资源简介

2.2用配方法求解一元二次方程第2课时教学设计
1.教学内容
本节课选自北师大版九年级上册第二章“用配方法求解一元二次方程”的第2课时，主要讲解用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程；配方法在实际问题（如小球运动高度、三角形形状判断）中的应用。
2.内容解析
本课时是在学生已掌握 “用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程” 基础上的延伸，核心逻辑是通过 “二次项系数化为 1” 将新方程转化为旧知形式，体现 “转化与化归” 的数学思想。知识价值在于：一是完善配方法求解一元二次方程的完整流程，为后续求根公式推导奠定基础；二是通过实际问题应用，建立数学与生活的联系，培养建模能力。教学重点为 “二次项系数不为 1 的一元二次方程的配方法步骤”，难点为 “配方过程中一次项系数一半的平方的计算” 及 “配方法的灵活应用”。
1.教学目标
1．能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程．
2．进一步体会转化的数学思想方法来解决实际问题．
教学重点：会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．
教学难点：能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程．
2.目标解析
1. 达成标准：学生能独立完成“二次项系数化为1→移项→配方→开方→求解”的完整步骤，正确解出如 这类二次项系数不为1的一元二次方程，准确率不低于80%；
2. 达成标准：学生能将配方法应用于实际问题（如小球高度计算、代数式最值证明、三角形形状判断），能判断方程是否有实数根，并正确写出无实数根的理由，在例题练习中正确率不低于70%。
1. 已有知识基础：学生已掌握一元一次方程解法、平方根的意义，能熟练用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，具备初步的代数变形能力；
2. 学习难点：
- 技术层面：将二次项系数化为1后，一次项系数变为分数（如化为），计算“一次项系数一半的平方”时易出错；
- 应用层面：将实际问题（如小球高度）抽象为一元二次方程，建立“时间”与“高度”的数量关系存在困难；
- 逻辑层面：理解“当中时方程无实数根”的代数意义，需结合平方根的非负性突破认知障碍；
3. 学习优势：对生活中的数学问题（如小球运动）兴趣较高，可借助情境激发探究欲，通过阶梯式问题降低转化难度。
1.复习回顾
师生共同回顾1.直接开平方法解一元二次方程
理论依据：平方根的意义.
适用范围:能转化为x2=a或（m x＋n）2= a（a≥0）的形式的方程.
2. 配方法解一元二次方程的思路是将方程转化为 的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边是一个常数,当 时,两边同时开平方,转化为一元一次方程,便可求出它的根.
3. 配方法的关键:
在形如 +bx=﹣c 的两边同时加一次项系数一半的平方,即
2.情景引入
问题情境：1.提问“用配方法解的步骤是什么？”，请学生口述过程（移项得→配方加得→开方求解），巩固二次项系数为1的配方法流程；
2.展示方程，提问“这个方程与刚才的方程有什么区别？（二次项系数为3，不为1）如何用配方法解这个方程？”，引发学生思考。
【设计意图】通过复习旧知建立认知起点，对比新旧方程的差异，自然引出“二次项系数不为1的配方法”这一课题，激发学生的转化意识，明确本节课学习方向。
探究点1　用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1.问题探究
呈现文档例题：用配方法解方程，引导学生思考：
- 问题1：这个方程的二次项系数是3，如何转化为我们熟悉的“二次项系数为1”的形式？（方程两边同时除以3）
- 问题2：转化后方程为，后续步骤与复习题一致吗？（一致，按移项、配方、开方、求解流程进行）
2. 师生活动
- 教师行为：板书完整解题步骤，强调“二次项系数化为1”的第一步，在配方环节标注“一次项系数6的一半是3，平方为9”，提醒学生注意系数变化；
- 学生行为：跟随教师思路完成解题，独立在练习本上复刻步骤，同桌互相检查“二次项系数化为1”和“配方”两步是否正确。
3. 详细过程
解：
1. 方程两边同时除以3（二次项系数化为1），得；
2. 移项（含未知数项移左，常数项移右），得；
3. 配方（两边加一次项系数一半的平方，即），得，即；
4. 开方（依据平方根意义，则），得；
5. 求解一元一次方程，得，。
知识归纳
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的基本思路：在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时,需要将二次项系数化为1后,再根据配方法步骤进行求解.
