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3.2 代数式的值
题型01 已知字母的值，求代数式的值 4
题型02 已知式子的值，求代数式的值 5
题型03 根据程序运算求代数式的值 6
题型04 探究图形规律求代数式的值 9
题型05 探究数字规律求代数式的值 12
知识点1：代数式的值的定义
一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值．当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同．
【注意】代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化．
知识点2：求代数式值的步骤
（1）代：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原；
（2）算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的；
（3）验：检查运算过程及结果是否正确．
1．对于某些同类事物中的某种数量关系，常常可以用公式来描述，在解决相关问题时，可以用这些公式进行计算．
常见的几何图形公式
长方形 C=周长，S=面积，a=边长 长方形面积S=ab 长方形周长C=2（a+b）
正方形 C=周长，S=面积，a=边长 正方形面积S=a 正方形周长C=4a
平行四边形 C=周长S=面积，a=底，h=高 平行四边形面积S=ah 平行四边形周长C=2a+2b
三角形 C=周长，S=面积，a=底，h=高 三角形面积S=ah 三角形周长C=a+b+c
梯形 C=周长，S=面积，a=上底，b=下底，h=高 梯形面积S=（a+b）h 梯形周长C=a+b+c+d
菱形 C=周长，S=面积，a=边长，h=高 菱形周长C=4a 菱形面积S=a×h
圆形 S=面积，C=周长，d=直径，r=半径，π=圆周率 圆周长C＝πd=2πr 圆面积S=πr
长方体 V=体积，S=面积，a=长，b=宽，h=高 长方体表面积S=（ab+ah+bh）×2 长方体体积V=abh
正方体 V=体积，S=面积，a=棱长 正方体表面积S=6a 正方体体积V=a
圆柱体 V=体积，h=高，r=底面半径，π=圆周率 圆柱体积V=πr h
圆锥体 V=体积，S=底面积，r=底面半径，π=圆周率 圆锥体体积=V=πr h
2．探究数字规律问题的基本步骤：
（1）标序号：题目通常按照一定的顺序给出一系列数，标序号可以把这些数与对应序号建立联系；
（2）找结构：从运算入手，如从加减结构、乘除结构、乘方结构等角度寻求尝试做一些计算，猜想变化规律，用代数式表示；
（3）验证：把前面的几个数分别代入到猜想的结论中进行验证．
3．探究图形规律的方法：
（1）观形法：观察图形，确定基础图形，发现相邻图形的变与不变，寻找规律；
（2）审数法：从计数方法上分别求出题目给出的几个图形中目标图形的数量，将图形规律转化为数的规律进行探究．
4．探究循环规律的题目，必须把握三点：
（1）找出循环的周期；
（2）分析出周期内循环的各个数据；
（3）计算出要求的结果与周期内的哪个数据相对应．
题型01 已知字母的值，求代数式的值
（2025春 蒙城县月考）当x＝1时，代数式x2+4x+2020的值是（　　）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
【答案】B．
【分析】利用代入法，代入所求的式子即可．
【解答】解：当x＝1时，原式＝12+4×1+2020＝2025．
故选：B．
【变式练1】　（2025春 琼海期末）若x＝1，则代数式﹣x+4的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．3 D．﹣3
【答案】C．
【分析】利用代入法，代入所求的式子即可．
【解答】解：当x＝1时，原式＝﹣1+4＝3．
故选：C．
【变式练2】　（2025 海安市一模）当x＝﹣3时，代数式﹣2x+5的值是（　　）
A．﹣1 B．3 C．10 D．11
【答案】D．
【分析】利用代入法，代入所求的式子即可．
【解答】解：当x＝﹣3时，原式＝﹣2×（﹣3）+5＝11．
故选：D．
【变式练3】　（2025 陵水县一模）当m＝﹣3时，代数式m2+2m+1的值是（　　）
A．﹣14 B．﹣4 C．2 D．4
【答案】D．
【分析】利用代入法，代入所求的式子即可．
【解答】解：当m＝﹣3时，原式＝（﹣3）2+2×（﹣3）+1＝4．
故选：D．
题型02 已知式子的值，求代数式的值
（2025 南通模拟）如果代数式a2+a的值是8，则代数式2a2+2a﹣1的值是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B．
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【解答】解：当a2+a＝8时，原式＝2（a2+a）﹣1＝2×8﹣1＝15．
故选：B．
