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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第2课时　含30°角的直角三角形的性质
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
实际情境　如图15-3-81,一艘轮船从A处出发,以每小时10 n mile(海里)的速度向正北方向航行,从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘船上午8:00从A处出发,10:00到达B处,从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上.
图15-3-81
(1)画出礁石C的大致位置;
(2)轮船继续航行多久,测得礁石C在正西方向
[教学提示] 通过实际问题情境引入本节课的课题,激发学生的学习兴趣.教师注意引导学生观察、思考、描述、证明,鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试,培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力,养成自觉探索几何命题的良好习惯.
归纳探究　用你的含30°角的三角尺,量一量同桌的含30°角的三角尺的斜边和30°角所对的直角边,你有什么发现
如果用两个全等的含30°角的三角尺,把相等的边拼在一起组成平面图形,有几种拼法呢
在这些图形中,轴对称图形有　4　个,其中三角形有　2　个,各是怎样的三角形 请说明理由.
如图15-3-82,在拼出的等边三角形ABD中,AB　=　BD(填“>”“<”或“=”);在Rt△ABC中,　∠BAC　=30°,30°所对的直角边是　BC　,BC= 　AB.
图15-3-82
我们仅凭实际操作得出的结论还需要证明吗
[教学提示] 通过提出问题,创设情境,使学生经历拼摆三角形和度量三角尺的活动,发现结论.教师要注意复习巩固轴对称、等腰三角形、等边三角形的概念及其性质,以此加强知识之间的联系,注意引导学生意识到通过实际操作探索出来的结论还需要给予证明.
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——第83页例5
图15-3-83是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4 m,∠A=30°.求立柱BC,DE的长.
图15-3-83
【模型建立】
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何语言:在Rt△ABC中,若∠C=90°,∠A=30°,则BC=AB.
【变式变形】
1.在△ABC中,∠ACB为直角,∠A=30°,CD⊥AB于点D.若BD=2,则AB的长度是 (A)
A.8 B.6 C.4 D.2
2.如图15-3-84,在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于点D,BE是△ABC的角平分线,且交AD于点P.若AP=2,则AC的长为 (C)
A.2 B.4 C.6 D.8
3.如图15-3-85,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,以点C为圆心,CB长为半径作弧,交AB于点D.若CB=4,则BD的长为　4　.
图15-3-84 图15-3-85 图15-3-86
4.如图15-3-86,已知在Rt△ABE中,∠A=90°,∠B=60°,BE=10,D是线段AE上的一个动点,过点D作CD交BE于点C,并使得∠CDE=30°,则CD长度的取值范围是　0质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 利用含30°角的直角三角形的性质求有关线段的长
方法指引:(1)当图形中含有30°角时,通过作垂线构造含有30°角的直角三角形.(2)在有些题目中,若给出的角是15°角,往往运用“一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”将15°的角转化为30°的角后,再利用这个性质解决问题.
例1　如图15-3-87,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则OM的长为 (C)
图15-3-87
A.3 B.4 C.5 D.6
例2　已知等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高.[答案:a]
　　【评价角度2】 等边三角形、直角三角形的性质的综合运用
方法指引:对性质“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”的说明:①该性质是含有30°角的特殊直角三角形的性质,一般的直角三角形没有这个性质,更不能应用;②这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系;③该性质的证明借助于等边三角形,所以它与等边三角形的联系密切.
例1　如图15-3-88,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且AB=6,则EC的长为 (C)
A.3 B.4.5 C.1.5 D.7.5
例2　如图15-3-89,D为等边三角形ABC的边AB上一点,且DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB,垂足分别为E,F,D.若AB=6,则BE=　2　.
图15-3-88 图15-3-89 图15-3-90
例3　如图15-3-90所示,等边三角形ABC表示一块空地,DE,EF为这块地中的两条路,且D为AB的中点,DE⊥AC,垂足为E,EF∥AB,已知AE=5 m,你能求出此块空地的周长吗
[答案:60 m]
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第2课时　含30°角的直角三角形的性质
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 第2课时　含30°角的直角三角形的性质 授课人
学 习 目 标 1.掌握含30°角的直角三角形的性质. 2.会用含30°角的直角三角形的性质证明简单的线段倍分问题. 3.经历探究含30°角的直角三角形性质的过程,发展学生的逻辑思维能力. 4.通过探究含30°角的直角三角形的性质,增强学生对特殊直角三角形的认识,培养学生分析问题、解决问题的能力.
学习 重点 含30°角的直角三角形的性质的发现与应用.
学习 难点 含30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合应用.
