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综合与实践　最短路径问题
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
悬念激趣　先来看著名的“将军饮马问题”:
古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:如图15-ZH-1,由A地出发到笔直的河岸去饮马,然后再去B地,怎样走路线最短呢
图15-ZH-1
精通数学、物理学的海伦是这样解答的:作点B关于笔直河岸的对称点B',连接AB'交河岸于点C,点C即为所求.即从A地到C处饮马,再从C处去B地,这样所走的总路程最短.解释原因时海伦指出:再另外任取一点C',在此处饮马然后到B地的路线都会比线段AB'长.
海伦精彩地利用翻折法将一个折线问题转化为一个直线问题,那么解决最短路径问题有哪些规律呢 让我们一起来探索一下吧!
[教学提示] 利用名题赏析引入课题,让学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程,激发学生的学习兴趣.教师要充分调动学生学习的积极性,培养学生探索的欲望.教师为了讲清楚这个问题可作如下问题设置:这是一个实际问题,你能将这个问题抽象为数学问题吗 你打算首先做什么
实际情境　如图15-ZH-2,小区A,B分别位于公路l的两侧,现要在公路旁建一个液化气站C,要求到两个小区的距离之和最短,问应建在什么地方
图15-ZH-2 图15-ZH-3
　　如图15-ZH-3,要在燃气管道l上修建一个泵站C,分别向同侧两地A,B供气,问泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短
[教学提示] 通过实际问题情境引入本节课的课题,激发学生的学习兴趣.教师要充分调动学生学习的积极性,培养学生探索的欲望,要注重发挥小组合作学习的能力,让学生在问题的解决过程中掌握一定的数学思想方法.
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——第95页活动二任务2
如图15-ZH-4,牧民从A地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路程最短
图15-ZH-4
【模型建立】
　　运用轴对称及两点之间线段最短的性质,将所求线段之和转化为一条线段的长,是解决路程最短问题的基本思路.
【变式变形】
1.如图15-ZH-5,在四边形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为 (D)
A.50° B.60° C.70° D.80°
图15-ZH-5 图15-ZH-6
2.如图15-ZH-6,P是∠AOB内的一点,OP=5,∠AOB=30°,M,N分别是射线OA,OB上的动点,则△PMN周长的最小值为 (A)
A.5 B.6 C.8 D.10
3.已知:如图15-ZH-7①,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是边CD和BC上的点.
图15-ZH-7
求作:点M,N,使△AMN的周长最小.
作法:如图②.
(1)延长AD,在AD的延长线上截取DA'=DA;
(2)延长AB,在AB的延长线上截取BA″=BA;
(3)连接A'A″,分别交CD,BC于点M,N.
则点M,N即为所求作的点.
请回答:这种作法的依据是　①线段垂直平分线的定义;　
　②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等(线段垂直平分线的性质);　
　③两点之间线段最短　.
4.如图15-ZH-8,l1表示草地的边界,l2表示小河的河岸.山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊,然后赶羊到小河l2饮水,之后再回到B处的家,假设山娃赶羊走的都是直路,请你为他设计一条最短的路线,并标明放羊与饮水的位置.[答案:略]
图15-ZH-8
5.先阅读材料,再解决问题.
材料:如图15-ZH-9①,如果选择适当的方向击打A球撞击B球,使B球碰撞台边ED后会直接入袋C,那么就要满足∠1=∠2.
图15-ZH-9
问题:如图②,四边形EFGH为长方形台球桌面,撞击白球A,白球A经桌边GH反弹后击中彩球B,在图中画出白球A的击球路线,并说明理由.
拓展训练
距离最短问题:利用轴对称和线段垂直平分线的性质,我们可以解决一些关于线段和最小的问题.
如图③,点A为∠MON内一点,试在OM,ON边上分别作出一点B,C,使△ABC的周长最小,并说明你的理由.
迷你数学世界
如图④,在旷野上,一个人骑着马从A到B,半路上他必须先到河岸l的点P去让马饮水,然后再让马到河岸m的点Q再次饮水,最后到达点B,他应该如何选择饮马地点P,Q才能使所走路程AP+PQ+QB最短
解:作点A关于GH的对称点A',连接A'B交GH于点D,连接AD,则路线为A→D→B,由对称性可证∠ADG=∠BDH.
拓展训练
分别作点A关于OM,ON的对称点A1,A2,连接A1A2,分别交OM,ON于点B,C,则△ABC的周长最小.因为△ABC的周长即为线段A1A2的长,若取OM,ON上不同于B,C的点B1,C1,必有A1B1+B1C1+C1A2>A1A2.
