资源简介

第五章 一元一次方程 大单元整体教学设计
主备人 课型 新授 时间
课程标准 课题 第5章　一元一次方程 课时 12课时
大单元主题背景分析（教材分析） 　　《一元一次方程》作为初中数学课程的核心内容之一，不仅承载着学生从算术向代数过渡的重要使命，也是培养学生逻辑思维、问题解决能力和数学建模素养的关键环节。本单元教材通过系统的编排和丰富的实例，旨在使学生深入理解一元一次方程的本质，掌握其解法，并能灵活运用解决实际问题，教材特点如下： 生活化：教材注重从生活实际出发，通过具体情境引入一元一次方程的概念和解法，使抽象的数学知识变得生动具体、易于理解。 系统性：教材编排有序、逻辑清晰，从概念阐述到解法探讨再到应用拓展，逐步深入、层层递进，确保学生能够系统地掌握一元一次方程的相关知识。 实践性：教材强调学生的实践操作和问题解决能力，通过大量的例题和练习题巩固学生的基础知识；同时设置应用题环节，培养学生的数学建模能力和创新能力。 启发性：教材在解题过程中注重启发学生的思维，鼓励学生自主探索、合作交流；同时设置一些具有挑战性的问题或开放性问题，激发学生的求知欲和探索精神。
单元教学的目标 1. 知识与技能 学生能够准确理解一元一次方程的定义，包括“一元”（含有一个未知数）、“一次”（未知数的最高次数为1）等关键要素，以及方程解的概念。 学生能够熟练掌握一元一次方程的解法，包括移项、合并同类项、系数化为1等基本步骤，并能准确求解一元一次方程。 学生能够将一元一次方程的知识应用于解决实际问题，通过建立数学模型、列出方程并求解来解决问题。 2. 数学思考 培养学生的抽象思维能力，使学生能够从具体情境中抽象出数学问题，将实际问题转化为数学方程。 通过一元一次方程的学习，训练学生的逻辑推理能力，使学生能够有条理地分析问题、推导结论。 引导学生体会化归思想在解方程中的应用，即将复杂问题转化为简单问题、未知问题转化为已知问题的过程。 3. 问题解决 学生能够准确识别问题中的已知条件、未知数和需要求解的目标，为建立数学模型做好准备。 培养学生的数学建模能力，使学生能够根据问题中的数量关系建立一元一次方程模型。 学生能够独立求解方程，并对解进行验证，确保解的合理性和正确性。 在解决实际问题的过程中，学生能够综合运用一元一次方程的知识和其他相关知识，形成综合解决问题的能力。 4. 情感态度 激发学生对数学学习的兴趣和好奇心，使他们愿意主动探索数学世界的奥秘。 培养学生的数学观念，使他们认识到数学是解决实际问题的有力工具，体会数学的实用性和价值。 在小组合作学习和讨论中，培养学生的合作精神和团队意识，学会与他人分享和交流学习成果。 鼓励学生勇于面对挑战和困难，不畏失败，坚持不懈地探索数学问题的解决方法。
学习活动设计 活动一 一元一次方程的概念
活动二 等式的性质
活动三 解一元一次方程
活动四 一元一次方程与实际问题
学习评价设计 1. 知识与技能评价 课堂检测：通过随堂小测验、课堂提问等方式，检验学生对一元一次方程基本概念、标准形式及求解方法的掌握情况。 作业反馈：布置有针对性的作业，如列出并求解一元一次方程、判断数的解等，通过批改作业了解学生的掌握程度。 单元测试：定期进行单元测试，全面检测学生对本单元知识的理解和掌握情况。 2. 数学思考评价 问题探讨：组织学生进行小组讨论或全班讨论，针对一些具有挑战性的问题，引导学生从不同角度思考并发表见解，评价其逻辑思维能力和代数思维能力。 解题反思：要求学生在完成题目后进行反思，总结解题方法和思路，教师根据反思报告评价学生的数学思考能力。 3. 问题解决评价 应用题解答：设计一些贴近学生生活的应用题，如购物问题、行程问题等，要求学生列出并求解一元一次方程，通过解题过程评价学生将实际问题抽象为数学问题的能力。 项目式学习：开展项目式学习活动，如“校园内的一元一次方程应用”等，让学生在实践中体验数学建模的过程，通过项目成果展示评价其问题解决能力。 4. 情感态度评价 课堂观察：通过观察学生在课堂上的表现，如参与度、合作态度、学习兴趣等，评价其情感态度。 学生自评与互评：鼓励学生进行自评和互评，通过评价表格或口头表达等方式，分享自己的学习体会和感受，教师根据评价内容了解学生的情感态度变化。 家长反馈：通过家长会或家访等方式，了解学生在家庭中的学习态度和兴趣情况，结合家长反馈评价学生的情感态度。
反思性教学改进 一、教学反思 基础概念与理解深度：在教学中，我发现部分学生对一元一次方程的基本概念理解不够透彻，尤其是在从实际问题抽象出数学模型的过程中存在困难。这反映出学生在将具体情境转化为数学语言时缺乏必要的活动经验和知识衔接。 解题步骤的掌握：解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）看似简单，但学生在实际操作中常常出错。特别是在去分母和移项时，容易忽略符号变化或计算错误，导致整个解题过程失效。 应用能力的欠缺：在解应用题时，学生的表现尤为薄弱。他们往往难以准确分析题目中的数量关系，找到等量关系，进而列出正确的方程。这反映出学生在建模能力和问题解决能力上的不足。 学习兴趣与参与度：课堂氛围不够活跃，部分学生对一元一次方程的学习缺乏兴趣，参与度不高。这可能与教学方式单一、内容枯燥有关。 二、教学改进策略 强化基础概念教学：通过生活化、具体化的例子引入一元一次方程的概念，让学生在实际情境中感受方程的意义。同时，加强学生对代数式、等式等基本概念的复习和巩固，为后续学习打下坚实基础。 细化解题步骤训练：在解题步骤的教学中，采用“分步讲解、分步练习”的方式，确保每个学生都能掌握每一步的具体操作。特别是在去分母、移项等易错环节，要反复强调注意事项，并通过大量练习加以巩固。 提升应用能力：加强应用题的教学，通过列表格、画示意图等方法帮助学生理清题目中的数量关系。引导学生从算术思维向代数思维转变，逐步学会用方程解决实际问题。同时，补充一些与现实生活紧密相关的应用题，激发学生的学习兴趣和积极性。 采用多样化教学方法：在教学过程中，灵活运用情境教学、合作学习、探究学习等多种教学方法。通过小组讨论、角色扮演、游戏竞赛等形式，提高学生的课堂参与度和学习兴趣。同时，利用多媒体教学手段，丰富教学内容和形式，使课堂更加生动有趣。 渗透数学史和建模思想：在讲解一元一次方程的过程中，适当渗透数学史知识，让学生了解方程的发展历程和重要意义。同时，强调建模思想在解题中的应用，培养学生的数学建模能力和问题解决能力。 注重非智力因素的培养：关注学生的学习态度、学习习惯等非智力因素的培养。通过鼓励、表扬等方式激发学生的学习动力，帮助他们树立自信心。同时，引导学生养成良好的书写习惯和解题规范，提高解题的准确性和效率。
单元教学结构图
教学设计
课题 　一元一次方程
学习活动设计 教师活动 学生活动 设计意图
活动一：一元一次方程的概念 情境引入 2024 年巴黎奥运会是第 33 届夏季奥林匹克运动会，于 2024 年 7 月 26 日至 8 月 11 日在法国巴黎举行。中国代表团在巴黎奥运会上夺得 40 金 27 银 24 铜，创造了在境外奥运会的最佳成绩，金牌数与美国代表团并列首位。8 月 1 日，在巴黎奥运会男子 100 米自由泳决赛中，中国选手潘展乐以 46 秒 40 的成绩打破世界纪录，夺得金牌。一个标准游泳池一般长为 50 米，宽为 21 米，平均水深为 1.8 米，泳池中水的体积为1890立方米。奥运会准备期间，若1号进水管的进水速度为56立方米/小时，2号进水管的进水速度为72立方米/小时，若用1号进水管注水12小时，则2号进水管需注水多长时间才能将泳池注入标准水量？ 新知探究 情境1： 怎样求解小彬的年龄？ 情境2:小颖种了一棵树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周树苗长高约5厘米，大约几周后树苗长高到1米？ 情境3：某校今年七年级招生500人，比去年增长了50%，则去年七年级新生人数为多少？ 情境4：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地，A，B两地间的路程是多少？ 任务1：思考并填写下表 任务2：以上四个方程有何共同特点？ 任务3：请你用自己的语言给一元一次方程下一个定义。 一元一次方程的概念 在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。 