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1.1 多项式的因式分解
湘教版（2024）七年级下册
入
引
问题1 6 等于 2 乘哪个整数？
6 ＝ 2×3
问题2 x2 － 1 等于 x + 1 乘哪个多项式？
授
新
探究一 因式分解的定义
(1) 因为(x + 1) = ，
所以 x + 2x + 1 = (x + 1)( )；
(2) 因为 x(x－) = ，
所以 x －x = x( ).
做一做
x + 2x + 1
x + 1
x－
x －x
观察 “所以”后面的式子，有什么共同点？
都是一个多项式化为几个多项式的积的形式
整式的乘法
授
新
探究一 因式分解的定义
一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh，那么把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式.
单项式可看作只有一项的多项式
↗
由于 x + 2x + 1 = (x + 1) ，
则 x + 1 是多项式 x + 2x + 1 的因式.
类似地，由于 x －x = x(x－)，
则 x 和 x－ 都是 x －x 的因式.
纳
归
定义：
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式.
x + 2x + 1 = (x + 1)
x －x = x(x－)
探究一 因式分解的定义
例
典
例1
填空：
因为(x－2)(x－3) = ，
所以 = (x－2)(x－3)
是多项式 的因式分解.
解：(x－2)(x－3) = x －3x－2x＋(－2)×(－3)
= x －5x＋6，
因此三个空格都填写 x －5x＋6.
x －5x＋6
x －5x＋6
x －5x＋6
探究一 因式分解的定义
授
新
x2 － y2 ( x + y )( x － y )
因式分解
多项式的乘法
x2 － y2 = ( x + y )( x － y )
因式分解等式的特征：
左边是多项式，
右边是几个多项式的乘积.
想一想：多项式的乘法运算与因式分解有什么关系？
是互逆的变形过程，即
探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系
例
典
例2
(1) x(x－2y) = x2－2xy；
(2) x2－2x + 1 = x(x－2) + 1；
下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可.
解：(1) 不是因式分解，理由：它是整式的乘法.
(2) 不是因式分解，理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式.
探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系
例
典
例2
下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可.
(4) 是因式分解，理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (x－1)(y－1) = xy－x－y + 1，因而符合因式分解的定义. xy－x－y + 1 的因式为 x－1 和 y－1.
(3) 3x2－x = x(3x－)；
(4) xy－x－y + 1 = (x－1)(y－1).
(3) 是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 x(3x－) = 3x2－x，因而符合因式分解的定义. 3x2－x 的因式为 x 和 3x－.
探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系
纳
归
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
把多项式因式分解的重要用处之一是：
可以较简便地求出关于 x 的多项式中，x用哪些数代入能够使得这个多项式的值为 0.
探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系
例
典
x2 + x = x2(1 + )
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ；不是因式分解的，请说明为什么.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
辨一辨：
am + bm + c = m(a + b) + c
24x2y = 3x ·8xy
x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1)
(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1
2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系
例
典
判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解：
A. x(a﹣b) = ax﹣bx
B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2
C. y2﹣2 = ( y + 1)( y﹣1)
D. ax + bx + c = x(a + b) + c
E. 2a3b = a2 2ab
F. x + 3 = x (1 + )
×
×
×
×
×
×
提示：判定一个变形是因式分解的条件：
(1) 必须是等式；(2) 左边是至少含两项的多项式；
(3) 右边是整式的乘积的形式.
判一判：
探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系
纳
归
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把因式分解后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较，使其分别相等即可.
探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系
固
巩
1.下列式子从左边到右边的变形是因式分解的是( )
A.(1 x)(2 x)=(x 1)(x 2)
B.(x y)(x+y)=x2 y2
C.1 2a+a2=(a 1)2
D.x2 2x+6=x(x 2)+6
c
固
巩
2.填空：
因为(x-4)(x+5)= ,
所以 =(x-4)(x+5)是多项式 的因式分解.
x2+x-20
x2+x-20
x2+x-20
固
巩
3.下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可.
(1)x2+xy=x(x+y)

(2)4x2-8x-1=4x(x-2)-1
是
因式是x和x+y
不是
理由：等式的右边不是几个多项式乘积的形式
固
巩
3.下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可.
(3)ax2-bx2-x=x(ax-bx-1)

