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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
15.1.2　线段的垂直平分线
第1课时　线段的垂直平分线的性质及判定
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
归纳探究　通过几何画板课件的演示,探索线段垂直平分线的性质.
探究(一)　演示课件:如图15-1-24所示,点P在线段AB的垂直平分线上运动,测量PA,PB的长度,你能发现什么规律
图15-1-24
PA的长度 PB的长度
1.80厘米 1.80厘米
1.52厘米 1.52厘米
1.42厘米 1.42厘米
1.56厘米 1.56厘米
0.87厘米 0.87厘米
0.74厘米 0.74厘米
2.08厘米 2.08厘米
探究(二)　证明结论:利用几何画板中的图形证明所得结论.
[教学提示] 利用几何画板的测量功能可以得到无数个数据,都能表明PA=PB,但这并不能认定这个结论一定成立,仍需要证明.让学生明白合理猜想与演绎证明都是探索数学知识的常用手段.学生独立观察教师演示的课件,很容易得到结论.证明过程中可以指定学生板演证明过程,其余学生在练习本上完成,师生共同订正证明过程.将得到的结论概括成一句话,即得线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”.
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——第71页习题15.1第13题
如图15-1-25,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分线相交于点P.
图15-1-25
(1)求证PA=PB=PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上 由此你还能得出什么结论
【模型建立】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.结论:三角形三边的垂直平分线相交于同一点.
【变式变形】
1.A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 (C)
A.AB,AC两边上的高所在直线的交点处
B.AB,AC两边上的中线的交点处
C.AB,AC两边的垂直平分线的交点处
D.∠A,∠B两内角平分线的交点处
2.如图15-1-26,在△ABC中,BC=10,DH垂直平分AB,EF垂直平分AC,则△ADE的周长是(C)
A.6 B.8 C.10 D.12
图15-1-26 图15-1-27
3.如图15-1-27,在△ABC中,EF垂直平分AB,GH垂直平分AC,EF与GH相交于点O,则点O与边BC的关系用一句话表示是:　点O到边BC两端点的距离相等(也可以说成点O在边BC的垂直平分线上)　.
4.如图15-1-28,在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,连接OA,OB,OC,AD,AE.若△ADE的周长为6 cm,△OBC的周长为16 cm.
图15-1-28
求:(1)线段BC的长;(2)线段OA的长.
[答案:(1)BC=6 cm　(2)OA=5 cm]
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 利用线段的垂直平分线的性质进行有关的计算
方法指引:(1)利用线段的垂直平分线的性质解决问题,一般需要连接直线上某一点与线段的两端点(常用的添加辅助线的方法),从而由性质可以直接得到相等的两条线段,因为它省去了证明三角形全等,所以较为简便,它通常和三角形的周长、等腰三角形等知识结合运用;(2)把未知的线段通过线段的垂直平分线的性质转化为已知的线段是进行有关计算和证明的重要方法.
　　例1　如图15-1-29,在△ABC中,AC=10,BC=6,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则△BCE的周长是　16　.
图15-1-29
例2　如图15-1-30,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,交BC于点D,交AC于点E,连接AD.
图15-1-30
(1)若△ABD的周长为13 cm,则AB+BC=　　　　cm;
(2)在(1)的条件下,若AE=3 cm,求△ABC的周长.
[答案:(1)13　(2)19 cm]
【评价角度2】 利用线段的垂直平分线的性质和判定进行几何证明
方法指引:(1)利用线段的垂直平分线的性质可证明两线段相等,只需直线满足垂直、平分即可;
(2)利用线段的垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段相等关系.
　　例　如图15-1-31,已知AB=AC,DB=DC,P是AD上的一点,连接PB,PC.
　　求证:∠ABP=∠ACP.
图15-1-31
证明:连接BC.∵AB=AC,∴点A在线段BC的垂直平分线上.
又∵DB=DC,∴点D在线段BC的垂直平分线上,
∴直线AD是线段BC的垂直平分线.
∵点P在直线AD上,∴PB=PC.
在△ABP和△ACP中,
∴△ABP≌△ACP(SSS).∴∠ABP=∠ACP.