练习：判断下列各式是不是一元一次方程. ①2x2－5＝4； ②－m＋8＝1； ③x＝1； ④x＋y＝1； ⑤x＋3>0； ⑥2x2－2(x2－x)＝1； ⑦ ； ⑧πx＝12. 判断一个方程是一元一次方程，化简后必须满足三个条件： ①含有一个未知数； ②未知数的指数是1； ③方程中的代数式都是整式. 例1.根据下列问题，设未知数并列出方程. (1) 一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的修检时间2450小时？ (2)用一根长24cm的铁丝围成一个长方形，使它长是宽的1.5倍，长方形的长，宽各应是多少 (3).某校女生占全体学生的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？ 例2.下列各式中,是方程的是(　　). A.2x+5 B.8+x=12 C.3+6.5=9.5 D.以上都不是 思考： 利用算术和列方程的方法解决实际问题有何区别？ 【图说数学史】 在我国古代，一般用“天元”“地元”“人元”“物元”等表示未知数.17世纪，法国数学家笛卡儿最早使用x,y,z等字母表示未知数，这种做法一直沿用至今. 汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数 的等式的问题。我国古代数学著作《九章算术》 中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问 题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的 解法，称为“方程术”,19世纪50年代，清代数 学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation (指含有未知数的等式)一词译为“方程”. 用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只 含有已知数，不含未知数；而方程是根据问题中的相等关系列出的等式，其中 既含有已知数，也含有用字母表示的未知数，这为解决许多问题带来了方便. 通过今后的学习，你会逐步认识到：从算式到方程是数学的一大进步. 归纳： 列方程式解决实际问题的重要方法，想要得到实际问题的解，还需要求出方程中未知数的值. 在情境1中：设小彬的年龄为x岁 2x-5=21 我们将小彬的年龄13带入可得， 2×13-5=21 即此时方程左右两边的值相等. 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.例如，x=13就是方程2x-5=21的解.求方程的解的过程，叫作解方程. 例3.检验x＝1是不是下列方程的解． (1)x2－2x＝－1； (2)x＋2＝2x＋1. 解：(1)把x＝1代入方程， 左边＝12－2×1＝－1，右边＝－1， 左边＝右边， 所以x＝1是方程x2－2x＝－1的解． 思考：如何检验一个数是不是方程的解，其步骤是什么？ 例4.若x=1是关于x的方程2x-a=0的解,则a的值是 . 课堂小结： 学习本课后你有何收获？ 当堂练习 1.根据下列条件，列出关于x的方程： （1)x与18的和等于54； （2）27与x的差的一半等于x的4倍． 2.在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及纸草书中，其中一个问题翻译过来是“它的全部，它的七分之一，其和等于19.”你能求出问题中的“它”吗？ 3.判断x=2是不是方程2x+6=5x的解？ 学生理解情境中的问题,独立思考解决实际问题的方法 学生举手回答 （1）设小彬的年龄为x岁 2x-5=21 （2）设x周后树苗长高到1m 40+5x=100 （3）设去年七年级新生人数x x(1+50%)=500 （4）设A、B两地的路程是 x km 学生举手回答 ②③⑥⑧是一元一次方程. 教师引导学生设未知数，根据题意列出方程，由学生口述，教师板书出方程，并逐渐归纳出用一元一次方程解决实际问题的建模过程. （1）设x月后这台计算机的使用时间达到2450小时，那么在x月后使用了150x小时. 1700+150x=2450 （2）设长方形的宽为xcm，那么长为1.5xcm. 2(x+1.5x)=24 （3）设这个学校的学生为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x. 0.52x-(1-0.52)x=80 B 用小组讨论的方式进行，可以把学生分成两部分分别归纳两种方法的优缺点，也可以每个小组同时讨论两种方法的优缺点，然后向全班汇报． 列算式：只用已知数，表示计算程序，依据是间题中的数量关系； 列方程：可用未知数，表示相等关系，依据是问题中的等量关系。 归纳列方程解决实际问题的两个步骤： (1)用字母表示问题中的未知数（通常用x,y,z等字母）； (2)根据问题中的相等关系，列出方程． 教师讲解第（1）小题，学生板演第（2）小题 学生归纳： 要判断一个数是否是某个方程的解，根据“方程的解”的定义，只要用这个数代替方程中的未知数，看方程左右两边的值是否相等，如果“左边＝右边”，那么这个数就是方程的解，反之，这个数就不是方程的解． 学生总结本课收获 学生独立完成，教师总结 为学生创造一个真实生活中的学习情境，激发激发学生的学习兴趣，同时为后面渗透数学文化做铺垫. 通过学生板演，起到复习巩固的作用，进一步熟悉 渗透列方程解决实际问题的思考程序。 理解题意是寻找相等的关系的前提。 由于学生在小学已经学习过方程的有关知识，调动学生的已有知识基础尝试解方程，进而梳理方程等概念，这样处理顺畅自然。 在概念教学中如何激发学生的学习兴趣？一方面挖掘概念在生活中的源头活水，选取贴近学生生活的实际问题。另一方面通过教师启发、师生问答明确概念的内涵和外延，让概念的形成过程是一个充满探索的发现之旅。 数学的发展历程与数学家的创新精神，具有独特而又丰富的教育价值。挖掘《九章算术》及“天元术”的有关历史使学生对一元一次方程有完整深刻的认识，突出教学重点。 通过比较能使学生学会到从算式到方程是数学的进步。 问题的开放性有利于培养学生思维的发散性。 培养学生归纳能力和用数学的语言表达世界的能力，说出本课的主要内容和实际收获. 巩固所学
活动二：等式的性质 复习引入： 【思考】 1.什么叫方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 2.什么叫一元一次方程？ 在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 3.什么是方程的解？ 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 还记得上一课小华和小彬猜年龄的问题吗？你能帮小彬解开那个年龄之谜吗？ 你能求出方程2x-5=21的解吗？ 想一想：除了这些方法，还有没有更好的方法呢？如果给出的方程比较复杂，怎么办呢？ 新知探究 问题1：以下两幅图片中的天平会保持平衡吗？为什么？ 问题2：天平在什么条件下才会保持平衡？ 问题3：你能用算式表示吗？ 这是一个等式，表示天平两边的质量相等。 问题4：天平平衡时左右两边的质量用什么符号连起来？ 学生思考回答问题。 学生根据天平探究等式的性质。 学生举手回答 天平两边的质量相等才能够保持平衡。 50+50=100 100+x=200 激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。 在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验教学再创造的思维过程，而且还培养了学生的创造意识和科学精神。