(4)2xy+2x-y-1=(2x-1)(y+1)
是
因式是x和ac-bx-1
是
因式是2x-1和y+1
展
拓
4. 若多项式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值.
解：因为 x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次数是 4，
所以可设 x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b).
则 x4 + mx3 + nx﹣16
= x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b.
比较系数得
a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16.
解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20.
所以 mn =﹣5×20 =﹣100．
展
拓
5. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 ( x + 2 )( x + 4 )；乙看错了 a，分解结果为
( x + 1)( x + 9 )，求 a + b 的值.
解：分解因式甲看错了 b，但 a 是正确的，
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8，
所以 a = 6.
同理，乙看错了 a，但 b 是正确的，
分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9，
所以 b = 9.
因此 a + b = 15.
结
小
本节课你有哪些收获？请分享一下！
业
作
习题1.1 第1题和第2题
谢 谢第一章 因式分解
1.1 多项式的因式分解
教学目标 1.了解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的区别和联系，会判断一个变形是否是因式分解； 2.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归能力，了解因式分解的意义； 3.让学生通过参与探索的过程，逐步形成独立思考的习惯，培养学生类比思维和逆向思维的能力.
教学重点 了解因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.
教学难点 知道因式分解与整式乘法的区别和联系.
教 学 过 程 教学环节 二次备课
一、创设情境，导入新知 问题1 6等于2乘哪个整数？ 问题2 x2－1等于x+1乘哪个多项式？
二、合作交流，探究新知 探究一 因式分解的定义 做一做 (1) 因为(x+1) = ， 所以x +2x+1=(x+1)( )； (2) 因为x(x－)= ， 所以x －x=x( ). 观察“所以”后面的式子，有什么共同点？ [抽象]一般地，对于多项式f与g，如果有多项式h使得f = gh，那么把g叫作f的一个因式，此时，h也是f的一个因式. 由于x +2x+1=(x+1) ， 则x+1是多项式x +2x+1的因式. 类似地，由于x －x=x(x－)， 则x和x－都是x －x的因式. [归纳]多项式因式分解的定义： 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. 例如：x +2x+1=(x+1) x －x=x(x－) 探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系 想一想：多项式的乘法运算与因式分解有什么关系？ 多项式的乘法运算与因式分解是互逆的变形过程，即 x2－y2 (x+y)(x－y) 因式分解等式的特征：左边是多项式，右边是几个多项式的乘积. 辨一辨：在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ；不是因式分解的有 ，请说明为什么. ①am+bm+c=m(a+b)+c ②24x2y=3x·8xy ③x2－1=(x+1)(x－1) ④(2x+1)2=4x2+4x+1 ⑤x2+x=x2(1+) ⑥2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 判一判：判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解： A. x(a﹣b)=ax﹣bx B. x2﹣1+y2= (x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣2=(y+1)(y﹣1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c E. 2a3b=a2 2ab F. x+3 =x(1+) 提示：判定一个变形是因式分解的条件： (1) 必须是等式；(2) 左边是至少含两项的多项式；(3) 右边是整式的乘积的形式. 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把因式分解后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较，使其分别相等即可.
三、典例分析，运用新知 例1 填空： 因为(x－2)(x－3) = ，所以 = (x－2)(x－3)是多项式 的因式分解. 例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. (1) x(x－2y)=x2－2xy； (2) x2－2x+1=x(x－2)+1； (3) 3x2－x=x(3x－)； (4) xy－x－y+1=(x－1)(y－1). 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
四、巩固练习，拓展提升 （一）巩固练习 1.下列式子从左边到右边的变形是因式分解的是( ) A.(1 x)(2 x)=(x 1)(x 2) B.(x y)(x+y)=x2 y2 C.1 2a+a2=(a 1)2 D.x2 2x+6=x(x 2)+6 2.填空： 因为(x-4)(x+5)= , 所以 =(x-4)(x+5)是多项式 的因式分解. 3.下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. (1)x2+xy=x(x+y) (2)4x2-8x-1=4x(x-2)-1 (3)ax2-bx2-x=x(ac-bx-1) (4)2xy+2x-y-1=(2x-1)(y+1) （二）拓展提升 1.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和 (x﹣1)，求mn的值. 2.甲、乙两个同学分解因式 x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，求a+b的值.
五、总结反思，升华认知 本节课你有哪些收获？请分享一下！
六、课后作业，深化理解 习题1.1 第1题和第2题
教 学 反 思

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