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第二章 实数
1 认识实数（第2课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学（八年级上册）第二章“实数”的第一节第2课时。本节课主要学习实数由有理数和无理数组成，并能对实数按要求进行不同的分类，同时了解实数范围内的相反数、倒数和绝对值的意义，让学生在动手操作中明确实数和数轴上的点是一一对应的，结合勾股定理知识，在数轴上确定无理数的位置。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：通过七年级数轴的学习，学生已系统学习了有理数的相反数、倒数、绝对值等概念，会利用数轴上的点表示有理数。在前一章“勾股定理”的学习中，学生积累了已知两直角边长度均为整数时求斜边平方的运算基础。在本章的第一课时学生也已经初步感知了无理数（无限不循环小数），这为利用数轴上的点表示无理数奠定了基础。勾股定理的学习也为学生运用数形结合的思想方法提供了思考路径。
学生活动经验基础：第1课时，构造直角三角形产生无理数是具体的经验，为如何在数轴上标出无理数提供了一种办法；研究有理数时使用的分类、运算等学习经验，在实数这里依然可以进行类比学习。
三、教学目标
1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小。了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
2.在认识“实数”这一新知识时，运用已有的“有理数”的相关概念及运算律类比解决“实数”的相关概念及运算律，从而获取解决实数相关问题的基本方法，发展分析问题、解决问题的能力。
3.在感受实数和数轴上的点一一对应的过程中，进一步体会数形结合思想。
4.感悟类比思想的经验，了解数系扩充对人类认识发展的必要性。
教学重点：实数的意义，实数和数轴上的点一一对应。
教学难点：能将实数按要求进行分类。
四、教学过程设计
【第一环节】回顾引入
1.活动内容
（1）什么是有理数？
（2）如果把有理数写成小数，这时的小数有什么特征呢？
（3）把下列各数表示成小数：3，，，－，。
讨论后明晰：无限不循环小数称为无理数。
2.活动目的
整数和分数统称为有理数。现在出现了新的数，它既不是整数也不是分数，上节课指出这样的数是无限不循环小数。因此，本节课首先探讨有理数和小数的关系。从研究手法上看，直接问这样的问题太抽象，于是从特殊的、具体的对象进行研究，设计了将具体有理数转化成小数的问题。
3.注意事项
这里通过具体的数字转化，让学生积累经验，通过自己的计算发现，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。那些不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数。揭示无理数后，可以再举一些实例，进一步帮助学生理解和感知无理数。
【第二环节】探究新知
1.活动内容
例 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
3.14，－，0.，0.101 000 100 000 1…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）。
教师总结：有理数和无理数统称实数。
尝试·思考
无理数和有理数一样，也有正、负之分。
（1）请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。
（2）还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？
思考·交流
上节课讨论的两个正方形，边长分别是a，b，且满足a2＝2，b2＝5。
（1）如图，OA＝OB，数轴上点A对应a，b中的哪个数？
（2）你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？与同伴进行交流。
2.活动目的
在第一环节，教材明晰了无理数的概念，这一环节则是进一步加深学生对无理数的理解。首先，例题让学生判断哪些是有理数，哪些是无理数，这是对无理数概念的进一步辨析。有了数的概念以后，我们通常会讨论数的运算。其次，设计了“尝试·思考”，一方面类比有理数，对实数进行分类；另一方面在讨论完分类后，进一步明晰在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义一样。实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用；最后，“思考·交流”则是对有理数与数轴上点的关系的补充，揭示实数和数轴上的点是一一对应的。
