资源简介

2.2.1 有理数的乘法
课程：初中数学
教材：初中数学人教版（2024）七年级上册
章节：2.2.1 有理数的乘法
教材分析
本节课内容是有理数的乘法法则及其运算律，通过观察数列变化规律，引导学生归纳出正负数相乘的符号规则和绝对值运算规则，并进一步探讨多个有理数相乘时积的符号判断方法，最后引入倒数概念和乘法运算律，包括交换律、结合律和分配律。教学过程从具体算式出发，引导学生自主发现规律，逐步抽象出有理数乘法的一般法则，并通过探究活动验证乘法运算律在有理数范围内的适用性。本节内容承接了有理数加法的学习，是后续学习有理数除法、幂运算及代数式运算的重要基础。通过本节课的学习，学生不仅能掌握有理数乘法的计算方法，还能提升符号意识、归纳推理能力和抽象思维能力，为后续代数知识的学习和综合运算打下坚实基础。
学情分析
七年级学生已经掌握了正数及0的乘法运算，并具备了一定的数感基础，能够理解数的范围扩大到有理数的必要性，同时，这个年龄段的学生正处于由具体思维向抽象思维过渡的阶段，具备一定的观察、归纳和逻辑推理能力，但面对负数参与的乘法运算，尤其是符号规律的抽象归纳，仍需借助具体实例引导，本节课要求学生通过观察乘法算式的规律，归纳有理数乘法法则，理解符号变化与绝对值的关系，并能运用法则进行有理数乘法运算，同时通过探究乘法运算律在有理数范围内的延续性，提升学生的抽象思维能力和数学推理能力，为后续学习有理数的除法、幂运算及代数运算奠定基础。
教学目标
理解有理数乘法法则的形成过程，掌握两数相乘时符号的确定方法及积的绝对值计算方式，通过观察数列规律，提升数学抽象与逻辑推理能力，发展符号意识和运算能力。
理解多个有理数相乘时积的符号由负数个数决定的规律，能熟练进行有理数乘法运算，提升运算能力和归纳总结能力，培养分类讨论思想和严谨的数学思维。
掌握有理数乘法的交换律、结合律及分配律，理解运算律在有理数范围内的适用性，通过探究运算规律，增强逻辑推理能力和数学建模意识，提升综合运算与问题解决能力。
重点难点
重点：
理解并掌握有理数乘法法则，会运用运算律进行有理数乘法运算。
难点：
探究有理数乘法法则过程，理解几个不为0的数相乘时积的符号确定。
课堂导入
同学们，我们先来看这样一个情境：一只蜗牛沿直线爬行，它现在的位置恰好在数轴的原点处。若它一直以每分钟2cm的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？若以每分钟2cm的速度向左爬行，3分钟后又在什么位置呢？如果蜗牛以每分钟2cm的速度向右爬行，3分钟前它在什么位置？以每分钟2cm的速度向左爬行，3分钟前它又在什么位置呢？这其实就涉及到有理数的乘法运算。向右、向左，3分钟后、3分钟前，这些方向和时间的不同组合，会得出怎样的结果呢？今天我们就一起来探究有理数的乘法法则，看看如何准确解决这类问题。
有理数的乘法法则
探究新知
（一）知识精讲
让我们从熟悉的乘法运算开始探究。观察下面两组算式：
第一组：
,
,
,
;
第二组：
,
,
,
,
通过观察可以发现，在第一组算式中，随着第二个乘数每次减少1，积就减少3；在第二组算式中，随着第一个乘数每次减少1，积也减少3。为了保持这个规律在负数范围内也成立，我们得到：
,
,
;
,
,
.
进一步观察可以发现：正数乘正数得正数，正数乘负数得负数，负数乘正数也得负数。积的绝对值等于两个乘数绝对值的乘积。
再看另一组有趣的算式：
,
,
,
.
这里我们发现，随着第二个乘数每次减少1，积反而增加3。按照这个规律继续推导：
,
,
.
由此我们得出：负数乘负数得正数，积的绝对值仍然是两个乘数绝对值的乘积。
综合以上发现，我们归纳出有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负；
积的绝对值等于两个乘数绝对值的乘积；
任何数与0相乘都得0。
用数学符号表示就是：
设、为正有理数，为任意有理数，则
，;
，;
，.