练习：判断下列式子中哪些是等式？ 用等号表示相等关系的式子，叫等式。 我们可以用a=b表示一般的等式. 问题5：交换天平两边的物品，天平还会保持平衡吗？你能用数学语言表示这个性质吗？ 问题6：你能求出一杯奶茶的重量吗？你能用数学语言表示这个性质吗？ 在小学，我们已经知道：等式两边同时加(或减)同一个正数，同时 乘同一个正数，或同时除以同一个不为0的正数，结果仍相等.引入负数 后，这些性质还成立吗 你可以用一些具体的数试一试. 比如“8=8”，我们在两边都加上6，就有“8＋6=8＋6”；两边都减去11，就有“8－11=8－11” 问题7：你能用数学语言表达以下3幅图所蕴含的等式的性质吗？ 问题8：你能用数学语言表达以下2幅图所蕴含的等式的性质吗？ 法国数学家笛卡尔说：“一切问题都可以转化为数学问题；一切数学问题都可以转化为代数问题；一切代数问题都可以转化为方程问题，因此，解决了方程问题，一切问题都将迎刃而解。 注意事项： 1、等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算。　　　　　　　　　　 2、等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。 3、等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母. 思考： 问题9：怎样才能把方程x＋5=21转化为x=a的形式？ 问题10：怎样才能把方程3x=27转化为x=a的形式？ 问题11:怎样才能把方程2x-1=15转化为x=a的形式？ 问题12:解方程的依据和方程结果的形式是？ 例1.用适当的数或式子填空，使所得结果仍相等，并说明根据等式的哪一条性质以及怎样变形得到的. (1) 如果 2x+7=10 ,
那么 2x=10　 　;（根据_________） (2) 如果 5x=4x+7 ,
那么 5x 　　 =7;（根据_________） (3) 如果 2a=1.5 ,
那么 6a=　 　　; （根据_________） (4) 如果 -3x=18 ,
那么 x=　　 　; （根据_________） (5) 如果 -5x=5y ,
那么 x=　　 　; （根据_________） (6) 如果 a+8=b+8 ,
那么 a=　 　　. （根据_________） 例2.利用等式的性质解下列方程： （1）x+7=26； （2）-5x=20；
（3）-x-5=4． 教师分析第（1）小题 分析：解方程，就是把方程变形，变为x=a（a是常数）的形式． 在方程x+7=26中，要去掉方程左边的7，因此两边都减去7． 解：（1）根据等式性质1，两边同减7，得： x+7-7=26-7 于是 x=19 我们可以把x=19代入原方程检验，看看这个值能否使方程的两边相等，将x=19代入方程x+7=26的左边，得左边＝19+7=26=右边，所以x=19是方程x+7=26的解． 思考：你是怎样解方程的？每一步的根据是什么？还有其他的解法吗？怎样检验？ 解一元一次方程就是根据等式的性质把方程变形成“x=a(a为已知数) ”的形式. 检验方法：把求出的解带入原方程，看看左右两边是否相等. 课堂小结 对自己说，有哪些收获？对老师和同学说，还有哪些困惑？与大家分享。 强调： 在学习本节内容时，要注意几个问题： 1．根据等式的两条性质，对等式进行变形必须等式两边同时进行，即：同时加或减，同时乘或除，不能漏掉一边． 2．等式变形时，两边加、减、乘、除的数或式必须相同． 3．利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0． 课堂练习 1.在等式的两边__________________得到等式x=1，这是根据____________________. 2.下列等式的变形中，不正确的是（ ） A.若x=y, 则x+5=y+5
B.若（a≠0）,则x=y[来 若－3x=－3y, 则 x=y D.若mx=my, 则x=y 3.有三种不同质量的物体“ ”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是(　 　) 4.说出下列各等式变形的依据： ⑴由2y－5=0得2y=5. ⑵由得2x=3y. 5.解下列方程： (1)x＋5＝8； (2)3(－x＋1)＝－12. 学生判断，教师纠正 等式两边可以交换. 如果a=b,那么b=a. 相等关系可以传递. 如果a=b,b=c那么a=c. 回顾等式的性质，结合天平，用数学语言归纳出等式的性质。 师生共同总结，归纳出等式的两条性质： 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 用数学语言表示为：如果a=b，那么a±c=b±c． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 用数学语言表示为： 如果a=b，那么ac=bc． 如果a=b，（c≠0），那么=． 小组讨论，得出结论：解方程的依据是等式的性质，方程结果变为x=a（a是常数）的形式。 让学生分析题目，并说出利用等式的哪条性质，考察学生对基础知识的掌握情况。并及时调整自己的教学进度。 学生理解第（1）小题 举手分析第（2）、（3）小题 （2）分析：-5x=20中-5x表示-5乘x，其中-5是这个式子-5x的系数，式子x的系数为1，-x的系数为-1，如何把方程-5x=20转化为x=a形式呢？即把-5x的系数变为1，应把方程两边同除以-5． 解：根据等式性质2，两边都除以-5，得 于是x=-4 （3）分析：方程-x-5=4的左边的-5要去掉，同时还要把-x的系数化为1，如何去掉-5呢？根据两个互为相反数的和为0，所以应把方程两边都加上5． 解：根据等式性质1，两边都加上5，得 -x-5+5=4+5 化简，得-x=9 再根据等式性质2，
两边同除以-（即乘以-3），得 -x·（-3）=9×（-3） 于是 x=-27 同学们自己代入原方程检验，看看x=-27是否使方程的两边相等． 学生总结本课知识内容 自主练习 教师订正答案 用天平这个工具来类比等式，一方面让学生对等式有感性认识，帮助学生理解等式的性质，另一方面利用跨学科资源，渗透数学的工具性和跨学科性。 用学生实际生活中的例子引入，让学生在熟悉的环境中理解数学、感悟数学。 用名人名言总结，强调知识的重要性，生活情境的引入，让学生感受到生活中处处有数学，数学应用于生活。 通过自学、小组合作等学习形式让学生学会独立思考和同伴互助，感受团队的力量。用文字语言和数学语言归纳等式的性质，培养学生数学思维，并培养学生归纳能力。 通过不同题型的设计，让学生了解等式的性质运用的多样性和重要性，掌握方程的解法和书写格式。 通过总结，促使学生回顾本节知识，并形成知识体系，进而达到思维的提升，让学生感受到，收获是多样的，既有知识也有情感，让学生学会合作，学会沟通和交流 通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
活动三：解一元一次方程 思考：等式的基本性质 等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式． 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式. 【类型一：利用移项解一元一次方程】 用等式的性质解方程： 5 x - 2 = 8. 解：方程两边都加上 2，得 5 x - 2 + 2 = 8 + 2， 5 x = 8 + 2. x = 2 你能发现什么？ 把原方程中的 -2 改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。 1.定义：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项． 2.方法：把方程右边含有未知数的项改变符号后移到方程左边，把方程左边不含未知数的项改变符号后移到方程右边. 例1.将方程5x＋1＝2x－3移项后，正确的是(　B　).　 A．5x－2x＝－3＋1　　 B．5x－2x＝－3－1 C．5x＋2x＝－3－1 D．5x＋2x＝1－3　 注意事项： ①移项是将方程中某一项从方程的一边移到另一边，不是左边或右边某些项的交换； ②移项时要变号，不能出现不变号就移项的情况， 因此，方程 5 x - 2 = 8 也可以这样解： 移项，得 5 x = 8 + 2. 化简，得 5 x = 10. 方程两边同除以 5，得 x = 2. 例2.解下列方程： （1）2 x + 6 = 1； （2）3 x + 3 = 2 x + 7. 【针对训练】