迷你数学世界
作点A关于l的对称点A',作点B关于m的对称点B',连接A'B'与直线l,m分别相交于点P,Q,则点P,Q即为所求.
6.在一条大的河流中有一形如三角形的小岛,如图15-ZH-10所示,岸与小岛有一座桥CP相连,现准备在小岛的三边各设立一个水质取样点,水利部门在河岸边P处设立一个观测站,每天有专门负责的人从观测站步行去三个取样点取样,然后带回去化验.请在图中画出三个取样点的位置,使得每天取样所用的时间最短(假设速度一定),并说明理由.
图15-ZH-10
解:如图15-ZH-11,作点C关于DF的对称点A,作点C关于DE的对称点B,连接AB,交DF于点G,交DE于点H,则点C,G,H就是所求的点,此时△CGH的周长最小,使得每天取样所用的时间最短.
图15-ZH-11
理由:如图15-ZH-12,在DF,DE上分别任取一点M,N,连接AM,CM,CN,BN,MN.
由轴对称的性质,得AG=GC,CH=HB,AM=CM,CN=BN.
图15-ZH-12
∴△CGH的周长=CG+GH+CH=AG+GH+HB=AB,△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+NB.
根据两点之间,线段最短可知AM+MN+NB>AB,∴△CGH的周长最小.
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 利用翻折法(轴对称变换)解决最值问题
方法指引:(1)求位于某直线同侧的两点到该直线上某一点的距离和最小时,应先作出一点的对称点,然后连接对称点与另一点,与直线的交点即为所求的点.
(2)求几条线段之和最小的问题,往往利用轴对称变换将这几条线段转化到同一条线段上,利用“两点之间线段最短”选用最佳方案.
例1　如图15-ZH-13,直线l外有不重合的两点A,B,在直线l上求作一点C,使得AC+BC的长度最短,作法为:①作点B关于直线l的对称点B';②连接AB'与直线l相交于点C,则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是 (D)
图15-ZH-13
A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间,线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
例2　(1)如图15-ZH-14(a),直线MN同侧有两点A,B,在直线上求作一点C,使它到点A,B的距离之和最小.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)知识拓展:如图15-ZH-14(b),点P在∠AOB内部,试在OA,OB上分别找出点E,F,使△PEF的周长最小.(保留作图痕迹,不写作法)
(3)解决问题:①如图15-ZH-14(c),在五边形ABCDE中,∠B=∠E=90°,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小;(保留作图痕迹,不写作法)
②在①的基础上,若∠BAE=125°,AB=BC,AE=DE,则∠AMN+∠ANM的度数为　110°　.
图15-ZH-14
解:(1)如图15-ZH-15,点C为所求作的点.
(2)如图15-ZH-16,点E,F为所求作的点.
图15-ZH-15 图15-ZH-16 图15-ZH-17
(3)①如图15-ZH-17,点M,N为所求作的点.
②∵∠BAE=125°,∴∠P+∠Q=180°-125°=55°.∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P,∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q,∴∠AMN+∠ANM=2(∠P+∠Q)=2×55°=110°.
【评价角度2】 利用平移法解决最值问题
方法指引:在这些实际问题中,由于河宽为固定长度的线段,常用的方法是通过平移,将河宽平移出去,构造出能利用“两点之间线段最短”解决的图形.
例1　如图15-ZH-18,A,B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,使从A到B的路径AMNB最短的是图15-ZH-19中的(假定河的两岸是平行直线,桥要与河岸垂直) (D)
图15-ZH-18 图15-ZH-19
例2　如图15-ZH-20①所示,A,B两地在一条河的两岸,现要在河岸上造一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径最短 (假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
[思考] 如图②,如果A,B两地之间有两条平行的河流,我们要建的桥都是与河岸垂直的,我们应该如何找到这个最短的距离呢
[进一步思考] 如图③,如果A,B两地之间有三条平行的河流呢
[拓展] 如图④,如果在上述其他条件不变的情况下,两条河并不是平行的,又该如何建桥呢
请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来,保留作图痕迹,将行走的路线用实线画出来.
图15-ZH-20
解:如图15-ZH-21所示.
