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浙教版初中数学八年级上册第五章《一次函数》
5.2 认识函数 教学设计
一、内容和内容解析
内容
本节课主要内容为"认识函数"，包括函数的定义、函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），以及函数值的求法和自变量取值范围的确定。通过实际问题引入函数概念，帮助学生理解变量之间的依赖关系，并初步掌握函数的表示与简单应用。
内容解析
函数是描述现实世界中变量之间关系的重要数学模型，是中学数学的核心内容之一。本节从学生已有的生活经验出发，通过跳远距离与助跑速度、报酬与工作时间、气温与时间等实例，引导学生理解"一个变量随另一个变量变化而变化"的关系，进而抽象出函数的定义。教学中强调函数的三种表示方法及其应用，为学生后续学习一次函数、反比例函数等打下基础。
二、目标和目标解析
目标
理解函数的定义，能判断两个变量之间是否具有函数关系。
掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），并能根据实际情况选择合适的表示方法。
能根据函数表达式求函数值，并确定自变量的取值范围。
目标解析
通过本节课的学习，学生应能识别生活中的函数关系，理解"唯一确定"的含义，能通过解析式、表格或图象表示函数关系，并能进行简单的函数值计算和自变量范围分析。教学中注重从具体到抽象的思维过程，培养学生的数学建模能力和应用意识。
三、教学问题诊断分析
函数概念理解困难：学生容易将"变量关系"与"函数关系"混淆，需通过多个实例对比强化"唯一确定"这一核心特征。
自变量取值范围忽略：学生在求函数值时容易忽略自变量的实际意义，导致取值范围错误。
图象法理解不深：学生可能难以从图象中准确读取函数值，需加强图象与实际情境的关联训练。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1
跳远的距离公式为 （），其中 随哪个量的变化而变化？
师：请同学们观察这个公式，思考跳远距离 是由哪个量决定的？
生： 是由助跑速度 决定的。
师：很好！那么当 变化时， 会怎样变化？
生： 也会随着变化。
问题2
小明哥哥工作 小时，报酬 元，填写下表并回答 是否随 变化？
工作时间 时 6 8 12 16 24 ... t ...
报酬 / 元 120 160 240 320 480 ... 20t ...
师：请同学们计算并填写表格，观察 和 之间的关系。
生： 总是 的20倍。
师：那么 是否随 的变化而变化？
生：是的， 越大， 也越大。
问题3
图5-3是杭州市某天气温变化图，气温 是否随时间 变化？为什么？
师：观察这个气温图，你能说出在某个特定时间点的气温吗？
生：比如在16时，气温是36℃。
师：那么对于每一个时间点，气温是否都有唯一确定的值？
生：是的，从图象可以看出每个时间点对应一个气温值。
设计意图
通过三个不同背景的问题，引导学生发现变量之间的依赖关系，初步感知"函数"的特征。问题1从物理公式引入，问题2从经济问题展开，问题3通过图象分析，多角度帮助学生理解变量间的对应关系，为后续定义函数做铺垫，对应目标1。
（二）合作探究1
（二）合作探究1
探究1：一次函数与正比例函数的辨析
教师出示以下函数表达式：
问题：请判断这些函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？并说明理由。
学生活动：独立思考后小组讨论，派代表发言。
预期回答：
：是正比例函数，也是特殊的一次函数（），比例系数 。
：是一次函数，，，但不是正比例函数（因为 ）。
：不是一次函数，因为自变量 在分母上，不满足 的形式。
：可化简为 ，是一次函数，，，不是正比例函数。
：不是一次函数，因为含有 项。
追问1：
正比例函数是否一定是一次函数？一次函数是否一定是正比例函数？
引导学生归纳：
正比例函数是特殊的一次函数（当 时），但一次函数不一定是正比例函数（当 时）。
追问2：
一次函数的一般形式中，为什么要求 ？若 ，函数变成了什么？
引导学生思考：
若 ，则 ，是常函数，不再具有“变化”的特征，因此不属于一次函数。
（三）巩固练习1
某市水费为2.9元/立方米，用水量 立方米，水费 元，写出函数表达式并求 时的函数值。