练一练
- 题目：解方程
- 解析步骤：
1. 两边同除以3（二次项系数化为1），得；
2. 移项，得；
3. 配方（加一次项系数一半的平方，即），得，即；
4. 开方，得；
5. 求解，得，。
- 答案总结：方程的解为，。
【设计意图】通过“旧知迁移→例题示范→巩固练习”的流程，突破“二次项系数化为1”的技术难点，让学生掌握完整步骤，培养代数变形能力，为后续灵活应用奠定基础。
方法归纳
用配方法解一元二次方程的步骤:
①化:二次项系数化为1;
②移项:将常数项移到右边,含未知数的项移到左边;
③配方:左、右两边同时加上一次项系数一半的平方,使原方程变为 的形式;
④开方:若方程右边为负数,则方程没有实数根,若方程右边为非负数,就可以左右两边开平方得 ;
⑤求解:解两个一元一次方程,得方程的解为
探究点2配方法的应用
1．问题引入
从生活情境出发，呈现文档“做一做”： 一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度 与时间 满足关系: ，小球何时能达到10m高
- 学生行为：独立列出方程，小组讨论“为什么要除以”（简化方程，使二次项系数为1），并完成后续配方求解。
-详细过程
1. 实际问题抽象：将代入，得；
2. 方程整理：两边同时除以（二次项系数化为1，且使二次项系数为正），得；
3. 配方：加一次项系数一半的平方，得，即；
4. 开方求解：，得，；
5. 实际意义解读：表示小球上升到10m高的时间，表示小球下落回10m高的时间，均符合实际情境。
2．议一议
试用配方法证明:不论 取何实数,多项式 的值必定大于零.
【分析】利用配方法把多项式写成一个完全平方式加上一个常数的形式，然后利用非负性即可解答.
【解答】证明：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
∵（k－2）2≥0，
∴（k－2）2＋1≥1.
∴k2－4k＋5的值必定大于零.
3．例题展示
例1：解方程:
(1) ； (2) .
【分析】先把二次项的系数化为1，然后根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可解答.
【解答】解：(1)移项,得
二次项系数化为1,得
配方,得
即
由此可得 ,
.
(2)移项,得 ,
二次项系数化为1,得 ,
配方,得 ,
即
因为实数的平方不会是负数,
所以x 取任何实数时, （x﹣1） 都是非负数,
即上式都不成立,
所以原方程无实数根.
例2：若a,b,c为△ABC的三边长,且 试判断 △ABC 的形状.
- 解析步骤：
1. 配方整理：将常数项25拆分为，分别与、的二次项和一次项配方，得，即；
2. 利用非负性求解：因为，，，且三者和为0，所以，，，解得，，；
3. 判断三角形形状：验证三边关系，，符合勾股定理逆定理，故为直角三角形。
- 答案总结：是直角三角形。
【设计意图】通过生活情境（小球高度）和几何问题（三角形形状）的应用，让学生体会“数学建模”思想，突破“实际问题抽象为方程”的难点，同时巩固配方法与非负性的结合，培养综合应用能力。
1. 如果 的左边是一个关于 的完全平方式,则 等于( C )
A. 1 B.1 C. 1或9 D.﹣1或9
2. 下列配方法有错误的是( D )
A. 化为
B. 化为
C. 化为
D. 化为
3. 用配方法解方程 ,则方程可变形为( D )
A.
B.
C.
D.
4.若一元二次方-x2+bx-5=0程配方后为(x-3)2=k，则b，k的值分别是（ A ）
A.6，4 B.6，5 C.﹣6,5 D.﹣6,4
5.解下列方程：
（1）x2+4x﹣9=2x﹣11； （2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0.
