资源简介

浙教版初中数学八年级上册
第3章 一元一次不等式3.3 一元一次不等式及其解法 教学设计
一、内容和内容解析
内容
本节课主要内容为一元一次不等式的概念、解集表示、解法步骤及其在实际问题中的应用。学生将通过具体实例理解不等式的解与解集的含义，掌握解一元一次不等式的基本方法，并能在数轴上表示解集。
内容解析
一元一次不等式是初中数学中代数部分的重要内容，与一元一次方程既有联系又有区别。学生已掌握一元一次方程的解法，本节在此基础上引入不等式的概念和解法，重点在于理解不等式的解集表示和数轴表示方法，特别是当系数为负数时不等号方向的变化规律。通过实际问题的引入，帮助学生建立不等式模型，提升数学建模能力和解决实际问题的能力。
二、目标和目标解析
目标
理解一元一次不等式的概念，能判断一个不等式是否为一元一次不等式。
掌握解一元一次不等式的基本步骤，能正确求解并在数轴上表示解集。
能运用一元一次不等式解决简单的实际问题，提升数学应用能力。
目标解析
通过本节课的学习，学生应能准确识别一元一次不等式，理解其解集的含义，掌握解不等式的基本方法，特别是处理系数为负数时不等号方向的变化。学生应能独立完成不等式的求解过程，并在数轴上正确表示解集。通过实际问题的解决，学生应能初步建立不等式模型，提升数学思维和应用能力。
三、教学问题诊断分析
不等号方向变化的理解困难：学生在处理系数为负数的不等式时，容易忽略不等号方向的变化，导致解集错误。
解集在数轴上的表示不准确：学生可能对端点是否包含判断不清，导致数轴表示错误。
实际问题中不等式模型的建立困难：学生可能难以将实际问题转化为不等式模型，尤其是对“至多” “至少”等关键词的理解不准确。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1
某种U盘的存储容量为128G。有一批视频文件，每个文件占用空间为2.5G，这个U盘至多能存放多少个这样的文件？
学生回答：设能存放 个文件，则 ，解得 ，因此至多能存放51个文件。
问题2
观察下列不等式：
(1)
(2)
(3)
(4)
它们有哪些共同特征？与一元一次方程比较有何异同？
学生回答：都含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，但含有不等号。
问题3
你能举出生活中还有哪些问题可以用不等式表示吗？
学生举例：购物打折、温度范围、时间限制等。
设计意图
通过实际问题的引入，激发学生学习兴趣，帮助学生初步建立不等式模型，理解不等式的实际意义，对应目标3。
（二）合作探究1：理解不等式解与解集的本质
教师提问：同学们，我们已经学习了一元一次方程，知道方程的解是使方程成立的未知数的值。那么，什么是不等式的解？请以不等式 为例说明。
学生回答：能使不等式成立的未知数的值就是不等式的解。比如 时，，成立； 时，，不成立。
教师追问：那么 是不等式 的解吗？ 呢？
学生思考回答： 时，，成立； 时，，不大于30，不成立。
教师进一步追问：这样的解有多少个？能否全部列举出来？
学生回答：有无数个，比如10.1、10.01、11、12......无法全部列举。
教师引导：所以我们用解集来表示所有解的集合。不等式 的解集是什么？如何在数轴上表示？
学生回答：解集是 ，在数轴上表示为10右侧的所有点，10处画空心圆。
教师深化：比较一下"解"与"解集"的区别。 是解，但解集是 。解是具体的数值，解集是所有解的集合。
设计意图：通过层层递进的提问，引导学生从具体数值理解走向抽象集合概念，深刻理解不等式解与解集的本质区别，建立数形结合思想，对应目标1和目标2。
（三）巩固练习1
解不等式 ，并在数轴上表示解集。
答案：
解不等式 ，并在数轴上表示解集。
答案：
（四）合作探究2：探索不等式性质与解法
教师提出探究问题：解不等式 ，观察解不等式与解方程的异同。
学生尝试解答：
移项：
合并：
两边同除以-2：
教师追问：最后一步为什么不等号方向改变了？
学生回答：因为两边同时除以了负数-2。
教师引导猜想：不等式两边同乘或同除以同一个负数时，不等号方向是否需要改变？请举例验证你的猜想。
学生举例验证：
已知 ，两边同乘-2：，，因为 ，所以不等号方向改变。
已知 ，两边同除以-1：，，因为 ，所以不等号方向改变。
教师总结证明：
设 ，
∵ ，∴
又 ∵ ，∴ （负数乘负数为正）
即 ，∴
因此，当 时，
研究3：不等式的基本性质3：不等式两边同乘（或同除以）同一个负数，不等号方向改变。
设计意图：通过具体例子引导学生自主发现规律，通过代数证明深化理解，帮助学生牢固掌握不等式性质，特别是负数系数的处理方法，突破教学难点，对应目标2。
（五）典例分析
例1 解不等式 ，并在数轴上表示解集。
分析：本题涉及去括号、移项、合并同类项等步骤，是巩固不等式解法的典型例题。
解：
去括号：
移项：
合并同类项：
解集在数轴上表示：从-1向右的所有实数，-1处画空心圆。
教师强调：解不等式时，要注意每一步的变形依据：
去括号：乘法分配律
移项：不等式基本性质2（两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变）
合并同类项：合并同类项法则
系数化为1：不等式基本性质3（注意系数正负对不等号方向的影响）
设计意图：通过典型例题的规范解答，帮助学生巩固解不等式的完整步骤，明确每一步的数学依据，培养严谨的数学思维习惯，对应目标2。
（六）巩固练习
解不等式
答案：
解不等式
答案：
解不等式
答案：
设计意图
通过多种类型的不等式练习，帮助学生熟练掌握解法，提升解题速度和准确性，对应目标2。
（七）归纳总结
知识点 说明
一元一次不等式定义 含一个未知数，次数为1的不等式
解与解集 所有解的集合
数轴表示 注意端点是否包含
解法步骤 去分母、去括号、移项、合并、化系数为1
不等号方向变化 当乘以或除以负数时改变方向
（八）感受中考
（2024·浙江）不等式 的解集是（　）
答案：
（2024·杭州）解不等式 ，并在数轴上表示解集。
答案：
（2025·宁波）某商品进价200元，标价300元，打折后利润率不低于5%，则最低打几折？
答案：7折
（2025·温州）解不等式组：
答案：
设计意图
通过中考真题练习，帮助学生熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力。
（九）小结梳理
知识点 关联内容
不等式定义 与方程对比
解集表示 数轴表示方法
解法步骤 与方程解法的异同
实际应用 建模与求解
（十）布置作业
必做题
解不等式
解不等式
求不等式 的最小负整数解。
选做题
某知识竞赛共20题，答对一题得5分，答错扣2分，不答得0分。小聪有1题未答，成绩超过80分，他至多答错几题？
解不等式
五、教学反思
（课后填写）

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