答：， 元
知识点：解析法表示函数关系
骑自行车30分钟，热量消耗 与体重 的关系如图，求 和 时的 值。
答：从图象可得， 时 焦； 时 焦
知识点：图象法表示函数关系
（四）合作探究2
探究2：从实际问题中抽象一次函数模型
问题1：
某农场每平方米种植玉米6株。设种植面积为 （m ），玉米株数为 （株），你能写出 与 的关系式吗？它是函数吗？属于哪一类函数？
学生回答：
，是函数，且是正比例函数。
问题2：
正方形的周长 与面积 之间是否具有函数关系？若是，是否为一次函数？
引导学生分析：
设边长为 ，则 ，。
由 ，代入得 。
∴ 是 的函数，但不是一次函数（是二次函数）。
问题3：
等腰三角形 的周长为16 cm，腰长为 cm，底边长为 cm。写出 关于 的函数表达式，并判断其类型。
学生尝试：
由周长公式：，得 。
∴ 是 的一次函数，但不是正比例函数。
追问：
自变量 的取值范围是什么？为什么？
引导学生思考：
由三角形三边关系：
研究3：归纳一次函数的建模方法
教师引导学生总结：
识别问题中的变量与常量；
根据数量关系列出等式；
将等式化为 的形式；
判断是否为一次函数，并确定 和 的值；
注意自变量的取值范围要符合实际意义。
设计意图：
通过多个实际问题的分析，帮助学生从具体情境中抽象出函数模型，理解一次函数的本质特征，培养数学建模能力，同时强化对自变量取值范围的意识，对应目标1、2。
（五）典例分析
例1
潮汐高度 与时间 的函数图象如图5-4所示：
（1）判断 是否为 的函数；
（2）求 时的函数值；
（3）一天内潮高为200 cm的次数。
解：
（1）在 的范围内，任意取一个 的值 时，过点 作 轴的垂线，垂线和图象有唯一的公共点 ，也就是潮高 有唯一的确定值 ，所以潮高 是时间 的函数。
（2）过点 作 轴的垂线，交图象于点 。所以当 时，函数值为 cm。
（3）过点 作垂直于 轴的直线，交图象于 三点，所以一天内有3次潮高为200 cm。
设计意图
通过图象分析强化函数定义的理解和图象法的应用。培养学生从图象中读取信息、分析问题的能力。通过实际问题让学生体会数学的应用价值，对应目标3。
（六）巩固练习
电费 （元），求 时的 值。
答： 元
知识点：函数值的计算
求 在 时的值。
答：
知识点：函数值的计算
高为6 cm，底边 cm，面积 cm ，求 和 时的 值。
答： 时， cm ； 时， cm
知识点：函数值的计算
函数 ，求自变量 的取值范围。
答：
知识点：自变量取值范围的确定
设计意图
通过多种类型的练习巩固函数值的求法和实际意义的理解。包括正比例函数、二次函数、分式函数等不同类型，帮助学生全面掌握函数概念，对应目标3。
（七）归纳总结
知识点 说明
函数的定义 唯一确定对应关系
函数的表示方法 解析法、列表法、图象法
函数值的求法 代入解析式或查表、读图
自变量取值范围 实际意义与数学意义结合
（八）感受中考
（2024·浙江）若 ，则 的取值范围是______。
答：
知识点：分式函数自变量取值范围
（2024·杭州）某商品单价为 元，销量 件，收入 ，若 元， 件，则 ______。
答：2000元
知识点：函数值的计算
（2025·宁波）如图为某车行驶路程 与时间 的关系，求 时的 值。
答：60 km
知识点：图象法求函数值
（2025·温州）已知 ，当 时，______。
答：7
知识点：函数值的计算
设计意图
通过中考真题训练，帮助学生熟悉考试题型，提升应考能力。题目涵盖函数值的计算、自变量取值范围的确定等核心知识点，检验学习成果。
（九）小结梳理
知识点 关联内容
函数定义 变量关系、唯一确定性
表示方法 解析式、表格、图象
函数值 代入、查表、读图
自变量范围 实际约束、数学意义
（十）布置作业
必做题
教材P158 作业题A组第1、2题
第1题：电费问题，巩固函数表达式和函数值的计算
第2题：函数值计算，巩固函数概念
教材P161 作业题A组第1、2题
第1题：直角三角形角度关系，理解函数关系
第2题：加油费用问题，巩固函数表达式和自变量取值范围
选做题
教材P159 B组第4题
停车收费问题，理解分段函数的概念
教材P162 B组第4题
钢筋折弯问题，巩固函数表达式和函数值的计算
五、教学反思
（课后填写）

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