【解答】解:（1）,
.
∵﹣1＜0
∴方程无实数根.;
(2) ;
解: ,
.
.
;
(3) ;
解: ,
;
(4) .
解: ,
.
.
.
6. 应用配方法求最值.
(1)求2x2 ﹣ 4x＋5 的最小值;
解: 2x2 ﹣ 4x+5=2(x ﹣1)2 ＋3 ,
所以当 x=1 时,有最小值,为3.
(2) 求﹣3x2＋ 12x﹣16 的最大值.
解:﹣3x2＋ 12x﹣16 = ﹣3(x﹣2)2 ﹣ 4 ,
所以当x =2时,有最大值，为-4.
7. 如图,在一块长35m、宽26m的矩形地面上,修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,要使剩余部分的面积为 850cm2，道路的宽应为多少
【解答】解:设道路的宽为x m,根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得：x2-61x+60=0.
解得： x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.
答:道路的宽为1m.
（设计意图：1. 通过几何与代数相结合的真题，让学生了解如何将实际问题转化为一元二次方程，体会方程在测量、工程、物理等情境中的重要应用；
2. 从“何时半面积”这一问题切入，鼓励学生用“设未知数—建立方程—运用配方法求解—检验解的有效性”的思维方式解决综合性问题。）
（设计意图：通过不同难度层次的练习，全面检验学生对知识的掌握情况，巩固方程解的判断方法和求解技巧，及时发现学生在学习过程中存在的问题，并进行有针对性的查漏补缺。）
（教学建议：让学生独立完成练习后，同桌之间相互检查答案。教师针对错误率较高的题目进行集中讲解，特别要强调在实际问题中，解的合理性至关重要.）
(设计意图：帮助学生系统梳理本节课的知识体系，强化重点内容，培养学生的总结归纳能力，使学生构建起清晰的知识框架。)
(教学建议：采用 “学生先说，教师后补” 的方式，鼓励学生用自己的语言表达学习收获。对于学生遗漏的要点，教师通过提问的方式引导学生回忆)
1.必做题：习题2.4第1-2题。
2.探究性作业：习题2.4第3题。
（设计意图：巩固学生对本课核心知识点的掌握，兼顾基础练习与思维延伸。）
一、知识回顾 1. 配方法（二次项系数为1）：移项→配方→开方→求解 2. 平方根意义：若，则 二、核心步骤（二次项系数不为1） 1. 化：方程两边除以二次项系数，使二次项系数为1； 2. 移：含未知数项移左，常数项移右； 3. 配：两边加一次项系数一半的平方，化为； 4. 开：若，则；若，无实数根； 5. 解：解一元一次方程。 三、配方法应用 1. 实际问题：小球高度（时求）； 2. 几何问题：利用配方与非负性求三角形边长，判断形状。 四、易错点提醒 1. 二次项系数化为1时，常数项和一次项需同时除以该系数； 2. 配方时加“一次项系数一半的平方”，需注意符号（如一次项为，一半为，平方为）。
1. 教学目标达成度：①“用配方法解二次项系数不为1的方程”目标基本达成，80%学生能独立完成基础题（如），但约20%学生在分数系数配方时出错；②“灵活应用”目标部分达成，学生能解决小球高度问题，但在代数式最值证明（如恒正）上仍需引导；
2. 难点突破情况：“二次项系数化为1”的步骤通过例题示范和练习基本突破，但“实际问题抽象为方程”的难点未完全解决，部分学生对“代入关系式”的逻辑理解不清晰；
3. 改进方向：①增加分数系数配方的专项练习（如），通过错题辨析强化步骤；②实际问题教学中，可增加“情境画图”环节（如绘制小球运动轨迹图），帮助学生理解变量关系；③小组合作探究时间可适当延长，让学生充分讨论建模思路。

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