资源简介

浙教版初中数学八年级上册
第5章 一次函数
5.5 一次函数的简单应用 教学设计
一、内容和内容解析
内容
本节课主要内容是一次函数在实际问题中的简单应用，包括通过实验数据判断两个变量是否近似满足一次函数关系，并求出函数表达式；利用一次函数图像解决实际问题中的最值问题、相遇问题等；以及通过建立函数模型解决生活中的优化问题，如运费最小化、温度单位换算等。
内容解析
一次函数是初中数学的核心内容之一，其应用广泛存在于生产、生活与科学实验中。本节课通过多个实际问题，引导学生从数据中提取函数关系，建立模型，并运用图像与代数方法进行分析与求解。重点培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，以及运用数形结合思想解决实际问题的能力。
二、目标和目标解析
1. 目标
能通过实验数据判断两个变量是否近似满足一次函数关系，并求出函数表达式。
能利用一次函数图像解决最值问题、相遇问题等实际应用问题。
能建立一次函数模型，解决生活中的优化问题，如最小运费、最优选择等。
2. 目标解析
通过本节课的学习，学生将能够从实际情境中提取数据，通过描点、观察图像判断函数类型，并运用待定系数法求出函数表达式。学生将进一步掌握如何利用函数图像分析问题，如求交点、最值等，并能将几何问题与函数图像结合，提升数形结合的能力。最终，学生能综合运用所学知识解决生活中的实际问题，增强数学建模与应用意识。
三、教学问题诊断分析
判断函数类型的困难：学生可能难以从散点图中准确判断是否满足一次函数关系，需通过多组数据训练其观察与判断能力。
待定系数法的运用不熟练：部分学生在代入点求 时容易出错，需加强计算训练。
图像与代数方法结合不灵活：学生可能习惯于代数计算，忽视图像直观性，需通过典型例题引导其综合运用两种方法。
四、教学过程设计
（二）合作探究1
探究1：通过实验数据判断函数类型并建立模型
教师出示生物学家测量的7条成熟雄性鲸的吻尖到喷水孔的长度x（m）与全长y（m）的数据：
x（m） 1.78 1.91 2.06 2.32 2.59 2.82 2.95
y（m） 10.00 10.25 10.72 11.52 12.50 13.16 13.90
问题提出：
"同学们，观察这组数据，你们认为x和y之间可能存在什么样的函数关系？"
学生活动：
学生以小组为单位，在坐标系中描出各点（1.78,10.00）、（1.91,10.25）、（2.06,10.72）、（2.32,11.52）、（2.59,12.50）、（2.82,13.16）、（2.95,13.90）。
追问1：
"观察这些点的分布，它们呈现出什么特征？是否近似在一条直线上？"
预期回答：
学生通过观察发现这些点大致分布在一条直线附近，说明x和y之间可能近似满足一次函数关系。
追问2：
"如果这是一次函数关系，我们应该如何求出这个函数表达式？"
预期回答：
学生回忆待定系数法，知道需要选择两个点来建立方程组。
深入探究：
教师引导学生思考："我们应该选择哪两个点来确定这条直线？为什么？"
学生讨论：
有些学生可能选择第一个点和最后一个点，有些可能选择中间的点。教师引导比较不同选择对结果的影响。
教师指导：
"在实际应用中，我们通常选择分布较为均匀、能够代表整体趋势的点。比如点（1.91,10.25）和（2.59,12.50），它们的位置大致在数据范围的中间区域。"
计算过程：
设函数为 ，代入点（1.91,10.25）和（2.59,12.50）：
解得：
所以函数表达式为：
验证与反思：
教师引导学生将其他点的x值代入函数表达式，计算理论值并与实际值比较：
"当x=2.82时，y=3.31×2.82+3.93≈9.34+3.93=13.27，与实际值13.16相差0.11"
"这说明用一次函数来刻画这两个量之间的关系是近似的，在实际应用中这种近似是允许的。"
设计意图：
通过完整的探究过程，培养学生从数据中提取信息、建立数学模型的能力。强调"近似"概念，让学生理解数学模型与现实世界的关系。对应目标1：能通过实验数据判断两个变量是否近似满足一次函数关系，并求出函数表达式。
（四）合作探究2
探究2：利用一次函数解决优化问题
呈现实际问题："要从甲、乙两仓库向A、B工地运送水泥。已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥；A工地需70吨水泥，B工地需110吨水泥。两仓库到两工地的路程和运费如下表："
工地 甲仓库路程（km） 乙仓库路程（km） 甲仓库运费（元/吨·km） 乙仓库运费（元/吨·km）
A 20 15 1.2 1.2
B 25 20 1.0 0.8
问题提出：
"设甲仓库运往A工地水泥x吨，请建立总运费y关于x的函数表达式。"
分步引导：
"甲仓库运往A工地x吨，那么甲仓库运往B工地多少吨？"
（100 - x）吨
"A工地需要70吨，甲仓库已经供应了x吨，那么乙仓库需要向A工地供应多少吨？"
（70 - x）吨
"乙仓库总共可运出80吨，已经向A工地供应了（70 - x）吨，那么向B工地供应多少吨？"
[80 - (70 - x)] = (10 + x) 吨
"现在请计算各段的运费："
甲→A：1.2 × 20 × x = 24x
甲→B：1.0 × 25 × (100 - x) = 2500 - 25x
乙→A：1.2 × 15 × (70 - x) = 1260 - 18x
乙→B：0.8 × 20 × (10 + x) = 160 + 16x
"总运费y是多少？"
追问1：
"x的取值范围是多少？需要考虑哪些约束条件？"
学生思考：
甲仓库运往A工地的量x ≥ 0
甲仓库运往B工地的量100 - x ≥ 0 x ≤ 100
乙仓库运往A工地的量70 - x ≥ 0 x ≤ 70
乙仓库运往B工地的量10 + x ≥ 0 x ≥ -10（自然满足）