解方程： 【归纳总结】 移项解一元一次方程的步骤 (1)移项：把含有未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边； (2)合并同类项： 把方程变形为ax=b(a，b 为常数， 且a ≠ 0)的形式； (3)系数化为1：得到方程的解为x= . 【类型二：利用合并同类项解一元一次方程】 某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍。前年这个学校购买了多少台计算机？ 问题:如何列方程？分哪些步骤？ 问题2:怎么解这个方程？如何将这个方程转化为x=a的形式？ 思考：以上解方程“合并”起了什么作用？每一步的根据是什么？ 1.“合并同类项”的作用是什么？ 合并”起了化简作用，将一元一次方程中含未知数的项 与常数项分别合并，从而达到把方程转化为ax = b的形式，(其中a,b是常数) 2.“系数化为1”的依据是什么？ 变形的依据是等式的性质2 方程两边同时除以未知数的系数，使一元一次方程ax＝b(a≠0)变形为x＝ (a≠0)的形式. 例3.解下列方程： 【针对训练】 有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243 ，··· . 其中某三个相邻数的和是－1701，这三个数各是多少？ 【类型三：利用去括号解一元一次方程】 思考： 如何解一元一次方程，最终结果一般是化为哪种形式？2.移项，合并同类项，系数化为1，要注意什么？ 师生活动：教师提出问题，学生积极举手回答，教师补充指正. 1听果奶饮料多少钱？ 教师活动：你遇到过图中的情况吗？你能读懂图中的含义吗？组织学生看图，通过问题引导学生列方程. 问题1：题中的等量关系都有什么？分别从哪一句看出来的？ 问题2：根据以上等量关系如何解决难题？ 问题3：如何解所列方程？ 通过以上解方程的过程，与学生一起总结出解含有括号的一元一次方程的一般步骤，并说明每一步的依据. 例4.解方程： 6(2x-5)+20=4（1-2x）. 解：去括号，得 12x-30+20=4-8x. 移项，得 12x+8x=4+30-20. 合并同类项，得 20x=14. 将x的系数化为1，得 x=. 提问：去括号符号变化的规律？ 去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 顺口溜： 去括号，看符号： 是“＋”号，不变号； 是“－”号，全变号。 【针对训练】 解下列方程 （1） 2x－(x+10) = 5x + 2(x－1) （2） 3y－7(y －1 ) = 3 － 2(y + 3) 【类型四：利用去分母解一元一次方程】 例5.解方程：. 解：去分母，得2(x-1)－（x-2）＝3(4－x). 去括号，得2x-2－x+2＝12－3x. 移项，得2x-x+3x＝12+2－2. 合并同类项，得4x＝12. 将x的系数化为1，得x＝3. 学生总结并归纳出解一元一次方程的一般步骤，教师提示补充. 【针对训练】 解下列方程： ①＝； 解：去分母，得8x－4＝3x＋6. 移项，得8x－3x＝4＋6. 合并同类项，得5x＝10. 系数化为1，得x＝2. ②－＝1； 解：去分母，得5(x－3)－2(4x＋1)＝10. 去括号，得5x－15－8x－2＝10. 移项，得5x－8x＝15＋2＋10. 合并同类项，得－3x＝27. 系数化为1，得x＝－9. 本课小结 本节课你学到了什么？ 当堂练习 1.解方程2x－3＝1时，移项正确的是(　　) A．2x＝1－3 B．2x＝1＋3 C．2x＝－1－3 D．2x＝－1＋3 2.下列方程中，移项正确的是(　　) A．x＋5＝12，移项，得x＝5＋12 B．10x－3＝6－2x，移项，得10x－2x＝6＋3 C．3－2x＝4x－9，移项，得3＋9＝2x＋4x D．5x＋9＝4x，移项，得5x－4x＝9 3.解方程3x＋5＝8x－10的一般步骤是： (1)移项，得3x-8x＝-10-5； (2)合并同类项，得-5x＝-15； (3)系数化为1，得x＝3． 4.解方程4x－2＝3－x的正确顺序是(　　) ①合并同类项，得5x＝5； ②移项，得4x＋x＝3＋2； ③系数化为1，得x＝1. A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③① 5.下列各方程合并同类项不正确的是(　　) A．由4x－2x＝4，得2x＝4 B．由2x－3x＝3，得－x＝3 C．由5x－2x＋3x＝12，得x＝12 D．由－7x＋2x＝5，得－5x＝5 6.将方程3(x－1)＝6去括号，正确的是( ) A．3x－1＝6 B．x－3＝6 C．3x＋3＝6 D．3x－3＝6 7.解方程－＝1，去分母后的方程为( ) A.3(3x－7)－2＋2x＝6
B．3x－7－(1＋x)＝1 C.3(3x－7)－2(1－x)＝1
D．3(3x－7)－2(1＋x)＝6 8．解下列方程： (1)－3x＋0.5x＝2； (2)7x－2x＝8＋2； (3)8y－4.5y－7.5y＝8；　
(4)3m＋10m－0.5m＝25. 9.洗衣机厂一天计划生产洗衣机48台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量比为1：2：3，这三种洗衣机计划各生产多少台？ 学生思考回答问题。 学生探究移项的定义和方法， 解：（1）移项，得2x=1 - 6. 化简，得2x=-5. 方程两边同除以2，得x = 解：（2）移项，得3x－2x = 7－3. 合并同类项，得x= 4. 学生根据例题讲解，在教师的引导下总结移项解一元一次方程的步骤 师生讨论分析：（1）设未知数：前年购买计算机x台 （2）找相等关系：前年购买量+去年购买量+今年购买量＝140台 （3）列方程：x+2x+4x＝140 学生观察、思考 根据分配律，可以把含x的项合并，即x+2x+4x＝（1+2+4）x＝7x 教师演示解方程过程 掌握合并同类项解“ax+bx=c”类型的一元一次方程的方法，能熟练求解一元一次议程（数字关系），并判别解的合理性. 学生板演，教师讲评 解：设所求三个数分别是x，－3 x ，9 x. 由三个数的和是－1 701，得 x－3x+9x= －1 701. 合并同类项，得7x=－1701. 系数化为1，得x= －243. 所以－3x=729 ，9x= － 2187. 答：这三个数是－243, 729, － 2187. 阅读并思考，讨论交流，列出方程. 1听可乐价格=1听果奶饮料价格+0.5元，一听果奶饮料+4听可乐=10元-3元 如果设1听果奶饮料x元，则1听可乐（x+0.5）元，列出方程4(x+0.5)+x=10-3. 仿照代数式化简去括号的方法，学会解含有括号的一元一次方程，写出解题过程并与同学交流评判. 解方程：4(x+0.5)+x=10-3.（将具体过程板书在黑板上） 解：去括号，得 4x+2+x=10-3 移项，得 4x+x=10-3-2 合并同类项，得 5x=5 方程两边同时除以5，得 x=1 学生理解并朗读 （1）解：去括号，得 2x－x － 10 = 5x + 2x－2 移项，得 2x－ x － 5x － 2x =－2+10 合并同类项，得 － 6x = 8 系数化为1,得 （2）解：去括号，得 3y－7y + 7 = 3 － 2y － 6 移项，得 3y－7y + 2y = 3 － 6 －7 合并同类项，得 －2y = － 10 系数化为1,得 y = 5 学生在教师的引导下总结归纳。 1.移项的方法： 把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，即移项要变号． 2.移项的原则： 未知项左边来报到，常数项右边凑热闹． 3.用移项法解一元一次方程的一般步骤： 移项→合并同类项→系数化为1 4.合并同类项的目的是将原方程转化成ax＝b(a≠0) 的形式，依据是合并同类项的法则； 5.系数化为1的依据是等式的性质2：将方程ax＝b(a≠0)的两边同时除以a，当a为分数时，可将方程两边同时乘a的倒数． 6.去括号的法则 7.去分母的注意事项 学生独立完成 教师订正讲解 激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。 在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验教学再创造的思维过程，而且还培养了学生的创造意识和科学精神。 分析实际问题中的已经量和未知量，找出相等关系，列出方程，使学生逐步建立列方程解决实际问题的思想方法. 让学生运用已有的知识解答新问题,使知识滚动向前发展.让学生学会思考,遇到新问题学会找解决问题的方法和突破口,让学生学会自主学习和合作探究的学习方法. 对简单一元一次方程解法的步骤回顾，有意识地强化渗透方程解法中的程序化方法。 复习去括号法则 ，为下一步解方程准备。 及时给予分层强化训练，强调重点、纠正错误点、紧扣关键点。 进一步巩固解方程的方法和基本步骤，加深对化归思想的理解。 课堂上以由教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。 使学生学会对本节课的要点和思想方法进行总结反思、归纳概括，帮助学生养成良好的学习习惯，充分发挥学生的主体作用。 教师通过课后作业了解学生对本节知识的掌握程度。 分层式布置作业对学有余力的学生提出更高要求，利于对优生的培养。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