（二）师生互动
教师提问：同学们，我们已经知道，那么等于多少呢？为什么？
学生回答：也等于6。因为乘法交换律在有理数范围内仍然适用，所以。
教师追问：很好！那么谁能解释一下，为什么负数乘负数会得到正数呢？能不能用我们刚才发现的规律来说明？
学生思考后回答：因为在，，，这个序列中，每次第二个乘数减少1时，积就增加3。所以当第二个乘数继续减少到-1时，积就应该从0增加到3，即，以此类推。
（三）设计意图
通过引导学生观察具体的乘法算式变化规律，培养他们的数学观察能力和归纳推理能力。从正数乘法过渡到有理数乘法，帮助学生理解数学规律的普遍性和一致性。通过师生互动中的提问和思考，加深学生对"负数乘负数得正数"这一关键概念的理解，培养他们用数学语言解释数学现象的能力。整个探究过程体现了从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维方式，有助于学生建立完整的数学知识体系。
新知应用
例1题目：
计算：
(1) ;
(2) ;
(3)
解答：
(1)
我们先确定两个数的符号：
一个是正数（8），一个是负数（-1），属于异号相乘，根据有理数乘法法则，异号得负。
再计算它们的绝对值相乘：
所以结果为负数：
(2)
两个负数相乘：
和 ，属于同号相乘，根据有理数乘法法则，同号得正。
再计算它们的绝对值相乘：
所以结果为正数：
(3)
两个负分数相乘：
和 ，属于同号相乘，结果为正数。
计算它们的绝对值相乘：
所以结果为正数：
总结：
1.题目考查内容
有理数乘法法则的应用；
正负数相乘时符号的判断；
分数乘法的运算技巧。
2.题目求解要点
先判断两个乘数的符号关系（同号或异号），确定积的符号；
再将它们的绝对值相乘，得到积的绝对值；
对于分数乘法，注意分子乘分子、分母乘分母的运算规则。
例2题目：
用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。登山队攀登一座山峰，每登高1 km气温的变化量为 ℃，登高3 km后，气温有什么变化？
解答：
题目中给出：
每登高1 km，气温变化量为 ℃；
登高了3 km。
所以总的气温变化量为：
说明气温下降了18 ℃。
总结：
1.题目考查内容
有理数乘法在实际问题中的应用；
正负数表示实际意义（气温变化）；
乘法在单位变化中的使用。
2.题目求解要点
理解题意，将“每千米气温变化”与“登高千米数”相乘；
注意负号表示气温下降；
正确进行有理数乘法运算，得出结果并解释其实际意义。
新知巩固
题目：
已知 与 互为相反数， 与 互为倒数， 是数轴上到原点距离为 2 的数， 是最小的正整数，求 的值。
第2题：
已知条件分析：
与 互为相反数
与 互为倒数
是数轴上到原点距离为 2 的数 或
是最小的正整数
代入表达式：
代入已知值：
分情况讨论：
若 ，则结果为
若 ，则结果为
答案： D（2 或 -6）
总结：
1. 题目考查内容
第1题：有理数的大小比较与基本运算（加减乘除）在数轴上的应用。
第2题：有理数的相反数、倒数、绝对值、正整数概念，以及代数表达式的化简求值。
2. 题目求解要点
第1题：
利用相反数、倒数、最小正整数等定义简化表达式；
注意 有两个可能取值，需分类讨论；
熟悉幂运算 ；
最后代入化简，得出两个可能结果。
3. 同类型题目解题步骤
识别题干中的数学关系（如相反数、倒数、绝对值等）；
将已知条件代入表达式，进行代数化简；
若存在多个可能值（如绝对值问题），进行分类讨论；
计算最终结果，注意符号和运算顺序；
选择或写出所有可能的答案。
有理数乘法运算律
探究新知
（一）知识精讲
让我们一起来探究有理数乘法的运算律。首先计算两组乘法算式：
通过计算我们发现，交换乘数的位置，积保持不变。再尝试其他例子，如和，结果都是-12。由此我们可以得出结论：在有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。这就是乘法交换律，用字母表示为：
接下来我们研究乘法结合律。计算：
通过计算发现，无论是先把前两个数相乘，还是先把后两个数相乘，最终结果相同。这就是乘法结合律，用字母表示为：
再来看分配律的计算：
通过计算发现，一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。这就是分配律，用字母表示为：
最后我们研究多个有理数相乘的符号规律。观察以下例子：
