资源简介

2025-2026学年人教版七年级数学上册
5.3 实际问题与一元一次方程（预习讲义）
学习目标
建模能力
能将实际问题转化为一元一次方程（如行程问题、工程问题、利润问题）
掌握"设未知数→找等量关系→列方程"的解题流程
分类解决
识别不同类型问题的特征量（如行程问题中的速度×时间=路程）
掌握常见问题的基本等量关系（如配套问题中"生产总量匹配"）
实际验证
能检验解的合理性（如时间不能为负、人数必须为正整数）
理解方程的解在实际问题中的具体意义
规范要求
掌握解应用题的完整步骤（设、列、解、验、答）
能规范书写解题过程（单位统一、等量关系明确）
知识点梳理
解题一般步骤
设未知数：选择关键量为x（带单位，如"设成本为x元"）
找等量关系：根据题意找出数量相等关系（如"甲比乙多5个"→甲=乙+5）
列方程：用含x的代数式表示关系（如3x+2=20）
解方程：按去分母、去括号、移项、合并、系数化为1的步骤求解
检验作答：验证解是否符合实际意义，写出完整答案
常见问题类型
（1）和差倍分问题
示例："某数的3倍比它的 多10"→3x x=10
关键点：区分"比...多/少"与"是...的几倍"
（2）行程问题
基本关系：路程=速度×时间
相遇问题：甲路程+乙路程=总路程
追及问题：快者路程 慢者路程=初始距离
示例：两车相向而行，4小时相遇→4(x+60)=480
（3）利润问题
核心公式：利润=售价 进价，利润率=利润/进价×100%
示例："商品打八折后盈利20元"→0.8x=进价+20
（4）配套问题
关键：找出配套比例（如1个螺丝配2个螺母→螺母数=2×螺丝数）
示例："生产螺钉和螺母人数共22人"→x+(22 x)=总产量
（5）工程问题
基本关系：工作量=工作效率×工作时间
合作问题：甲工作量+乙工作量=1（总工作量为1时）
示例："甲队单独做10天完成"→甲效率为1/10
特殊处理技巧
间接设元：当直接设未知数复杂时，设中间量为x（如设天数为x）
多量关系：用一个未知数表示多个量（如甲=x，乙=x+5）
单位统一：将分钟→小时、cm→m等统一后再列式
易错点提醒
设未知数不规范
错误案例：设"收入为x"（未说明单位）
正确写法：设"收入为x元"
等量关系找错
错误案例："提前2天完成"误列为"原时间 2=新时间"（应为"原时间 新时间=2"）
技巧：用具体数字代入验证关系式
单位不统一
错误案例：速度用km/h，时间用分钟直接相乘
原则：必须统一单位（如时间转换为小时）
忽略实际意义
错误案例：解出"人数=3.5"未舍去
注意：检查解是否为整数、正数、符合物理意义
配套比例颠倒
错误案例：1个A配3个B误列为A=3B
正确关系：B=3A
漏写检验步骤
错误案例：解出x=5后直接作答
规范：需说明"经检验，x=5符合实际意义"
计算过程跳步
错误案例：解方程时直接写结果，缺少关键变形步骤
要求：完整展示去分母、移项等过程
百分数处理错误
错误案例："利润率为20%"误列为"售价=进价×20%"
正确列式：售价=进价×(1+20%)
巩固练习
一、选择题
1．下表填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律的值是（　　）
A． B． C． D．
2．一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需多少天 若设完成这项工程共需x天，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
3．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（　　）
A．120元 B．100元 C．80元 D．60元
4．某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要两个螺母与之配套，如何安排生产螺栓才能让螺栓和螺母正好配套？设有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母，依题意列方程应为（　　）
A． B．
C． D．
5．在一次猜谜抢答赛上，每人需要回答30道题目，答对1题加20分，答错1题扣10分，小明共得了120分，设小明答对了 道题．根据题意列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．内径为120mm的圆柱形玻璃杯，和内径为300mm，内高为32mm的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（　　）
A．150mm B．200mm C．250mm D．300mm
7．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．一商店在某一时间以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，则卖这两件衣服总的盈亏是（　　）
A．盈利元 B．亏损元 C．盈利元 D．不盈不亏
9．甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，应从乙队调多少人去甲队，如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是（　　）
A．96+x=（72﹣x） B．（96﹣x）=72﹣x
C．（96+x）=72﹣x D．×96+x=72﹣x
10．九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出钱多出钱；每人出钱，还差钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．长方形的周长为48cm，长是宽的2倍，则长为　 　 cm．
12．某校住校生分配宿舍，如果每间住5人，则有2人无处住，每间住6人，则可以多住8人．该校有多少间宿舍？设有x间宿舍，列方程得 　 　．