活动四：实际问题与一元一次方程 单元情境引入 一个标准游泳池一般长为 50 米，宽为 21 米，平均水深为 1.8 米，泳池中水的体积为1890立方米。泳池不同赛道之间用分道线分割，分道线由不锈钢钢丝绳和浮漂组成。每米钢丝绳上串8个浮漂.某工厂车间10名工人生产钢丝绳和浮漂，每人每天可生产180米钢丝绳或160个浮漂。生产完成后需要组装，由一个人做要40 h完成，现计划由一部分人先做4 h，然后增加2人与他们一起做8 h，完成这项工作．尝试回答以下问题： 为了使每天的产品刚好配套，应分配多少名工人生产钢丝绳，多少名工人生产浮漂？ 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人完成安装工作？ 某工厂为减少库存积压，以每件120元的价格出售两件文化衫，其中一件赚20%，另一件亏20%，在这次买卖中商场的盈利情况如何？ 潘展乐在某月游泳比赛中共赛了9场，得分17分．比赛规定取得第一名得3分，取得第二名得1分，其他名次得0分，潘展乐在本月比赛中只有2场没有取得前两名，那么他获得第一名几次？ 节约用水，人人有责。果果家所在城市采取分段收水费．若每户每月用水不超过20 m3，每立方米收费2元；若用水超过20 m3，超过部分每立方米加收1元．果果家5月份交水费64元，则他家该月用水多少立方米？ 新知探究 我们已经学习了一元一次方程的相关知识，你能用它解决下面的问题吗？ 问题1：【配套问题】某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？ 【分析】引导学生分析题意，找出相等关系 每人每天的工作效率×人数=每天的工作量（产品数量） 螺母的数量=螺钉数量×2 【针对练习1】 金晨圆珠笔厂的一个生产车间，每 天能制作笔芯900个，或者笔杆450个， 笔芯、笔杆各一个配成一支圆珠笔，现 要在30天内制作最多的圆珠笔，则笔 芯、笔杆各应制作多少天 教师总结 列一元一次方程解决实际问题的步骤如下: 1、审：审题，分析题目中的数量关系；2、设：设适当的未知数，表示未知量； 3、列：根据题目中的数量关系列方程；4、解：解方程； 5、验：双检验； 6、答：写出实际问题的答案. 问题2：【行程/工程问题】 一项工作，小李单独做需要6h完成，小王单独做需要9h完成.如果小李先做2h后，再由两人合做，那么还需两人合做几个小时才能完成？ 分析：本题中含有如下等量关系. 小李单独做6h的工作量=小王单独做9h的工作量， 小李单独做2h的工作量+两人合做的工作量=总工作量， 工作效率×工作时间=工作量. 如果设还需两人合做x h才能完成，则有下面的分析图. 【针对练习】 我国出口印尼、用于雅万高铁的高速动车组在中国中车青岛基地下线，这标志着最高运行时速350千米、中国出口国外的首列高速动车组正式诞生.已知甲、乙两地相距900千米，两列动车同时从两地相向开出，1.5小时后相遇，已知快车和慢车的速度比是 7∶5，这两列动车的速度分别是多少？ 问题3：【盈亏问题】 某水果销售点用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价
（元/千克）售价
（元/千克）甲种58乙种913
(1)这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？ （1）解：设甲种水果购进千克，则乙种水果购进千克．依题意得：． ． 解得：， ∴． 答：甲种水果购进65千克，乙种水果购进75千克； （2）解：． （元）． 答：该水果店按销售价销售完这批水果，获得的利润是495元． 【针对练习】 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 问题4：【积分问题】 某次篮球联赛积分榜队名比赛场次胜场负场积分前进1410424东方1410424光明149523蓝天149523雄鹰147721远大147721卫星1441018钢铁1401414
教师引导学生观察表中的数据，如何求得胜负一场的积分？ 师生共同探讨：某队的胜场总积分等于它的负场总积分吗？ 问题１：仔细观察上表，从这张表格中，你能得到什么信息？ 问题2：下面让我们一起来弄清楚规定胜一场积多少分？负一场积多少分？ （1）通过观察积分表，你能选择出其中哪一行最能说明负一场积几分吗？ （2）你能进一步算出胜一场积多少分吗？ 问题3：（1）如果设一个队胜m场， ①胜场积分与负场积分分别是多少？ ②你能列式表示积分与胜场数之间的数量关系吗？ （2）如果一个队负n场，你能列式表示积分与胜场数之间的数量关系吗？ 问题4：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 教师说明：用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义，这点希望同学们在今后解决实际问题的必须注意。 【针对训练】 一份试卷共25道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确答案选出来，每题选对得4分，不选或选错扣1分，如果一个学生得90分，那么他选对几题？现有500名学生参加考试，有得83分的同学吗？为什么？ 问题5：【计费问题】 电话计费问题： 下表给出的是两种移动电话的计费方式： 问题1：你能从表格中得到哪些信息呢？ 答案：如，月使用费固定收 主叫不超限定时间不再收费 主叫超时，超时部分加收超时费 被叫免费 …… 问题2：计费与什么量有关系呢？ 答案：主叫时间 问题3：这两种计费方式是怎么计费的呢？ 答案： 问题4：计费与什么量有关系呢？ 答案：主叫时间 问题5：你认为选择哪种计费方式更省钱呢？ 追问1：设一个月内用移动电话主叫为t min(t是正整数)．列表说明：当 t 在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费． 追问2：如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？ 追问3：当150＜t＜350时，哪种方式省钱呢？ 追问4：当t＞350时，哪种方式省钱呢？ 问题6：综合以上的分析，可以发现： _____________时，选择方式一省钱； _____________时，选择方式二省钱． 【针对练习】 某校计划购买若干台电脑，现在从两家商场了解到同一型号的电脑每台报价均为4000元，甲商场经理说：“第一台按原报价收费，其余每台优惠25%.”乙商场经理说：“每台优惠20%.” (1)若购买4台，哪家商场较优惠？买6台呢？ (2)买多少台，两家商场收费一样多？ (3)你知道怎样选择更省钱吗？ 再来解决情境引入中的五个问题. 教师指导学生识别题目类型，设未知数，列方程. 归纳总结 今天我们学习了哪些知识？ 1.一元一次方程解决实际问题的核心问题是什么？ 2.探究解题的过程大致包含哪几个步骤？ 3.我们在探究过程中用到了哪些方法，你有哪些收获？ 当堂练习 1.某车间有技工85人，平均每天每人加工甲种部件16个或乙种部件10个，2个甲种部件和3个乙种部件配一套.问加工甲、乙部件各多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件干好配套？ 3.七年级170名学生参加植树活动，如果每个男生平均一天能挖树坑3个，每个女生平均能种树7棵，正好能使每个树坑种上一棵树，则该七年级的男生、女生各有多少人？ 4.