所以x的取值范围是：0 ≤ x ≤ 70
追问2：
"观察函数y = -3x + 3920，这是一个什么函数？它的增减性如何？"
预期回答：
这是一次函数，k = -3 < 0，所以y随x的增大而减小。
追问3：
"那么，当x取什么值时，总运费y最小？最小运费是多少？"
预期回答：
因为y随x增大而减小，所以当x取最大值70时，y最小。
y = -3 × 70 + 3920 = -210 + 3920 = 3710（元）
验证与反思：
"请说明此时各仓库向各工地的运输方案："
甲仓库：运往A工地70吨，运往B工地30吨
乙仓库：运往A工地0吨，运往B工地80吨
"这个方案是否满足所有工地的需求？"
A工地：70 + 0 = 70吨（满足）
B工地：30 + 80 = 110吨（满足）
设计意图：
通过这个复杂的实际问题，培养学生综合运用数学知识解决实际问题的能力。包括：理解问题背景、定义变量、建立函数模型、确定自变量取值范围、利用函数性质求最优解、验证解的合理性等。对应目标2和3：能利用一次函数图像解决最值问题，能建立一次函数模型解决生活中的优化问题。
（其他教学环节保持不变，以下部分与之前相同）
（三）巩固练习1
练习1
通过实验获得u, v两个变量的各对应值如下表：
u 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4
v 50 100 155 207 260 290 365 470
判断变量u, v是否满足或近似满足一次函数关系式。如果是，求v关于u的函数式。
答案：
近似满足一次函数关系，v = 105u + 50
练习2
利用上面得到的函数式，求当u = 2.2时函数v的值。
答案：
v = 105 × 2.2 + 50 = 281
（五）典例分析
例1
小聪和小慧分别从古刹和塔林出发，相约在飞瀑见面。小聪乘电动汽车从古刹出发，车速为30 km/h；小慧骑电动自行车从塔林出发，车速为20 km/h。小慧出发时离古刹10 km。
求：（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了草甸？（草甸在古刹35 km处）
（2）当小聪到达飞瀑时（飞瀑在古刹45 km处），小慧离飞瀑还有多少千米？
解：
设经过t小时，小聪离古刹的距离为s = 30t，小慧离古刹的距离为s = 20t + 10。
（1）联立方程：
因为30 < 35，所以还未过草甸。
（2）小聪到达飞瀑时，s = 45，代入s = 30t得t = 1.5
此时s = 20 × 1.5 + 10 = 40
所以小慧离飞瀑还有45 - 40 = 5 km
设计意图：
通过行程问题培养学生利用函数图像分析实际问题的能力，强化数形结合思想，对应目标2。
（六）巩固练习
求方程组
的解。
答案：x = -2, y = 4
某公司推销员月报酬方案如下：
A方案：每月3280元基本工资，另加销售额的2%作为奖金
B方案：每月2840元基本工资，另加销售额的4%作为奖金
请问销售额为多少时，两种方案报酬相同？
答案：
设销售额为x元，
3280 + 0.02x = 2840 + 0.04x
解得x = 22000元
某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费。
（1）分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式。
（2）印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？
（3）商场计划花费3000元用于印刷宣传材料，找哪一家印刷厂能印制宣传材料多一些？
答案：
（1）甲厂：y = x + 1500；乙厂：y = 2.5x
（2）甲厂：800 + 1500 = 2300元；乙厂：2.5 × 800 = 2000元，选择乙厂
（3）甲厂：3000 = x + 1500 x = 1500份；乙厂：3000 = 2.5x x = 1200份，选择甲厂
设计意图：
通过多种类型的实际问题，巩固学生建立函数模型、求最值、解方程组的综合能力，对应目标3。
（七）归纳总结
知识点 方法说明
判断一次函数关系 描点观察是否近似直线
求函数表达式 待定系数法
利用图像求交点 解方程组或观察图像交点
求最值 分析函数增减性或图像趋势
建立实际问题的函数模型 确定变量、约束条件、目标函数
（八）感受中考
（2024·浙江） 某快递公司收费标准为：首重1kg内10元，每续重1kg加2元。写出收费y（元）与重量x（kg）的函数关系式。
答案：
（2024·杭州） 直线y = 2x - 3与y = -x + 6的交点坐标为______。
答案：(3, 3)
（2025·宁波） 某商品进价为每件40元，售价为每件60元，每天可售出100件。若每降价1元，每天多售出10件。求日利润y与降价x元的函数关系式。
答案：
（2025·温州） 某温度计显示摄氏温度C与华氏温度F满足一次函数关系，已知0°C = 32°F，100°C = 212°F，求F关于C的函数表达式。
答案：
设计意图：
通过中考真题训练，帮助学生熟悉考试题型，提升应考能力，增强学习动力。
（九）小结梳理
知识点 关联内容
一次函数的判断与求解 描点法、待定系数法
函数图像的应用 交点、最值、行程问题
实际问题的建模与优化 运费、报酬、印刷成本等问题
数形结合思想 图像与代数方法互补
（十）布置作业
必做题
教材P183 作业题A组第1、2题
教材P187 作业题B组第4题
选做题
教材P188 探索题：弹簧测力计实验报告
自学"摄氏与华氏温度转换"的历史背景，写一篇数学小短文。
五、教学反思
（课后填写）

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