3.注意事项
（1）关于实数的分类，可以有不同的分类方法，但是每次只能按照同一标准，且也要注意不重不漏。
（2）通过与有理数类比的方式，得出实数意义下的相关概念、运算律，不用解释道理，可以通过具体例子理解和感悟。
【第三环节】知识巩固
1.活动内容
（1）下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
0.458 3，3.，－π，－，18。
（2）比较－3.14和－π的大小。
（3）判断正误：
①所有无限小数都是无理数； （ ）
②所有无理数都是无限小数； （ ）
③有理数都是有限小数； （ ）
④不是有限小数的数不是有理数。（ ）
（4）回答问题：
①－3的相反数是什么？它的倒数是什么？它的绝对值是什么？
②π的相反数是什么？它的倒数是什么？它的绝对值是什么？
③a是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？若a≠0，则它的倒数如何表示？
2.活动目的
通过教科书的一些练习题，加深学生对相关概念的理解，检测学生对实数相关知识的掌握情况。
【第四环节】课堂小结
1.活动内容
（1）通过本节课的学习，你收获了哪些数学知识和能力？
（2）通过本节课的学习，你提升了哪些数学思维能力？
（3）通过本节课的学习，你学会了哪些数学语言表达？
2.活动目的
鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获。通过课堂小结，理清本节的知识脉络，培养学生的核心素养，引导学生用数学眼光观察现实世界，本节课的数学眼光主要表现为抽象能力、几何直观；帮助学生用数学思维思考现实世界，本节的数学思维主要表现为运算能力、推理能力；实现用数学的语言表达现实世界，本节的数学语言主要表现为应用意识。
3.注意事项
学生交流，互相补充，完成本节知识的梳理。学生对问题解决过程的回顾和反思，实现知识建构、方法融合、思想领悟和思维的自觉。
【第五环节】布置作业
1.活动内容
（1）基础作业：
（注：根据教材习题2.1第1题改编）
下列各数中，－，3.9，－234.101 010 10…（相邻两个1之间有1个0），
0.123 456 789 101 112 13…（小数部分由相继的正整数组成）。
①写出所有有理数；
②写出所有无理数；
③分别写出这些数的相反数、绝对值；
④把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接。
（2）拓展作业：
把下列小数化成分数：①3.25； ②0.；③0.。
（3）实践作业：课题学习“探索有理数转化成有限小数和无限循环小数的方法”。
课题 探索有理数转化成有限小数或无限循环小数的方法
类型 主题实践性作业
内容 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示，你知道它的原理吗？你能总结有理数转化成有限小数或无限循环小数的一般方法吗？
工具
要求 运用所学知识解释理由，小组合作归纳总结模型，并能发散思维，寻求一题多解，形成报告。
核心素养 运算能力、推理能力
策略
应用知识
过程
反思
自我评价 C合格:能够利用所学知识解释其中的道理，并进行证明，对于拓展应用有一定的难度，需要在教师指导或同学合作下进行设计。 B良好:能够利用所学知识解释其中的道理，并做出完整的证明，对于拓展应用活动，可以独立完成设计操作，并可写出一种或一种以上的方法。 A优秀:在良好等级的基础上，思维更敏捷、开阔，更加富有创造力，能把每一个问题的理由都描述得清楚准确；对于拓展应用活动，能够独立完成设计操作，并可提供出两种及以上的方法。
2.活动目的
通过作业进一步巩固本节课所学内容；设置不同层次的作业，为不同层次的学生提供不同的发展空间。
五、教学反思
1.重视类比的数学思想渗透
实数是有理数的扩张，其具体研究内容与有理数完全类似。因此，在本课时的教学设计中，特别关注前后知识之间的内在联系，关注运用类比的思想学习新的知识，这是本课设计中一个十分显著的特点。实际上，类似的问题在其他知识学习中同样存在，注意体会。
2.转变教学观念，发展学生核心素养
本节课通过画图操作，让学生经历画图的过程，将“无理数是无限不循环小数”中抽象的“无限”通过图形来直观展示，并用数轴上的点表示。同时也解决了生活实际与教学内部发展的需求，化解了生活实际与数学现实的认知冲突，达到概念的同化与运用。同时让学生掌握概念学习的路径：从生活实际问题中识别、抽象并提取出数学概念，再对数学概念进行辨析理解，最后升华到概念的应用。让学生经历数学学习过程，即数学对象的获得过程、数学对象的研究过程、应用数学知识解决问题的过程，从而获得知识，提升能力，养成品质，发展核心素养。

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