一条地下管线，若由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要24天，先由乙工程队铺设3天，剩下的甲、乙合作完成．还需多少天铺设完这条管道？ 5.一次足球赛11轮(即每队均需赛11场), 胜一场记2分,平一场记1分,负一场记0分,北京国安队所负场数是所胜场数的 ,结果共得14分,求国安队共平了多少场 6.一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分钟0.05元的价格按上网所用时间计费；方式B除收月租费10元外，再以每分钟0.03元的价格按上网时间计费． (1)当每月上网时间为200分钟时，选择方式____省钱； (2)当每月上网时间为600分钟时，选择方式____省钱； (3)当每月上网时间为____分钟时，两种上网方式的费用一样多． 学生思考，在学案上独立完成. 学生回答一元一次方程解决实际问题的建模过程（复习）. 学习小组内互相交流，讨论，展示. 解：设应分配x名工人生产螺钉，其余（22-x）名工人生产螺母.根据螺母数量和螺钉数量的关系，列得 2×1200x=2000(22-x) 去括号，得 2400x=44000-2000x 移项及合并同类项，得 4400x=44000 系数化为1，得 x=10 生产螺母的人数为 22-x=12 答：应分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母. 引导学生归纳总结列一元一次方程解决实际问题的步骤： 把一个未知量设成未知数，由一个等量关系表示另一个未知量；再根据另一个等量关系列出一元一次方程；解方程；把答案代入方程和是否符合实际的双检验；最后写出实际问题的答案. 一名学生展示解题思路和结果，全班交流并修改. 学生讨论交流，分小组展示成果，比比谁快、准．教师适当加以引导，利用人均效率、工作人数、工作时间和工作量之间的关系列出方程. 注意：教师要关注学生在确定两阶段工作量关系时是否准确，同时收集错例展示. 解：设还需两人合做x h才能完成.根据题意，得 解这个方程，得. 答：还需两人合做h才能完成这项工作. 解：设快车的速度是7x千米/时，则慢车的速度是 5x千米/时， 依题意得1.5（7x+5x）=900，解得x=50， 则7x=7×50=350，5x=5×50=250. 所以快车的速度是350千米/时，慢车的速度是250千米/时. 通过学生板演，起到复习巩固的作用，进一步熟悉去括号解方程的步骤与要点. 独立审题，分析问题，解决问题. 两人为一组，交流思路和结果. 解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元， 依题意得， 解得， ， 答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 由学生通过小组合作交流，用式子表示出积分与胜负场数之间的数量关系，教师进行必要的点拨， （1））让学生自己观察思考、小组讨论交流 （2）抽生口答 （3）让生自己完成，后再抽生回答 （4）小组讨论后再汇报 学生独立思考 解：令58＋0.25(t－150) ＝88 解得： t ＝270 ∴当 t =270分时，两种计费方式的费用相等， 当150 ＜ t ＜ 270时，方式一的计费省钱； 和270 ＜ t ＜ 350时，方式二的计费省钱. 答：t ＜270；t ＞270 解：当t ＞350时，按方式一的计费为108元加上超出350min部分的超时费0.25(t－350) 按方式二的计费为88元加上超出350min部分的超时费0.19(t－350) ∴按方式二的计费省钱. 学生归纳总结本节课所学内容，教师从思想方法上补充. 学生整理笔记 解：(1)购买4台时， 甲商场：4000＋(1－0.25)×4000×3＝13000(元) 乙商场： (1－0.20) ×4000×4＝12800(元) ∴购买4台时，乙商场较优惠； 购买6台时， 甲商场：4000＋(1－0.25)×4000×5＝19000(元) 乙商场： (1－0.20) ×4000×6＝19200(元) 购买6台时，甲商场较优惠. (2)设买x台收费一样，列方程得 4000＋0.75×4000(x－1) ＝0.8×4000x， 解得x＝5， ∴买5台收费一样多. (3)当购买数量少于5台时，选乙商场； 当购买数量超过5台时，选甲商场； 当购买数量为5台时，两商场收费一样多，可以从甲、乙两家商场中任选一家. 解：（1）设应分配x名工人生产钢丝绳，其余（10-x）名工人生产浮漂.根据钢丝绳数量和浮漂数量的关系，列得 8×180x=160(10-x) 去括号，得 1440x=1600-160x 移项及合并同类项，得 1600x=1600 系数化为1，得 x=1 生产浮漂的人数为 10-x=9 答：应分配1名工人生产钢丝绳，9名工人生产浮漂. （2）设安排x人先做4 h．根据先后两个时段的工作量之和应等于总工作量，列出方程＋＝1. 解方程，得4x＋8(x＋2)＝40， 4x＋8x＋16＝40， 12x＝24， x＝2. 答：应安排2人先做4 h. （3）设两次卖出的文化衫的成本分别为x，y元，则有
（1+20%）x=120 （1+20%）y=120 解得x=100，y=150 因此商场盈利120×2-（100+150）=-10（元） 即商场亏损10元. 设潘展乐获得第一名x次，由题意得，
3x+(7-x)×1+2×0=17 解得x=5 答：潘展乐获得第一名5次. 解：设果果家5月份用水x m3，则 20×2＋3×(x－20)＝64 解得x＝28 答：果果家5月份用水28m3. 通过单元情境，一方面复习列方程解决问题，为本节课做准备，另一方面引出课题——实际问题与一元一次方程. 让学生经历“观察分析——解决问题——汇报交流——概括总结”等数学活动，得到列一元一次方程解决实际问题的步骤，体验了“发现”知识的快乐，变被动接受为主动探究，经历体验式学习的乐趣. 体验小组合作的乐趣，提高学习效率. “翻译”这句话的本质是众多的文字语言转化为简单明确的数学表达式，即是“建模”的思想. 让学生行程工程问题的解题思路. 提炼利用一元一次方程解决实际问题的一般方法，既为下面的实战演练做准备，又可以达到思想方法的提升和能力的提高. 从知识、方法、体验等方面进行归纳，发挥学生的主体作用，引导学生梳理出本节课的知识脉络，同时让学生感受利用方程建模思想解决问题的思维习惯. 在引例的基础上，以球赛积分表的形式呈现给学生，然后师生共同讨论解决问题的方法，使学生感受数学在实际生活中应用，培养学生会利用表格提供的信息解决问题的能力。 通过观察表格，获取信息，是很有实用价值的能力。在此结合体育比赛问题培养这种能力。 让学生充分发挥主体作用，自己去观察、探究，解决问题。 用问题串的形式，让学生明确总积分是如何得出的，建立数学模型，并找到解释问题的关键. 进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力。 回归单元情境，解决实际问题. 总结本课所学，归纳解决实际问题的步骤. 通过练习，巩固所学.
单元作业设计 A组 1．解方程时，去分母正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次方程，在去分母的过程中注意分数线起到括号的作用，并注意不能漏乘没有分母的项． 去分母的方法是方程两边同时乘以各分母的最小公倍数6，在去分母的过程中注意分数线右括号的作用，以及去分母时不能漏乘没有分母的项． 【详解】解：方程两边同时乘以6得：， 去括号，得， 故选：C． 2．把方程中分母化整数，其结果应为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．方程利用分数的基本性质变形得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程整理得：． 故选：B 3．我国古代数学著作《九章算术》卷七盈不足有题如下：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数、琎价各是多少？若设人数为，则根据题意可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列一元一次方程的应用，根据题意利用总价不变列方程即可． 