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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
15.3.1　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
悬念激趣　将一把等腰三角尺和一个铅锤按图15-3-1所示放置,就能检查一根横梁是否水平,你知道为什么吗
图15-3-1
要想解决这个问题,我们需要先研究等腰三角形具有哪些性质.
[教学提示] 活跃课堂气氛,消除学生的紧张情绪,让学生带着问题进入学习,也为后面的学习打下基础.尽量给学生制造疑问,如怎样检查一根横梁是否水平;测平仪能测平的道理是什么等.
置疑探究　问题1:如图15-3-2①,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把剪下的阴影部分展开,得到的△ABC有什么特点 你能画出具有这种特点的三角形吗
图15-3-2
学生动手操作,从剪出的图形观察△ABC的特点,可以发现AB=AC.
师生共同总结出等腰三角形的概念:有两边相等的三角形是等腰三角形,其中相等的两边叫作腰,另一边叫作底边,两腰的夹角叫作顶角,腰和底边的夹角叫作底角(如图②).
问题2:把问题1中剪下的△ABC沿折痕AD对折,找出其中重合的线段和角,你能填好下表吗
重合的线段 重合的角
从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗 (引入课题)
[教学提示] 创设问题情境,激发学生的学习兴趣,引出本节课的内容.自主探究、合作交流,探究等腰三角形的性质.学生经过观察,独立完成上表,教师引导学生归纳:性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);性质2:等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”).归纳以上两个性质后不妨提出问题:你能证明上述两个性质吗
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——第79页例1
如图15-3-3,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,BD=BC=AD.求△ABC各角的度数.
图15-3-3
【模型建立】
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
【变式变形】
1.如图15-3-4,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,∠A=36°,则∠1的度数为 (C)
A.36° B.60° C.72° D.108°
2.如图15-3-5,在等腰三角形ABC中,AB=AC.若以点B为圆心,BC为半径画弧,交腰AC于点E,连接BE,则下列结论一定正确的是 (C)
A.AE=EC B.AE=BE
C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE
3.如图15-3-6,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=AB,则∠B的大小为(B)
A.40° B.36° C.30° D.25°
图15-3-4 图15-3-5 图15-3-6
4.如图15-3-7,在Rt△ABC中,D,E为斜边AB上的两点,且BD=BC,AE=AC,则∠DCE的大小为　45°　.
图15-3-7
5.如图15-3-8,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,线段AB的垂直平分线MN分别交AB,AC于点M,N,连接BN.求证:BN平分∠ABC.
[答案:略]
图15-3-8
6.如图15-3-9所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AC,AB上,且BD=BC,AD=DE=BE,求∠A的度数.[答案:45°]
图15-3-9
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 利用等腰三角形的定义(两边相等)解决问题
方法指引:当已知边没有确定为底边或腰时,要分情况讨论求解,并注意三角形的三边关系这一隐含条件.
例1　一个等腰三角形的一边长为4 cm,另一边长为5 cm,那么这个等腰三角形的周长是 (C)
A.13 cm B.14 cm
C.13 cm或14 cm D.以上都不对
例2　等腰三角形的底边长为10 cm,一腰上的中线把这个三角形的周长分成的两部分的差为3 cm,则腰长为　7 cm或13 cm　.
【评价角度2】 利用等腰三角形的性质“等边对等角”进行角度计算
方法指引:(1)在等腰三角形中,当已知锐角不能确定是顶角还是底角时,需分类讨论;
(2)在等腰三角形中,已知的直角或钝角只能是顶角,不需分类讨论.
例1　如图15-3-10,AB∥CD,AD=CD,∠1=65°,则∠2的度数是 (A)
图15-3-10
A.50° B.60° C.65° D.70°
例2　已知等腰三角形的一个外角为130°,则它的顶角的度数为　50°或80°　.
例3　数学课上,张老师举了下面的例题:
例1　在等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)
例2　在等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式　在等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解答完(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.
[答案:(1)50°或20°或80°　(2)0　　【评价角度3】 利用等腰三角形的性质证明有关结论
方法指引:(1)等腰三角形“等边对等角”的性质在证全等三角形时可以得到等角;(2)等腰三角形“三线合一”的性质可以用来证明角相等、线段相等和线段垂直,在遇到等腰三角形的问题时,尝试作这条辅助线,常常会有意想不到的效果.
