________________
巩固练习
1.若∠α=29°45′，则ㄥα的余角等于( )
A.60°55′ B.60°15′ C.150°55′ D.150°15′
2.已知∠1与∠2互余，∠1=(7x-2)°，∠2=(3x+2)°，则x的值是 .
3.一个锐角的补角等于这个锐角的余角的3倍，求这个锐角的度数.
4. 已知∠α的余角是它补角的，求∠α的度数.
典例剖析
例3．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？
分析：为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角.
解：∵A，O，B在同一直线上，∴∠AOC和∠BOC互为补角，
又∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD＋∠COE= ∠AOC＋ ∠BOC =90 °
∴∠COD和∠COE互为余角，
同理， ∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE ，∠COD 和∠BOE也互为余角.
巩固练习
1.已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，那么( )
A. ∠2> ∠4 B. ∠2< ∠4 C.∠2= ∠4 D. ∠2与∠4的大小不确定
2.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角板，则与∠AOD始终相等的角是( )
A.∠BOD B.∠ABO C. ∠BOC D. ∠BAO
3.如图，D是直线EF上一点，∠CDE=90°，∠1=∠2，哪些角互为余角？哪些角互为补角？
课堂练习
1.图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
互为余角：
.
互为补角：
.
2. 一个角是70°39′，求它的余角和补角.
3. ∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？
4. 如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？
随堂检测
1.下列四个角中，最有可能与70°角互补的是( )
2.下列图形中，∠1和∠2互为余角的是( )
3.已知∠α=26°，则∠α的补角是__________度.
4.一个角是35°39′，则它的余角为_______，补角为_________.
5.∠A与∠B互补，∠B与∠C互补，∠C=80°，则∠A的度数是______.
6. ∠A的余角和它的补角之比是1∶3，求∠A的度数.
课堂小结
通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：
我的收获
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
教学反思
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