【详解】解：设人数为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出总价为， 每人出钱，又差了3钱．可得出总价为， 则方程为：， 故选：D． 4．某足球预选赛中，一共有6支队伍，其中A、B、C、D、E五个队分别比赛了5、4、3、2、1场，则F队比赛了几场？（　　） A．1场 B．2场 C．3场 D．4场 【答案】C 【分析】根据题意可知，每2个队赛一场，A赛5场，所以A和B、C、D、E、F各赛1场．由于E只赛1场，所以B没有和E比赛，所以B和A、C、D、F各赛一场，共4场．然后再进一步推断就容易了． 【详解】因为每2个队赛一场， A赛5场， 所以A和B、C、D、E、F各赛1场． 由于E只赛1场， 所以B没有和E比赛，B和A、C、D、F各赛一场，共4场． D只赛2场，根据上述，只能和A、B各赛一场，共2场． C只赛3场，C不能和D、E比赛，只能和A、B、F各赛一场，共3场． 所以F共赛3场． 故答案为：C． 5．将方程变形得，这一步的依据是 ； 【答案】等式的基本性质 【分析】本题考查了等式的性质，一元一次方程中的移项是将含有未知数的移动到等号的左边，不含未知数的项移动到等号右边，根据等式的性质，移项要变号． 【详解】解：将方程变形得，这种变形属于移项，其依据是等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质． 6．下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查的是等式的基本性质，等式两边同时加(减)同一个数(式子)，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意“同”字，要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必须同时进行变形．根据等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，符合等式性质1，故①符合题意； ∵，， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③不符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故④符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 7．已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，根据一元一次方程的解求得，进而代值求解即可． 【详解】解：把代入方程中得，， ∴， ∴ ． 故答案为：0． 8．在解关于的方程时，果果在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母，因而求得方程的解为，则方程正确的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，按果果的方法去分母得，把代入求出，则原方程为，然后根据解方程的步骤求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】按果果的方法去分母得：， 将代入得：， 解得：， ∴原方程为， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 原方程正确的解是：， 故答案为：． 9．已知是关于x的方程的解，则 ． 【答案】 【分析】题目主要考查方程的解及解方程，理解题意，代入值求解即可． 根据题意将代入方程确定，然后代入求解即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：． ∴． 故答案为：． 10．的倒数与互为相反数，那么a＝ ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相反数和倒数的定义，熟知互为相反数的和为零是解题的关键． 根据倒数、相反数的定义进行解答即可． 【详解】解：的倒数是， ∵的倒数与互为相反数， ∴， 解得， 故答案为：． 11．在一次猜谜比赛上，每人答30道题，答对1题得20分，答错一题扣10分，小聪共得了120分，则小聪答对了 道题，答错了 道题． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题题，列出方程求解即可，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 【详解】解：设小聪答对了道题，则答错了道题，依题意得： ， 解得：， ∴， ∴小聪答对了道题，则答错了道题， 故答案为：，． 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程移项，合并，把系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1） 移项得：， 合并得：， 解得：； （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 13．已知下面两个关于的方程：①，②，这两个方程有相同的解，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，从方程①中求出的值，代入方程②，求出的值． 【详解】解：由方程①可求得，所以． 由已知，也是方程②的解， 根据方程解的定义，把代入方程②时， 应有：， 解得． 14．安徽砀山是著名的水果之乡，现有一些箱子用来装苹果，若每只箱子装苹果25千克，则剩余40千克的苹果没有箱子装；若每只箱子装苹果30千克，则余下20只空箱子，请你帮忙计算这些箱子有多少只？ 【答案】128只 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这些箱子有x只，根据题意，由两种方式的苹果总重量相等列方程求解即可． 【详解】解：设这些箱子有x只， 根据题意，得， 解得， 答：这些箱子有128只． 15．一个两位数，十位上数字是个位上数字的2倍，交换个位数字与十位数字后所得的新两位数比原两位数小18，求原来的这个两位数． 【答案】42 【分析】设个位数字为x，则十位数字为，列出方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，解答时注意等量关系的确定，这是解题的关键． 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为， 根据题意，得， 解得， 则， 这个两位数是42， 答：这个两位数是42． 16．用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒．问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套？ 【答案】用90张铁皮制盒身，60张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程成为解题的关键 设用x张铁皮制盒身，制盒底的铁皮数是张，利用盒底的数量是盒身数量的2倍列出方程求解即可． 【详解】解：设用x张铁皮制盒身，则制盒底的铁皮数是张， 由题意可得：，解得：， ∴． 答：用90张铁皮制盒身，60张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套． B组 17．春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利润、进价与利率关系，利用等式的基本性质求解未知数之间的等量关系，先根据三种花束的利润之和除以三种花束的进价之和等式，进行整理可得，，，即可求得，，进而可得答案．掌握利润、进价与利润率关系，列出等式是解决问题的关键． 【详解】解：三种花束的每一束成本分别为元、元和元， 则三种花束的每一束利润分别为，，， 当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，， 根据题意得：， 整理得：， 当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，， 根据题意：， 整理得：，则：， 将代入得：，则：， ∴， 故选：A． 