13．某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先干一天，然后，甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了x天，乙工作的天数为 　 　由此可列出方程 　 　（写过程）
14．某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是　 　 %（注：利润率= ×100%）．
15．从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲乙两地相距x千米，则列方程为 　 　
17．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位．给出下面五个等式：①40m+10=43m﹣2；②40m﹣10=43m+2；③=；④=；⑤43m=n+2．其中正确的是　 　（只填序号）．
16．如图所示，把一根绳子对折成AB，从P处把绳子剪断，已知AP＝ PB，若剪断后的各段绳子中最长的一段为60㎝，则绳子的原长为　 　．
17．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式。设 =x， 0.777......可知，10x=7.777777.......所以10x-x=7，解方程，得x= ，于是，可得 = 想一想，把无限循环小数化为分数即 =　 　
三、解答题
18．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身15个或盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有144张白铁皮，用多少张制作盒身，多少张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒？
19．七年级（1）班为奖励优秀学生，用30元钱买了钢笔和圆珠笔共10支，其中圆珠笔每支2元，钢笔每支4元．若设所买的圆珠笔的支数为x，可列方程2x+4（10-x）=30，你能根据此方程编一道与上面不同的应用题吗？
20．甲乙两车间共120人，其中甲车间人数比乙车间人数的4倍少5人.
（1）求甲、乙两车间各有多少人？
（2）若从甲、乙两车间分别抽调工人，组成丙车间研制新产品，并使甲、乙、丙三个车间的人数比为13∶4∶7，那么甲、乙两车间要分别抽调多少人？
21．为发展校园足球运动，某城区四校决定联合购买一批足球运动装备．市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．
（1）求每套队服和每个足球的价格是多少元；
（2）若城区四校联合购买100套队服和个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；
（3）在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？
22．如图，数轴的原点为O，点A、B、C是数轴上的三点，点B对应的数是1，AB=6，BC=2，动点P、Q同时分别从A、C出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）点A表示的数为　 　，点C表示的数为　 　；
（2）求t为何值时，点P与点Q重合？
（3）是否存在某一时刻t，使点O平分线段PQ？若存在，请求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由．
23．七年级进行法律知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．
（1）小红同学参加了竞赛，成绩是90分，请问小红在竞赛中答对了多少道题？
（2）小明也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请问小明有没有可能拿到100分？试用方程的知识来说明理由．
参考答案
1．D
2．D
3．C
4．B
5．A
6．B
7．A
8．B
9．C
10．B
11．16
12．
13．x﹣1；x+ (x-1)=1
14．17
15．
16．①③⑤
18．100cm或150cm
17． .
18．解：设用 张制作盒身， 张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．
根据题意，得 ．
解得 ．
所以 ．
答：用84张制作盒身，60张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．
19．小明家距离城区30千米，他骑车去城区，速度是4千米每小时，途中有一段维修路段需步行，步行速度是2千米每小时，到达城区共用了10小时，求小明骑车和步行各自用了多少时间？设步行用了x小时，则骑车用了（10-x）小时，根据题意可列方程2x+4（10-x）=30.
20．(1)甲车间95人 乙车间25人(2)甲车间抽调了30人，乙车间抽调了5人
21．（1）解：设每个足球的定价是x元，则每套队服是元，
根据题意得：，
解得：，
，
答：每套队服150元，每个足球100元．
（2）解：到甲商场购买所花的费用为：
元；
到乙商场购买所花的费用为：
元．
（3）解：在乙商场购买比较合算；理由如下：
将代入得：
(元)，
(元)，
∵，
∴在乙商场购买比较合算．
22．（1）-5；3
（2）解：若点P与Q重合，则AP-CQ=AC，
即3t-t=8，
2t=8，
解得t=4．
答：当t=4时，点P与点Q能够重合；
（3）解：存在，理由如下：
若点O平分PQ，则OP=OQ，
即5-3t=3+t，
4t=2，
解得t=．
答：当t=时，点O平分线段PQ．
23．（1）解：设小红在竞赛中答对了x道题，根据题意得
4x﹣2（30﹣x）=90，
解得x=25．
答：小红在竞赛中答对了25道题.
（2）解：如果小明的得分是100分，设他答对了y道题，根据题意得
4y﹣2（30﹣y）=100，
解得y= ．
因为y不能是分数，所以小明没有可能拿到100分．

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