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第二章 实数
2 平方根与立方根（第1课时）
一、学生任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”第二节的第1课时。学习平方根和算术平方根的概念和性质。在运算方面，引入了开方运算，使学生掌握的代数运算由原来的加、减、乘、除、乘方五种扩展到六种，建立起较完善的代数运算体系。本节内容既是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习二次根式、实数的预备知识，还是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据。因此，本节课处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。本节课为第1课时，主要研究算术平方根。算术平方根的探究从直角边长为1的等腰直角三角形出发，以该三角形的斜边为新三角形的直角边，1为新三角形另一条直角边的长作直角三角形，以此类推，得到一系列直角三角形，引发学生思考这些直角三角形斜边长的值能否表示出来，进而引出算术平方根的概念。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生已经学习了勾股定理、无理数，并掌握了乘方运算。本节课将在这些基础上进一步研究算术平方根。
学生的活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经积累了自主探究、合作学习的经验，具有一定的观察、分析、归纳、概括能力，具备了一定的合作与交流能力。这节课的教学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情境引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性。
三、教学目标
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质。
2.经历动手操作、观察、猜想，培养学习的主动性，发展表达和运算能力。
3.通过积极参与获取新知，从中渗透从特殊到一般及类比的观点，在小组活动中发展独立思考能力和竞争意识。
4.在概念形成过程中，体会知识的来源与发展，提高思维能力；在合作交流等活动中，培养合作精神和创新意识。
教学重点：了解算术平方根的概念，知道求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算。
教学难点：会用根号表示一个数的算术平方根。
四、教学过程设计
【第一环节】创设情境，引发思考
1.活动内容
（1）根据图填空：
x2＝ ，
y2＝ ，
z2＝ ，
w2＝ 。
（2）x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？
2.活动目的
带着问题进入这节课的学习，让学生感受学习用算术平方根表示的必要性。
3.注意事项
在活动中，学生能表示x2＝2，y2＝3，z2＝4，w2＝5，能求得z＝2，但不能求得x，y，w的值，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方。
【第二环节】理解概念
1.活动内容
引出新概念。
x2＝2，y2＝3，z2＝4，w2＝5，已知幂和指数，你能求出底数吗？
在上面思考的基础上，明晰概念：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作“”，读作“根号a”。
特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即＝0。
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）900； （2）49； （3）121； （4）225；
（5）0.09； （6）0.64； （7）0.81； （8）2.25；
（9）； （10）； （11）14； （12）15。
2.活动目的
让学生体验概念的形成过程，感受到概念引入的必要性，对算术平方根概念形成认识，并通过例题巩固学生对算术平方根概念的认识。体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是。
3.注意事项
在探索的过程中，可以提出问题“已知幂和指数，你能求出底数x吗？”通过例题，让学生感受一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
【第三环节】思考交流
1.活动内容
思考·交流
（1）在上面例1中，一些数的算术平方根的结果没有“”了，这些数有什么特点？
（2）在上面例1中，，也就是。一般地，当a≥0时，a成立吗？
（3）a成立吗？这里的a是什么数？你是怎么理解的？与同伴进行交流。
例2 由静止自由下落的物体下落的距离s（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系为s＝4.9t2。有一个铁球从19.6 m高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长时间？
2.活动目的
（1）通过“思考·交流”，帮助学生进一步理解平方与开方之间的关系，深入认识算式平方根的概念，进而得到以下结论：
当a≥0时，a，a；当a＜0时，－a。
（2）设置例2，用算术平方根的知识解决实际问题。
3.注意事项
对于当a＜0时，－a的讨论，可以通过举例、归纳等方式进行，从而明确算术平方根的双重非负性。
【第四环节】尝试运用，巩固概念
1.活动内容
随堂练习：
1.求下列各数的算术平方根：
（1）36；（2）1；（3）15；（4）0.64；（5）10－6；（6）。
2. 下列说法正确的是（ ）。
A. 5是25的算术平方根 B. ±4是16的算术平方根
C. －6是的算术平方根 D. 0.01是0.1的算术平方根
3.正数____的平方为；（－5）2的算术平方根为_____。
4. 若一个数的算术平方根是，则这个数是_____。
5.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，求AB的长。
6.如图，从帐篷支撑杆AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷。若绳子的长度为8 m，地面固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离为6.4 m，则帐篷支撑杆的高是多少？
2.活动目的
旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程，练习的梯度性由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识。同时对学生的回答，教师要给予评价和点评。
【第五环节】课堂小结，布置作业
1.活动内容
围绕以下内容进行课堂小结：
（1）算术平方根的概念。
（2）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。
（3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，可以利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根。
布置作业
①习题2.2 第1题、第3题（1）~（8）、第16~18题。
②查找算术平方根的相关资料，与同伴分享交流。
2.活动目的
依照本节课的教学目标引导学生自己总结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质。通过作业让学生进一步加强对本课知识的理解和掌握。
五、教学设计反思
1.细讲概念、强化训练
要想让学生掌握算术平方根的概念，需要让学生经历由浅入深、不断深化的过程。概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的。概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，有利于提高学生的思维水平。概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化。
“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征。算术平方根的本质特征就是定义中指出的“如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根”的“正数x”，即被开方数是正的，由平方的意义可知a也是正数，因此算术平方根也必须是正的。当然零的算术平方根是零。
“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示。
“逐步深化”是指将运用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用，帮助学生逐步深化概念的理解和运用。
2.发展思维、适度拓展
在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对a的双重非负性的知识进行适当的拓展。

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