图15-ZH-21
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综合与实践　最短路径问题
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 综合与实践　最短路径问题　 授课人
学 习 目 标 1.掌握直线同侧两点到线上一点的距离和最小问题,了解运用平移法解决造桥问题. 2.通过对最短路径问题的探索,进一步理解和掌握两点之间线段最短的原理. 3.通过利用轴对称变换把同侧点问题转化为异侧点问题,体会数学的转化思想. 4.掌握探索最短路径问题的思想方法. 5.通过对最短路径问题的探究活动,培养学生探究问题、分析问题和解决问题的能力. 6.培养严谨的推理能力以及自主合作的精神,体会逻辑推理的思维价值,激发学生的学习兴趣,让学生感受数学与现实生活的密切联系.
学习 重点 利用轴对称变换及平移变换解决实际问题.
学习 难点 确定最短路径及理论说明.
授课 类型 新授课 课时
教具 直尺、圆规及多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 前几节课我们研究了轴对称的有关知识,请同学们回忆: 1.轴对称变换及平移变换的性质有哪些,怎样作轴对称图形 怎样平移一个图形 2.我们学习了关于线段的基本事实是什么 　　学生回忆并回答,为本节课做知识储备.
(续表)
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图15-ZH-22,连接A,B两点的所有连线中,哪条最短 为什么 图15-ZH-22 图15-ZH-23 2.如图15-ZH-23,P是直线l外一点,点P与直线l上各点连接的所有线段中,哪条最短 为什么 3.在我们前面的学习中,还有哪些涉及比较线段长短的基本事实 4.如图15-ZH-24,如何作点A关于直线l的对称点 图15-ZH-24 我们经常根据“两点之间,线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等解决最短路径问题. 　　从学生已有的知识出发,利用多媒体,激发学生强烈的好奇心和求知欲.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 牧民饮马问题 任务1　如图15-ZH-25,牧民从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短 图15-ZH-25 分析:如果把河边l近似地看成一条直线,问题就是要在直线l上找一点C,使AC与CB的和最小(如图②). (1)如图15-ZH-26,如果点A,B是直线l异侧的两个点,如何在l上找一点C,使AC与CB的和最小 图15-ZH-26 图15-ZH-27 学生自己画图,确定点C,说明理由. (2)在任务1中,点A,B在直线l的同侧,你能利用轴对称,把这个问题转化为(1)中的问题吗(参考图15-ZH-27) 任务2　证明你在任务1中得到的结论. 分析:设点C为河边l上使AC+CB最小的点,在l上另外任取一点C',证明AC+CB活动 二: 探究 与 应用 教师归纳同侧点距离和最小问题的解决方法及证明方法. 归纳: 1.求直线上一点到同侧两点的距离和最小问题,一般是通过作一点关于直线的对称点,转化为异侧两点距离和最小问题,再根据两点之间线段最短解决问题. 2.距离和最小的证明是一种较特殊的证明方法,通常是任选一个异于所求的点,再算距离和,与最小的距离和进行比较,因为选点具有任意性,所以结论具有一般性. 任务3　举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决. 【探究2】 牧民饮马问题的拓展 任务1　如图15-ZH-29,牧民从A地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,最后回到A处.牧民怎样走可使所走的路径最短 图15-ZH-29 图15-ZH-30 分析:如果把草地边与河边都看作直线,可以把这个问题转化成数学问题.如图15-ZH-30,求牧民所走的路径最短,就是求△AEF的周长最小. 分别作点A关于OM,ON的对称点A1,A2,连接AA1,AA2与OM,ON的交点为E,F,此时△AEF的周长最小,即牧民所走的路径最短. 任务2　如图15-ZH-31,牧民从A地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短 图15-ZH-31 图15-ZH-32 分析:如果把草地边与河边都看作直线,可以把这个问题转化成数学问题.如图15-ZH-32,求牧民所走的路径最短,就是求AE+EF+FB的和最小. 分别作点A,B关于OM,ON的对称点A1,B1,连接AA1,BB1与OM,ON的交点为E,F,此时AE+EF+FB的和最小,即牧民所走的路径最短. 任务3　如图15-ZH-33,牧民每天从生活区的边沿A地出发,先到草地边的B处牧马,再到河边C处饮马,然后回到A处.如何确定A,B,C的位置,使从A处出发,到B处牧马,再到C处饮马,最后回到A处所走的路径最短 图15-ZH-33 学生仿照上面任务完成过程,独立完成任务3,教师巡视,必要时作提示与点拨. 【探究3】 造桥选址问题 仿照上面分析问题的方法,你能解决下面的问题吗 　　2.通过一系列的探究活动,使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程. 3.通过观察、思考、合作交流,鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试,培养合作意识.