授课 类型 新授课 课时
教具 直尺、圆规及多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　请回顾等边三角形的性质,等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形“三线合一”的性质等边三角形同样具有,请你画出图形说明这一性质. 　　学生回忆并回答,为本节课做铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 我们经常使用的三角尺是两个特殊的直角三角形,其中一个是等腰直角三角形,它有两个45°的锐角,两条直角边相等;那么另一个三角尺的锐角是多少度 它的哪两条边存在特殊数量关系呢 引出课题,并板书课题. 　　1.从学生身边常见的文具中发现新的数学知识,使学生感到自然亲切,消除陌生感. 2.利用等腰直角三角尺的特征,启发学生对另一个形状不同的三角尺的特征进行研究,是一种探究方式的类比.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 含30°角的直角三角形的性质 如图15-3-91,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,测量∠A所对的直角边BC与斜边AB的长度,你能得到什么结论 再画几个满足条件的三角形,你得到的结论还成立吗 图15-3-91 图15-3-92 证明你的结论. 1.拼图法 将两个全等的含30°角的三角尺按如图15-3-92所示摆放在一起,观察并回答下面的问题:
活动 二: 探究 与 应用 (1)判断△ABD的形状,依据是什么 (2)线段BC与CD的大小有什么关系 为什么 (3)线段BC与AB的大小有什么关系 为什么 你能归纳含30°角的直角三角形的性质吗 2.折叠法 将一张等边三角形纸片沿一边上的高对折,你有什么发现 3.几何证明法 已知:如图15-3-93,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°. 求证:BC=AB. 图15-3-93 证明:在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°, ∴∠B=60°. ①倍长法 延长BC到点D,使BD=AB,连接AD,如图15-3-94,则△ABD是等边三角形. 图15-3-94 又∵AC⊥BD,∴BC=BD.∴BC=AB. ②截半法 在BA上截取BE=BC,连接EC,如图15-3-95. 图15-3-95 又∵∠B=60°,∴△BCE是等边三角形. ∴∠BEC=60°,BE=EC. ∵∠A=30°, ∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°=∠A. ∴AE=EC.∴AE=BE=BC. ∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB. 学生观察、思考、猜测、证明、归纳结论. 教师给出含30°角的直角三角形性质的准确描述,并板书性质. 归纳: 含30°角的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴BC=AB. 事实上,上述定理的逆命题也是真命题: 在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的角等于30°. 　　1.通过操作培养学生从一般到特殊转化的思想. 2.学生通过观察、思考、猜测、证明、归纳,培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力,使学生养成自觉探索几何命题的良好习惯.
【应用举例】 例1　图15-3-96是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4 m,∠A=30°.求立柱BC,DE的长. 图15-3-96 学生先独立思考,再相互交流. 解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,∴BC=AB,DE=AD. ∴BC=×7.4=3.7.
活动 二: 探究 与 应用 又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85. 答:立柱BC的长是3.7 m,DE的长是1.85 m. 变式一　如图15-3-97,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD是斜边上的高,CE是中线,若AB=8,求DE的长.[答案:2] 图15-3-97 图15-3-98 变式二　如图15-3-98,△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,AD⊥AC交BC于点D,求证:BC=3AD. 证明:∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=30°.∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°.∴∠ADC=60°,AD=CD.∴∠BAD=∠ADC-∠B=60°-30°=30°.∴AD=BD.∴BC=BD+CD=3AD. 例2　如图15-3-99,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,求证:BE=3AE. 图15-3-99 证明:∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°. ∵AB=AC,D是BC的中点, ∴AD⊥BC. ∴∠ADB=90°. ∴∠BAD=60°,AB=2AD. ∵DE⊥AB,∴∠AED=90°, ∴∠ADE=30°.∴AD=2AE. ∴AB=4AE.∴BE=3AE. 　　1.考查学生对含30°角的直角三角形性质的掌握情况,让学生体会特殊形状的三角形通过角的关系可以转化为边的关系,同样通过边的关系也可以转化为角的关系. 2.通过变式题目,体会题目变式过程,探索相互关系与解题规律,训练发散性思维.
【拓展提升】 例3　如图15-3-100所示,一艘轮船以15海里/时的速度由南向北航行,在A处测得小岛P在北偏西15°方向上,两小时后,轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上,已知在小岛周围18海里内有暗礁,若轮船继续向前航行有无触礁的危险 图15-3-100 [答案:有] 教师引导学生作出辅助线:过点P作直线AB的垂线,学生画图计算. 　　考查学生对含30°角的直角三角形性质的掌握情况,通过画图、计算,培养学生的动手能力、画图能力及分析问题、解决问题的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图15-3-101,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3 cm,则AB的长度是 (D) A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm 2.某市为了美化环境,计划在如图15-3-102所示的三角形空地上种植草皮,已知这种草皮每平方米售价为a元,则购买这种草皮至少需要 (C) A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元 图15-3-101 图15-3-102 3.如图15-3-103,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于点C,PD⊥OA于点D.若PC=3,则PD等于 (C) 图15-3-103 A.3 B.2 C.1.5 D.1 　　1.当堂训练,及时反馈学习效果. 2.考查学生对含30°角的直角三角形性质的掌握情况,培养学生分析问题、解决问题的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 4.如图15-3-104,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+BC=12 cm,则AB=　8　cm. 图15-3-104 图15-3-105 5.如图15-3-105,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D.若CD=1,则BD=　2　. 6.某轮船由西向东航行,在A处测得小岛P的方位是北偏东75°,又继续航行7海里后,在B处测得小岛P的方位是北偏东60°. (1)此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里 (2)小岛P方圆3海里内有暗礁,如果轮船继续向东行驶有没有触礁的危险 请说明理由. 图15-3-106 [答案:(1)7海里　(2)没有　理由略]
【课堂总结】 (1)掌握含30°角的直角三角形的性质. (2)会用含30°角的直角三角形的性质证明简单的线段倍分问题. 　　巩固、梳理所学知识,对学生进行鼓励和思想教育.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过实例的多媒体展示,唤起学生的好奇心,提出问题,引导学生进入新知识的学习,创造一种探索的情境.在学习中,只有调动学生的非智力因素,特别是内在动机,才能使他们产生强烈的求知欲和以饱满的热情来学习新知识. ②[讲授效果反思] 整节课是一个动眼观察、动脑思考、实践体验和共同提高的动态过程.设计“发现问题、做出思考、提出猜想,进行验证”探究性的学习活动,全程关注学生的学习状态,进行分层施教. ③[师生互动反思] 在探究活动中强调合作,促进了学生在思维品质、人格特征以及解题方法等方面的优势互补,使学生兴致盎然地投入到探究新知的学习活动中. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　教学反思,使教师的教学能力更进一步提升.
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