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第五章 一次函数
5.1 常量与变量教学设计
一、内容和内容解析
内容：
本节课主要内容是引导学生理解“常量”与“变量”的概念，识别在某一过程中哪些量保持不变，哪些量发生变化，并能用数学语言描述这些关系。通过实际问题如圆的面积计算、钟点工工资计算、快递费用计算等，帮助学生建立常量与变量的初步概念，为后续学习函数奠定基础。
内容解析：
常量与变量是函数学习的起点，是描述变化现象的基本工具。学生需通过对实际问题的分析，理解“不变”与“变”的数学含义，掌握识别常量和变量的方法，并能在具体情境中区分它们。本节内容贴近生活，易于激发学生兴趣，也为后续学习一次函数、正比例函数等提供概念支持。
二、目标和目标解析
目标：
理解常量与变量的概念，能识别实际问题中的常量和变量。
能用数学语言描述常量与变量之间的关系。
能在具体情境中判断量的变化情况，并解释其意义。
目标解析：
通过本节课的学习，学生应能准确识别在某一过程中哪些量是固定不变的（常量），哪些量是可以取不同值的（变量），并能够用数学符号或语言表达这种关系。学生还应能够将所学知识应用于实际问题中，如计算、图表分析等，为后续函数学习打下坚实基础。
三、教学问题诊断分析
学生对“变化”与“不变”的理解容易停留在表面，难以抽象为数学概念。
学生在判断多个量中哪些是常量、哪些是变量时，容易混淆。
学生在用数学语言描述变量关系时，表达能力较弱，需加强训练。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1：
马术比赛中，马从起点跑向终点，涉及路程、时间、速度等量。哪些量在改变？哪些量不变？
问题2：
圆的面积公式为 ，当半径 取不同值时，面积 如何变化？哪些量不变？
问题3：
钟点工工资为25元/小时，工作 小时，工资 元，关系为 。哪些量是变的？哪些是不变的？
设计意图：
通过学生熟悉的实际情境引入，激发兴趣，引导学生初步感知“变”与“不变”的数学概念，为目标1的达成做铺垫。
（二）合作探究1
探究1：
教师出示快递公司收费标准图（如图5-1），引导学生观察并思考以下问题：
教师提问：
“同学们，请看这张快递费用图。横轴表示邮件质量 （单位：千克），纵轴表示快递费 （单位：元）。请你根据图像判断，当邮件质量 变化时，快递费 是如何变化的？”
学生回答：
“当 在0到10千克之间时， 一直为6元；当 超过10千克时， 随着 的增加而增加。”
教师追问：
“如果我们固定邮件质量 在0到10千克之间，那么快递费 是变化的还是不变的？如果我们寄 件这样的邮件，总费用 应该如何表示？其中哪些量是常量？哪些是变量？”
学生回答：
“若 ，则 是固定不变的，所以 是常量。总费用 ，其中 和 是变量。”
教师进一步追问：
“如果邮件质量 超过10千克，快递费 会随着 的变化而变化。此时若寄 件邮件，总费用 又如何表示？其中的常量和变量又是什么？”
学生回答：
“此时 是变量， 也是变量，没有常量。”
设计意图：
通过图像和问题链引导学生逐步理解常量与变量的判断方法，培养其观察、分析和表达能力，为目标1和2的达成提供支持。
（三）巩固练习1
某水果店橘子4.5元/千克，买 千克总价为 元。指出常量和变量。
答案：常量：4.5；变量：、
声音在空气中传播速度 ，指出常量和变量。
答案：常量：331、0.6；变量：、
（四）合作探究2
探究2：
教师引导学生分析列车行驶问题：A、B两城市之间的铁路路程 为固定值，列车行驶的平均速度 可以变化，行驶时间 。
教师提问：
“若A、B两城之间的铁路路程 是固定的，列车以不同速度 行驶，时间 会如何变化？其中哪些量是常量？哪些是变量？”
学生回答：
“ 是常量， 和 是变量。”
教师追问：
“如果列车的速度 固定为220 km/h，那么此时哪些量是常量？哪些是变量？”
学生猜想：
“如果 固定，那么 是常量， 和 是变量。”
教师验证：
“正确。也就是说，常量和变量的判断取决于我们所关注的过程是否发生变化。”
研究3：
通过多个类似例子（如购物总价、声音传播速度等），教师引导学生总结判断常量和变量的方法：在某一过程中，取值不变的量是常量，可以取不同值的量是变量。
设计意图：
通过具体情境中的变量关系分析，帮助学生从具体到抽象地理解常量与变量的本质，培养其数学建模和逻辑推理能力，支持目标2和3的达成。
（五）典例分析
例1：
某快递公司收费标准如下：
邮件质量 （kg）在0~10 kg时，快递费 元；
超过10 kg时，每千克加收1元。
若寄 件邮件，总费用为 元，指出常量和变量。
答案：
若 ，则 为常量，、、 为变量。
设计意图：
通过综合例题训练学生判断复杂情境中的常量和变量，提升应用能力，支持目标3。
（六）巩固练习
圆的周长公式 ，指出常量和变量。
答案：常量：；变量：、
水位记录表中，时刻 与水位 的关系，指出常量和变量。
答案：变量：、；无常量
质能公式 ，指出常量和变量。
答案：常量：；变量：、
设计意图：
通过多角度练习巩固所学，提升判断和表达能力。
（七）归纳总结
概念 含义 示例
常量 在过程中固定不变的量 , 25元/小时
变量 在过程中可以取不同值的量 , ,
（八）感受中考
（2024·浙江）某商品单价为10元，买 件总价 元，则常量为______，变量为______。
答案：常量：10；变量：、
（2024·杭州）声音速度 ，其中常量为______。
答案：331、0.6
（2025·宁波）圆的面积 ，下列说法正确的是（ ）
A. 是变量
B. 是常量
C. 是变量
D. 以上都错
答案：C
（2025·温州）列车行驶时间 ，若 km， km/h，则常量为______。
答案：、
设计意图：
通过中考真题训练，帮助学生熟悉考试题型，提升应试能力。
（九）小结梳理
知识点 常量 变量
定义 过程中不变 过程中变化
示例 , 单价 半径、时间、总价
判断方法 是否发生变化 是否可取不同值
（十）布置作业
必做题：
课本P154 作业题A组第1、2、3题；B组第4题。
选做题：
通过互联网查找一个涉及多个量的实际例子，写出其中的常量和变量，并说明理由。
五、教学反思
（课后填写）

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