活动 二: 探究 与 应用 如图15-ZH-34所示,A,B两地在一条河的两岸,现要在河岸上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短 (假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直) 图15-ZH-34 教师可引导学生分析(分析过程见教材). 归纳:在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径. 　　4.通过拓展进一步巩固学生对同侧点问题的解决方法的掌握,有利于提高学生的逻辑思维能力. 5.通过一系列的探究活动,使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程.
【应用举例】 例1　如图15-ZH-35,AD为等腰三角形ABC底边上的高,E为AC边上一点,在AD上求一点F,使EF+CF最小.[答案:略] 变式一　某班举行文艺晚会,桌子摆成AB,AC两行,如图15-ZH-36,AB桌面上摆满了橘子,AC桌面上摆满了糖果,小明现在P处,准备先去拿橘子再去拿糖果,然后回到P处.请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短.(保留作图痕迹,并简单写出作法)[答案:略] 图15-ZH-35 图15-ZH-36 变式二　如图15-ZH-37,M为正方形ABCD的边CD的中点,BM=10,在对角线BD上求作一点N,使MN+CN的值最小,并求出这个最小值. 图15-ZH-37 [答案:作图略,最小值为10] 　　1.进一步巩固学生对同侧点问题的解决方法的掌握. 2.模仿改造例题可体现知识的延伸,养成提出新数学问题的习惯. 3.变式训练有利于提高学生的逻辑思维能力.
【拓展提升】 例2　如图15-ZH-38,小华每天都要到李奶奶家帮忙,在途中她要先到草场打一捆草,再到林区捡一捆柴,然后到达李奶奶家,最后回家.试问她应该选择怎样的线路才能使行程最短.[答案:略] 教师提示学生:利用翻折法将小华家、李奶奶家看成的点分别翻折. 图15-ZH-38　　　图15-ZH-39 例3　如图15-ZH-39,A,B两村之间隔着两条河,需要架设两座桥,桥与河岸垂直,设两条河的宽度不变,问桥建在何处才能使两村之间的路程最短 [答案:略] 教师提示学生:过A,B两点分别向两条河岸作垂线,并截取AA',BB'分别等于相邻的河宽,连接A'B'分别交两相邻河岸于C,D两点,分别过C,D两点向两条河的另一岸作垂线,分别交另一岸于E,F两点,CE,DF即为架桥位置. 　　知识的综合与拓展,提高学生的应考能力,培养学生大胆尝试、勇于探索的精神,提高学生的思维能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.龟兔赛跑新规则:参赛者从点A出发到达直线a上任意一点C后,再回到直线a同侧的终点B,最先到达终点者获胜,下列四个图是为他们设计的路线,其中路程最短的是 (C) 图15-ZH-40 2.如图15-ZH-41,已知D,E分别是等边三角形ABC中BC,AB边的中点,AD=5,F是AD上的动点,则BF+EF的最小值为 (B) 图15-ZH-41 A.7.5　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.不能确定 3.如图15-ZH-42,MN是正方形ABCD的一条对称轴,点P是直线MN上的一个动点,当PC+PD最小时,∠PCD的度数为 (C) 图15-ZH-42 A.60° B.90° C.45° D.75° 4.如图15-ZH-43,某古城河在CC'处直角转弯,河宽相同,从A到达B,须经两座桥DD',EE'(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使 ADD'E'EB的路程最短 [答案:略] 图15-ZH-43 　　1.当堂训练,及时反馈学习效果. 2.引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法,体会轴对称变换及平移变换在解决最短路径问题中的作用,感悟转化思想的重要价值.
【课堂总结】 (1)熟练掌握画一点关于某条直线的对称点. (2)会解决直线同侧两点到线上一点距离和最小问题,了解造桥选址问题. (3)体会把未知转化为已知的学习方法. 　　巩固、梳理所学知识,对学生进行鼓励和思想教育.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 情境引入简单直奔主题,使学生非常清楚这节课的重点内容. ②[讲授效果反思] 本课解决问题的方法理论性很强,思维跨度大,教师要通过搭建台阶,为学生探究问题提供“脚手架”,如将“同侧”难解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题,这样有利于渗透转化的数学思想. ③[师生互动反思] 教学中教师随时帮助学生归纳总结数学思想与方法,要多鼓励学生大胆探索.教师要充分利用直观教具教学手段,创设丰富的课堂教学环境,触发学生求知心的生成,自觉地努力调集思维和旧知纷纷指向新知,成为学习活动的“催化剂”和“助推器”. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　教学反思,使教师的教学能力更进一步提升.
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