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15.1.2　线段的垂直平分线
第1课时　线段的垂直平分线的性质及判定
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 第1课时　线段的垂直平分线的性质及判定 授课人
学 习 目 标 1.掌握线段的垂直平分线的性质及判定. 2.通过类比角平分线的性质、判定与线段的垂直平分线的性质、判定,加深对两者的理解. 3.会简单运用线段的垂直平分线的性质及判定,提高应用意识. 4.理解原命题、逆命题及互逆定理之间的关系. 5.通过对线段垂直平分线的研究,把数学知识应用于生活,进一步激发学生的学习欲望,使他们主动参与到数学学习活动中.
学习 重点 线段的垂直平分线的性质及判定,线段的垂直平分线的作法.
学习 难点 线段的垂直平分线的性质及判定的运用.
授课 类型 新授课 课时
教具 直尺、圆规(多媒体课件)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 思考并回答: 1.线段是轴对称图形吗 2.线段的对称轴是什么 3.什么叫作线段的垂直平分线 　　回顾旧知识,为进一步学习新知识做铺垫.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 线段的垂直平分线的性质 如图15-1-32,直线l垂直平分线段AB,点P1,P2,P3,…在l上,分别比较点P1,P2,P3,…与点A的距离和这些点与点B的距离,你有什么发现 图15-1-32 学生分小组讨论、交流问题. 可以发现,P1A=P1B,P2A=P2B,P3A=P3B,…,如果把线段AB沿直线l对折,线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的,因此它们也分别相等. 由此你能得到什么结论 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 你能验证这一结论吗 如图15-1-33,直线l⊥AB,垂足为C,AC=BC,点P在l上.求证PA=PB. 图15-1-33 证明:当点P与点C不重合时, ∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB. 又AC=BC,PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB. 当点P与点C重合时,显然成立. 　　1.通过探究,让学生真正参与到数学活动中,感受数学知识的形成过程.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 归纳:线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 图15-1-34 几何语言: 如图15-1-34, ∵AC=BC,l⊥AB,点P在l上, ∴PA=PB. 【探究2】 线段的垂直平分线的判定 思考:把线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来,得到的命题还成立吗 即如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢 请进行证明. 已知:如图15-1-35,PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 图15-1-35 证明:过点P作PC⊥AB,垂足为C,则∠PCA=∠PCB=90°. 在Rt△PCA和Rt△PCB中, ∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL).∴AC=BC. 又PC⊥AB,∴点P在线段AB的垂直平分线上. 归纳:线段垂直平分线的判定:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言: 如图15-1-36,∵PA=PB, 图15-1-36 ∴点P在AB的垂直平分线上. 作用:判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 图15-1-37 如图15-1-37,∵AB=AC, ∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∵MB=MC,∴点M在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AM是线段BC的垂直平分线. 这是判定一条直线是线段的垂直平分线的证明过程. 【探究3】 互逆命题、互逆定理 思考:1.下面两个命题的题设和结论有什么关系 (1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等; (2)与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 这两个命题的题设、结论正好相反. 2.你还学习过其他具有类似关系的命题吗 角平分线的性质及判定、平行线的性质及判定等. 归纳:我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题,那么另一个叫作它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫作互逆定理,其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.在几何中,有许多互逆的定理.例如,上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理,“两直线平行,内错角相等”和“内错角相等,两直线平行”也是互逆定理. 2.通过比较线段垂直平分线性质与判定的题设和结论,引出互逆命题(定理)的概念.让学生在不断地尝试、探究的过程中,亲身体验参与发现的愉悦,有效地突破本节的难点.