【变式练1】　（2025春 马边县期中）a2+3a＝2，那么代数式2a2+6a﹣1值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D．
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【解答】解：当a2+3a＝2时，原式＝2（a2+3a）﹣1＝2×2﹣1＝3．
故选：D．
【变式练2】　（2024秋 太和县期末）若x﹣2y＝1，则式子2x﹣4y﹣5的值是（　　）
A．5 B．﹣3 C．3 D．无法确定
【答案】B．
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【解答】解：当x﹣2y＝1时，原式＝2（x﹣2y）﹣5＝2×1﹣5＝﹣3．
故选：B．
【变式练3】　（2024秋 黔南州期末）若x2﹣3x+2＝0，则代数式2x2﹣6x+1的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5
【答案】A．
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，
∴x2﹣3x＝﹣2，
∴当x2﹣3x＝﹣2时，原式＝2（x2﹣3x）+1＝2×（﹣2）+1＝﹣3．
故选：A．
题型03 根据程序运算求代数式的值
（2025 广西模拟）按如图程序计算，若开始输入的数x＝4，则最后输出的结果为（　　）
A．6 B．15 C．105 D．100
【答案】C
【分析】先计算x＝4对应的代数式的值为6，按照程序，再计算x＝6对应的代数式的值为15，继续代入计算从而确定输出的结果．
【解答】解：当x＝4时，6＜100，
当x＝6时，15，
当x＝15时，105＞100，
所以输出结果为105．
故选：C．
【变式练1】　（2025 重庆模拟）按如图所示的运算程序，能使输出结果为23的是（　　）
A．x＝4，y＝9 B．x＝3，y＝﹣5 C．x＝5，y＝4 D．x＝﹣3，y＝7
【答案】B
【分析】根据所给数据，利用数值转换机计算即可．
【解答】解：A、若x＝4，y＝9，∵x＜y，∴3x+2y＝3×4+2×9＝32，
B、若x＝3，y＝﹣5，∵x＞y，∴2x2﹣y＝2×32﹣（﹣5）＝23，
C、若x＝5，y＝4，∵x＞y，∴2x2﹣y＝2×52﹣4＝46，
D、若x＝﹣3，y＝7，∵x＜y，∴3x+2y＝3×（﹣3）+2×7＝5．
故选：B．
【变式练2】　（2024秋 澄迈县期末）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是3，则输出y的值为1．若输出y的值为3，则输入x的值是（　　）
A．7 B． C．7或 D．﹣7或
【答案】A
【分析】根据输入x的值是3，则输出y的值为1，得到，求得b，具体化后，分别令式子值为3，求得x的值，符合范围的就是所求．
【解答】解：由条件可知：，
解得b＝1，
∴当x≥﹣1时，；当x＜﹣1时，y＝﹣3x+2；
当时，解得x＝7≥﹣1，符合题意；
当﹣3x+2＝3时，解得，不符合题意；
故选：A．
【变式练3】　（2025 威远县校级模拟）观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（　　）
A．0 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】按照程序图代入左边代数式计算即可．
【解答】解：∵x＝2＞0，
∴2x﹣1＝2×2﹣1＝3．
故选：B．
题型04 探究图形规律求代数式的值
（2024秋 江阳区期末）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案需要4个基础图形，第2个图案需要7个基础图形……，若第n个图案需要2026个基础图形，则n的值是（　　）
A．674 B．675 C．676 D．677
【答案】B
【分析】根据所给图形，依次求出所需基础图形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图案中基础图形的个数为：4＝1×3+1；
第2个图案中基础图形的个数为：7＝2×3+1；
第3个图案中基础图形的个数为：10＝3×3+1；
…，
所以第n个图案中基础图形的个数为（3n+1）个．
令3n+1＝2026，
解得n＝675，
即n的值为675．
故选：B．
【变式练1】　（2025春 北林区校级期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，第2025个图案中灰色小正方形的个数为（　　）
A．8101 B．8100 C．8098 D．8099
【答案】A
【分析】根据所给图形，依次求出图案中灰色小正方形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图案中灰色小正方形的个数为：5＝1×4+1；
第2个图案中灰色小正方形的个数为：9＝2×4+1；
第3个图案中灰色小正方形的个数为：13＝3×4+1；
…，