我们发现：几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；如果其中有乘数为0，那么积为0。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果计算，积的符号是正还是负呢？为什么？
学生回答：积的符号是负的，因为有三个负数相乘，负数的个数是奇数。
教师追问：很好！那如果计算呢？
学生思考后回答：积的符号是负的，因为五个负数相乘，负数的个数是奇数。
教师继续提问：那么的结果是多少呢？
学生回答：结果是0，因为有一个乘数是0。
（三）设计意图
通过具体的计算实例和直观的图示，帮助学生理解有理数乘法的运算律和符号规律。从特殊到一般，引导学生发现数学规律，培养他们的观察能力和归纳总结能力。通过师生互动，检验学生对知识的掌握程度，加深对有理数乘法运算的理解。整个探究过程注重培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，为后续学习奠定坚实基础。
新知应用
例3题目：
(1) 计算 ；
(2) 用两种方法计算
解答：
(1)
我们来逐步计算这个式子：
根据乘法交换律和结合律，我们可以任意调整乘数的顺序和结合方式。
这里我们先计算 和 ：
然后将两个结果相乘：
所以，最终结果是：
(2)
我们来用两种方法计算这个式子：
解法1：先合并括号内的分数，再乘以12
先通分，找到公分母为12：
代入原式：
解法2：利用乘法分配律分别相乘后相加
分别计算每一项：
代入后计算：
两种方法结果一致，最终结果是：
总结：
1. 题目考查内容
① 有理数乘法的交换律、结合律及其应用；
② 乘法对加法的分配律及其应用；
③ 多个有理数相乘时的符号判断与运算顺序调整；
④ 分数的加减与乘法分配律的综合运用。
2. 题目求解要点
① 灵活运用乘法交换律和结合律简化运算；
② 对于括号内的加减运算，可以选择先合并再乘，也可以选择分配律分别乘后相加；
③ 注意负号的处理，尤其是多个负数相乘时符号的判断；
④ 在分数运算中，注意通分和约分的技巧，确保计算准确。
新知巩固
题目：
计算 ，结果用科学记数法表示为（ ）
选项：
A．
B．
C．
D．
解答：
我们先观察两个数：
由于它们的指数部分相同（都是 ），我们可以直接对前面的系数进行减法运算：
所以原式变为：
接下来我们将这个结果化为标准的科学记数法形式。
我们知道：
因此：
所以，最终结果是：
正确答案是：C．
总结：
1. 题目考查内容
本题主要考查：
科学记数法的表示方法；
同指数幂的加减运算；
科学记数法中系数与指数的转换。
2. 题目求解要点
当两个数都以科学记数法表示，且指数相同时，可以直接对系数进行加减；
运算后若系数不是标准形式（即不是 的形式），需要将其转换为标准的科学记数法；
注意指数的加减法则：。
3. 同类型题目解题步骤
观察两个科学记数法表示的数是否具有相同的指数；
若指数相同，直接对系数进行加减；
若系数运算后不是标准形式，将其调整为 的形式；
调整指数以保持数值不变；
最终结果写成标准的科学记数法形式。
板书设计
有理数的乘法
├─ 乘法法则
│ ├─ 同号得正
│ │ ├─ 正数×正数 = 正数：如
│ │ └─ 负数×负数 = 正数：如
│ ├─ 异号得负
│ │ ├─ 正数×负数 = 负数：如
│ │ └─ 负数×正数 = 负数：如
│ ├─ 绝对值：积的绝对值 = 乘数绝对值的积
│ └─ 特殊：任何数×0 = 0
├─ 倒数
│ └─ 定义：乘积是1的两个数互为倒数，如
├─ 运算律
│ ├─ 交换律：，如
│ ├─ 结合律：
│ └─ 分配律：，如
└─ 多个数相乘
├─ 乘数非0
│ ├─ 负乘数个数为偶数，积为正
│ └─ 负乘数个数为奇数，积为负
└─ 有乘数为0：积为0
教学反思
本节课围绕有理数乘法法则的归纳与理解展开，通过观察算式规律引导学生自主发现正负数相乘的符号规则，并借助运算律的验证强化法则的合理性。教学设计层次清晰，注重学生思维引导与归纳能力的培养，学生基本能掌握有理数乘法的符号法则与运算步骤。成功之处在于通过递进式问题链激发学生思考，使抽象法则自然生成；不足在于对负乘负得正的解释略显抽象，部分学生理解仍需加强直观模型辅助。今后教学中应进一步丰富实例，提升学生的数学表达与逻辑推理能力。

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