活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　如图15-1-38,在△ABC中,AB边的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,连接BE,△BCE的周长为16,△ABC的周长为24,求AD的长. 图15-1-38 解:∵DE是AB边的垂直平分线, ∴EA=EB,AD=BD. ∵△BCE的周长为16, ∴BC+CE+EB=BC+CE+EA=BC+AC=16. ∵△ABC的周长为24,∴BC+AC+AB=24. ∴AB=8.∴AD=4. 变式　如图15-1-39,在△ABC中,BC=8,AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,则△ADE的周长为 (A) 图15-1-39 A.8　　　B.4　　　C.12　　　D.16 例2　已知:如图15-1-40,OE是∠AOB的平分线,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D,连接CD. 求证:OE是线段CD的垂直平分线. 图15-1-40 证明:∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, ∴DE=CE,∠EDO=∠ECO=90°. ∴点E在线段CD的垂直平分线上. 在Rt△OED和Rt△OEC中, ∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴DO=CO. ∴点O在线段CD的垂直平分线上. ∴OE是线段CD的垂直平分线. 变式　如图15-1-41,已知∠MON=45°,角的内部有一点P,设点P关于OM的对称点为A,点P关于ON的对称点为B. 图15-1-41 (1)求证:OA⊥OB; (2)若AB交OM于点E,交ON于点F,且AB=8 cm,求△PEF的周长. [答案:(1)略　(2)8 cm] 例3　写出下列命题的逆命题,并判断这些逆命题是否成立. (1)两直线平行,同位角相等; (2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等; (3)全等三角形的对应角相等. 解:(1)逆命题:同位角相等,两直线平行.逆命题成立. (2)逆命题:如果两个实数的绝对值相等,那么这两个数相等.逆命题不成立. (3)逆命题:三个角分别相等的两个三角形全等.逆命题不成立. 　　1.体会线段垂直平分线的性质在几何图形中的应用,提高学生的图形观察能力. 2.通过观察、思考、合作交流,鼓励学生善于思考、勇于发现,培养合作意识.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 探究:三角形的三条边的垂直平分线的性质. 我们已经证明三角形的三条角平分线能够交于一点,那么三角形的三条边的垂直平分线也能交于一点吗 如果能交于一点,这一点又有什么性质呢 已知:如图15-1-42,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点O. 图15-1-42 求证:点O在边BC的垂直平分线上. 学生先独立思考,再合作交流,用语言描述性质. 归纳:三角形的三条垂直平分线交于一点,该点到三角形三个顶点的距离相等. 教师给出准确的语言描述,并引导学生与角平分线进行比较,揭示它们之间的本质区别. 　　知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图15-1-43所示,AB垂直平分CD.若AC=1.6,BC=2.3,则四边形ACBD的周长是 (B) 图15-1-43 A.3.9　　　　　　B.7.8　　　　　C.4　　　　　　D.4.6 2.如图15-1-44,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若AD=6 cm,△ACE的周长为16 cm,则△ABC的周长为　28　cm. 图15-1-44 3.写出下列命题的逆命题,并判断这些逆命题是否成立. (1)同旁内角互补,两直线平行; (2)如果两个实数相等,那么它们的平方相等; (3)全等三角形的对应边相等. 解:(1)逆命题:两直线平行,同旁内角互补.逆命题成立. (2)逆命题:如果两个实数的平方相等,那么这两个实数也相等.逆命题不成立. (3)逆命题:三边分别相等的两个三角形全等.逆命题成立. 　　1.当堂训练,及时反馈学习效果. 2.考查学生对线段的垂直平分线的性质和判定的理解,进一步渗透转化思想和整体思想.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂总结】 (1)线段的垂直平分线的性质和判定分别是什么 (2)线段的垂直平分线的性质为推导两条线段相等提供了一种新思路,你还知道哪些方法能证明两条线段相等 　　梳理巩固本节课所学知识,并与以前所学知识相联系,构建更加完整的知识体系.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课主要从探究开始,然后让学生探究理论依据.根据理论依据得到点在线段的垂直平分线上的判定方法,证明直线为线段的垂直平分线时要证明两点都在线段的垂直平分线上.通过做练习来看整体效果较好. ②[讲授效果反思] 本节课采用了讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处:少数学生对线段的垂直平分线的判定理解不透彻,还需在今后的教学和作业中进一步巩固和提高. ③[师生互动反思] 教师要充分调动学生学习的积极性,培养学生探索的欲望,要注重发挥小组合作学习的能力,让学生在解决问题的过程中掌握一定的数学思想和方法. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　教学反思是一种有益的思维活动和再学习活动,也是回顾教学、分析成败、查找原因、寻求对策、以利后行的过程.
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