资源简介

第一章　勾股定理
２ 一定是直角三角形吗
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第一章“勾股定理”第二节。本节课承接上一节课的内容，通过反问引发学生对勾股定理逆定理的思考。本节课的教学任务包括探索勾股定理的逆定理，利用逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，并借助勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生已经学习了勾股定理，通过数格子、拼图验证等实践活动，明晰了直角三角形三边之间的关系。
学生的活动经验基础：学生在先前的数学学习中已经积累了一定的逆向思维和逆向研究的经验。如已知两条直线平行，能得出什么样的结论，反之，满足什么条件的两条直线是平行的。基于此，本节课主要由勾股定理进行逆向思考获得逆命题，但是，在具体研究过程中，由于命题与逆命题这些知识学生还未进行系统的学习，反向思考问题对现阶段学生而言可能还具有一定困难，需要教师适时的引导。
三、教学目标
1.理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念。
2.能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形。
3.经历一般规律的探索过程，发展抽象思维能力、归纳能力，进一步体会数形结合思想的应用。
4.体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学数学、用数学的兴趣。
教学重点：理解勾股定理逆定理的具体内容。
教学难点：勾股定理逆定理的应用。
四、教学过程设计
【第一环节】复习引入
1.活动内容
知识回顾
（1）在直角三角形中，三条边长度之间满足什么样的关系？
（2）在直角三角形中（如图1、图2所示），已知两条边的长度，利用勾股定理求出第三条边的长度。
(
3
4
？》
) (
5
13
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图1 图2
提出问题：在一个直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。反过来，如果一个三角形中有两条边长度的平方和等于第三条边长度的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？
2.活动目的
通过知识回顾，巩固上节课的学习内容，为本节课的学习作铺垫。通过回顾已学的知识引入新课，结合以往的学习经验激发学生探究热情。
3.注意事项
提出问题后，可以追问：如何判断呢？不妨举一些例子进行验证。
【第二环节】合作探究
1.活动内容
思考·交流
下面的每组数分别是一个三角形三条边的长度a，b，c，而且都满足a2+b2=c2：
3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41。
分别以每组数为三条边的长度画出三角形，它们都是直角三角形吗？你是怎么想的？与同伴进行交流。
2.活动目的
给出具体数据，让学生动手画图，通过测量等方式，学生可以得出“如果三角形三条边的长度a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”这一结论。这样的设计旨在使学生体验数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。
3.注意事项
（1）在经历过上面的分组实验后，可以提问学生：你可以得出什么结论？
结论：如果三角形三条边的长度a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
（2）可以进一步借助数学软件，让学生感受上述结论的可靠性。例如，可以利用几何画板演示，让学生观察三角形三条边的长度a，b，c取不同的数值时三角形的形状。
（3）对于思维程度比较好的班级，还可以这样说理：重新绘制一个Rt△ABC，使得两直角边的长度分别为a，b，在Rt△ABC中满足：a2+b2=c2，因此该直角三角形的斜边为c，根据“SSS”可知这两个三角形全等，因此原三角形也是直角三角形。
（4）可以在验证之后，让学生了解勾股数。满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。例如3，4，5；8，15，17等都是勾股数。
（5）回顾总结，如①到今天为止，你有哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢 ②比较勾股定理与勾股定理逆定理。
【第三环节】小试牛刀
1.活动内容
（1）下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。
①9，12，15； ②12，18，22； ③12，35，36； ④15，36，39。
（2）将直角三角形的三条边的长度扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）。
A.　直角三角形 B.　锐角三角形
C.　钝角三角形 D.　不能确定
（3）下列各组数是勾股数的是（ ）。
A. ，， B. 1，2，3 C. 0.3，0.4，0.5 D. 9，40，41
2.活动目的
通过练习，加强学生对勾股定理及勾股定理逆定理的认识及应用。
3.注意事项
每道题都要求学生独立完成（5分钟），并指出各题分别运用了哪些知识，进而强化勾股定理的逆定理在数学内部的应用。
【第四环节】典例分析
1.活动内容
（1）一个零件的形状如图3所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图4所示（单位：cm），这个零件符合要求吗？
(
图
3
) (
图
4
)
（2）如图5，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中共有几个直角三角形？你是如何判断的？
图5
（3）“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口1.5 h后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿哪个方向航行？
2.活动目的
学以致用，利用勾股定理逆定理解决实际问题，进一步巩固该定理。
3.注意事项
问题1是例题，以教师讲解为主；问题2主要是让学生练习，巩固所学；问题3为备选题，根据班级学生具体情况，灵活选用。
【第五环节】反思总结
1.活动内容
回顾·反思
回顾勾股定理的学习过程，你积累了哪些研究问题的经验和方法？
2.活动目的
结合这几节课的学习，引导学生初步体会几何图形的学习过程是先由性质到判定，进而再到应用，构建单元整体思想框架；让学生初步感知数形结合的思想，体验从形中可以获取数的信息，借助数可以勾勒形的性质。增强学生学习数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识。
3.注意事项
不必要求学生讲得多全面，教师可以通过提问、引导等方式帮助学生从学习过程、方法使用、经验积累等方面进行反思。
【第六环节】布置作业
1.活动内容
必做题：习题1.2 第1，2，3，4，5题。
选做题：你还能找出哪些勾股数呢？这些勾股数有着怎样的规律呢？请同学们尝试探索。
2.活动目的
分层的作业设计可以满足不同层次学生的需求，让不同层次的学生都能体验成功的乐趣。选做题是开放性的设计，可以从不同的维度探究，不同的探究结果展现学生不同的思维深度。
五、教学反思
1.充分尊重教材，以勾股定理的逆向思维模式引入“如果一个三角形中有两条边长度的平方和等于第三条边长度的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？”的问题，充分引用教材中出现的例题和练习。
2.注重引导学生积极参与实验活动，从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。
3.关注学生对新知的学习、理解与应用，注重数形结合思想在教学中的渗透，满足学生的推理需求，借助几何画板进行推理验证，完善对勾股定理逆定理的认识。
附：板书设计
能得到直角三角形吗 已知结论图形
例1 　

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