例　如图15-3-11所示,已知AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE.(要求:用两种不同的方法)
图15-3-11
证明:(证法一)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.
∴∠ADB=∠AEC.
又∵AB=AC,
∴△ABD≌△ACE.∴BD=CE.
图15-3-12
(证法二)如图15-3-12所示,过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB=AC,AD=AE,
∴BF=CF,DF=EF.
∴BF-DF=CF-EF,即BD=CE.
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15.3.1　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 第1课时　等腰三角形的性质 授课人
学 习 目 标 1.掌握等腰三角形“等边对等角”的性质. 2.掌握等腰三角形“三线合一”的性质. 3.通过实践、观察、证明等腰三角形的性质,培养学生的推理能力. 4.通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.
学习 重点 等腰三角形的性质及应用.
学习 难点 等腰三角形性质的证明.
授课 类型 新授课 课时
教具 直尺、折纸及多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 我们知道,有两边相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质,还有一些特殊的性质. 　　通过旧知联系新知,引发学生思考,体会知识之间的关联.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 等腰三角形的性质1 1.学生按下列步骤进行操作: ①在纸上画一个等腰三角形;②剪下这个三角形; ③把这个等腰三角形对折,使它的两腰重合; ④把图形展开. 思考:找出上述操作中重合的线段和角,根据这些重合的线段和角,你能发现等腰三角形的性质吗 2.学生以小组为单位进行探究,并试着用文字语言概括得出的结论. 结论:等腰三角形的两个底角相等. 3.如何证明这个结论呢 已知:如图15-3-13,在△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C. 　图15-3-13 证明:如图,作底边的中线AD,则BD=CD. 在△ABD和△ACD中, ∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C. 由此可证:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 【探究2】 等腰三角形的性质2 想一想:由△ABD≌△ACD,除了可以得到∠B=∠C之外,你还可以得到哪些相等的线段和角 和你的同伴交流一下,看看你有什么新发现. 解:∵△ABD≌△ACD,∴∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠CAD. 又∵∠ADB+∠ADC=180°,∴∠ADB=∠ADC=90°,即AD⊥BC. 发现:等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(三线合一). 　　通过观察、思考、描述、证明,鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试,培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力,养成自觉探索几何命题的良好习惯.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 教师引导学生归纳等腰三角形的性质: 性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”); 性质2:等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”). 教师给出性质的准确描述,并板书性质.
【应用举例】 例1　如图15-3-14,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,BD=BC=AD.求△ABC各角的度数. 图15-3-14 师生活动:展示例题时,只出现条件,不出现问题,然后,要求学生以小组合的形式就此题的解答进行讨论.此时,学生会好奇地问:“求什么呀 ” 老师反问学生:“是啊,你觉得通过条件能得到什么结论呢 请同学们分组探究.” 在小组讨论中,鼓励学生积极发言,能得到不同层次的结论:大多数同学发现图中有3个等腰三角形,分别是△ABC,△ABD和△CBD;很多同学利用“等边对等角”的性质,找到了一些相等的角:∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD;有些同学试图找到不相等的角之间的关系,由“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”得到倍数关系,由三角形内角和定理得到角度和的等式;个别同学甚至在此基础上大胆猜想:图中所有的角都能求出来,并着手求解. 变式一　等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是　70°或110°　. 变式二　如图15-3-15所示,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数. 图15-3-15 [答案:∠B=77°,∠C=38.5°] 变式三　如图15-3-16,在△ABC中,AB=AC,AD为底边BC上的中线,BE为腰AC上的高,∠ABC=2∠BAC,求∠C,∠BAD和∠CBE的度数. 图15-3-16 [答案:∠C=72°,∠BAD=18°,∠CBE=18°] 说明:等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半. 变式题由学生独立完成,然后师生共同订正,对典型错误进行展示,让学生吸取教训. 例2　求证:如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 分析:1.根据题意画出图形; 2.根据图形写出已知、求证. 同学间讨论、探究后,独立完成证明过程. 图15-3-17 解:已知:如图15-3-17,在△ABC中,D是边AC的中点,且BD=AC. 求证:△ABC是直角三角形. 证明:∵D是边AC的中点, ∴AD=CD=AC. 　　1.巩固等腰三角形“等边对等角”的性质. 2.例题的处理,把一道封闭性问题转瞬之间变身成为结论开放性问题,由于问题没有固定答案,结论或多或少、或深或浅、或这或那,都由学生决定,不同层次的学生都有发挥聪明才智的空间,激发学生情绪高涨地对图形展开研究,有效训练发散性思维. 3.培养学生运用方程思想解决问题,把几何知识转化为代数知识. 4.培养学生思维的严密性,对于没有图形的问题要考虑周全,强调分类讨论思想的重要性.