18．已知关于x的方程与的解相同， 则的值为（ ） A．25 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查方程解的问题，代数式求值，题目简单细心计算，此类题目常考，应当熟练掌握．先求出方程的解，然后把代入求出，把代入求出结果即可． 【详解】解：由得：， ∵关于x的方程与的解相同， ∴把代入得：， 解得：， 把代入得：， 故选：C． 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （1）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 20．二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形如图中型黑白一样按某种规律组成的一个大正方形．现有格式的正方形如图，角上是三个的型大黑白相间正方形，中间右下有一个的型黑白相间正方形型均由型黑白两色小正方形组成，除这个正方形外，其他的型小正方形黑色块数正好是白色块数的倍多块，则该格式的二维码中除去、型后，有几块型白色小正方形，整个二维码中共有几块型白色小正方形？ 【答案】100，156 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列得方程是解题的关键． 根据除去4个正方形外，其他的C型小正方形黑色块数正好是白色块数的3倍多53块，可得等式，求解即可；分别求出A，B中的白色C型小正方形的个数，再加上前面的值得到结果． 【详解】解：二维码中除去A、B型后还剩个C型小正方形， 设剩余的白色C型小正方形为x个， 则， 解得， A型小正方形中有白色C型小正方形16个，B型小正方形中有白色C型小正方形8个， 则白色C型小正方形共有个， ∴该格式的二维码中除去、型后，有100块型白色小正方形，整个二维码中共有156块型白色小正方形． 21．小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走．下坡路每分钟走，上坡路每分钟走．则他从家里到学校需，从学校到家里需．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？设小华家到学校的平路为x，用方程表示上述数量关系，并解出方程． 【答案】平路为300米，下坡路为400米 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设小华家到学校的平路为x米，则下坡路为米，根据时间=路程÷速度结合小华从学校到家里需，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设小华家到学校的平路为x米，则下坡路为米，根据题意，得 解得：， ∴（米） 答：从小华家到学校的平路为300米，下坡路为400米． C组 22．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解方程可得，由“美好方程”的定义可得方程的解为，将方程变形为，可得，据此即可求解，利用同解方程的意义解答是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程与是“美好方程”， ∴方程的解为， 将方程变形为， ∴， ∴， 故答案为：． 23．甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运到A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨，甲仓库运到A、B两工地的运费分别足140元/吨和150元/吨，乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨和80元/吨，本次运水泥总运费需要25900元. (1)设甲仓库运到A工地的水泥为x吨，请在下面表格中用x表示出其它未知量： 甲仓库乙仓库A工地xB工地
(2)用含x的式子表示运送甲仓库100吨水泥的运费为__________元（写出化简后的结果）； (3)求甲仓库运到A工地的水泥的吨数. 【答案】(1)； (2) (3)30吨 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式，整式加减运算，弄清题意找到相等关系是解本题的关键． （1）根据题意填写表格即可； （2）根据表格中的数据，以及已知的运费表示出总运费即可； （3）根据本次运送水泥总运费需要25900元列方程化简即可． 【详解】（1）解：（1）设甲仓库运到工地水泥的吨数为吨，则运到地水泥的吨数为吨， 乙仓库运到工地水泥的吨数为吨，则运到地水泥的吨数为吨， 补全表格如下： 甲仓库 乙仓库 工地 工地
故答案为：；； （2）解：运送甲仓库100吨水泥的运费为； 故答案为：； （3）解：， 整理得：． 解得 答：甲仓库运到工地水泥的吨数是30吨． 24．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，还可按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额a（元）获得奖券的金额（元）3050110150
按上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：（元）． 注：购买商品获得的优惠额购买商品得到的优惠率商品的标价． 试问： (1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠额是多少？ (2)对于标价在500元900元之间（含500元和900元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？ 【答案】(1)310 (2)825 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法， （1）先计算出顾客的消费金额，以确定顾客得到的奖券金额，再计算出顾客得到的“优惠率”即可； （2）设顾客购买的商品的标价为x元，先计算出商品的标价在的范围内顾客的消费金额的范围是，则顾客得到的奖券金额是50元或110元，列方程求出相应的x的值并进行检验，得出符合题意的结果即可． 弄清商品的标价与顾客的消费金额之间的关系是解题的关键． 【详解】（1）∵（元），且， ∴顾客得到110元奖券， ∴（元）， 答：顾客得到的优惠率额是310元． （2）设顾客购买的商品的标价为x元， （元），（元）， ∴顾客的消费金额， ∴或， 由解得，不符合题意，舍去； 由解得， ∵，且， ∴符合题意， 答：顾客购买标价为825元的商品，可以得到的“优惠率”． 25．某商场销售一款风衣和丝巾，风衣每件定价300元，丝巾每件定价50元，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案1：买一件风衣送一条丝巾； 方案2：风衣和丝巾都按定价的付款． 某客户要到该商场购买风衣20件，丝巾x（）条． (1)若该客户按方案1购买，需付款 元；若该客户按方案2购买，需要付款 元．（分别用含x的式子表示） (2)若，通过计算说明此时该客户按哪种方案购买较合算． (3)当购买多少条丝巾时，该客户按两种方案付款相同？ 【答案】(1) (2)按方案1购买较为合算 (3)当购买80条丝巾时，该客户按两种方案付款相同 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）根据题意确定出两种方案需付款的钱数即可； （2）把代入（1）中的代数式，求出结果后比较即可； （3）由客户按两种方案付款相同，列出方程，可求解． 【详解】（1）解：方案1需付款：元； 方案2需付款：元； 故答案为：； （2）解：当时， 方案1需付款：（元）； 方案2需付款：（元）； ， ∴按方案1购买较为合算； （3）解：由题意可得：， 解得：， 答：当购买80条丝巾时，该客户按两种方案付款相同．

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