所以第n个图案中灰色小正方形的个数为（4n+1）个．
当n＝2025时，
4n+1＝4×2025+1＝8101（个），
即第2025个图案中灰色小正方形的个数为8101个．
故选：A．
【变式练2】　（2025 樟树市校级三模）烷烃是一类由碳、氢元素构成的有机化合物，如图是这类物质前三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．如图，第1种有4个氢原子，第2种有6个氢原子，第3种有8个氢原子，…，按此规律，则第2025种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．4048 B．4050 C．4052 D．4054
【答案】C
【分析】根据所给图形，依次求出化合物的分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2+2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2+2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2+2；
…，
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n+2）个．
当n＝2025时，
2n+2＝2×2025+2＝4052（个），
即第2025种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为4052个．
故选：C．
【变式练3】　（2024秋 平桥区期末）李明在教材第83页的教学活动探索发现，如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第（n﹣1）个正方形多（　　）个小正方形？
A．n﹣1 B．n+1 C．2n﹣1 D．2n+1
【答案】D
【分析】根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
拼第1个正方形需要的小正方形个数为：4＝22；
拼第2个正方形需要的小正方形个数为：9＝32；
拼第3个正方形需要的小正方形个数为：16＝42；
…，
所以拼第n个正方形需要的小正方形个数为（n+1）2个，
则（n+1）2﹣n2＝n2+2n+1﹣n2＝2n+1，
即拼第n个正方形比第（n﹣1）个正方形多（2n+1）个正方形．
故选：D．
题型05 探究数字规律求代数式的值
（2024秋 宜兴市月考）找规律：﹣1，，，，…则第15个数是　　 ．
【答案】．
【分析】根据所给各数，观察其分子及分母的变化，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
第1个数为，第2个数为，第3个数为，第4个数为，……，
以此类推可知，这一列数的分子是从1开始的连续的奇数，
则第n个数分子可表示为：2n﹣1；
这一列数的分母是序号的平方，
则第n个数的分母可表示为：n2；
这一列数中第奇数个的符号为负，第偶数个的符号为正，
则第n个数的符号可表示为：（﹣1）n，
所以第n个数可表示为：．
当n＝15时，
．
所以第15个数是．
故答案为：．
【变式练1】　（2025 广西模拟）有一系列式子，按照一定的规律排列成3a2，9a5，27a10，81a17，……，则第n个式子为（　　）（n为正整数）
A．3n B．3n C．3n D．3n
【答案】A
【分析】先确定系数与序号数的关系，再确定a的指数与序号数的关系，从而得到第n个式子．
【解答】解：第1个数为3a2＝31 a12+1，
第2个数为9a2＝32a22+1，
第3个数为27a2＝33 a32+1，
第4个数为81a2＝34 a42+1，
…
所以第n个数为．
故选：A．
【变式练2】　（2025 怒江州模拟）按一定规律排列的代数式：，，，，…，其中第n个代数式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据所给代数式，发现其系数及次数的变化规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
所给代数式的系数依次为，…，
所以第n个代数式的系数可表示为．
所给代数式的次数依次为1，2，3，…，
所以第n个代数式的次数可表示为n，
所以第n个代数式可表示：．
故选：C．
【变式练3】　（2025 呈贡区校级一模）按一定规律排列的代数式：，第n个代数式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据所给各数，观察系数及次数的变化，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
所给代数式的系数依次为1，，…，
所以第n个代数式的系数可表示为；
所给代数式的次数依次为2，3，4，5，6，…，
所以第n个代数式的次数可表示为n+1，
所以第n个代数式可表示为．
故选：C．

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