活动 二: 探究 与 应用 ∵BD=AC,∴BD=AD=CD. ∴∠DBC=∠DCB,∠DAB=∠DBA. 又∵∠DBC+∠DCB+∠DAB+∠DBA=180°, ∴∠DBA+∠DBC=90°,即∠ABC=90°. ∴△ABC是直角三角形. 例3　在△ABC中,点D,E在边BC上,AB=AC. (1)如图15-3-18①,若AD=AE,求证:BD=CE; (2)如图②,若BD=CE,F为DE的中点,求证:AF⊥BC. 图15-3-18 证明:(1)过点A作AG⊥BC于点G. ∵AB=AC,AD=AE, ∴BG=CG,DG=EG. ∴BG-DG=CG-EG, 即BD=CE. (2)∵BD=CE,F为DE的中点, ∴BD+DF=CE+EF, 即BF=CF. 又∵AB=AC,∴AF⊥BC.
【拓展提升】 例4　已知:如图15-3-19,在△ABC中,AB=AC,点M,N在BC上,且BM=CN. 图15-3-19 求证:AM=AN. [答案:略] 教师提出要求:用两种不同的方法证明,分别用到等腰三角形的两个性质. 学生至少独立完成一种证明方法,第二种方法可以同桌讨论. 变式　“三等分角器”是利用阿基米德原理做出的.如图15-3-20,∠AOB为要三等分的任意角,图中AC,OB两滑块可在角的两边内滑动,始终保持有OA=OC=PC. 图15-3-20 求证:∠APB=∠AOB. [答案:略] 　　1.巩固等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质. 2.让学生体会综合运用角平分线、线段垂直平分线和等腰三角形的性质,可简化解法.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.判断正误. (1)等腰三角形的顶角一定是锐角; (×) (2)等腰三角形的底角可能是锐角、直角或钝角; (×) (3)钝角三角形不可能是等腰三角形; (×) (4)等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边; (√) (5)等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合; (×) (6)等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. (√)
活动 三: 课堂 总结 反思 2.填空: (1)等腰三角形的一个底角为75°,则它的另外两个角为　75°,30°　; (2)等腰三角形的一个角为36°,则它的另外两个角为　72°,72°或36°,108°　; (3)等腰三角形的一个角为120°,则它的另外两个角为　30°,30°　; (4)如图15-3-21,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是　35°　; 图15-3-21 (5)在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交的锐角为50°,则此三角形底角的大小为　70°或20°　. 3.如图15-3-22,已知在△ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O. 图15-3-22 (1)求证:OB=OC; (2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数. [答案:(1)略　(2)100°] 　　1.当堂训练,及时反馈学习效果. 2.巩固等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质. 3.让学生体会分类讨论的数学思想. 4.培养学生大胆尝试、勇于探索的精神,提高学生的思维能力和证明能力.
【课堂总结】 (1)掌握等腰三角形“等边对等角”的性质; (2)掌握等腰三角形“三线合一”的性质. 　　巩固、梳理所学知识,对学生进行鼓励和思想教育.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课主要采用了学生自主探究、分组讨论以及师生合作交流等活动方式和学习方式来组织教学,从而有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣,促进了学生思维能力和解题能力的提高. ②[讲授效果反思] 本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生对等腰三角形“三线合一”的性质理解不透彻,还需要在今后的教学和作业中进行进一步的巩固和提高. ③[师生互动反思] 教学过程中注意师生之间的情感交流,培养学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习模式. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　教学反思是一种有益的思维活动和再学习活动,也是回顾教学、分析成败、查找原因、寻求对策、以利后行的过程.
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