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第五章 一次函数
5.3 一次函数的意义教学设计
一、内容和内容解析
内容：
本节课主要内容为一次函数的定义、特征及其与实际问题的联系。学生将通过具体实例理解一次函数 （）的结构特征，区分一次函数与正比例函数的关系，并初步掌握用待定系数法求一次函数表达式的方法。
内容解析：
一次函数是函数学习的入门内容，是后续学习二次函数、反比例函数的基础。本节课通过风力发电、个人所得税、水费计算等现实情境，引导学生从实际问题中抽象出函数模型，理解函数的本质是描述变量之间的关系。教学中应注重数形结合思想、模型思想的渗透，培养学生从具体到抽象的数学思维能力。
二、目标和目标解析
目标：
理解一次函数和正比例函数的定义，能判断一个函数是否为一次函数或正比例函数。
能根据实际问题建立一次函数模型，并求出函数表达式。
初步掌握待定系数法求一次函数表达式的方法。
目标解析：
通过本节课的学习，学生应能识别一次函数的结构特征，理解 和 的含义，能根据实际问题中的数量关系列出函数表达式。通过待定系数法的学习，学生能通过两组对应值求出一次函数的表达式，为后续函数图像与性质的学习打下基础。
三、教学问题诊断分析
函数概念抽象：学生对“函数”的理解仍停留在变量依赖关系上，难以从表达式中抽象出函数结构。
正比例函数与一次函数的混淆：学生易忽略 的特殊情况，误将正比例函数排除在一次函数之外。
待定系数法应用不熟练：学生对方程组的解法掌握不牢，导致在求 和 时出现计算错误。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1：
某地区风力发电装机容量如下表所示，请观察数据，你能发现什么规律？
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
容量/万千瓦 18 22 26 30 34 38
问题2：
若将2017年记为第1年，第 年的装机容量为 ，你能写出 与 的关系式吗？
问题3：
这种关系是否具有普遍性？能否用一类函数来描述这种变化规律？
设计意图：
通过真实数据引导学生发现变量之间的线性关系，引出一次函数的概念，激发学习兴趣，对应目标1。
（二）合作探究1
探究1：一次函数与正比例函数的辨析
教师出示以下函数表达式：
问题：请判断这些函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？并说明理由。
学生活动：独立思考后小组讨论，派代表发言。
预期回答：
：是正比例函数，也是特殊的一次函数（），比例系数 。
：是一次函数，，，但不是正比例函数（因为 ）。
：不是一次函数，因为自变量 在分母上，不满足 的形式。
：可化简为 ，是一次函数，，，不是正比例函数。
：不是一次函数，因为含有 项。
追问1：
正比例函数是否一定是一次函数？一次函数是否一定是正比例函数？
引导学生归纳：
正比例函数是特殊的一次函数（当 时），但一次函数不一定是正比例函数（当 时）。
追问2：
一次函数的一般形式中，为什么要求 ？若 ，函数变成了什么？
引导学生思考：
（三）巩固练习1
判断下列函数是否为一次函数？若是，指出 和 的值。
(1)
(2)
(3)
答案：
(1) 是，
(2) 是，
(3) 否
若 是一次函数，求 的取值范围。
答案：
（四）合作探究2
探究2：从实际问题中抽象一次函数模型
问题1：
某农场每平方米种植玉米6株。设种植面积为 （m ），玉米株数为 （株），你能写出 与 的关系式吗？它是函数吗？属于哪一类函数？
学生回答：
，是函数，且是正比例函数。
问题2：
正方形的周长 与面积 之间是否具有函数关系？若是，是否为一次函数？
引导学生分析：
设边长为 ，则 ，。
由 ，代入得 。
∴ 是 的函数，但不是一次函数（是二次函数）。
问题3：
等腰三角形 的周长为16 cm，腰长为 cm，底边长为 cm。写出 关于 的函数表达式，并判断其类型。
学生尝试：
由周长公式：，得 。
∴ 是 的一次函数，但不是正比例函数。
追问：
自变量 的取值范围是什么？为什么？
引导学生思考：
由三角形三边关系：
研究3：归纳一次函数的建模方法
教师引导学生总结：
识别问题中的变量与常量；
根据数量关系列出等式；
将等式化为 的形式；
判断是否为一次函数，并确定 和 的值；
注意自变量的取值范围要符合实际意义。
设计意图：
通过多个实际问题的分析，帮助学生从具体情境中抽象出函数模型，理解一次函数的本质特征，培养数学建模能力，同时强化对自变量取值范围的意识，对应目标1、2。
（五）典例分析
例1：
按国家个人所得税规定，年应纳税所得额 元（），应纳个人所得税 元满足：
求小聪妈妈应纳税所得额为60000元时应缴纳的个税。
答案：3480元
设计意图：
通过实际问题应用一次函数模型，培养学生建模能力，对应目标2、3。
（六）巩固练习
已知 是 的正比例函数，当 时，，求函数表达式。
答案：
某市出租车起步价10元（4 km内），超出部分每千米2元。写出车费 关于里程 （）的函数表达式。
答案：
已知 是 的一次函数，当 时，；当 时，，求函数表达式。
答案：
设计意图：
通过多角度练习巩固一次函数的求法和应用，提升学生综合运用能力，对应目标2、3。
（七）归纳总结
函数类型 一般形式 特点
一次函数
正比例函数
（八）感受中考（2024–2025年真题精选）
（2024·浙江）若函数 是正比例函数，则
答案：
（2024·杭州）某快递公司收费标准为：首重10元，每续重1千克加收2元。写出费用 与重量 （）的函数关系式。
答案：
（2025·宁波）已知 是 的一次函数，当 时，；当 时，，求该函数表达式。
答案：
（2025·温州）某气体在0℃时体积为100 L，每升高1℃体积增加0.37 L。写出体积 与温度 的函数关系式。
答案：
设计意图：
通过中考真题训练，帮助学生熟悉考试题型，提升应试能力，增强学习动力。
（九）小结梳理
知识点 说明
一次函数定义 ，
正比例函数 ，
待定系数法 通过两组对应值求
实际应用 建模、求解、解释
（十）布置作业
必做题：
教材P168 作业题A组 1、2、3
教材P171 作业题A组 1、2、3
选做题：
教材P171 作业题B组 4、5
设计题：调查家庭用水情况，写出水费函数表达式。
五、教学反思
（课后填写）

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